Một số tính chất chọn lọc về hệ động lực rời rạc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM






TRẦN NGUYÊN BÌNH







MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC
VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC





L
L
U
U
Ậ

Ậ
N
N


V
V
Ă
Ă
N
N


T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C


S
S
Ĩ
Ĩ


T

T
O
O
Á
Á
N
N


H
H
Ọ
Ọ
C
C













Thái Nguyên - năm 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM






TRẦN NGUYÊN BÌNH




MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC
VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC


Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01


L
L
U
U
Ậ
Ậ
N

N


V
V
Ă
Ă
N
N


T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C


S
S
Ĩ
Ĩ


T
T
O

O
Á
Á
N
N


H
H
Ọ
Ọ
C
C





Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. VŨ NGỌC PHÁT







Thái Nguyên - năm 2009
▼ô❝ ❧ô❝
▼ô❝ ❧ô❝ ✶

▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✷
▼ét sè ❦Ý ❤✐Ö✉ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ✺
❈❤➢➡♥❣ ✶ ❈➡ së t♦➳♥ ❤ä❝ ✻
✶✳✶ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈➭ s❛✐ ♣❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✷ ▲ý t❤✉②Õt æ♥ ➤Þ♥❤ ▲②❛♣✉♥♦✈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽
✶✳✸ ❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈➭ ❜æ ➤Ò ❜æ trî ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶
❈❤➢➡♥❣ ✷ æ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝ ✶✺
✷✳✶ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺
✷✳✶✳✶ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺
✷✳✶✳✷ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✷✳✶✳✸ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❤Ö rê✐ r➵❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã trÔ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✷✳✷ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺
✷✳✷✳✶ ❇➭✐ t♦➳♥ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺
✷✳✷✳✷ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳ ❝ñ❛ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼
❈❤➢➡♥❣ ✸ æ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳ ❜Ò♥ ✈÷♥❣ ❝➳❝ ❤Ö ❝ã trÔ ✸✷
✸✳✶ ❙ù æ♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳ ❜Ò♥ ✈÷♥❣ ❝ñ❛ ❤Ö ❝ã trÔ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷
✸✳✷ ❙ù æ♥ ➤Þ♥❤ ❜Ò♥ ✈÷♥❣ ✈➭ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳ ❜Ò♥ ✈÷♥❣ ❝ñ❛ ❤Ö ❝ã trÔ
✈í✐ ♥❤✐Ô✉ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼
❑Õt ❧✉❐♥ ✹✾
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✺✵
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ờ ó
ý tết ị tí ệ ộ ự ột tr ữ ớ
ứ q trọ tr ý tết trì s r ý
tết ó tí ổ ị ột tr ữ tí t t ể ó ề ứ
ụ tr tự tế ợ q t ứ tr ữ t ỷ
ợ t ứ từ ố tế ỷ ở t ọ
ế trở t ột ớ ứ tể tế tr ý tết
ệ tố ứ ụ trì ủ ó ề ết q ý

tở t s ó trị ề t ữ ứ s tế
ó ò ó ý ĩ t ề ó t ộ ý tết ị tí ủ
trì tờ ề t ũ
tứ t
tứ trự tế tế í
ứ ề ổ ị ế ữ ủ tế ỷ ù ớ sự t
trể ủ ý tết ề ể ờ t ũ t ứ tí ổ ị
ủ ệ ề ể t ứ tí ổ ị ệ ề ể
ợ ọ t ổ ị
t ổ ị ệ rờ r ột tr ữ t q
trọ tr ý tết ị tí ệ ộ ự t từ trớ
ế ợ sự q t ủ ề t ọ tr ớ
ó tể ể r ột số t s r s r
ss ữ ờ ễ ũ ọ Pt ễ

ố ụ ồ ở t ệ t
sở t ọ
ổ ị ổ ị ó ệ rờ r

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❈❤➢➡♥❣ ✸✿ æ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❜Ò♥ ✈÷♥❣ ❝➳❝ ❤Ö ❝ã trÔ✳
❈❤➢➡♥❣ ✶ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈➭ s❛✐ ♣❤➞♥✱ ♠ét sè ❜æ ➤Ò ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛♥ trä♥❣✳
❈❤➢➡♥❣ ✷ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ▲②❛♣✉♥♦✈ ✈➭
♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❦✐♥❤ ➤✐Ó♥ ❝❤♦ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ➜å♥❣ t❤ê✐ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝ò♥❣ tr×♥❤
❜➭② ♠ét sè t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ➤➲ ❝ã ➤è✐ ✈í✐ ❤Ö ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ rê✐ r➵❝ t✉②Õ♥
tÝ♥❤ ❞➵♥❣
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k ∈ Z
+
, ✭✶✮

t❤❡♦ ❤❛✐ ❤➢í♥❣ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ▼ét ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
♠❛ tr❐♥ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ❝ß♥ ❧➵✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❞ù❛ tr➟♥ tÝ♥❤ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❝➷♣
♠❛ tr❐♥ ❤Ö sè [A, B].
❈❤➢➡♥❣ ✸ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠í✐✳ ë ➤➞② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ①Ðt ❝➳❝ ❤Ö
rê✐ r➵❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ❝❤➽❝ ❝❤➽♥ ✭✉♥❝❡rt❛✐♥✮ ❝ã trÔ
x(k + 1) = (A + D
a
F
a
(k)E
a
)x(k)+(B + D
b
F
b
(k)E
b
)x(k − h)
+(C + D
c
F
c
(k)F
c
)u(k) k ∈ Z
+
,
✭✷✮
✈➭ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝ ❦❤➠♥❣ ❝❤➽❝ ❝❤➽♥ ❝ã trÔ ✈í✐ ♥❤✐Ô✉ ♣❤✐ t✉②Õ♥
x(k + 1) =(A + D

a
F
a
(k)E
a
)x(k) + (B + D
b
F
b
(k)E
b
)x(k − h)
+ f(k, x(k), x(k − h)), k ∈ Z
+
,
✭✸✮
x(k + 1) =(A + D
a
F
a
(k)E
a
)x(k) + (B + D
b
F
b
(k)E
b
)x(k − h)
+ (C + D

c
F
c
(k)E
c
)u(k) + f(k, x(k), x(k − h), u(k)), k ∈ Z
+
,
✭✹✮
tr♦♥❣ ➤ã x(k) ∈ R
n
❧➭ ❜✐Õ♥ tr➵♥❣ t❤➳✐✱ u(k) ∈ R
m
❧➭ ❜✐Õ♥ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥✱
A, B, C, D
a
, E
a
, D
b
, E
b
, D
c
, E
c
❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ❤➺♥❣ ❝❤♦ tr➢í❝ ✈í✐ sè ❝❤✐Ò✉
t❤Ý❝❤ ❤î♣✱ F
a
(k), F

b
(k), F
c
(k) ❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ❦❤➠♥❣ ❝❤➽❝ ❝❤➽♥ ❝❤➢❛ ❜✐Õt ✈í✐
sè ❝❤✐Ò✉ t❤Ý❝❤ ❤î♣ t❤♦➯ ♠➲♥  F
a
(k) ≤ 1, F
b
(k) ≤ 1, F
c
(k) ≤ 1,
f(.) ❧➭ ❤➭♠ ♣❤✐ t✉②Õ♥✳
❱✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❜Ò♥ ✈÷♥❣ ❝ñ❛ ❤Ö ✭✹✮ ❧➭ ✈✐Ö❝ ♠ë ré♥❣
♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ æ♥ ➤Þ♥❤ ❜Ò♥ ✈÷♥❣ ❝ñ❛ ❤Ö ✭✷✮ ✈➭ tÝ♥❤ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳ ❜Ò♥ ✈÷♥❣ ❝ñ❛
❤Ö ✭✸✮✳ ❑❤ã ❦❤➝♥ ë ➤➞② ❧➭ ♣❤➯✐ t×♠ ➤➢î❝ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♥❣➢î❝ u(k) = h(x(k))
✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
➤Ó ❤Ö ✭✷✮ ✈➭ ✭✹✮ ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳ ➤➢î❝✱ ♠➭ ♥❤➢ ❝❤ó♥❣ t❛ ➤➲ ❜✐Õt ➤✐Ò✉ ♥➭② ❦❤➠♥❣
♣❤➯✐ ❦❤✐ ♥➭♦ ❝ò♥❣ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ➤➢î❝ ✈í✐ ♠ét ❤Ö rê✐ r➵❝ ❝ã trÔ ❜✃t ❦ú✳ ▼➷t ❦❤➳❝
➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤➷t r❛ ❝❤♦ ❤➭♠ f(.) ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét trë ♥❣➵✐ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥
❝ø✉✱ ë ➤➞② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➲ ❣✐➯ t❤✐Õt ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t➝♥❣ tr➢ë♥❣ ❝❤♦ f(.), tø❝ ❧➭ tr♦♥❣
❤Ö ✭✸✮ f(.) ❧➭ ❤➭♠ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t
 f(k, x, y) ≤ a  x  +b  y , ∀(k, x, y) ∈ Z
+
× R
n
× R
n
,
a, b ❧➭ ♥❤÷♥❣ sè ❞➢➡♥❣ ❝❤♦ tr➢í❝✱ ✈➭ tr♦♥❣ ❤Ö ✭✹✮ f(.) ❧➭ ❤➭♠ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t

 f(k, x, y, z) ≤ a  x  +b  y  +c  z ,∀(k, x, y, z) ∈ Z
+
×R
n
×R
n
×R
m
,
a, b, c ❧➭ ♥❤÷♥❣ sè ❞➢➡♥❣ ❝❤♦ tr➢í❝✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ✈➭ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝
❝ñ❛ ●❙✳❚❙❑❍ ❱ò ◆❣ä❝ P❤➳t✱ ♥❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭②✱ ❡♠ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉
s➽❝ ♥❤✃t ➤è✐ ✈í✐ ❚❤➬②✳
❊♠ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❝ñ❛ ➜❍ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✈➭ ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ➤➲
t❐♥ t×♥❤ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ ❝❛♦ ❤ä❝✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❚r➢ê♥❣ ➜❍ ❑✐♥❤ tÕ & ◗❚❑❉ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❦❤♦❛ ❑❤♦❛
❤ä❝ ❝➡ ❜➯♥ tr➢ê♥❣ ➜❍ ❑✐♥❤ tÕ & ◗❚❑❉ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ tr➢ê♥❣
➜❍❙P ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❦❤♦❛ ❙❛✉ ➜➵✐ ❤ä❝ tr➢ê♥❣ ➜❍❙P ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ q✉❛♥
t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì✱ t➵♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ❝❤♦ t➠✐ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❦Õ ❤♦➵❝❤ ❤ä❝ t❐♣ ❝ñ❛
♠×♥❤✳
❳✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❝æ ✈ò ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐ tr♦♥❣
s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ột số í ệ ù tr
Z
+
t tt số R
+
t tt số tự

R
n
é t nề ớ í ệ tí ớ

., .

é t . ; R
nìr
tr (n ì r) ề
A
T
tr ể ị ủ tr A; tr A ợ ọ ố ứ
ế A = A
T
; I tr ị
Sp(A) t tt trị r ủ A.

max
(A) = max{Re : Sp(A)};
min
(A) = min{Re :
Sp(A)}.
A ủ tr A, ợ ị ĩ ở A = (
n

i=1
n

j=1
|a

ij
|
2
)
1
2
.
tr A ợ ọ ị í ệ A 0, ế

Ax, x

0,x R
n
; tr A ợ ọ ị ế

Ax, x

0,x R
n


Ax, x

> 0 ớ x = 0.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❈❤➢➡♥❣ ✶
❈➡ së t♦➳♥ ❤ä❝
✶✳✶ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈➭ s❛✐ ♣❤➞♥
❳Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥


˙x = f(t, x), t ∈ I = [t
0
, t
0
+ b],
x(t
0
) = x
0
, x ∈ R
n
, t
0
≥ 0,
✭✶✳✶✮
tr♦♥❣ ➤ã f(t, x) : I × D −→ R
n
, D = {x ∈ R
n
: x − x
0
≤ a}.
◆❣❤✐Ö♠ x(t) ❝ñ❛ ✭✶✳✶✮ ❧➭ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ t❤♦➯ ♠➲♥
✭✐✮ (t, x(t)) ∈ I × D,
✭✐✐✮ x(t) t❤♦➯ ♠➲♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✭✶✳✶✮✳
●✐➯ sö ❤➭♠ f(t, x) ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ I × D, ❦❤✐ ➤ã ♥❣❤✐Ö♠ x(t) ❝❤♦ ❜ë✐ ❞➵♥❣
tÝ❝❤ ♣❤➞♥ s❛✉
x(t) = x
0

+
t

t
0
f(s, x(s))ds.
❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ❤Ö ✭✶✳✶✮ ❝ã ❞➵♥❣

˙x = Ax + g(t), t ≥ 0,
x(t
0
) = x
0
, t
0
≥ 0,
✭✶✳✷✮
✈í✐ A ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❤➺♥❣✱ g(t) : [0,∞) −→ R
n
❧➭ ❤➭♠ ❦❤➯ tÝ❝❤✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ❝❤ø♥❣
♠✐♥❤ ➤➢î❝ ✭✶✳✷✮ ❧✉➠♥ tå♥ t➵✐ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ ❝❤♦ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❈❛✉❝❤② s❛✉
x(t) = e
A(t−t
0
)
x
0
+
t


t
0
e
A(t−s)
g(s)ds. ✭✶✳✸✮
✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
➜è✐ ✈í✐ ❤Ö ❦❤➠♥❣ ❞õ♥❣

˙x = A(t)x + g(t), t ≥ 0,
x(t
0
) = x
0
, t
0
≥ 0,
✭✶✳✹✮
tr♦♥❣ ➤ã A(t) ❧➭ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ t❤❡♦ t ✈➭  A(t) ≤ m(t), ✈í✐ m(t), g(t) ❧➭ ❝➳❝
❤➭♠ ❦❤➯ tÝ❝❤ t❤× ❤Ö ✭✶✳✹✮ ❝ò♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❞✉② ♥❤✃t✳ ◆❣❤✐Ö♠ ♥➭② ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥
q✉❛ ♠❛ tr❐♥ ♥❣❤✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❤Ö t❤✉➬♥ ♥❤✃t
˙x = A(t)x, ✭✶✳✺✮
❧➭
x(t) = Φ(t, t
0
)x
0
+
t


t
0
Φ(t, s)g(s)ds,
tr♦♥❣ ➤ã Φ(t, s) ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ♥❣❤✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❤Ö ✭✶✳✺✮ t❤á❛ ♠➲♥
(i)
d
dt
Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s,
(ii)Φ(t, t) = I.
❇➟♥ ❝➵♥❤ ❝➳❝ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t❛ ❝ò♥❣ ①Ðt ❝➳❝ ❤Ö s❛✐ ♣❤➞♥ t➢➡♥❣
ø♥❣✱ ①Ðt ❤Ö
x(k + 1) = f(k, x(k)), k = 0, 1, 2, .... ✭✶✳✻✮
tr♦♥❣ ➤ã f(.) : Z
+
× R
n
−→ R
n
❝❤♦ tr➢í❝✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ tr➵♥❣ t❤➳✐ ❜❛♥ ➤➬✉
x(0) = x
0
❤Ö ❧✉➠♥ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ tr✉② ❤å✐
x(1) = f(0, x
0
), x(2) = f(1, f(0, x(0))), ....
❑❤➳❝ ✈í✐ ❤Ö ✈✐ ♣❤➞♥✱ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❤Ö ✭✶✳✻✮ ❧➭ ➤➡♥ ❣✐➯♥✱ ❦❤➠♥❣
❝➬♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ò♥❣ ♥❤➢ tÝ♥❤ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝ñ❛ ❤➭♠ f(.). ❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ❤Ö
✭✶✳✻✮ ❧➭ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❞➵♥❣
x(k + 1) = A(k)x(k) + g(k), k ∈ Z
+

, ✭✶✳✼✮
t❤× ✈í✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜❛♥ ➤➬✉ x(0) = x
0
t✉ú ý ✈➭ ❞➲②
g = {g(0), g(1), ..., g(k − 1), ...},
✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
♥❣❤✐Ö♠ x(k) t➵✐ ❜➢í❝ k > 0 ❝❤♦ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❈❛✉❝❤②
x(k) = F (k, 0)x
0
+
k−1

s=0
F (k, s + 1)g(s),
tr♦♥❣ ➤ã F (k, s) ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ♥❣❤✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤✉➬♥ ♥❤✃t
x(k + 1) = A(k)x(k), k ∈ Z
+
.
❚❛ ❝ã t❤Ó ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❝ñ❛ F (k, s) ♥❤➢ s❛✉
F (k, s) = A(k − 1).A(k − 2)...A(s), k ≥ s ≥ 0, F (k, k) = I.
◆Õ✉ A(.) ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❤➺♥❣ t❤× F (k, s) = A
k−s
, k ≥ s ≥ 0 ✈➭ ❦❤✐ ➤ã
♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❞õ♥❣ ✈í✐ t❤ê✐ ❣✐❛♥ rê✐ r➵❝ ❧➭
x(k) = A
k
x
0
+

k−1

s=0
A
k−s−1
g(s).
➜Ó ➤➳♥❤ ❣✐➳ ♥❣❤✐Ö♠ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✐ ♣❤➞♥ ♥❣➢ê✐ t❛ t❤➢ê♥❣ ❞ï♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣
t❤ø❝ q✉❛♥ trä♥❣ s❛✉✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶ ✭❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ●r♦♥✇❛❧❧ rê✐ r➵❝ ❬✸❪✮✳ ❈❤♦ z(k), a(k) : Z
+
−→
Z
+
❧➭ ❝➳❝ ❞➲② sè ❦❤➠♥❣ ➞♠✱ C ≥ 0 ✈➭ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
z(k) ≤ C +
k−1

s=0
a(s)z(s), k = 1, 2, ..., z(0) ≤ C.
❑❤✐ ➤ã
z(k) ≤ C
k−1

s=0
(1 + a(s)), k = 1, 2, ....
✶✳✷ ▲ý t❤✉②Õt æ♥ ➤Þ♥❤ ▲②❛♣✉♥♦✈
❳Ðt ♠ét ❤Ö t❤è♥❣ ♠➠ t➯ ❜ë✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✭✶✳✶✮ ë tr➟♥✱ ❣✐➯ sö ❤➭♠
sè f(.) t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❈❛✉❝❤② ❧✉➠♥ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠✱ ❦❤✐ ➤ã
❞➵♥❣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ➤➢î❝ ❝❤♦ ❜ë✐
x(t) = x

0
+
t

t
0
f(s, x(s))ds.
✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ị ĩ ệ x(t) ủ ệ trì ợ ọ ổ
ị ế ớ ỗ > 0, t
0
0 trớ tồ t số > 0 ụ tộ , t
0

s t ỳ ệ y(t) : y(t
0
) = y(0) ủ ệ t y
0
x
0
<
tì t ề ó y(t) x(t) < , t t
0
.
ệ x(t) ọ ổ ị tệ ế ó ổ ị ó ột số
> 0 s ớ y
0
x
0

< tì y(t) x(t) 0 t .
ệ x(t) ọ ổ ị ũ ế ó ổ ị tệ t
ó tồ t số , M s ế y
0
x
0
< tì
y(t) x(t) < Me
t
ớ ọ t t
0
.
ét r ổ ế z = x y y ệ t ỳ
trì ợ ề
z = F (t, z),
tr ó F (t, z) = f(t, z + y) f(t, y), F (t, 0) = 0. ó ứ sự
ổ ị ủ ệ x(t) ó ủ ệ t ớ ứ
tí ổ ị ủ ệ 0 ủ ệ ể từ t sẽ ét ệ
ớ tết ệ ó ệ 0, tứ f(t, 0) = 0, t R
+
. ó
ệ ổ ị ế ớ ỗ > 0, t
0
R
+
trớ tồ t số
> 0 ụ tộ , t
0
s t ỳ ệ x(t) : x(t
0

) = x(0) ủ ệ
t x
0
< tì x(t) < ớ ọ t t
0
.
ệ ổ ị tệ ế ó ổ ị t ó tồ t
> 0 s ế x
0
< tì lim
t
x(t) = 0.
ệ ổ ị ũ ế ó ổ ị tệ tồ t
số , M s ọ ệ x(t) : x(t
0
) = x
0
ủ (1.1) : x
0
<
tì x(t) < M e
t
ớ ọ t t
0
.
r ị ĩ tr ế ụ tộ t
0
tì sự ổ ị ổ
ị tệ ợ ọ ổ ị ề ổ ị tệ ề
ự ổ ị ủ ệ rờ r ợ ị ĩ t tự ét ệ ở

tr

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ị ĩ ệ ọ ổ ị ế ớ ỗ > 0, k
0
Z
+
tồ t > 0 ụ tộ , k
0
s ớ ọ ệ x(k) ủ ệ
x(0) < tì x(k) < ớ ọ k k
0
. ệ ổ ị tệ ế ó
ổ ị ó ột số > 0 s lim
t
x(k) = 0 ớ ọ ệ x(k)
x(0) < .
ý tết ị tí trì ó ủ ế
ứ tí ổ ị ủ ệ ó số ũ
ù trự tế r
ủ ú t ỉ ột số ết q ủ ế ề
tứ
P tứ ứ sự ổ ị ù
ố ớ ó ột tt t tổ qt
ể tì ợ tt trì
ét ệ trì tế
x(t) = f(x(t)), f(0) = 0, t R
+
.
ột số V (x) : R

n
R ị ế
V (x) 0 ớ ọ x R
n
V (x) = 0 ỉ x = 0.
ị ĩ V (x) : D R
n
R, D tỳ ý ủ 0,
ọ ủ ệ ế
V (x) tụ tr D.
V (x) ị
D
f
V (x) :=
V
x
f(x) 0,x D.
V (x) ọ t ế ó t
ó t tứ tr ề ệ tự sự ớ ọ x
ột 0 ó tứ
c > 0 : D
f
V (x) c x , x D\{0}.
ị ý ớ t ột ề ệ ủ ể ệ ổ ị tệ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✹ ✭❬✸❪✮✳ ◆Õ✉ ❤Ö ✭✶✳✾✮ ❝ã ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ t❤× æ♥ ➤Þ♥❤✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱
♥Õ✉ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ➤ã ❧➭ ❝❤➷t t❤× ❤Ö æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥ ➤Ò✉✳
❱Ý ❞ô ✶✳✷✳✺✳ ❳Ðt ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥


˙x
1
= −2x
3
1
+ 2x
2
, t ≥ 0,
˙x
2
= −x
1
− x
3
2
.
▲✃② ❤➭♠ V (x) = x
2
1
+ 2x
2
2
, t❛ ❝ã
D
f
V (x) = 2x
1
˙x
1
+ 4x

2
˙x
2
= 2x
1
(−2x
3
1
+ 2x
2
) + 4x
2
(−x
1
− x
3
2
)
= −4(x
4
1
+ x
4
2
).
❉♦ ➤ã D
f
V (x) ≤ −4  x 
4
< 0 ✈í✐ x = 0 ♥➟♥ ❤Ö æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥✳

✶✳✸ ❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈➭ ❜æ ➤Ò ❜æ trî
❇æ ➤Ò ✶✳✸✳✶✳ ●✐➯ sö A, B ❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ✈✉➠♥❣ (n × n) ❝❤✐Ò✉✳ ❑❤✐ ➤ã ♥Õ✉
I + AB ❦❤➯ ♥❣❤Þ❝❤ t❤× I + BA ❦❤➯ ♥❣❤Þ❝❤✱ ❤➡♥ ♥÷❛
(I + BA)
−1
= I − B(I + AB)
−1
A.
➜✐Ò✉ ♥❣➢î❝ ❧➵✐ ❝ò♥❣ ➤ó♥❣✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
●✐➯ sö I + AB ❦❤➯ ♥❣❤Þ❝❤✱ ❦❤✐ ➤ã
BA =B(I + AB)
−1
(I + AB)A = B(I + AB)
−1
A + B(I + AB)
−1
ABA
=B(I + AB)
−1
A(I + BA).
❱❐② t❛ ❝ã
(I + BA)
−1
= I − B(I + AB)
−1
A.
❈❤✐Ò✉ ♥❣➢î❝ ❧➵✐ ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❤♦➭♥ t♦➭♥ t➢➡♥❣ tù✳ 
❇æ ➤Ò ✶✳✸✳✷✳ ●✐➯ sö A, B, C ❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ✈✉➠♥❣ (n × n) ❝❤✐Ò✉✱ B ❦❤➯
♥❣❤Þ❝❤✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ❝➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉✿

✶✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✭✐✮ B + AC ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ I + CB
−1
A ❧➭ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥✳
✭✐✐✮ ◆Õ✉ B + AC ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t❤×
(B + AC)
−1
= B
−1
− B
−1
A(I + CB
−1
A)
−1
CB
−1
.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
✭✐✮ ❱× B + AC = (I + ACB
−1
)B ♥➟♥ I + ACB
−1
❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥✱ t❤❡♦
❇æ ➤Ò ✶✳✸✳✶ t❛ ❝ã I + CB
−1
A ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥✳
✭✐✐✮ ➜➷t D = I + CB
−1

A t❤× CB
−1
A = D − I, t❛ ❝ã
(B + AC)(B
−1
− B
−1
AD
−1
CB
−1
) = (I + ACB
−1
)(I − AD
−1
CB
−1
)
= (I + ACB
−1
)(I − AD
−1
CB
−1
)
= I + ACB
−1
− AD
−1
CB

−1
− A(CB
−1
A)D
−1
CB
−1
= I + A(I − D
−1
)CB
−1
− A(D − I)D
−1
CB
−1
= I. 
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✸✳ ❈➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣
✭✐✮ A ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✳
✭✐✐✮ ∃c > 0,

Ax, x

≥ c  x 
2
,∀x ∈ R
n
.
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✹ ✭❙②❧✈❡st❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✭❬✻❪✮✮✳ ▼❛ tr❐♥ A− (n× n) ❝❤✐Ò✉ ❧➭ ①➳❝
➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ ♥Õ✉ det(D
i

) > 0, i = 1, 2, ..., n ✈➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ➞♠ ♥Õ✉
(−1)
i
det(D
i
) > 0, i = 1, 2, ..., n tr♦♥❣ ➤ã
D
1
= a
11
, D
2
=

a
11
a
12
a
21
a
22

, D
3
=


a
11

a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33


, ..., D
n
= A.
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✺✳ ❬✻❪ ▼ét ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ❧➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ ✭➞♠✮ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø
❦❤✐ ♥ã ❝ã t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ r✐➟♥❣ ❞➢➡♥❣ ✭➞♠✮✳
❇æ ➤Ò ✶✳✸✳✻✳ ❈❤♦ A ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❦❤è✐ ➤è✐ ①ø♥❣✱ ❦❤✐ ➤ã tÝ♥❤ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ➞♠ ✭❞➢➡♥❣✮
❝ñ❛ ♠❛ tr❐♥ A sÏ ❦❤➠♥❣ t❤❛② ➤æ✐ ❦❤✐ t❛ ❤♦➳♥ ✈Þ ❧➬♥ ❧➢ît ❦❤è✐ ❝ét i ✈í✐ ❦❤è✐
❝ét j ✈➭ ❦❤è✐ ❤➭♥❣ i ✈í✐ ❦❤è✐ ❤➭♥❣ j.
✶✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ứ
t tí tổ qt t i < j. sử tr ố ố ứ A

ó
A =













A
11
A
12
ããã A
1i
ããã A
1j
ããã A
1n
A
21
A
22
ããã A

2i
ããã A
2j
ããã A
2n
ããã ããã ããã ããã ããã
A
i1
A
i2
ããã A
ii
ããã A
ij
ããã A
in
ããã ããã ããã ããã ããã
A
j1
A
j2
ããã A
ji
ããã A
jj
ããã A
jn
ããã ããã ããã ããã ããã
A
n1

A
n2
ããã A
ni
ããã A
nj
ããã A
nn













.
ị ựt ố ột i ớ ố ột j ố i ớ ố
j, tr A trở t tr A

ó
A

=

A
11
A
12
ããã A
1j
ããã A
1i
ããã A
1n
A
21
A
22
ããã A
2j
ããã A
2i

ããã A
2n
ããã ããã ããã ããã ããã
A
j1
A
j2
ããã A
jj
ããã A
ji
ããã A
jn
ããã ããã ããã ããã ããã
A
i1
A
i2
ããã A
ij
ããã A
ii
ããã A
in
ããã ããã ããã ããã ããã
A
n1
A
n2
ããã A

nj
ããã A
ni
ããã A
nn













.
ể ứ ổ ề t ỉ ứ tí ị ủ
tr ố A A

t
t sử A tr ị trị r ó ủ
A

. ì trị r ủ A

det(A

I) = 0, I tr ị
ù số ề ớ A

. tí t ủ ị tứ t ó
det(A

I) = 0 det(A I) = 0.
ề ó ó ĩ ế trị r ủ A

tì ó ũ trị
r ủ A. ì A tr ố ứ ị t ổ ề t
ó < 0, tứ ọ trị r ủ A

tr A

ị
ề ợ ợ ứ t t tự

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❇æ ➤Ò ✶✳✸✳✼ ✭❙❝❤✉r ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t ❧❡♠♠❛ ❬✶✺❪✮✳ ❱í✐ ♠ä✐ ♠❛ tr❐♥ P − (n× n)
❝❤✐Ò✉✱ M − (n× m) ❝❤✐Ò✉ ✈➭ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ Q− (m× m)
❝❤✐Ò✉✱ t❛ ❝ã

P M
T
M −Q

< 0 ⇔ P + M
T
Q

−1
M < 0.
❇æ ➤Ò ✶✳✸✳✽ ✭ ❬✻❪✮✳ ❈❤♦ P ∈ R
n×n
❧➭ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✱
❦❤✐ ❞ã A
T
P A ❝ò♥❣ ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ ♠❛ tr❐♥
A ∈ R
n×n
.
❇æ ➤Ò ✶✳✸✳✾ ✭❬✶✻❪✮✳ ❈❤♦ E, H ✈➭ F ❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ t❤ù❝ ❝ã sè ❝❤✐Ò✉ t❤Ý❝❤
❤î♣ ✈➭ F
T
F ≤ I. ❑❤✐ ➤ã ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉ ❧➭ ➤ó♥❣✿
EF H
T
+ HF
T
E
T
≤ EE
T
+ 
−1
HH
T
,  > 0.
✶✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

❈❤➢➡♥❣ ✷
æ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝
✷✳✶ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝
✷✳✶✳✶ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤
❳Ðt ❤Ö rê✐ r➵❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤
x(k + 1) = Ax(k), k ∈ Z
+
. ✭✷✳✶✮
❱í✐ x(0) = x
0
t❤× ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ✭✷✳✶✮ ❝❤♦ ❜ë✐
x(k) = A
k
x
0
.
➜Ó x(k) → 0 ❦❤✐ k → ∞ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥ t❤× ❤♦➷❝
 A = q < 1 ❤♦➷❝ A
k
→ 0 ❦❤✐ k → ∞, ❞♦ ➤ã t❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✶ ✭❬✸❪✮✳ ❍Ö ✭✷✳✶✮ ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥ ♥Õ✉ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
s❛✉ ①➯② r❛
✭✐✮ ❚å♥ t➵✐ ♠ét sè q : 0 < q < 1 s❛♦ ❝❤♦  A = q < 1.
✭✐✐✮| λ |< 1 ✈í✐ ♠ä✐ λ ∈ Sp(A).
❇➞② ❣✐ê t❛ ①Ðt ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ❞õ♥❣
x(k + 1) = A(k)x(k), k ∈ Z
+
. ✭✷✳✷✮
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✷ ✭❬✸❪✮✳ ➜è✐ ✈í✐ ❤Ö ✷✳✷ t❛ ❝ã ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤
✭✐✮ ❍Ö ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ q ∈ (0, 1) s❛♦ ❝❤♦  A(k) ≤ q ✈í✐

♠ä✐ k ∈ Z
+
.
✶✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✭✐✐✮ ◆Õ✉ A(k) = A+C(k) tr♦♥❣ ➤ã A ❧➭ ♠❛ tr❐♥ æ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭  C(k) ≤ a,
❦❤✐ ➤ã ❤Ö sÏ æ♥ ➤Þ♥❤ ✈í✐ a ➤ñ ♥❤á✳
❱Ý ❞ô ✷✳✶✳✸✳ ❳Ðt ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤





x(k + 1) =
1
2(k + 1)
x(k) +
1
4(k + 1)
y
k
,
y(k + 1) = −
1
2(k + 1)
y
k
, k ∈ Z
+
,

tr♦♥❣ ➤ã
A(k) =



1
2(k + 1)
1
4(k + 1)
0 −
1
2(k + 1)



.
❉Ô t❤✃②  A(k) =
3
4(k + 1)
≤
3
4
= q < 1 ♥➟♥ ❤Ö ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥✳
✷✳✶✳✷ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝ ♣❤✐ t✉②Õ♥
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✹ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ▲②❛♣✉♥♦✈ ❝❤♦ ❤Ö rê✐ r➵❝✮✳ ❳Ðt ❤Ö rê✐ r➵❝
x(k + 1) = f(k, x(k)), k ∈ Z
+
. ✭✷✳✸✮
◆Õ✉ tå♥ t➵✐ ❤➭♠ sè V (x) : R
n

→ R t❤♦➯ ♠➲♥✿
✭✐✮ ∃λ
1
> 0, λ
2
> 0 : λ
1
 x(k) 
2
≤ V (x) ≤ λ
2
 x(k) 
2
.
✭✐✐✮ ∃λ
3
> 0 : ∆V (x) = V (x(k + 1)) − V (x(k)) ≤ −λ
3
 x((k)) 
2
,
k = 0, 1, 2, ..., ♠ä✐ ♥❣❤✐Ö♠ x(k) ❝ñ❛ ❤Ö ✭✷✳✸✮✳
❑❤✐ ➤ã ❤Ö ✷✳✸ ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥✳
❍Ö q✉➯ ✷✳✶✳✺✳ ❳Ðt ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
x(k + 1) = Ax(k), k ∈ Z
+
. ✭✷✳✹✮
◆Õ✉ tå♥ t➵✐ ❤❛✐ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ P, Q s❛♦ ❝❤♦
A
T

P A − P + Q = 0,
t❤× ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✷✳✹ ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥✳
✶✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❳Ðt ❤➭♠ sè V (x) = x(k)
T
P x(k). ❉♦ P ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤
❞➢➡♥❣ ♥➟♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ (i) ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✹ ➤➢➡♥❣ ♥❤✐➟♥ t❤♦➯ ♠➲♥✳
▼➷t ❦❤➳❝ t❛ ❝ã
V (x) = V (x(k + 1)) − V (x(k)) = x(k + 1)
T
P x(k + 1) − x(k)
T
P x(k)
= x(k)
T
A
T
P Ax(k) − x(k)
T
P x(k) = x(k)
T
(A
T
P A − P )x(k)
= −x(k)
T
Qx(k) ≤ −λ
max

(Q)  x(k) 
2
.
❱❐② t❛ ❝ã ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❱Ý ❞ô ✷✳✶✳✻✳ ❳Ðt ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤





x(k + 1) = −
1
2
x(k) +
1
8
y(k), k ∈ Z
+
,
y(k + 1) =
1
2
x(k) −
1
4
y(k),
tr♦♥❣ ➤ã
A =




−
1
2
1
8
1
2
−
1
4



.
▲✃② ♠❛ tr❐♥
P =

4 0
0 6

.
❘â r➭♥❣ P > 0 ✈➭
A
T
P A =

3 −
5
4

−
5
4
9
16

, Q = P − A
T
P A =

1
5
4
5
4
119
16

> 0,
❞♦ ➤ã ❤Ö tr➟♥ ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥✳
➜è✐ ✈í✐ ❤Ö ❦❤➠♥❣ ❞õ♥❣ ❝ã ♥❤✐Ô✉ ♣❤✐ t✉②Õ♥ t❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✼✳ ❬✸❪ ❳Ðt ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
x(k + 1) = A(k)x + g(k, x), k ∈ Z
+
. ✭✷✳✺✮
●✐➯ sö
✭✐✮ ❚å♥ t➵✐ q ∈ (0, 1) s❛♦ ❝❤♦  A(k) ≤ q,∀k ∈ Z
+
.
✭✐✐✮  g(k, x) ≤ L(k)  x ,∀k ∈ Z

+
✈í✐ lim
k→∞
supL(k) = 0.
❑❤✐ ➤ã ❤Ö ✭✷✳✺✮ ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥✳
✶✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
◆❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❤Ö ✭✷✳✺✮ ❧➭
x(k) = F (k, 0)x
0
+
k−1

s=0
F (k, s + 1)g(s, x(s)),
tr♦♥❣ ➤ã F (k, s) ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ x(k + 1) = A(k)x(k).
❚õ ➤ã t❛ ❝ã ➤➳♥❤ ❣✐➳
 x(k)  ≤ F (x, 0)x
0
 +
k−1

s=0
 F (k, s + 1)g(s, x(s)) 
≤ q
k
 x
0
 +

k−1

s=0
q
k−s−1
L(s)  x(s)  .
❙ö ❞ô♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ●r♦♥✇❛❧❧ rê✐ r➵❝ t❛ ➤➢î❝
 x(k) ≤ x
0

k−1

s=0
(q + L(s)).
▼➷t ❦❤➳❝ ✈× lim
k→∞
supL(k) = 0 ✈➭ q < 1, ♥➟♥ ❝ã ♠ét sè  > 0 ➤ñ ♥❤á ✈➭
♠ét sè N > 0 ➤ñ ❧í♥ s❛♦ ❝❤♦
q + L(k) < q + ,∀k > N.
❉♦ ➤ã✱
 x(k) ≤ x
0
 (q + L(0))(q + L(N − 1))(q + )
k−N
,∀k > N.
❚õ ➤ã s✉② r❛  x(k) → 0 ❦❤✐ k → ∞. ➜Þ♥❤ ❧ý ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
✷✳✶✳✸ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❤Ö rê✐ r➵❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã trÔ
❳Ðt ❤Ö rê✐ r➵❝ ❝ã trÔ
x(k + 1) = Ax(k) + Bx(k − h), k ∈ Z
+

, ✭✷✳✻✮
tr♦♥❣ ➤ã x(.) ∈ R
n
, A, B ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❤➺♥❣✱ h ≥ 0 ❝❤♦ tr➢í❝✱ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜❛♥
➤➬✉ ❝ñ❛ ❤Ö ❧➭
x(0) = x(−1) = ... = x(−h) = x
0
.
✶✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ớ ỗ x
0
trớ ệ ó ệ ị ệ ở ớ
k ợ tr ồ từ k h ớ trớ ó
ị ĩ ệ ọ ổ ị tệ ụ tộ ộ
ế ớ t ỳ h 0 tì ệ ũ ổ ị tệ
ể t ó ệ ổ ị tệ t ó ệ ổ ị tệ
ụ tộ ộ ị ý ớ t ề ệ ủ ể ệ
ổ ị tệ
ị ý ệ ổ ị tệ ế ột tr ề ệ
s r
ồ t tr ố ứ ị P, W s

X(P ) B
T
P A
A
T
P B W

< 0,
tr ó X(P ) = A
T
P A + W + B
T
P B P.
ồ t tr ố ứ ị , Z s

X() A
T
B
B
T
A Z

< 0,
tr ó X() = B
T
B + Z + A
T
A .
ứ
ét
V
k
(x) = x(k)
T
P x(k) +
k1

i=kh
x
i
(k)
T
Qx
i
(k),
ệ
ọ t ệ ủ ệ t ó
V
k
=V
k+1
(x) V
k
(x)
=x(k + 1)
T
P x(k + 1) + x(k)
T
Qx(k) x(k)
T
P x(k) x(k h)
T
Qx(k h)
=[x(k)
T
A
T

+ x(k h)
T
B
T
]P [Ax(k) + Bx(k h)]
+ x(k)
T
Qx(k) x(k)
T
P x(k) x(k h)
T
Qx(k h)

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
=x(k)
T
[A
T
P A + Q − P ]x(k) + 2x(k)
T
A
T
P Bx(k − h)
+ x(k − h)
T
[B
T
P B − Q]x(k − h).
✭✷✳✾✮
✭✐✮ ➜➢❛ ✭✷✳✾✮ ✈Ò ❞➵♥❣ ❝❤Ý♥❤ t➽❝ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ s❛✉

∆V
k
= − [Mx(k − h) + N x(k)]
T
[Mx(k − h) + Nx(k)]
+ x(k)
T
[N
T
N + A
T
P A + Q − P ]x(k)
= − x(k − h)
T
M
T
Mx(k − h) − 2x(k)
T
N
T
Mx(k − h)
+ x(k)
T
[A
T
P A + Q − P ]x(k).
✭✷✳✶✵✮
➜å♥❣ ♥❤✃t ✭✷✳✶✵✮ ✈➭ ✭✷✳✾✮ t❛ ➤➢î❝
M
T

M = Q − B
T
P B,
N
T
M = −A
T
P B.
➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤Ó ❝ã ♠❛ tr❐♥ M ❧➭
Q − B
T
P B > 0. ✭✷✳✶✶✮
❑❤✐ ➤ã
M = [Q − B
T
P B]
1
2
✈➭
N = −[Q − B
T
P B]
−
1
2
B
T
P A.
❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✹✱ ❤Ö ✭✷✳✻✮ sÏ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥ ♥Õ✉ ❝ã ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭✷✳✶✶✮
✈➭

N
T
N + A
T
P A + Q − P < 0, ✭✷✳✶✷✮
tø❝ ❧➭
A
T
P B[Q − B
T
P B]
−1
B
T
P A + A
T
P A + Q − P < 0.
➜➷t W = Q − B
T
P B t❤× Q = W + B
T
P B, t❛ ❝ã
A
T
P BW
−1
B
T
P A + A
T

P A + W + B
T
P B − P < 0.
❚❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✭✶✳✸✳✼✮ t❛ ❝ã ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
✷✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✭✐✐✮ ◆Õ✉ ➤➢❛ ✭✷✳✾✮ ✈Ò ❞➵♥❣ ❝❤Ý♥❤ t➽❝ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ s❛✉
V
k
= − [
ˆ
Mx(k − h) +
ˆ
Nx(k)]
T
[
ˆ
Mx(k − h) +
ˆ
Nx(k)]
+ x(k − h)
T
[
ˆ
M
T
ˆ
M + B
T
P B − Q]x(k − h)

= − 2x(k)
T
ˆ
N
T
ˆ
Mx(k − h) − x(k)
T
ˆ
N
T
ˆ
Nx(k)
+ x(k − h)
T
B
T
P Bx(k − h).
❇➺♥❣ ❧ý ❧✉❐♥ t➢➡♥❣ tù t❛ ❝ò♥❣ ❝ã ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❱Ý ❞ô ✷✳✶✳✶✵✳ ❳Ðt ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

x(k + 1) = −
1
4
x(k) +
1
4
x(k − h) +
1
4

y(k − h),
y(k + 1) =
1
4
x(k) +
1
4
y(k) +
1
4
y(k − h),
tr♦♥❣ ➤ã
A =

−
1
4
0
1
4
1
4

, B =

1
4
1
4
0

1
4

.
▲✃②
P =

16 0
0 16

, Q =

2 1
1 6

,
râ r➭♥❣ P, Q ❧➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ ✈➭
B
T
P B =

1 1
1 2

.
❑❤✐ ➤ã
W = Q − B
T
P B =


1 0
0 4

> 0.
❚õ ➤ã t❛ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ➤➢î❝
M = W
1
2
=

1 0
0 2

, N = −W
−
1
2
B
T
P A =

1 0
0 −
1
2

.
❚❛ ❝ã
N
T

N + A
T
P A + Q − P =

−11 2
2 −
35
4

< 0.
❱❐② tå♥ t➵✐ ♠❛ tr❐♥ P, W t❤♦➯ ♠➲♥ ➤Þ♥❤ ❧ý ♥➟♥ ❤Ö ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥✳
✷✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❍Ö q✉➯ ✷✳✶✳✶✶✳ ❍Ö ✷✳✻ ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ♥Õ✉ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉ ①➯②
r❛✿
✭✐✮ ❚å♥ t➵✐ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ P, R, Λ, Ω ♥❣❤✐Ö♠ ➤ó♥❣
❤Ö

A
T
Λ
−1
A + Ω + R = P,
BΩ
−1
B
T
+ Λ = P
−1
.

✭✷✳✶✸✮
✭✐✐✮ ❚å♥ t➵✐ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ Π, S, Γ, Σ ♥❣❤✐Ö♠ ➤ó♥❣
❤Ö

B
T
Σ
−1
B + Γ + S = Π,
AΓ
−1
A
T
+ Σ = Π
−1
.
✭✷✳✶✹✮
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
✭✐✮ ❚õ ✭✐✮ ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✾ t❛ ❝ã ❤Ö ✷✳✻ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥ ♥Õ✉

X(P ) B
T
P A
A
T
P B −W

< 0,
tr♦♥❣ ➤ã X(P ) = A
T

P A + W + B
T
P B − P.
❚❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✶✳✸✳✼ ➤✐Ò✉ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐
A
T
[P BW
−1
B
T
P + P ]A + [W + B
T
P B] − P < 0.
❚ø❝ ❧➭ tå♥ t➵✐ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ R s❛♦ ❝❤♦
A
T
[P BW
−1
B
T
P + P ] + [W + B
T
P B] + R = P.
❑ý ❤✐Ö✉
Λ
−1
= P BW
−1
B
T

P + P, ✭✷✳✶✺✮
✈➭ ➳♣ ❞ô♥❣ ❇æ ➤Ò ✶✳✸✳✷ t❛ ➤➢î❝
Λ = P
−1
− B[W + B
T
P B]
−1
B
T
. ✭✷✳✶✻✮
❑ý ❤✐Ö✉
Ω = W + B
T
P B,
t❤×
A
T
Λ
−1
A + Ω + R = P.
✷✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❚õ ✭✷✳✶✻✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢î❝
BΩ
−1
B
T
+ Λ = P
−1

.
✭✐✐✮ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ tù ✭✐✮ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ sö ❞ô♥❣ ✭✐✐✮ ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✾ ✈í✐
✈✐Ö❝ ➤➷t
Σ
−1
= Π + ΠAZ
−1
A
T
Π,
✈➭
Γ = Z + A
T
ΠA.
❈❤ó ý r➺♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ P = Π, W = B
T
P AZ
−1
A
T
P B t❤× ❝ã ♥❣❛②
Z = A
T
ΠBW
−1
B
T
ΠA. ❉♦ ➤ã ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤
❞➢➡♥❣ P, W ➤Ó ✭✷✳✼✮ ❧➭ ➤ó♥❣ t❤× ❝ò♥❣ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤
❞➢➡♥❣ Π, Z ➤Ó ✭✷✳✽✮ ➤ó♥❣ ✈➭ ♥❣➢î❝ ❧➵✐✳

❍Ö q✉➯ ✷✳✶✳✶✷✳ ❍Ö ✷✳✻ ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥ ♥Õ✉ A ❤♦➷❝ B ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ ✈➭
tå♥ t➵✐ ❤❛✐ sè ❞➢➡♥❣ p, q s❛♦ ❝❤♦
1
p
+
1
q
= 1 ✭✷✳✶✼✮
✈➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ X, Q t❤♦➯ ♠➲♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ▲②❛✲
♣✉♥♦✈ tæ♥❣ q✉➳t
pA
T
XA + qB
T
XB + Q = X. ✭✷✳✶✽✮
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
●✐➯ sö B ❧➭ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥✳ ❘â r➭♥❣ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ s❛✉ ❧➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣
P = X, R = Q, Λ =
1
p
X
−1
, Ω = qB
T
XB.
❚õ ✭✷✳✶✽✮ t❛ ❝ã
A
T
Λ
−1

A + Ω + R = P.
❉♦ B ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ ♥➟♥
X =
1
q
(B
T
)
−1
ΩB
−1
✷✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên