hệ động lực ngẫu nhiên ẩn rời rạc và áp dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





VŨ TIẾN VIỆT





HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN ẨN RỜI RẠC
VÀ ÁP DỤNG





LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2013




ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




VŨ TIẾN VIỆT




HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN ẨN RỜI RẠC
VÀ ÁP DỤNG



Chuyên ngành:
Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học

Mã số: 62 46 15 01



LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC




Tập thể hướng dẫn khoa học:
1. GS-TS Nguyễn Hữu Dư
2. TS Nguyễn Hồng Hải







Hà Nội - 2013

LỜI CAM ĐOAN




Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Nguyễn
Hữu Dư và TS. Nguyễn Hồng Hải.
Các số liệu, kết quả nêu trong Luận án là trung thực và chưa từng được
ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.




Tác giả



Vũ Tiến Việt

LỜI CẢM ƠN


Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới GS-TS Nguyễn Hữu Dư và
NCVCC-TS Nguyễn Hồng Hải. Các thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi
vượt qua nhiều khó khăn trong học tập, nghiên cứu khoa học cũng như trong
cuộc sống.
Tôi xin trân trọng cảm ơn toàn thể các Thầy, Cô và cán bộ trong Khoa
Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia
Hà Nội. Những người đã dạy dỗ, giúp đỡ tôi trong suốt nhiều năm qua, từ khi
tôi là một học sinh A0, đến khi là sinh viên đại học, sau là một học viên cao
học rồi là một nghiên cứu sinh.
Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã động
viên giúp đỡ tôi trong cuộc sống để tôi có thể hoàn thành luận án này.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn riêng GS-TSKH Nguyễn Duy Tiến và
GS-TS Nguyễn Quý Hỷ đã động viên và tạo những điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án này.




Tác giả

Vũ Tiến Việt
Mục lục
Danh mục các ký hiệu sử dụng trong luận án iii
Mở đầu 1
Chu
.
o
.
ng 1 Một số kiến thức chuẩn bị 11
1.1 Một số kiến thức đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Chỉ số của ma trận và của chùm hai ma trận . . . . 11
1.1.2 Khai triển Jordan và khai triển Kronecker . . . . . 12
1.1.3 Một vài tính chất của bộ ba các ma trận . . . . . . 13
1.1.4 Nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose của một ma trận 16
1.2 Số mũ Lyapunov và Định lý ergodic nhân tính (MET) . . 18
1.2.1 Số mũ Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Định lý ergodic nhân tính (MET) . . . . . . . . . . 19
Chu
.
o
.
ng 2 Đồng chu trình suy biến với chỉ số 1 và số mũ
Lyapunov 22
2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Tính giải được của phương trình sai phân ẩn chỉ số 1 . . . 23
2.2.1 Phương trình sai phân ẩn thuần nhất với hệ số hằng 23
2.2.2 Phương trình sai phân không Autonom có chỉ số 1 . 24
2.2.3 Phép chiếu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.4 Toán tử Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Phương trình sai phân ẩn với hệ số ngẫu nhiên . . . . . . . 30
i
2.3.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình (2.3.1) với n ≥ 0 30
2.3.2 Nghiệm của phương trình sai phân ẩn lùi . . . . . . 33
2.4 Tính chất động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Số mũ Lyapunov và Định lý ergodic nhân tính . . . . . . . 38
2.6 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Chu
.
o
.
ng 3 Phương trình sai phân ẩn chỉ số 2 50
3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Phương trình sai phân ẩn với chỉ số 2 mềm . . . . . . . . . 51
3.3 Tính giải được của phương trình sai phân ngẫu nhiên ẩn
tuyến tính chỉ số 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Định lý ergodic nhân tính đối với phương trình sai phân
ngẫu nhiên ẩn tuyến tính chỉ số 2 . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.1 Nghiệm của bài toán Cauchy với phương trình tiến 68
3.4.2 Nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình lùi . 69
3.4.3 Tính chất đồng chu trình của nghiệm . . . . . . . . 71
3.4.4 Định lý ergodic nhân tính . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5 Các ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.6 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Áp dụng 83
Kết luận và các hướng nghiên cứu tiếp theo 91
Các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 93
Tài liệu tham khảo 94
ii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN
(A, B) : cặp ma trận
(A, A, B) : bộ ba ma trận
det A : định thức của ma trận A
dim W , dim(W ) : số chiều của không gian W
GL(R
d
): nhóm các ma trận khả nghịch cấp d × d
I
k
, I : ma trận đơn vị kích thước k × k, d × d
im A : ảnh của ma trận A
ker A : nhân của ma trận A
ind A : chỉ số của ma trận A
ind(A, B) : chỉ số của cặp ma trận (A, B)
J
f
: không gian các điều kiện ban đầu cho bài toán với n > 0
J
b
: không gian các điều kiện ban đầu cho bài toán với n < 0
M
†
: Nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose của ma trận M
N
n
: nhân của toán tử tuyến tính A
n
N
1,n

: nhân của toán tử tuyến tính ker G
n
N : tập hợp số tự nhiên
N
0
= N ∪ {0} : tập hợp các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 0
N
k
: tập hợp các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng k
Z : tập hợp số nguyên
R, C : trường số thực, trường số phức
R
d
, (C
d
) : không gian véctơ thực (phức) d chiều
Re(z): phần thực của số phức z
R
r×s
, (C
r×s
) : không gian các ma trận thực (phức) kích thước r × s
O
r×s
, O
k
, O : ma trận không kích thước r × s, k × k, d × d
iii

P : phép chiếu chính tắc từ R

d
lên R
r
song
song với R
d−r

Q : phép chiếu chính tắc từ R
d
lên R
d−r
song
song với R
r
Q
n
: phép chiếu từ R
d
lên N
n
Q
1,n
: toán tử chiếu lên ker G
n
rankA : hạng của A
S
n
: không gian chứa nghiệm của phương trình sai phân
chỉ số 1: A
n

x
n+1
= B
n
x
n
+ q
n
= {ξ | B
n
ξ ∈ im A
n
}
S
1,n
: không gian chứa nghiệm của phương trình chỉ số 2
= {z ∈ R
d
, : B
n
P
n−1
z ∈ im G
n
}
X

: ma trận (véctơ) chuyển vị của ma trận (vector) X
Φ(
n, m

)
: Ma trận Cauchy của phương trình sai phân ẩn
λ[f]: số mũ Lyapunov của hàm f
λ[x]: số mũ Lyapunov của nghiệm xuất phát từ X(t, x)
0 : véctơ không trong không gian tương ứng đang xét.

: tổng trực tiếp.
span(S) : Bao tuyến tính của tập hợp S gồm các véctơ.
Các chữ viết tắt:
h.c.c: Hầu chắc chắn
h.k.n: Hầu khắp nơi
i.i.d: Độc lập, cùng phân phối
PTSPÂTT: Phương trình sai phân ẩn tuyến tính
SVD: Khai triển theo giá trị kì dị
iv
Mở đầu
Phương trình sai phân là công cụ mạnh để mô tả sự phát triển của
hệ đang nghiên cứu được quan sát trên những khoảng thời gian cách đều
nhau và giá trị tại thời điểm thứ n được biểu diễn truy hồi qua các giá
trị trong quá khứ trước n. Vì thế, lý thuyết phương trình sai phân là đối
tượng được nhiều nhà nghiên cứu và ứng dụng quan tâm vì nó xuất hiện ở
nhiều lĩnh vực khác nhau trong toán học cũng như trong ứng dụng thực tế
và các khoa học khác, chẳng hạn trong giải tích số, lý thuyết điều khiển,
lý thuyết trò chơi, lý thuyết số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp, khoa
học máy tính, lý thuyết mạch, lý thuyết lượng tử, di truyền học, kinh tế
học, tâm lý học và xã hội học. Thí dụ, xét quá trình phát triển của quần
thể có cấu trúc tuổi trong một hệ sinh thái nào đó. Nếu gọi x
n+1
là véctơ
cấu trúc của quần thể tại thời điểm năm n + 1 (tức số lượng cá thể ở từng

lứa tuổi của quần thể tại năm n + 1) thì x
n+1
là một hàm của véctơ cấu
trúc quần thể x
n
tại thời điểm năm trước đó. Sự liên hệ này được mô tả
bởi hệ thức x
n+1
= f(x
n
, n), n ∈ N
0
. Trong trường hợp mối liên hệ này là
tuyến tính thì phương trình có dạng
x
n+1
= A
n
x
n
, n ∈ N
0
, (0.0.1)
với A
n
là ma trận Leslie có dạng
A
n
=









f
0
f
1
. . . f
d−2
f
d−1
s
0
0 . . . 0 0
0 s
1
. . . 0 0
. . .
0 0 . . . s
d−2
0









,
1
trong đó d là tuổi cao nhất đạt được của quần thể; f
i
là tỷ lệ sinh cá thể mới
của một cá thể có tuổi i; s
i
là tỷ lệ sống sót của tuổi i với i = 1, 2, . . . , d − 1
(xem [33]).
Phương trình sai phân cũng được gặp khi áp dụng phương pháp sai
phân hữu hạn, phương pháp Euler hiện để tìm nghiệm xấp xỉ bằng số của
phương trình đạo hàm riêng hoặc phương trình vi phân khi ta không thể
tìm được nghiệm giải tích của hệ
dx
dt
= f(x(t), t), t ∈ [0, T].
Dạng tổng quát của phương trình sai phân được cho như sau
F (x
n+1
, x
n
, x
n−1
, . . . , x
n−k
, n) = 0, n ∈ N
k

, (0.0.2)
trong đó F là một hàm nào đó. Trong trường hợp k hữu hạn, phương trình
sai phân (0.0.2) được gọi là phương trình sai phân cấp k + 1. Một trường
hợp đặc biệt (dạng tường minh) nhưng quan trọng của phương trình sai
phân (0.0.2) là
x
n+1
= f(x
n
, x
n−1
, x
n−2
, . . . , x
n−k
, n), n ∈ N
k
, (0.0.3)
trong đó f là một hàm nào đó. Nghiệm của phương trình sai phân (0.0.3)
có thể tính dễ dàng nhờ phương pháp truy hồi, tức tính lần lượt với n =
1, 2, 3, . . .
Các kết quả về phương trình sai phân liên quan đến các bài toán giải
nghiệm, tính ổn định, điều khiển được, điều khiển tối ưu, số mũ Lia-
punov. cùng các ứng dụng là rất phong phú và được trình bày rất nhiều
trong các sách cũng như tạp chí (xem các tài liệu [6, 7, 26, 36, 27, 28, . . . ]).
Đối với phương trình (0.0.2), nếu ta có thể giải số hạng có chỉ số cao
nhất x
n+1
như là một hàm của các biến còn lại (ít nhất là về mặt địa
phương) thì phương trình (0.0.2) có thể chuyển về phương trình (0.0.3) và

ta dễ dàng giải được nghiệm của nó. Trong trường hợp 1 chiều (tức x
n
lấy
2
giá trị vô hướng) thì theo định lý hàm ẩn, điều kiện đủ để giải được như vậy
là
∂F
∂x
n+1
= 0. Trong trường hợp tổng quát hơn ta giả thiết ker
∂F
∂x
n+1
= {0}.
Tuy nhiên tình hình sẽ trở nên phức tạp nếu ker
∂F
∂x
n+1
= {0}. Khi đó
chúng ta có thể không thể giải được x
n+1
từ phương trình (0.0.2) theo các
biến còn lại để nhận được phương trình sai phân dạng tường minh (0.0.3).
Tương tự nếu trong phương trình (0.0.1), ta xét phương trình lùi, tức là
n = 0, −1, −2, . . ., và ta cũng không thể giải số hạng có chỉ số thấp theo
số hạng cao hơn nếu A
n
là các ma trận suy biến.
Trong trường hợp này, chúng ta đang tiếp cận với cái gọi là phương
trình sai phân ẩn, ở đó có thể xẩy ra một số thành phần của số hạng có chỉ

số cao nhất không giải được hoàn toàn theo các thành phần còn lại. Vì thế
ta không thể ngay lập tức dùng phương pháp truy hồi để giải nghiệm cũng
như xét các tính chất của nghiệm. Như vậy, để nghiên cứu phương trình
(0.0.2), ta cần tiếp cận theo phương pháp mới. Phương trình sai phân ẩn
cũng còn được gọi với nhiều tên khác nhau như là phương trình sai phân
kỳ dị (xem [8, 31]) hoặc hệ mô tả (descriptor) (xem [39]). Phương trình
sai phân ẩn thường xuất hiện trong lý thuyết xác suất, các bài toán sắp
hàng, trong nghiên cứu mạch điện, trong các bài toán thống kê, trong kinh
tế, xã hội (chẳng hạn như mô hình kinh tế Leontief, mô hình phát triển
dân số Leslie), bài toán điều khiển tối ưu hệ suy biến rời rạc, v.v. (xem
[20, 21, 23]).
Nghiên cứu phương trình sai phân ẩn thực chất là nghiên cứu bài toán
đặt không chỉnh (ill-posed problems). Vì thế để nghiên cứu được các tính
chất định tính và định lượng của hệ đòi hỏi chúng ta có các cách tiếp cận
đặc biệt và đưa vào các giả thiết lên các hệ số của phương trình.
Dạng đơn giản nhất của phương trình sai phân ẩn là phương trình sai
phân ẩn tuyến tính (PTSPÂTT)
A
n
x
n+1
= B
n
x
n
+ q
n
, n ∈ N, (0.0.4)
3
trong đó A

n
và B
n
là các hàm ma trận cấp d × d với giả thiết A
n
suy biến.
Phương trình sai phân ẩn (0.0.4) có thể xem là sự tuyến tính hóa của hệ
(0.0.2). Nó cũng có thể xem là là kết quả thu được khi ta sai phân hóa
phương trình sai phân đại số tuyến tính
A(t) ˙x(t) = B(t)x(t) + q(t) t ∈ [0, T],
là đối tượng được quan tâm nghiên cứu rất nhiều trong những năm gần
đây (xem [20, 21, 38, . . .]).
Trường hợp các ma trận hệ số A
n
và B
n
là các ma trận hằng, phương
trình autonom (0.0.4) sẽ trở thành
Ax
n+1
= Bx
n
+ q
n
,
trong đó A ∈ C
d×d
suy biến, đã được nghiên cứu tương đối đầy đủ và
được tổng kết trong [20, 21, 23]. Theo [20, 21], bài toán giá trị ban đầu cho
phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (tức là q

n
= 0) có nghiệm duy
nhất khi và chỉ khi cặp ma trận A, B chính quy, tức đa thức det(λA + B)
không đồng nhất bằng 0. Với giả thiết này ta có thể sử dụng khai triển
Kronecker để dễ dàng tách được một số thành phần của nghiệm ra để xây
dựng được một phương trình sai phân tuyến tính thông thường; các thành
phần còn lại liên hệ với nhau bằng một biểu thức đại số. Nhờ mối ràng
buộc đại số này, chúng ta có thể giải các biến còn lại theo các biến có
liên hệ với phần sai phân thường. Tiếp đến sử dụng phương trình sai phân
thường ta giải được các biến còn lại.
Tuy nhiên dễ thấy là phương pháp này không thể thực hiện được nếu
A
n
hoặc B
n
biến thiên theo thời gian vì khi đó nếu sử dụng khai triển
Kronecker, nhân của các ma trận bị biến thiên theo thời gian và vì vậy các
thành phần sai phân thường cũng sẽ thay đổi nên không thể tiếp tục lập
luận được như trên. Để khắc phục điều đó, Bondarenko và các cộng sự,
trong [16, 17, 18], đã xét một lớp đặc biệt của phương trình sai phân ẩn
4
có dạng
T
n
x
n+1
+ x
n
= f
n

,
trong đó T
n
là ma trận suy biến và đã thiết lập tính giải được của PTSPÂTT
và bài toán giá trị biên tuần hoàn cho một lớp đặc biệt PTSPÂTT.
Đối với trường hợp hệ không autonom tổng quát, nhóm nghiên cứu của
chúng tôi tìm cách tiếp cận khái niệm chỉ số của phương trình sai phân
ẩn (một khái niệm đã được đưa ra trong phương trình vi phân đại số bởi
M¨arz [29]). Khái niệm chỉ số ở đây thể hiện độ suy biến của ma trận hệ
số của phương trình. Nói một cách hình tượng, nó là “khoảng cách” giữa
phương trình sai phân ẩn và phương trình sai phân thường. Nhờ khái niệm
chỉ số ta có thể tách phương trình sai phân ẩn thành một hệ gồm một
phương trình sai phân thường và một ràng buộc đại số. Cách tiếp cận mới
này đã thu được một số kết quả tốt cho phương trình sai phân ẩn tuyến
tính không dừng. Cách tiếp cận này cũng được giới kĩ thuật quan tâm
khi CSA’s Internet Database Service đưa công trình [34] vào CSA Civil
Engineering Abstracts.
Khái niệm về chỉ số 1 của PTSPÂTT với hệ số biến thiên theo thời gian
(0.0.4) được đưa vào lần đầu bởi GS Phạm Kỳ Anh và được TS Lê Công
Lợi trình bày trong luận văn Thạc sỹ của mình. Trong luận văn này, tác
giả [TS. Lê Công Lợi] đã đưa ra giả thiết khá nặng là các không gian hạch
ker A
n
của toán tử A
n
là bất biến theo n. Sau đó, trường hợp ker A
n
biến
thiên theo n được nghiên cứu lần đầu tiên trong bằng cách sử dụng khai
triển kỳ dị của các ma trận [12, 34]. Tính giải được của hệ cũng như bài

toán biên nhiều điểm đã được nghiên cứu trong [7, 9, 10, 8, 11, 4, 34].
Muộn hơn, khái niệm về chỉ số cũng được mở rộng cho phương trình
sai phân ẩn phi tuyến dạng f
n
(x
n+1
, x
n
) = 0 (xem, chẳng hạn, trong [11]).
Hơn nữa, khái niệm về nửa chỉ số và chỉ số lạ cũng được nêu trong các
công trình [13, 2, 4, 34] để nghiên cứu tính giải được của hệ.
Các phương pháp trình bày ở các công trình trên dựa chủ yếu vào khai
5
triển kỳ dị của các ma trận A
n
. Đây là phương pháp dễ hiểu nhưng hơi
cồng kềnh trong cách trình bày và khó áp dụng cho chỉ số cao hơn. Một
trong những mục tiêu của luận án này là trình bày lại khái niệm chỉ số 1
một cách có hệ thống trong bài báo [I] nhờ nghiên cứu các phép chiếu lên
các không gian hạch và phép đẳng cấu tuyến tính giữa các ker A
n
. Cách
trình bày như vậy cho phép chúng ta có cách nhìn tổng quát hơn tiến trình
phát triển của nghiệm và cho phép chúng ta có thể định nghĩa chỉ số cao
hơn cho hệ phương trình sai phân ẩn cũng như nghiên cứu tính giải được
của nó.
Ngoài bài toán về tính giải được theo điều kiện ban đầu của phương
trình có chỉ số 1, nhiều bài toán khác đối với phương trình sai phân ẩn với
chỉ số 1 cũng được quan tâm. Ta có thể kể ra ở đây lý thuyết Floquet, lúc
đầu được thiết lập cho phương trình vi phân tuyến tính (xem [22, 25]), sau

đó được xây dựng cho phương trình sai phân tuyến tính (xem [6, 41]), và
phương trình vi phân đại số (xem [32]), được mở rộng cho phương trình
sai phân tuyến tính ẩn (trong [11, 12]). Từ đó khảo sát được tính ổn định
nghiệm của phương trình sai phân ẩn chỉ số 1 tuyến tính, tựa tuyến tính
cũng như phi tuyến, đặc biệt là cho lớp các phương trình tuần hoàn. Cùng
với việc nghiên cứu lý thuyết Floquet, trong [7], các tác giả đã nghiên cứu
mối quan hệ giữa phương trình vi phân đại số và phương trình sai phân
đại số có chỉ số 1. Các bài toán điều khiển cho hệ có các hệ số hằng đã
được Campbell ([20, 21]), và Dai ([23]) xem xét.
Bài toán về tính ổn định của pương trình sai phân ẩn cũng được quan
tâm. Trong [8], các tác giả đã đưa ra các khái niệm ổn định, P− ổn định
và sử dụng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của
nghiệm tầm thường của phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn có chỉ
số 1. Tuy nhiên đáng tiếc là lý thuyết số mũ Lyapunov, một trong những
công cụ mạnh để nghiên cứu tính ổn định của các hệ tuyến tính, lại chưa
được đề cập đến trong lý thuyết phương trình sai phân ẩn.
6
Công thức tính bán kính ổn định nghiệm của hệ phương trình sai phân
tuyến tính ẩn chỉ số 1 với hệ số hằng có nhiễu cũng đã được đưa ra trong
[24]. Đối với hệ không autonom, công thức tính bán kính ổn định trong l
p
đã được thiết lập trong [30].
Tuy nhiên cho đến nay hầu hết các công trình nghiên cứu sai phân ẩn
chỉ xét các hệ số là những hàm tất định. Điều này rõ ràng không phải lúc
nào cũng phù hợp với việc mô tả các bài toán thực tế vì sự hoạt động của
hệ thông thường chịu nhiều tác động của các yếu tố ngẫu nhiên. Vì thế
trong khi sử dụng phương trình sai phân để mô tả hệ thì các yếu tố ngẫu
nhiên này phải được chú ý đến.
Mục đích của luận án này là nghiên cứu một lớp phương trình sai phân
ẩn tuyến tính thuần nhất chịu nhiễu ngẫu nhiên khi các ma trận A

n
và B
n
trong phương trình (0.0.4) là các quá trình dừng. Các nhiễu ngẫu nhiên
tác động vào hệ dưới dạng nhiễu ồn thực (real noise), tức là các nhiễu
là một quá trình dừng. Khái niệm "ồn thực" được đưa ra đầu tiên bởi
V. I. Oseledets vào năm 1968 trong bài báo rất nổi tiếng [36]. Sau đó đã
được nhóm nghiên cứu của GS Arnold về Hệ động lực ngẫu nhiên (Random
Dynamical Systems) ở Bremen (Đức) đã đề cập nhiều (xem [14]). Các công
trình của nhóm nghiên cứu của nhóm GS Arnold đề cập nhiều đến số mũ
Lyapunov và phân hoạch Oseledets của hệ (0.0.4) khi A
n
là ma trận đồng
nhất. Tuy nhiên, trong các kết quả này, các tác giả đều phải giả thiết là
các ma trận B
n
không suy biến với xác suất 1. Đây là một giả thiết khá
nặng đặt lên các hệ số, nhất là khi chúng ta muốn xét bài toán tổng quát
với A
n
không nhất thiết là ma trận đồng nhất.
Vào năm 1983, H. Furstenberg and Y. Kifer trong bài báo [28] đã đặt
thêm giả thiết B
n
là dãy độc lập, cùng phân phối khi A
n
là các ma trận
đồng nhất. Với giả thiết này, các tác giả đã chứng minh được là, thay cho
lọc ngẫu nhiên (tức các không gian con ngẫu nhiên), chúng ta có thể sử
dụng các không gian không ngẫu nhiên để tạo thành một lọc (sau này ta

7
hay gọi là lọc Furstenberg - Kifer). Tuy vậy tác giả vẫn phải giữ giả thiết
B
n
không suy biến với xác suất 1.
Trong luận án này, chúng tôi muốn nghiên cứu số mũ Lyapunov của hệ
(0.0.4) với giả thiết là các ma trận A
n
và B
n
không nhất thiết khả nghịch
và cũng mong muốn nhận được các kết quả tương tự. Việc giải phóng giả
thiết về tính khả nghịch của các hệ số đòi hỏi chúng ta phải có cách tiếp
cận mới. Khái niệm chỉ số sẽ là công cụ tốt để giúp cho chúng ta giải quyết
bài toán này. Khó khăn chính ở đây là ngay cả khi ta giả thiết (A
n
, B
n
)
là các dãy độc lập thì các phương trình dẫn xuất nhận được khi tách các
thành phần sai phân thường của hệ có thể không có các hệ số độc lập. Hơn
nữa, khi định nghĩa chỉ số cao thường phải dựa vào việc lựa chọn các phép
chiếu phù hợp, nên cần chứng minh tính đúng đắn của định nghĩa là nó
không phụ thuộc vào việc chọn các phép chiếu.
Với mục đích như vậy, các vấn đề chính được giải quyết ở trong bản
luận án này là:
1. Đưa các khái niệm về chỉ số 1 và chỉ số 2. Về mặt ý tưởng, chỉ số 2
được xem là chỉ số 1 của chỉ số 1. Sau đó, nghiên cứu bài toán giải
được của hệ (0.0.4) bằng cách chỉ ra sự tồn tại nghiệm; đồng thời đưa
ra các công thức biểu diễn nghiệm trong trường hợp các chỉ số 1 và

2. Đồng thời đưa các điều kiện để cho nghiệm của hệ lập thành một
đồng chu trình (cocycle) và chứng minh tính chất động lực của chúng.
2. Nghiên cứu các số mũ Lyaponov của hệ, đưa ra các phân hoạch kiểu
Furstenberg - Kifer và chứng minh Định lý ergodic nhân tính (MET)
cho trường hợp hệ (0.0.4) có chỉ số 1 và 2.
Ngoài các phần bắt buộc gồm Danh mục các ký hiệu, Mở đầu, Kết
luận, Danh mục các công trình liên quan và Tài liệu tham khảo, luận án
được chia thành 3 chương với cấu trúc như sau:
8
Chương 1 dành cho kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi
điểm lại một số kiến thức cần thiết như khái niệm chỉ số của ma trận; chỉ
số của cặp ma trận, khai triển Kronecker; đưa ra một số nghiên cứu về mối
liên hệ của bộ ba các ma trận. Chúng tôi cũng phát biểu định lý ergodic
nhân tính cho hệ phương trình sai phân thường ngẫu nhiên.
Chương 2 xét tính giải được của bài toán sai phân ẩn với giá trị ban
đầu



A
n
x
n+1
= B
n
x
n
,
x
0

= x ∈ R
d
,
n = 0, ±1, ±2, . . . , (0.0.5)
khi phương trình sai phân ẩn chịu nhiễu ồn thực (tức các ma trận A
n
và
B
n
là các quá trình dừng). Phỏng theo phương pháp đã được áp dụng
trong các phương trình sai phân ẩn tất định, chúng tôi đưa ra khái niệm
chỉ số 1 của hệ. Từ khái niệm chỉ số 1 này, chúng tôi đưa ra công thức giải
nghiệm của hệ nhờ việc tách hệ sai phân ẩn thành một phương trình sai
phân thường và một biểu thức đại số. Việc tách này được xét riêng rẽ cho
trường hợp phương trình sai phân tiến (khi n > 0) và phương trình sai
phân lùi (khi n < 0). Tiếp đến, tính chất động lực học của toán tử Cauchy
của nghiệm cũng được chỉ ra nhờ việc kết nối phương trình sai phân tiến và
phương trình sai phân lùi. Việc kết nối này thực hiện được nhờ chứng minh
rằng các phép chiếu giao hoán được với nhau (xem phương trình (2.4.1)).
Phần cuối cùng của chương này là đưa ra phân hoạch kiểu Furstenberg -
Kifer của số mũ Lyapunov của các nghiệm của hệ. Đây có thể xem là sự
mở rộng thực sự của các công trình trong [14, 26] nói riêng và phương trình
sai phân ngẫu nhiên nói chung.
Chương 3 dành cho việc nghiên cứu phương trình sai phân ẩn tuyến
tính có chỉ số 2 mềm. Theo ý tưởng chung, chỉ số 2 là chỉ số 1 của chỉ số
1. Vì vậy, khó khăn cơ bản khi nghiên cứu phương trình sai phân ẩn có chỉ
số 2 là ta phải chứng minh bước thứ 2 không phụ thuộc vào việc chọn các
phép biến đổi của bước thứ nhất. Hơn nữa các phép chiếu cũng như các
9
biểu thức nghiệm của trường hợp chỉ số 2 hết sức phức tạp và đòi hỏi phải

có các phương pháp đặc biệt cũng như nhiều phép biến đổi để đạt được kết
quả. Trong chương này, chúng ta đưa ra điều kiện giải được của bài toán
Cauchy và đưa ra công thức hiển cho nghiệm của nó. Mục 3.3 chứng minh
tính đồng chu trình của nghiệm trên các hệ động lực ngẫu nhiên. Chứng
minh định lý ergodic nhân tính đối với phương trình sai phân (0.0.5) được
đề cập đến ở Mục 3.4. Ở đây, chúng ta cũng chỉ ra rằng không gian R
d
có
thể được chia thành tổng trực tiếp của các không gian con R
d
=

τ
i=0
W
i
,
trong đó W
0
,

W
i
là các không gian con đo được và bất biến đối với phép
biến đổi bảo toàn độ đo θ. Hơn nữa, với mọi i = 1, 2, . . . , τ và với mọi
x ∈ W
i
\ {0}, ta có nghiệm X
n
(ω, x) của bài toán (0.0.5) có cùng số mũ

Lyapunov.
Luận án này được viết dựa trên các bài báo [I] và [II], cùng một vài kết
quả áp dụng từ những bài báo đó.
10
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số kiến thức đại số tuyến tính
1.1.1 Chỉ số của ma trận và của chùm hai ma trận
Cho M là ma trận cấp d × d. Ta biết rằng {ker M
n
}
n
là dãy tăng còn
{im M
n
}
n
là dãy giảm theo n. Do R
d
là không gian hữu hạn chiều nên tồn
tại số 1 ≤ k ≤ d để ker M
k−1
= ker M
k
= ker M
k+1
. Người ta đã chứng
minh được rằng đồng thời khi đó ta cũng có im M
k−1
= im M

k
= im M
k+1
.
Số k như vậy được gọi là chỉ số của ma trận M và ký hiệu k = ind M.
Cho (A, B) là một cặp ma trận. Cặp ma trận (A, B) được gọi là chính
quy nếu đa thức q(x) = det(xA + B) ≡ 0. Khi đó tồn tại c ∈ C sao cho
q(c) = 0. Điều này kéo theo ma trận cA + B khả nghịch. Ta định nghĩa chỉ
số của cặp ma trận (A, B) là
ind(A, B) = ind

(cA + B)
−1
A

.
Người ta đã chứng minh rằng ind(A, B) không phụ thuộc vào cách chọn
số phức c. Tương tự ta định nghĩa
ind(B, A) = ind

(cB + A)
−1
B

.
Chú ý rằng nói chung thì ind(B, A) = ind(A, B).
11
1.1.2 Khai triển Jordan và khai triển Kronecker
Khai triển Jordan
Cho A là ma trận vuông cấp d. Khi đó tồn tại ma trận khả nghịch V để

có khai triển Jordan sau đây
A = V diag((J
1
, J
2
, , J
m
))V
−1
,
trong đó với mỗi i = 1, 2, , m, ma trận J
i
có số chiều d
i
, d
1
+d
2
+· · ·+d
m
=
d, và có dạng
J
i
=









λ
i
1 0 0
0 λ
i
0 0

0 0 λ
i
1
0 0 0 λ
i








= diag(λ
i
, λ
i
, , λ
i
). (1.1.1)

.
Khai triển kỳ dị của một ma trận
Với mỗi ma trận A bất kỳ, ta luôn tìm được hai ma trận trực giao U và V
sao cho
A = U diag(σ
1
, σ
2
, , σ
k
, 0, , 0)V

,
trong đó σ
1
, σ
2
, , σ
k
là các giá trị riêng của ma trận A

A xếp theo thứ tự
giảm dần.
Khai triển Kronecker của một cặp ma trận
Ma trận N được gọi là lũy linh cấp r nếu N
r−1
= O nhưng N
r
= O.
Từ định nghĩa ta thấy ma trận lũy linh cấp 1 là ma trận O. Ma trận

J
i
, i = 1, 2, , m, trong khai triển Jordan (1.1.1) là lũy linh khi và chỉ khi
λ
i
= 0.
12
Cho (A, B) là cặp ma trận với ind(A, B) = k. Khi đó người ta chứng
minh tồn tại các ma trận trực giao U và V và số nguyên không âm r sao
cho
A = U

I
k
O
k×(d−k)
O
(d−k)×k
N

V
−1
, B = U

M O
k×(d−k)
O
(d−k)×k
I
d−k


V
−1
,
(1.1.2)
trong đó M ∈ C
k×k
là ma trận không suy biến và N là ma trận lũy linh
phức cấp r có kích thước (d − k) × (d − k). Trường hợp ind(A, B) = 1 ta
có N = O còn nếu ind(A, B) = 2 thì N = O nhưng N
2
= O . Việc tìm các
ma trận U, V và M, N để có biểu diễn (1.1.2) gọi là khai triển Kronecker
của cặp ma trận (A, B). Các ma trận này có thể tìm được nhờ khai triển
kỳ dị và khai triển Jordan của các ma trận (chi tiết xem [15]).
1.1.3 Một vài tính chất của bộ ba các ma trận
Cho bộ ba ma trận cùng cấp (A, A, B). Giả sử rằng rank A = rank A = k.
Khi đó ta có dim ker A = dim ker A. Vì các không gian ker A và ker A là
các không gian có cùng số chiều (hữu hạn) nên luôn tồn tại phép biến đổi
tuyến tính T ∈ GL(R
d
) sao cho hạn chế của nó T |
ker A
là một đẳng cấu giữa
ker A và ker A. Toán tử T có thể được xác định như sau: cho Q (tương ứng,
Q) là phép chiếu lên ker A (tương ứng lên ker A); sử dụng khai triển Jordan
cho các ma trận Q và Q ta tìm được các ma trận không suy biến V và V
sao cho Q = V Q
(0)
V

−1
và Q = V Q
(0)
V
−1
, trong đó Q
(0)
= diag(0, I
d−k
).
Khi đó T có thể xác định theo biểu thức T = V V
−1
.
Đặt S = {x : Bx ∈ im A} và xét một toán tử chiếu Q lên ker A. Chúng
ta có bổ đề sau.
Bổ đề 1.1.1 Các khẳng định sau đây là tương đương
(a) S ∩ ker A = {0},
13
(b) ma trận G = A + BTQ là không suy biến,
(c) R
d
= S ⊕ ker A.
Chứng minh.
(a)=⇒ (b): Xét vector x ∈ R
d
sao cho (A + BTQ)x = 0. Điều này tương
đương với B(T Q)x = A(−x), kéo theo TQx ∈ S. Vì S ∩ ker A = {0} và
T Qx ∈ ker A nên chúng ta suy ra T Qx = 0, tức là Qx = 0. Từ đây chúng
ta suy ra Ax = 0, có nghĩa là x ∈ ker A, kéo theo x = Qx = 0, tức là ma
trận G = A + BTQ không suy biến.

(b)=⇒ (c): Rõ ràng x = (I −TQG
−1
B)x+T QG
−1
Bx. Chú ý rằng hạn chế
T |
ker A
là một đẳng cấu giữa ker A và ker A nên ta có T QG
−1
Bx ∈ ker A.
Hơn nữa,
B(I − TQG
−1
B)x = [B − (A + BT Q)G
−1
B]x + AG
−1
Bx
= [B − GG
−1
B]x + AG
−1
Bx = AG
−1
Bx ∈ im A.
Do đó, (I − T QG
−1
B)x ∈ S và chúng ta có R
d
= S + ker A.

Bây giờ chúng ta xét x ∈ S ∩ ker A, tức là x ∈ S và x ∈ ker A. Vì
x ∈ S nên tồn tại z ∈ R
d
sao cho Bx = Az = APz, và vì x ∈ ker A nên
T
−1
x ∈ ker A. Do đó T
−1
x = QT
−1
x. Chúng ta có (A + BTQ)T
−1
x =
(A + BT Q)P z, điều này có nghĩa là T
−1
x = Pz. Từ đây suy ra rằng
T
−1
x = 0. Vậy x = 0. Khẳng định (c) được chứng minh.
(c)=⇒ (a): Hiển nhiên. Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.1.2 Giả sử ma trận G không suy biến. Khi đó các quan hệ sau
là đúng đắn:
(i) P = G
−1
A, với P = I − Q. (1.1.3)
(ii) G
−1
BT = Q. (1.1.4)
(iii)


Q := T QG
−1
B là toán tử chiếu lên ker A dọc theo S. (1.1.5)
(iv) Nếu Q là phép chiếu lên ker A, thì
14
P G
−1
B = PG
−1
BP, (1.1.6)
QG
−1
B = QG
−1
BP + T
−1
Q, (1.1.7)
trong đó P = I − Q.
Chứng minh.
(i) Chú ý rằng GP = (A+BTQ)P = AP = A, chúng ta sẽ có ngay (1.1.3).
(ii) Từ BTQ = (G − A), suy ra G
−1
BTQ = (I − P) = Q, từ đó suy ra
(1.1.4).
(iii) Sử dụng (1.1.4) chúng ta có

Q
2
= TQG
−1

BTQG
−1
B
(1.1.4)
= T QQG
−1
B = T QG
−1
B =

Q,
và
A

Q = AT QG
−1
B = 0.
Điều này có nghĩa là

Q là một phép chiếu lên ker A. Từ chứng minh phần
(c) của Bổ đề 1.1.1 suy ra

Q là một phép chiếu lên ker A dọc theo S.
(iv). Vì T
−1
Qx ∈ ker A với mọi x nên
P G
−1
BQ = P G
−1

BTT
−1
Q = P G
−1
(A + BT Q)QT
−1
Q = 0.
Vậy PT
−1
B = PG
−1
BP. Chúng ta chứng minh được (1.1.6). Cuối cùng,
chúng ta có
QG
−1
B = QG
−1
BP + QG
−1
BTT
−1
Q
= QG
−1
BP + QG
−1
(A + BT Q)Q
−1
Q
= QG

−1
BP + QT
−1
Q = QG
−1
BP + T
−1
Q.
Bổ đề được chứng minh.
15
1.1.4 Nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose của một
ma trận
Chúng ta nhắc lại một vài ký hiệu của nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose
của ma trận. Cho M là một ma trận d × d. Nếu det(M) = 0 thì ma trận
nghịch đảo M
−1
tồn tại. Trong trường hợp det(M) = 0, nhiều khái niệm
về nghịch đảo của M được đưa ra (thí dụ nghịch đảo Drazin). Ở đây chúng
tôi trình bày khái niệm nghịch đảo suy rộng kiểu Moore-Penrose. Ma trận
X được gọi là nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose (gọi tắt là nghịch đảo
suy rộng) của M nếu thoả mãn các hệ thức
(i) MXM = M, (ii) XMX = X,
(iii) (MX)

= MX, (iv) (XM)

= XM.
Nghịch đảo suy rộng của ma trận M được kí hiệu là M
†
. Trong [19] người

ta đã chứng minh được rằng ma trận nghịch đảo suy rộng M
†
của ma trận
M tồn tại và duy nhất. Nếu M là ma trận không suy biến thì M
†
= M
−1
.
Với mỗi số α, chúng ta ký hiệu
α
†
=



0 nếu α = 0,
α
−1
nếu α = 0.
Với ký hiệu này chúng ta có
[diag(α
1
, α
2
, . . . , α
m
)]
†
= diag(α
†

1
, α
†
2
, . . . , α
†
m
).
Hơn nữa, nếu M là ma trận đường chéo khối thì
[diag(M
1
, M
2
, . . . , M
m
)]
†
= diag(M
†
1
, M
†
2
, . . . , M
†
m
).
Sử dụng dạng Jordan của ma trận (xem [19]), chúng ta có
Bổ đề 1.1.3 λ là một giá trị riêng bội d của ma trận M khi và chỉ khi
λ

†
là giá trị riêng bội d của ma trận nghịch đảo suy rộng M
†
.
16
Bổ đề 1.1.4 Với mọi ma trận M chúng ta có (MM

)
†
= (M

)
†
M
†
, và
ker(MM

)
†
trùng với ker MM

.
Một số tính chất khác của ma trận nghịch đảo suy rộng:
• Nếu các phần tử của M là thực thì M
†
cũng là ma trận thực.
• Nếu M = 0 thì M
†
= 0.

• (M
†
)
†
= M.
• (M

)
†
= (M
†
)

, M
†
= M
†
, (M
∗
)
†
= (M
†
)
∗
.
• A
†
= (A


A)
†
A

.
• A
†
= A

(AA

)
†
.
• P = AA
†
là phép chiếu trực giao lên im A và P = A
†
A phép chiếu trực
giao lên im A

và ta có
P A = A = AP và A
†
P = A
†
= QA
†
.
Để tính nghịch đảo suy rộng ta có thể sử dụng giới hạn

A
†
= lim
δ0
(A

A + δI)
−1
A

= lim
δ0
A

(AA

+ δI)
−1
;
hoặc tính bằng phương pháp lặp
A
i+1
= 2A
i
− A
i
AA
i
,
trong đó A

0
= αA

với 0 < α < 2/σ
2
1
(A). Ký hiệu σ
1
(A) là giá trị kỳ dị
lớn nhất của ma trận A.
Trên thực tế người ta định nghĩa nghịch đảo suy rộng cho ma trận chữ
nhật. Tuy nhiên trong luận án này chúng tôi chỉ giới hạn định nghĩa cho
các ma trận vuông. (Xem [15, 19]).
17