nghiên cứu một số kỹ thuật xử lý điều kiện biên trong giải số mô hình thuỷ lực hai chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

VIỆN KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
******

VIỆN CƠ HỌC
*****



NGUYỄN THÀNH ĐÔN



NGHIÊN CỨU MỘT SỐ KỸ THUẬT XỬ LÝ ĐIỀU
KIỆN BIÊN TRONG GIẢI SỐ MÔ HÌNH
THUỶ LỰC HAI CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ

HÀ NỘI-2005






NGUYỄN THÀNH ĐÔN

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ KỸ THUẬT XỬ LÝ ĐIỀU
KIỆN BIÊN TRONG GIẢI SỐ MÔ HÌNH
THUỶ LỰC HAI CHIỀU



Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng
Mã số: 60.44.22

Luận văn thạc sĩ

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
PGS.TS Hoàng Văn Lai


HÀ NỘI-2005

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

VIỆN KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
*****

VIỆN CƠ HỌC
*****


1






Trang

Lời cảm ơn 1

Mục lục 2

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt 4

Danh mục các hình vẽ, đồ thị …………………………………………………………… 5

Mở đầu …………………………………………………………………………………………… 6

Chƣơng1 - GIỚI THIỆU CHUNG ………………………………………………………8

Chƣơng 2 - CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 11
2.1 Hệ phƣơng trình Saint Venant ……………………………………………… 11
2.2 Số Froude và số điều kiện biên cần thiết cho bài toán một chiều và
hai chiều …………………………………………………………………………………………………13
2.2.1 Số Froude, số điều kiện biên của bài toán thuỷ lực một chiều
2.2.2 Số Froude, số điều kiện biên của bài toán thuỷ lực hai chiều 21
2.3 Ý nghĩa vật lý của điều kiện biên trong thuỷ lực học ……………………22


2

Chƣơng 3 - KỸ THUẬT XỬ LÝ ĐIỀU KIỆN BIÊN TRONG MỘT SỐ
PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN HAI CHIỀU ………………………………… 23
3.1 Kỹ thuật xử lý điều kiện biên trong trong phƣơng pháp khối hữu hạn
3.1.1 Phƣơng pháp rời rạc hoá hệ phƣơng trình Saint Venant …… 25
3.1.2 Kỹ thuật xử lý các phần tử trên biên …………………………………27
3.1.3 Kỹ thuật xử lý biên khô ƣớt ……………………………………………… 30
3.1.4 Ứng dụng các kỹ thuật vào phần mềm VODAP_2D ……………32
3.2 Kỹ thuật xử lý điều kiện biên trong trong phƣơng pháp phần tử hữu
hạn …………………………………………………………………………………………………………32
3.2.1 Phƣơng pháp rời rạc hoá hệ phƣơng trình Saint Venant 32
3.1.2 Cách đƣa điều kiện biên vào hệ phƣơng trình 36
3.1.3 Kỹ thuật xử lý biên khô ƣớt ……………………………………………… 38
3.1.4 Ứng dụng các kỹ thuật vào phần mềm TELEMAC_2D ……….39

Chƣơng 4 - KẾT QUẢ GIẢI SỐ MỘT SỐ BÀI TOÁN MẪU ………………41
4.1 Bài toán mẫu có nghiệm giải tích …………………………………………… 41
4.2 Bài toán thí nghiệm có số liệu thực đo ……… 42

4.3 Bài toán thí nghiệm có số liệu thực đo .……… 45
4.4 Bài toán thực tế đánh giá thực trạng lòng dẫn sông Hồng- sông Thái
Bình và kiểm chứng ………………………………………………………………………………50

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 54

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ……………………………………….55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56


3


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

h - giá trị mực nƣớc.
u - vận tốc (trung bình) theo trục x.
v - vận tốc (trung bình) theo trục y.
g- gia tốc trọng trƣờng.
k
x
- hệ số Stricler trong lực cản đáy theo trục x.
k
y
- hệ số Stricler trong lực cản đáy theo trục y.
S
o,x
- độ dốc đáy theo trục x.
S

o,y
- độ dốc đáy theo trục y.
F
x
- lực khối chiếu theo trục x.
F
y
- lực khối chiếu theo trục y.
e

- hệ số khuyếch tán bao gồm khuyếch tán phân tử kết hợp khuyếch
tán rối.
Sce - thành phần nguồn phụ.
Z - cao trình mặt thoáng.
Z
f
– cao trình đáy.






4


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ .
Hình 2.1
Hình 2.2
Hình 2.3

Hình 2.4
Hình 3.1
Hình 3.2
Hình 3.3
Hình 3.4
Hình 3.5
Hình 4.1
Hình 4.2
Hình 4.3
Hình 4.4
Hình 4.5
Hình 4.6
Hình 4.7
Hình 4.8
Hình 4.9
Hình 4.10
Hình 4.11
Hình 4.12
Hình 4.13
Hình 4.14
Hình 4.15
Một điều kiện biên tại thƣợng lƣu.
Hai điều kiện biên tại thƣợng lƣu.
Một điều kiện biên tại hạ lƣu.
Không cần điều kiện biên tại hạ lƣu.
Phần tử trong miền.
Phần tử biên.
Các phần tử nửa khô nửa ƣớt cần xử lý đặc biệt.
Các nút cần xử lý đặc biệt.
Các sửa gradient mặt thoáng lỗi.

So sánh mực nƣớc tính toán với mực nƣớc giải tích.
Cấu hình kênh bài toán mẫu số 2.
So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S1.
So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S2.
So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S3.
So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S4.
Cấu hình kênh bài toán mẫu số 3.
So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S1.
So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S2.
So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S3.
So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S4.
So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S5.
So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S6.
Mô hình hành lang thoát lũ sông Hồng.
Lƣới đƣợc chia chi tiết trên các công trình đê, bối.


5
Hình 4.16
Hình 4.17
So sánh kết quả giữa 2D và 1D tại trạm thuỷ văn Hà
Nội.
So sánh kết quả giữa 2D và 1D tại cầu Thăng Long.



Điều kiện biên là một trong những bộ phận cấu thành của một bài toán
cơ học chất lỏng. Điều kiện biên trong lĩnh vực thuỷ động lực học lại mang
một số đặc trƣng chuyên sâu riêng so với các ngành khác. Hơn nữa kiến thức
và kinh nghiệm về xử lý điều kiện biên còn giúp ngƣời tác nghiệp áp dụng có

hiệu quả thuỷ động lực học vào thực tế. Vì vậy nghiên cứu và nắm rõ điều
kiện biên của các bài toán thuỷ lực là nhiệm vụ cần thiết của ngƣời làm thuỷ
lợi.
Đề tài nghiên cứu ảnh hƣởng của điều kiện biên tới kết quả số trong mô
hình hai chiều chỉ tâp trung vào các vấn đề về điều kiện biên của phƣơng trình
nƣớc nông Saint Venant 2D. Trong khuôn khổ luận văn sẽ đề cập và giải
thích một số khái niệm, định nghĩa của điều kiện biên trong bài toán 2 chiều.
Luận văn sẽ mô tả ý nghĩa và tác dụng của từng loại điều kiện biên trong thực
tế, yêu cầu về số lƣợng điều kiện biên để một bài toán có nghiệm duy nhất.
Tuy nhiên để dẫn giải sáng sủa vấn đề, chƣơng hai của đề tài sẽ đề cập
đến kiến thức điều kiện biên trong bài toán một chiều trƣớc. Điều kiện biên
hai chiều sẽ đƣợc lập luận tƣơng tự.
Khi nghiên cứu các bài toán hai chiều truyền lũ, các nhà thuỷ lực đã gặp
câu hỏi làm thế nào mô tả đƣợc sự lan truyền nƣớc từ vùng ƣớt lên vùng khô,
và ngƣợc lại sự rút nƣớc. Khi đó ta không còn khái niệm môi trƣờng liên tục
trên toàn miền tính nữa. Khác với khí động học, toàn bộ vùng nghiên cứu


6
luôn đƣợc lấp đầy không khí, trong thuỷ lực sự dâng nƣớc dẫn đến ngập các
vùng khô hay ngƣợc lại rút nƣớc từ vùng ƣớt thành vùng khô lại thƣờng
xuyên xảy ra. Vùng giáp ranh khô ƣớt lúc này đƣợc coi là biên lỏng di động
và chúng cần đƣợc nghiên cứu. Loại điều kiện biên này tuy không đƣợc hiểu
theo nghĩa thông thƣờng nhƣ các loại điều kiện biên khác, nhƣng do ý nghĩa
quan trọng của nó, đề tài sẽ cập đến loại điều kiện biên này ở một chƣơng
riêng. Chƣơng ba sẽ nêu các định nghĩa xác định biên trong miền, cũng nhƣ
một số bài toán mẫu có lời giải để kiểm chứng.
Chƣơng cuối cùng sẽ đƣa ra một vài bài toán mẫu có lời giải giải tích
hoặc số liệu thực đo do các phòng thí nghiệm của châu Âu đề xuất. Chƣơng
này cũng đƣa một vài bài toán thực tiễn mà nhóm của tác giả đã thực hiện

trong thời gian vừa qua. Kết quả số sẽ đƣợc so sánh với kết quả mẫu nhằm
chứng minh các vấn đề mà luận văn đặt ra. Tuy kết quả số chỉ là các giá trị
trung bình và đôi chỗ còn khác so với kết quả thực đo, nhƣng nhìn tổng thể
các kết quả đó đạt các tiêu chuẩn cho phƣơng pháp số.
Bản thân lý thuyết về điều kiện biên của hệ phƣơng trình Saint-Venant
2D đã đƣợc phát triển bởi rất nhiều thế hệ khoa học. Do vậy, đề tài chỉ nhằm
mục tiêu nêu lại các lý thuyết và cách áp dụng chúng vào thực tiễn sao cho
đảm bảo tính chặt chẽ và hiệu quả đáp ứng đƣợc các bài toán thực tế đặt ra.









7





Chƣơng 1 – GIỚI THIỆU CHUNG.

Kỹ thuật xử lý điều kiện biên cho phƣơng trình Saint Venant đã đƣợc
nhiều thế hệ các nhà khoa học cả chuyên ngành toán học lẫn cơ học quan tâm
từ lâu. Trong nƣớc có PGS.TS Trần Gia Lịch, GS.TSKH Nguyễn Kim Đan,
PGS.TS Hoàng Văn Lai đã nghiên cứu và có nhiều bài báo đăng trên các tạp
chí uy tín về vấn đề này. Ở nƣớc ngoài cũng có rất nhiều nhà khoa học đã

nghiên cứu và hoàn thiện kỹ thuật xử lý điều kiện biên cho các bài toán thuỷ
lực học. Sau đây là sơ lƣợc tình hình nghiên cứu của các tác giả trong nƣớc.
GS Nguyễn Kim Đan hiện đang công tác tại đại học tổng hợp Caen
nghiên cứu chuyên sâu về các phƣơng pháp số giải hệ phƣơng trình Saint-
Venant 2D và kỹ thuật xử lý biên khô ƣớt. Các kỹ thuật đó rất quan trọng
trong các bài toán vỡ đê, vỡ đập, lan truyền lũ v.v. Giáo sƣ là ngƣời hƣớng
dẫn nhiều nghiên cứu sinh và cán bộ Việt nam về vấn đề này. Phƣơng pháp và
phần mềm của giáo sƣ viết hiện đang đƣợc ứng dụng tại Việt nam.
PGS.TS Hoàng Văn Lai cũng nghiên cứu về kỹ thuật xử lý biên gián
đoạn. Kết quả tính toán số bằng chƣơng trình do PGS Hoàng Văn Lai xây
dựng đã vƣợt qua các bài toán mẫu do các phòng thí nghiệm thuỷ lực châu Âu
đƣa ra.
GS.TS Trần Gia Lịch và TS Lê Kim Luật đã viết một bài báo về điều
kiện biên, hai ngƣời đã chứng minh rằng để tồn tại duy nhất nghiệm trong bài
toán tuyến tính hoá, các điều kiện biên phải thoả mãn một vài bất đẳng thức


8
liên hệ. Bài báo có ý làm chặt chẽ theo nghĩa toán học phƣơng pháp tuyến
tính hoá. Tuy nhiên, bài báo đƣa ra một vài luận đề toán học làm cơ sở mà
không chứng minh.
Trong các bài toán thực tế về quá trình lan truyền lũ, việc tìm các giá trị
của các đại lƣợng trên biên là rất quan trọng. Vì vậy ngƣời ta đã xây dựng
một số phần mềm tính các giá trị của các đại lƣợng đó từ lƣợng mƣa trên lƣu
vực. Quá trình hình thành dòng chảy từ lƣợng mƣa rơi trên lƣu vực là quá
trình phức tạp, phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố: độ dốc, độ che phủ của lƣu
vực, thành phần cấu tạo của đất, lƣợng bốc hơi….Mô hình mƣa rào dòng chảy
đƣợc xây dựng dựa trên cơ sở giả thiết chấp nhận một số thông số đặc trƣng
cho từng lƣu vực. Các thông số này sẽ đƣợc lựa chọn bằng thuật toán tối ƣu
hoá dựa trên các số liệu thực đo ngay trƣớc thời điểm cần tính toán. Mô hình

thuỷ văn mƣa rào dòng chảy đƣợc xây dựng dƣới sự chỉ đạo của GS.TS.
Trịnh Quang Hoà đã có khả năng tính toán dòng chảy sinh ra do mƣa trên các
lƣu vực. Trong khi xây dựng mô hình thuỷ văn mƣa rào dòng chảy chúng ta
phải chấp nhận nhiều thông số thực nghiệm cho từng lƣu vực. Vì quá trình
hình thành dòng chảy trên lƣu vực phụ thuộc rất nhiều vào các yếu tố của lƣu
vực: địa hình, độ che phủ, cấu tạo đất….Do vậy, việc xác định các thông số
đặc trƣng của lƣu vực cho mô hình thuỷ văn mƣa rào dòng chảy là rất khó
khăn và cho độ chính xác không cao. Với mục đích mô phỏng chính xác hơn
quá trình hình thành dòng chảy trên lƣu vực, trong thời gian gần đây nhiều
nhà thuỷ văn, thuỷ lực đã cố gắng xây dựng các mô hình thuỷ văn sử dụng
các thành tựu mới nhất của lĩnh vực thông tin địa lý (GIS). Một trong các mô
hình loại này là mô hình MARINE (Modelisation de l’Anticipation du
Ruissellement et des Inondations pour des événements) do Viện Cơ học chất
lỏng Toulouse (IMFT – Institut de Mecanique de Fluides de Toulouse) phát
triển. Trong khuôn khổ của đề tài nghiên cứu khoa học công nghệ KC.08-13


9
với sự hỗ trợ của Dự án FLOCODS, Viện Cơ học đã hợp tác với Viện Cơ học
chất lỏng Toulouse trong việc ứng dụng thử nghiệm mô hình MARINE cho
lƣu vực sông Đà. Kết quả của việc hợp tác này là Viện Cơ học đƣợc sử dụng
có bản quyền mã nguồn gốc bộ chƣơng trình của mô hình MARINE.
Trong thời gian làm luận văn, dƣới sự hƣớng dẫn của PGS.TS Hoàng
Văn Lai, tác giả đã sƣu tầm và nghiên cứu các tài liệu có liên quan tới luận
văn. Tác giả đã chọn lọc, trích dẫn từ các nguồn tài liệu đó, lấy đó làm chất
liệu để viết cuốn luận văn này. Tác giả cũng sử dụng các phần mềm nhƣ
TELEMAC 2D, VO_DAP 2D làm công cụ để chạy các bài toán mẫu, lấy kết
quả từ các chƣơng trình đó làm luận chứng cho luận văn.

10







Chƣơng 2 - CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN.

2.1 Hệ phƣơng trình Saint Venant.
Hệ phƣơng trình Saint Venant (đƣợc xây dựng năm1871) là các phƣơng
trình quan trọng trong nghiên cứu hải dƣơng và thuỷ đông lực sông ngòi. Các

phƣơng trình này thu đƣợc từ hệ phƣơng trình Navier-Stocke bằng cách sử
dụng một số giả thiết đơn giản hoá. Một trong các giả thiết cơ bản đƣợc sử
dụng là độ sâu cột nƣớc nhỏ hơn rất nhiều so với chiều ngang của miền. Sau
đây là một vài dạng của hệ phƣơng trình Saint Venant.
a/ Hệ phƣơng trình Saint-Venant một chiều:
- Hệ phƣơng trình Saint-Venant một chiều theo biến h,u


























x
Z
g
hk
uug
x
h
g
x
u
u
t
u
x
uh
t
h
day
.
.


0
).(
3/42
(2.1.1)
Trong các phƣơng trình trên:
h - giá trị mực nƣớc.
u - vận tốc (trung bình) theo hƣớng x.

g- gia tốc trọng trƣờng.
k- hệ số Stricler trong lực cản đáy.


11
- Hệ phƣơng trình Saint-Venant một chiều theo biến Q, A:

































x
Z
gA
RA
QQ
gA
x
h
gA
A
Q
xt
Q
x
Q
t
A
day
c
3/42
2
.

0

(2.1.2)
trong đó:

c
A
_ diện tích mặt cắt (kể cả vùng chứa).

A
_ diện tích cắt của dòng chảy.

R
_ bán kính thuỷ lực.
Hệ phƣơng trình Saint Venant 1D đã đƣợc ứng dụng rất nhiều trong việc
nghiên cứu và tính toán quá trình lan truyền lũ trong các hệ thống sông.
b/ Hệ phƣơng trình Saint Venant hai chiều:
_ Hệ phƣơng trình Saint Venant hai chiều theo các biên h,u,v





























))( (.
1)(
)(.
))( (.
1)(
)(.
0)(.)(.
3/42
2/122
3/42
2/122
vgradhdiv
h
hk

vugv
y
Z
ggradu
t
v
ugradhdiv
h
hk
vugu
x
Z
gugradu
t
u
udivhhgradu
t
h
e
y
e
x





(2.1.3)
Phƣơng trình đầu mô tả định luật bảo toàn khối lƣợng. Các phƣơng trình
thứ hai và thứ ba mô tả định luật biến thiên động lƣợng. Trong các phƣơng

trình trên:
h - giá trị mực nƣớc.
u - vận tốc trung bình theo chiều sâu theo hƣớng x.
v - vận tốc trung bình theo chiều sâu theo hƣớng y.
g- gia tốc trọng trƣờng.


12
k
x
- hệ số Stricler trong lực cản đáy theo hƣớng x.
k
y
- hệ số Stricler trong lực cản đáy theo hƣớng y.

e

- hệ số khuyếch tán bao gồm khuyếch tán phân tử kết hợp
khuyếch tán rối.
_ Hệ phƣơng trình Saint Venant hai chiều theo các biến h, q
x
, q
y
với
q
x
=h.u , q
y
=h.v :






























































)()()()

2
(
)()()()
2
(
0
2
2
2
2
y
q
yx
q
x
fqqF
y
Z
gh
h
h
q
yy
q
t
q
y
q
yx
q

x
fqqF
x
Z
gh
y
q
h
h
q
xt
q
y
q
x
q
t
h
y
e
y
exy
y
x
y
x
e
x
eyx
y

xx
y
x


(2.1.4)
Trong đó
e

là hệ số khuyếch tán, f là tham số Coriolis, Z cao trình mặt
thoáng, F(q) là lực ma sát đắy.
Hệ phƣơng trình Saint Venant 2D đã đƣợc ứng dụng rất nhiều trong
nghiên cứu biển, dòng chảy hở nƣớc nông, lũ lụt v.v.

2.2 Số Froude và số điều kiện biên cần thiết cho bài toán một chiều
và hai chiều.
Phƣơng pháp đặc trƣng đƣợc sinh ra từ lý thuyết hình học về các phƣơng
trình vi phân á tuyến tính. Phƣơng pháp cho phép giải thích một số hiện tƣợng
trong cơ học chất lỏng, và đôi khi cho chúng ta lời giải giải tích. Phƣơng pháp
cũng chỉ ra số điều kiện biên cần thiết của bài toán. Vì vậy, các khái niệm đặc
trƣng và bất biến Riemann là các khái niệm căn bản cần hiểu rõ.
2.2.1 Số Froude, số điều kiện biên của bài toán thuỷ lực một chiều.


13
Xét hệ phƣơng trình Saint-Venant 1D, không thành phần khuếch tán,
không thành phần nguồn (không lƣu lƣọng phụ, không ma sát đáy, chảy trên
kênh đáy phẳng) :






















0
0
).(
x
h
g
x
u
u
t
u

x
uh
t
h
(2.2.1)
Thay
h
bằng
g
c
2
trong hệ phƣơng trình (2.2.1), ta thu đƣợc hệ sau

























0.
)2(
.
)2(
0
)2(

x
u
c
x
c
u
t
c
x
c
c
x
u
u
t
u
(2.2.2)

Lấy tổng và hiệu của hai phƣơng trình trên, ta thu đƣợc hệ sau :


















0)2().()2(
0)2().()2(
cu
x
cucu
t
cu
x
cucu
t
(2.2.3)

Cả hai phƣơng trình trên đều có dạng

0. 





x
A
dt
dx
t
A
(2.2.4)
Suy ra
0
dt
dA
trên các đƣờng có phƣơng trình
cu
dt
dx

hay
cu
dt
dx

với

cuA 2
hoặc
cuA 2
. Các giá trị
cuA 2
và
cuA 2
đƣợc gọi là các
bất biến Riemann. Chúng ta có :
0)2(  cu
dt
d
trên các đƣờng

C
có phƣơng trình
cu
dt
dx


0)2(  cu
dt
d
trên các đƣờng

C
có phƣơng trình
cu
dt

dx


Các đƣờng

C
và

C
đƣợc gọi là các đƣờng đặc trƣng. Sự tồn tại các
đƣờng đặc trƣng đã đặt hệ phƣơng trình Saint-Venant 1D vào họ các phƣơng
trình hyperbolic.


14
Ta đƣa các quy ƣớc sau:
_ Đặt hệ toạ độ (0,x,t) sao cho dòng chảy dọc theo chiều dƣơng của trục
0x. Biên vào của miền là đƣờng dọc theo trục 0t, biên ra của miền là đƣờng
vuông góc và cắt trục 0x tại điểm có toạ độ (0,L).






Xét trên biên vào :

Hình 2.1: Một điều kiện biên tại thƣợng lƣu.
Điều kiện biên vào (thƣợng lƣu):
_ Trƣờng hợp 1 (xem hình 2.1):

cu 
Dòng chảy vào miền là dòng êm,
sóng truyền nhanh hơn dòng chảy. Trên đƣờng đặc trƣng

C
ta có

 Chuhu
BBAA
22
trong đó giá trị đặc trƣng

C
đƣợc xác định qua điều
A

C


C

dx/dt=u-c
dx/dt=u+c
x
t
0
L
B

15
kiện đầu tại B hoặc xuất phát từ các giá trị trong miền đã tính. Muốn xác định
trạng thái của điểm A ta cần cho thêm một mối liên hệ
0),( 
AA
huf
. Ta cũng
không thể cho nhiều hơn một quan hệ đƣợc, vì nhƣ vậy sẽ thừa. Thƣờng
ngƣời ta cho quan hệ còn lại là modul lƣu lƣợng
AA
huq .
theo thời gian.


Hình 2.2: Hai điều kiện biên tại thƣợng lƣu.
_ Trƣờng hợp 2 (xem hình 2.2):
cu 
Dòng chảy vào miền là dòng xiết,
sóng truyền chậm hơn dòng chảy. Cả hai đƣờng đặc trƣng đều có hƣớng đi
lên, ta chƣa thể xác định đƣợc các giá trị đặc trƣng của hai đƣờng đặc trƣng
đó. Vì vậy muốn xác định trạng thái điểm tại A ta cần cho hai liên hệ
0),(
1

AA
huf
và
0),(
2


AA
huf
. Trong trƣờng hợp này ngƣời ta cho cả độ sâu
mực nƣớc
A
h
lẫn modul lƣu lƣợng
AA
huq .
theo thời gian.




A

C


dx/dt=u-c
dx/dt=u+c
x
t
0

C

L

16





Xét trên biên ra:

Hình 2.3: Một điều kiện biên tại hạ lƣu.
Điều kiện biên ra (hạ lƣu):
_ Trƣờng hợp 3 (xem hình 2.3):
cu 
Dòng chảy ra khỏi miền là dòng
êm, sóng truyền nhanh hơn dòng chảy. Trên đƣờng đặc trƣng

C
ta có

 Chuhu
BBAA
22
trong đó giá trị đặc trƣng

C
đƣợc xác định qua điều
kiện đầu tại B hoặc từ trong miền. Muốn xác định trạng thái của điểm A ta
cần cho thêm mối liên hệ
0),( 
AA
huf

còn lại. Ta cũng không thể cho nhiều
hơn vì nhƣ vậy sẽ thừa. Thƣờng ở trƣờng hợp này ta cho giá trị giá trị mực
nƣớc
A
h
hoặc độ cao cột nƣớc
A
z
theo thời gian.
A

C


C

dx/dt=u-c
dx/dt=u+c
x
t
0
L
B


17

Hình 2.4: Không cần điều kiện biên tại hạ lƣu.
_ Trƣờng hợp 4 (xem hình 2.4):
cu 

Dòng chảy ra khỏi miền là dòng
xiết, sóng truyền chậm hơn dòng chảy. Trên đƣờng đặc trƣng

C
ta có

 Chuhu
BBAA
22
trong đó giá trị đặc trƣng

C
đƣợc xác định qua điều
kiện đầu tại C hoặc lấy từ trong miền đã tính. Trên đƣờng đặc trƣng

C
ta có

 Chuhu
BBAA
22
trong đó giá trị đặc trƣng

C
đƣợc xác định qua điều
kiện đầu tại B. Do vậy ta đã có đủ hai liên hệ để xác định trạng thái của điểm
A, ta không cần cho thêm một điều kiện rằng buộc nào nữa.
Từ đó ngƣời ta xây dựng khái niệm số Froude để đƣa ra một tiêu chuẩn
xác định số điều kiện biên:

hg
u
c
u
F
.

(2.2.5)
 
 ,0F

Nếu F < 1 : Dòng chảy là êm: Cần cho 1 điều kiện biên ở thƣợng lƣu và
1 điều kiện biên ở hạ lƣu.
A

C


dx/dt=u-c
dx/dt=u+c
x
t
0

C

B
C

18
Nếu F > 1 : Dòng chảy là xiết: Cần cho 2 điều kiện biên ở thƣợng lƣu.
Nhƣ vậy số điều kiện biên cần cho bằng số đƣờng đặc trƣng đi vào miền
tính toán.
Có thể xác định số lƣợng điều kiện biên một cách đơn giản thông qua
công cụ tuyến tính hoá. Viết lại hệ phƣơng trình (2.2.2):























0.

)2(
.
)2(
0
)2(

x
u
c
x
c
u
t
c
x
c
c
x
u
u
t
u

Hệ phƣơng trình này có thể viết lại dƣới dạng ma trận nhƣ sau:

0. 














x
V
uc
cu
t
V

(2.2.6)
Với véctơ









c
u
V

2


Đây là hệ phƣơng trình á tuyến tính (ma trận của hệ phụ thuộc vào
nghiệm cần tìm). Hệ này có thể xấp xỉ bằng một hệ tuyến tính:

0. 













x
V
uc
cu
t
V

(2.2.7)
Trong đó
u

và
c
là các giá trị đã biết của lớp lặp trƣớc. Ma trận này có các
giá trị riêng
cu 
1

và
cu 
2

tƣơng ứng với các véctơ riêng









1
1
1

và











1
1
2

. Điều kiện biên của hệ phƣơng trình tuyến tính trên phụ thuộc vào
dấu của các giá trị riêng của ma trận, và ta cũng thu đƣợc số điều kiện biên
nhƣ đã trình bày ở trên.

2.2.2 Số Froude, số điều kiện biên cần thiết cho bài toán hai chiều
Xét bài toán hai chiều trên một kênh hở, đáy phẳng nhẵn không ma sát,
không có thành phần nguồn phụ, không có thành phần khuyếch tán.


19
Bài toán đƣợc biểu diễn thông qua hệ Saint-Venant 2D













































0
).() (.
0
) ().(.
0
).().(
2
2
y
h
hg
y
hv
x
hvu
t
vh
x
h
hg
y
hvu
x
hu
t
uh

y
hv
x
hu
t
h
(2.2.8)
Để viết hệ phƣơng trình Saint Venant dƣới dạng bảo toàn, ta không dùng
biến vận tốc u và v, mà sử dụng các biến lƣu lƣợng.
q
x
= uh, q
y
= vh
Khi đó hệ phƣơng trình trên đƣợc viết lại nhƣ sau:







































0)
2
(
0)
2
(
0

2
2
2
2
h
h
q
yy
q
t
q
y
q
h
h
q
xt
q
y
q
x
q
t
h
y
x
y
y
xx
y

x
(2.2.9)
Hay dƣới dạng phƣơng trình véctơ :

0)()( 








UG
y
UF
x
U
t

(2.2.10)
Với












y
x
q
q
h
U

,




















h
qq
h
g
h
q
q
UF
yx
x
x
2
)(
2
2

,





















2
)(
2
2
h
g
h
q
h
qq
q
UG
y
yx
y


Để xử lý phƣơng trình véctơ này trên biên, ta biến đổi phƣơng trình từ
tọa độ Đề Các (x,y) có gốc tọa độ (0,0) về tọa độ địa phƣơng (,)có gốc tọa
độ (x
i
, y
i

) là trung điểm của cạnh biên k
i j
, biến  theo hƣớng pháp tuyến


20
ngoài, còn biến  theo hƣớng tiếp tuyến của cạnh. Trong quá trình biến đổi tọa
độ, một hàm f=f(x,y) bất kỳ biến đổi theo công thức sau:









 f
n
f
n
x
f
yx
,









 f
n
f
n
y
f
xy
(2.2.11)
Trong đó (n
x
, n
y
) là vectơ đơn vị của pháp tuyến ngoài
n

của cạnh biên.
Biến đổi phƣơng trình (2.2.10) theo các công thức (2.2.11) ta có:

0
























U
n
U
GU
n
U
GU
n
U
FU
n
U
F
t
U

xyyx









(2.2.12)
Hay :

0
































U
n
U
G
n
U
FU
n
U
G
n
U
F
t
U

xyyx





(2.2.13)
Ta giả thiết rằng trên biên vận tốc dòng chảy vuông góc với biên, khi đó
sự thay đổi theo hƣớng tiếp tuyến  là không đáng kể, khi đó ta có thể xấp xỉ
biểu thức (2.2.13) bằng phƣơng trình sau:

0. 

















U

n
U
G
n
U
F
t
U
yx



(2.2.14)
Các Jacobien








U
F

, và









U
G

đƣợc tính nhƣ sau:














uvuv
uuc
U
F
,,
0,2,
0,1,0
22


,














vuc
uvuv
U
G
2,0,
,,
1,0,0
22

.
Vì vậy phƣơng trình véctơ (2.2.14) đƣợc viết lại nhƣ sau:
0.
2)(
2)(

0
22
22


















U
vnunvnnvcuvn
unvnunuvnnuc
nn
t
U
yxxyx
yyxyx
yx


(2.2.15)


21
Tuyến tính hoá và lập luận tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp một chiều, các giá
trị gạch trên là của lớp lặp trƣớc, ma trận của hệ phƣơng trình












yxxyx
yyxyx
yx
nvnunvnvcnvu
nunvnunvunuc
nn
A
2)(
2)(
0
22

22

có các giá trị riêng
cUcnvnu
nyx

1

,
yxn
nvnuU 
2

,
cUcnvnu
nyx

3


tƣơng ứng với các véctơ riêng













y
x
ncv
ncu .
1
1

,











x
y
nc
nc
0
2

,













y
x
ncv
ncu
1
1

.
Vì dòng đƣợc xét theo hƣờng của pháp tuyến ngoài của đƣờng biên, nên
số giá trị riêng mang dấu âm tƣơng đƣơng với số đƣờng đặc trƣng đi vào
miền tính toán. Vì vậy:
 Nếu
0. 
n
Unu

và
cUnu

n


.
dòng chảy ra ngoài miền là dòng
xiết , ma trận A có 3 giá trị riêng dƣơng, khi đó không cần cho bất
kì điều kiện biên nào.
 Nếu
0. 
n
Unu

và
cUnu
n


.
dòng chảy ra ngoài miền là dòng
êm, ma trận A có 2 giá trị riêng dƣơng, một giá trị riêng âm lúc đó
ta cần cho một điều kiện biên h hoặc Z.
 Nếu
0. 
n
Unu

và
cUnu
n



.
dòng chảy đi vào miền là dòng
êm, ma trận A có một giá trị riêng dƣơng, hai giá trị riêng âm lúc
đó ta cần cho hai điều kiện biên q
x
và q
y
.
 Nếu
0. 
n
Unu

và
cUnu
n


.
dòng chảy đi vào miền là dòng
xiết, ma trận A có 3 giá trị riêng âm lúc đó ta cần cho đầy đủ ba
điều kiện biên q
x
, q
y
và h.
Trong thực tế khi cần cho điều kiện biên ở biên ra, ngƣời ta thƣờng cho
điều kiện biên cao trình mực nƣớc
Z

. Khi cần cho các điều kiện biên ở biên


22
vào, thay vì cho trực tiếp các đại lƣợng
hVU ,,
, ngƣời ta thƣờng cho các giá trị
lƣu lƣợng
Q
.

2.3 Ý nghĩa vật lý của các điều kiện biên trong thuỷ lực học :
Biên cứng có trƣợt : Điều kiện đặt trên biên này là thành phần vận tốc
pháp tuyến
n
U
bằng không, hoặc lƣu lƣợng qua biên bằng không. Với kiểu
điều kiện biên này, thành phần trƣợt theo phƣơng tiếp tuyến với biên khác
không.
Biên cứng có trƣợt, có ma sát theo phƣơng tiếp tuyến: Hệ số ma sát a
đƣợc cho bởi ngƣời sử dụng hoặc đƣợc tính toán bởi mô hình rối. Công thức
điều kiện biên đƣợc cho dƣới dạng Newman :

Ua
n
U
.


và

Va
n
V
.


(2.3.4)
hoặc mạnh hơn :

tUa
n
tU





).(



(2.3.5)
Biên lỏng : Xuất phát từ lý thuyết đặc trƣng ta có 4 kiểu điều kiện biên
phân biệt sau:
 Dòng vào là dòng xiết, ta phải cho đủ các thành phần vận tốc U,V
và thành phần độ sâu mực nƣớc h.
 Dòng vào là dòng êm, ta cho các thành phần vận tốc hoặc giá trị
lƣu lƣợng, còn thành phần độ sâu mực nƣớc để tự do.
 Dòng ra là dòng xiết, ta để tự do tất cả các thành phần.
 Dòng ra là dòng êm, ta cho thành phần mực nƣớc, còn các thành

phần vận tốc để tự do.
Biên sóng: Biên sóng là một sóng dạng hình sin đi vào hoặc đi ra qua
biên mở. Dạng điều kiện biên này thƣờng dùng trong các bài toán nghiên cứu


23
thuỷ triều trên biển. Đối với một sóng có tần số

, biểu thức của biên sẽ là
nhƣ sau :

SnkgZgnUc
n
ˆ
) 1.(





(2.3.6)
hay

SnkgZgUc
n
n
ˆ
) 1.(




(2.3.7)
ở đó
*
c
: vận tốc sóng.
*
n

: véctơ pháp tuyến vuông góc với biên, hƣớng ra ngoài vùng
tính toán.
*
n
Z
: cao trình mực nƣớc nhận đƣợc từ bƣớc tính toán trƣớc.
*
k

: véctơ sóng đơn vị.
*
))(.cos().(
ˆ
MtMAS


: tín hiệu sóng đồng dạng với h.
Khi sử dụng biên sóng ngƣời làm thuỷ lực không cần biết trƣớc quá trình
mực nƣớc tại biên miền tính toán. Mực nƣớc đƣợc xác định thông qua biên
độ, tần số và pha của quá trình triều .
Biên tự do : Biên tự do thƣờng áp dụng cho các bài toán lan truyền

sóng vỡ đập, khi mà ta không thể cho ngay bất kì quá trình mực nào tại các
biên của miền tính. Đối với những bài toán dạng này, ngƣời ta quan tâm tới
những hiện tƣợng xảy ra trong nội miền hơn những gì xảy ra ở trên biên của
miền. Kết quả của bài toán còn rất tốt cho tới khi sóng vỡ đập lan truyền tới
biên. Vì vậy ngƣời làm thuỷ lực khôn khéo sẽ chỉ lấy các kết quả trƣớc khi
sóng gián đoạn tiếp cận biên. Biểu thức trên biên tự do là nhƣ sau:
0


n
u
;
0


n
v
(2.3.8)