vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học chương phương pháp tọa độ trong không gian hình học 12 nâng cao

PHẦN MỞ ĐẦU
I.Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI
Đổi mới trong giáo dục đã và đang được toàn xã hội qua tâm. Đặc biệt trong giai
đoạn hiện nay vấn đề đổi mới nội dung và PPDH rất được chú trọng. Nghị quyết Ban
chấp hành TW Đảng lần thứ hai khúa VIII (1997) đã chỉ rõ: “cuộc cách mạng về
phương pháp giáo dục phải hướng vào người học, rèn luyện và phát triển khả năng giải
quyết vấn đề một cách năng động, độc lập sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở nhà
trường phổ thông. Áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho
HS năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề”.
Trong những năm gần đây, trước những thách thức mới của yêu cầu phát triển xã
hội, trong bối cảnh của cuộc cách mạng công nghệ thông tin trên thế giới, mục đích của
nhà trường là phải đào tạo người HS – lực lượng lao động nòng cốt trong tương lai, có
năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề một cách độc lập. Nh vậy, phát hiện và giải
quyết vấn đề không chỉ thuộc phạm trù PPDH, mà còn trở thành mục đích của quá trình
DH ở nhà trường, GQVĐ cũng trở thành nội dung học tập của HS.
Bên cạnh đó, qua nghiên cứu tình hình thực tế GV gặp rất nhiều khó khăn trong
việc lựa chọn PPDH sao cho vừa đảm bảo truyền tải đầy đủ nội dung, vừa phải đảm
bảo phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS, phát triển ở họ năng lực
phát hiện và giải quyết vấn đề. Trong khi PPDH của nước ta hiện nay còn nhiều bất cập
và hạn chế, Ýt tạo được động lực, hứng thú cho HS, nhiều kiến thức được truyền đạt tới
HS mang tính áp đặt. Những điều này đã ảnh hưởng tới kết quả đào tạo ở trường phổ
thông nói riêng và nền giáo dục của nước nhà nói chung.
Phương pháp tọa độ trong không gian là mét trong những công cụ giải toán
không gian quan trọng nã cho phép HS tiếp cận những kiến thức hình học phổ thông
một cách gọn gàng, sáng sủa và có hiệu quả nhanh chóng, tổng quát, đôi khi không cần
đến hình vẽ. Nó có tác dụng tích cực trong việc phát triển tư duy sáng tạo, trừu

tượng, năng lực phân tích, tổng hợp. . . Hơn nữa nội dung chương phương pháp tọa độ
trong không gian là mét trong những nội dung quan trọng của Hình học 12. Trong
những năm gần đây nội dung này thường xuyên xuất hiện trong các kì thi tốt nghiệp
THPT và trong các kì thi Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp và chiếm mét số

điểm không nhá (1, 5-2 điểm).
Vì vậy với mong muốn góp phần giúp cho GV và HS có phương pháp giảng
dạy và học tập tốt hơn trong khi dạy và học nội dung “ Phương pháp tọa độ trong
không gian”, tác giả chọn đề tài: Vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong
dạy học chương phương pháp tọa độ trong không gian– Hình học 12 nâng cao .
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu khả năng vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào
chương phương pháp tọa độ trong không gian.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Hệ thống húa cơ sở lý luận về DH phát hiện và giải quyết vấn đề.
- Vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy học những tình
huống điển hình (dạy học khái niệm, định lí, quy tắc phương pháp, bài tập)
- Thiết kế mét sè bài giảng vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề và
thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi của đề tài.
IV. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu GV vận dụng có hiệu quả dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong
dạy học chương phương pháp tọa độ trong không gian thì sẽ góp phần nâng cao chất
lượng dạy và học nội dung này.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIấN CỨU
1.Phương pháp nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu lịch sử của DH phát hiện và giải quyết vấn đề.
- Nghiên cứu những cơ sở khoa học của DH phát hiện và giải quyết vấn đề (cơ sở triết
học, cơ sở tâm lý học, cơ sở giáo dục học).

- Nghiên cứu những khái niệm cơ bản của DH phát hiện và giải
quyết vấn đề.
- Nghiên cứu các hình thức của DH phát hiện và giải quyết vấn đề.
2. Phương pháp quan sát - điều tra
- Tìm hiểu thực tế DH chương phương pháp tọa độ ở trường phổ thông.
- rút ra mét sè nhận định khách quan về những PPDH mà GV Toán THPT đang sử

dụng.
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
-Nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
VI. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục. Nội dung chính của
luận văn được chia làm 3 chương:
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương II: Vận dụng DH phát hiện và giải quyết vấn đề trong DH
chương phương pháp tọa độ trong không gian – Hình học 12 (SGK - Nâng cao)
Chương III: Thực nghiệm sư phạm









CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Vài nét về lịch sử của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Trong những thập kỷ 60 - 70 của thế kỷ XX, xu hướng DH phát hiện và
giải quyết vấn đề được nhiều nhà khoa học giáo dục quan tâm, trên cả bình diện
thực nghiệm rộng rãi ở nhiều môn học khác nhau cho nhiều lứa tuổi HS phổ thông.
Đặc biệt công trình nghiên cứu của ễkụn, Đanhilov, Xcatkin,
Rubinstein,Macchuskin, Kudriavse Ở Việt Nam, xu hướng DH này cũng có
những ảnh hưởng và tác động đáng kể tớiquá trình đổi mới phương pháp dạy và
học ở nhà trường phổ thông. Đặc biệt trong những năm gần đây, trước những thách
thức mới của yêu cầu phát triển xã hội, trong bối cảnh của cuộc cách mạng công

nghệ thông tin trên thế giới, mục đích của nhà trường là phải đào tạo người HS, lực
lượng lao động nòng cốt trong tương lai, có năng lực phát hiện và giải quyết vấn
đề một cách độc lập.
Như vậy, phát hiện và giải quyết vấn đề không chỉ thuộc phạm trù PPDH,
mà còn trở thành một mục đích của quá trình DH ở trường, được cụ thể hoá thành
một thành tố của mục tiêu là năng lực giải quyết vấn đề, giúp con người thích ứng
được vớisù phát triển của xã hội, “giải quyết vấn đề” cũng trở thành nội dung học
tập của HS. Định hướng phát triểngiáo dục và đào tạo, Nghị quyết Trung ương
Đảng khoá IX, ([9]) đã nhấn mạnh “tiếp tục đổi mới chương trình, nội dung,
phương pháp giảng dạy, phương thức đào tạo, … nâng cao trình độ giáo viên các
cấp ”. Những điều trình bày trên nhằm nhấn mạnh đến năng lực GQVĐ, phù hợp
với xu thế hiện đại về cải cách PPDH của thế giới.
Tóm lại:
- Năng lực phát hiện và giải quyết vần đề là mét trong
những năng lực then chốt, cần thiết cho mọi HS, đó là mục tiêu
của quá trình DH.
1.2. Những cơ sở khoa học của dạy học phát hiện giải quyết
vấn đề
Theo Nguyễn Bá Kim ([15]),PPDH phát hiện và giải quyết vấn đề dựa trên các cơ
sở sau:
-Cơ sở triết học: “Mâu thuẫn là động lực của sự phát triển”, nên mâu
thuẫn giữa yêu cầu nhận thức và những tri thức, kĩ năng còn hạn chế là động lực
thúc đẩy nhận thức ở HS.
- Cơ sở tâm lí học: “Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh
nhu cầu tư duy”. Khi có nhu cầu hiểu biết, có niềm say mê, hứng thú thì quá trình
nhận thức có hiệu quả sẽ tăng lên rõ rệt.
- Cơ sở giáo dục học: Sẽ có hiệu quả giáo dục cao hơn khi quá trình đào
tạo được biến thành quá trình tự đào tạo.
1.3. Những khái niệm cơ bản
1.3.1. Vấn đề

Mét vấn đề (đối với người học) được biểu thị bởi mét hệ thống những
mệnh đề, câu hỏi, yêu cầu hoạt động chưa được giải đáp, chưa có phương pháp có
tính thuật toán để giải hoặc thực hiện
1.3.2. Tình huống gợi vấn đề
Là tình huống trong đó tồn tại một vấn đề, gợi nhu cầu nhận thức, gây
niềm tin ở khả năng.
Ví dụ 1: Tính diện tích tam giác ABC khi biết tọa độ ba đỉnh là một tình
huống gợi vấn đề đối với HS khi chưa biết ứng dụng của tích có hướng của hai
véctơ.

Ví dụ 2:Cho đường thẳng và hai điểm A(0;0;3), B(0;3;3). Tìm
trên ( ) điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất.
- Rõ ràng ở đây tồn tại một vấn đề.
- Gợi nhu cầu nhận thức cho HS bởi vì trong mặt phẳng HS đã xác định
được vị trí của điểm M nên thôi thúc HS suy nghĩ, tìm tòi.
Tuy nhiên đây không phải là tình huống gợi vấn đề đối với những HS yếu
và trung bình bởi vì đây là một bài toán khó nên không gây được niềm tin ở khả
năng đối với những HS này.
1.3.3. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:
Theo Nguyễn Bá Kim - Vò Dương Thụy ([15]) DH phát hiện và giải
quyết vấn đề được hiểu là sự tổ chức quá trình DH bao gồm việc tạo ra tình huống
gợi vấn đề trong giờ học, kích thích ở HS nhu cầu giải quyết vấn đề nảy sinh, lôi
cuốn các em vào hoạt động nhận thức tự lực nhằm nắm vững kiến thức, kỹ năng,
kỹ xảo mới, phát triển tính tích cực của trí tuệ và hình thành cho các em năng lực
tự mình thông hiểu và lĩnh hội thông tin khoa học mới.
Theo ễkụn ([14], tr. 103) quá trình DH của GV gồm các hành động sau:
• Bước 1: Tổ chức các tình huống có vấn đề, phát hiện vấn
đề và đặt vấn đề để GQVĐ.
• Bước 2: Giúp đỡ HS những điều cần thiết để GQVĐ.
• Bước 3: Kiểm tra cách giải quyết đó và nghiên cứu lời

giải để hệ thống hoá, củng cố những kiến thức đã tiếp thu
được.
Các hành động học tập cơ bản của HS là:
• Bước 1: Phát hiện vấn đề nảy sinh trong tình huống có
vấn đề.
• Bước 2: Độc lập giải quyết vấn đề dưới sự điều khiển của
GV.

Mục đích cuối cùng là HS nắm vững được tri thức và học được cách thức “tự khám
phá” tri thức.
1.3.4. Đặc trưng của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Theo Nguyễn Bá Kim ([15]) DH phát hiện và giải quyết vấn đề có đặc
trưng cơ bản sau:
+ HS c t vo tỡnh hung gi vn .+ HS c t vo tỡnh hung gi vn
. + HS đợc đặt vào tình huống gợi vấn đề.
+ HS hot ng tớch cc, huy ng ht tri thc v kh nng ca mỡnh
GQV. + HS hoạt động tích cực, huy động hết tri thức và khả năng của
mình để GQVĐ.
+ Giỳp HS khụng nhng phỏt huy k nng lnh hi c kt qu ca quỏ trỡnh
GQV m cũn ch HS cũn c hc bn thõn vic hc. + Giúp HS
không những phát huy kỹ năng lĩnh hội đợc kết quả của quá trình GQVĐ mà còn
ở chỗ HS còn đợc học bản thân việc học.
1.4. Cỏc hỡnh thc ca dy hc phỏt hin v gii quyt vn
Theo Nguyn Bỏ Kim ([15])
1.4.1. Tự nghiờn cu vn
GV to ra tỡnh hung gi vn , HS t phỏt hin v GQV.
1.4.2. Vn ỏp phỏt hin v gii quyt vn
Trong vn ỏp phỏt hin v gii quyt vn HS lm vic khụng hon
ton c lp m cú s gi ý, dn dt ca GV khi cn thit. Phng tin thc
hin hỡnh thc ny l nhng cõu hi ca thy v nhng cõu tr li hoc hnh ng

ỏp li ca trũ.
1.4.3. Thuyt trỡnh phỏt hin v gii quyt vn
GV to ra tỡnh hung gi vn sau ú chớnh GV phỏt hin vn v
trỡnh by quỏ trỡnh suy ngh GQV.
1.4.4. Cỏc mc v cỏc kiu phng phỏp dy hc gii quyt vn

Qu trỡnh DH phỏt hin v gii quyt vn cú th c phõn bit theo bốn
mc v cú th thc hin ba kiu phng phỏp sau:
1.4.4.1. Cỏc mc (4 mc )
+ Mc th nht: GV nờu vn v GQV cũn HS chỳ ý hc cỏch nờu
vn v GQV do GV lm mu.
+ Mức độ thứ hai: GV nêu vấn đề rồi tổ chức, lãnh
đạo HS tham gia giải quyết một trong những vấn đề đó.
+ Mức độ thứ ba: GV nêu vấn đề rồi tổ chức, lãnh đạo HS độc lập giải
quyết toàn bộ vần đề.
+ Mức độ thứ tư: HS tù nêu vấn đề và độc lập giải quyết toàn bộ vấn đề.
1.4.4.2. Các kiểu phương pháp
Quá trình DH phát hiện và giải quyết vấn đề có thể được thực hiện với các
kiểu phương pháp khác nhau trong sù phối hợp một cách hợp lý.
+ Kiểu phương pháp thông báo vấn đề.
+ Kiểu phương pháp tìm kiếm bộ phận.
+ Kiểu phương pháp nghiên cứu toàn bộ vấn đề.
1.5. Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
1.5.1. Các bước của dạy học phát hiện và giải
quyết vấn đề
Theo quan điểm của Nguyễn Bá Kim và Vũ Dương Thụy, quá
trình DHphát hiện và giải quyết vấn đề được phân thành các bước sau ([15],
tr.119):
Bước 1: Phát hiện vấn đề
Tạo tình huống có vấn đề, phát hiện những dạng vấn đề nảy sinh, phát

hiện những vấn đề cần giải quyết.
Bước 2: Giải quyết vấn đề
Đề xuất các giả thuyết, lập kế hoạch GQVĐ, thực hiện
kế hoạch GQVĐ.
Bước 3: Trình bày cách giải quyết vấn đề.
Khẳng định hay bác bỏ những giả thuyết đã nêu.

Bước 4: Nghiờn cứu sâu lời giải
Tìm hiểu các khả năng ứng dụng kết quả, đề xuất
những vấn đề mới có
liên quan.
1.5.2. Những điểm cần chú ý khi vận dụng dạy học
phát hiện và giải quyết vấn đề
+ DH phát hiện và giải quyết vấn đề là mét trong những
xu hướng dạy và học hiện đại, nó đòi hỏi phải có sự vận dụng
thật sáng tạo trong những điều kiện DH, nội dung DH, đối
tượng DH và môi trường sư phạm cụ thể.
+ Khi thực hiện DH theo xu hướng phát hiện và giải quyết vấn đề, để đạt kết
quả cao yêu cầu GV phải có sự chuẩn bị bài giảng cẩn thận và công phu (chuẩn bị
nhiều câu hỏi, nhiều bài toán, nhiều tình huống có vấn đề… cho nhiều đối tượng
HS).
+ Tạo tình huống có vấn đề một cách thật khéo léo khi tiến hành DH ở những
lớp có số HS đông.
1.6. Những cách thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề:
1.6.1. Dự đoỏn nhờ nhận xột trực quan và thực nghiệm (tớnh toỏn, đo
đạc )
Ví dụ:
, và vuông góc với
.
và vuông góc

với .
Gợi ra vấn đề có phải chăng và .
1.6.2. Lật ngược vấn đề

Ví dụ 1: Nếu khai triển phương trình mặt cầu và viết dưới
dạng thì thấy rằng là đa thức bậc hai đối với có các
hệ số của đều bằng 1 và không có các hạng tử chứa .
Bừy giờ xột vấn đề ngược lại:
Phương trình dạng có phải là phương trình mặt
cầu trong không gian cho trước hay không (?)
Ví dụ 2: Trong không gian mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng
.
Vấn đề đặt ra: Trong không gian mỗi phương trình dạng:
có phải là phương trình của mặt phẳng không?
1.6.3. Xem xột tương tự
Ví dụ: Trong mặt phẳng phương trình tham số của đường thẳng có dạng:
trong đó và là VTCP của đường thẳng
, là tham số. Tương tự như cách lập phương trình tham số của đường thẳng
trong mặt phẳng, hãy lập phương trình tham số của đường thẳng trong không gian.
1.6.4. Khái quát húa
Ví dụ: Từ biểu thức tọa độ của tổng hai vộctơ khái quát húa thành biểu thức tọa độ
của tổng n vộctơ ( ).
1.6.5. Giải bài tập mà người học chưa biết thuật giải
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng qua ba điểm , , .

Ví dụ 2: Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng lờn mặt
phẳng


1.6.6. Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng :
.
Húy phỏt hiện sai lầm và sửa chữa sai lầm trong lời giải sau:
Phương trình tham số của đường thẳng : .
Xét hệ phương trình tạo bởi đường thẳng và ta có
Vậy hệ phương trình trên vô nghiệm. Do đó đường thẳng và không cắt
nhau, hơn nữa ta thấy vectơ không cùng phương với vộctơ . Vậy
chộo .
Nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên là khi chuyển phương trình chính tắc của
đường thẳng về dạng tham số, đó chọn tham số của phương trình đường

thẳng giống tham số của phương trình đường thẳng . Dẫn đến hệ phương
trình vô nghiệm.
Như vậy: Trong quá trình giải, nếu cần phải xét đồng thời phương trình tham số
của hai đường thẳng thì phải dùng hai tham số khác nhau về mặt ký hiệu.
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình:
,
Viết phương trình đường thẳng đi qua cắt cả .
Húy phỏt hiện sai lầm và sửa chữa sai lầm trong lời giải sau:
Ta có đường thẳng đi qua điểm và có VTCP .
Do đó .
Gọi là mặt phẳng đi qua điểm M và chứa đường thẳng .
Phương trình mặt phẳng là: .
Ta có đường thẳng đi qua điểm và có VTCP .
Gọi là mặt phẳng đi qua điểm M và chứa đường thẳng
Phương trình mặt phẳng là: .
Do đó phương trình đường thẳng cần tìm có dạng
Nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên là khi xác định được phương trình của
đường thẳng đã không kiểm tra đường thẳng có cắt đường thẳng và
không.

1. 7. Vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán

Việc vận dụng DH phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán, theo Phạm
Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc [12] có nghĩa là phải tổ chức
việcDH toán sao cho các em luôn đứng trước những tình huống có vấn đề mang
tính chất toán học phải giải quyết, phải luôn luôn tìm tòi, phát hiện ra vấn
đề và sáng tạo những con đường để giải quyết những vấn đề đó (tù rút ra công
thức, tù chứng minh định lý, tìm cách ghi nhớ một cách tích cực cần kiến thức cần
lĩnh hội, tù tìm ra thuật toán giải bài toán điển hình…). Kết quả là HS lĩnh hội
được kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo mới đồng thời học cách tự khám phá.
Khi vận dụng DH phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toáncần phải chú ý
khai thác sử dụng những khía cạnh sau đây:
- Khi DH khái niệm cần vận dụng linh hoạt hai con
đường: con đường quy nạp và con đường suy diễn.
- Khi DHđịnh lý cần chú ý hai con đườngsuy diễn và suy
đoán .
- Khi DH giải bài tập toán cần chú ý đến cả hai mặt suy diễn
và suy lý.
Nói cách khác khi DH cần chú ý thực hiện cả hai mặt:Dạy
chứng minh và dạy tìm tòi. Đồng thời cần chú ý rèn luyện
cho HS các hoạt động trí tuệ chung như : tương tự hoá, đặc biệt
hoá, khái quát hoá, tổng quát hoá

(!) Vộctơ khỏc , có giá vuông góc với đường thẳng gọi là VTPT của đường
thẳng .
(?) Bằng cỏch tương tự húy nờu khỏi niệm VTPT của mặt phẳng.
(!) Vộctơ khỏc gọi là VTPT của mặt phẳng nếu giỏ của vuông góc với
mặt phẳng .
(?) Mỗi mặt phẳng có bao nhiêu VTPT ? Chúng liên hệ với nhau như thế nào ?
(!) Mỗi mặt phẳng có vô số VTPT và chúng cùng phương với nhau.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng đi qua điểm và có
VTPT , .
(?) Tìm điều kiện cần và đủ để điểm thuộc mặt phẳng .
(!) Điều kiện cần và đủ để điểm thuộc mặt phẳng là
(1)
(?) Nếu đặt thì phương trình (1) có dạng như thế nào?
(!) Khi đó phương trình (1) có dạng
, trong đó (2).
Phương trình (2) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng .
(?) Như vậy để viết được phương trình tổng quát của một mặt phẳng ta phải biết
các yếu tố nào?
(!) Ta cần biết cỏc yếu tố sau: tọa độ một điểm thuộc mặt phẳng và tọa độ của một
VTPT của mặt phẳng.
Hoạt động 2: Củng cố khỏi niệm bằng hoạt động nhận dạng và thể hiện
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng có dạng:
trong đó
(?) Hãy tìm điều kiện cần và đủ để mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.

(!) Lấy một điểm thuộc mặt phẳng , chẳng hạn .
Nếu trùng thì khi đó hay .
Nếu song song thì . Khi đó .
(?) Từ đó hãy tìm điều kiện để mặt phẳng cắt .

(!) hay .
Tóm lại: Cho hai mặt phẳng và lần lượt có phương trình :
và
• Hai mặt phẳng đó cắt nhau khi và chỉ
khi .
• Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ
khi .
• Hai mặt phẳng đó trùng nhau khi và chỉ
khi .
Hoạt động 2:Củng cố định lí bằng hoạt động thể hiện
Ví dụ:Cho hai mặt phẳng

Hãy tìm giá trị của m để:
a) Hai mặt phẳng đó song song;
b) Hai mặt phẳng đó trùng nhau;
c) Hai mặt phẳng đó cắt nhau;
d) Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
Lời giải:
GọiVTPT của hai mặt phẳng lần lượt là: và .
Khi đó ta có và .

và .
Gọi là diện tích tam giác ABC, ta có:
.
Ví dụ 2: Trong không gian cho bốn điểm , ,
, . Chứng minh rằng ba vộctơ không đồng phẳng.
Ta có , ,
Và
Vậy . Do đó ba vộctơ không đồng phẳng.
2. 5.2. Một số ứng dụng của tích có hướng của hai vộctơ

a) Tính diện tích hình bình hành:
b) Tính thể tích của hình hộp
Ví dụ 1:Cho hình bình hành ABCD với

Hãy tính diện tích ABCD.
Cách 1:
Ta có
Trong đó . Hình 2. 5

(?) Bài toán yêu cầu gì?
(!) Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3
điểm A, B, C cho trước.
Bước 2: Xõy dựng chương trình giải:
(?) Bài toỏn đó biết cỏch giải chưa?
(!) Chưa.
(?) Hãy vẽ hình cho bài toán trên.
(!)
(?) Hãy tìm 1 VTPT của mặt phẳng (ABC) Hình 2. 9
(!) .
Bước 3: Thực hiện chương trình giải :
(?) Hãy trình bày chi tiết bài giải vào vở.
(!) Ta có , , từ đó: .
Vộctơ và vuông góc với cả hai vộctơ . Nờn là VTPT của mặt
phẳng . Vậy phương trình mặt phẳng (ABC):
Bước 4: Nghiờn cứu sừu lời giải:
(?) Húy tỡm cỏch giải khỏc cho bài toỏn trờn.
(!) Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng: .
(?) Hãy trình bày cách giải khác.
(!) Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng (d).
Khi đó ta có: . Vì .

Ta có
Vậy là tọa độ hình chiếu của A lên (d).
Giả sử . Vì H là trung điểm AA
1
ta có:
(?) Húy phỏt biểu bài toỏn tổng quỏt cho bài toỏn trờn.
(!) Bài toỏn: Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm lên đường thẳng.
(?) Hãy trình bày cách giải bài toán trên.
(!) Cho điểm và đường thẳng (d) . Để xác định hình chiếu
của A lên đường thẳng (d) ta thực hiện các bước sau:
Cỏch 1
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với ( ).
Bước 2: Tọa độ giao điểm H của ( ) và ( ) chính là hình chiếu vuông góc
của A lên đường thẳng (d). vuông góc của A lên đường thẳng (d).
Cỏch 2(Áp dụng khi đường thẳng ( ) cho dưới dạng tham số)
Bước 1: Xỏc định VTCP của đường thẳng ( ).
b) ABCD là hình thoi thì chọn hệ trục như sau:




Hình 2. 27
c) ABCD là hình vuông thì có thể chọn hệ trục như ở mục 6a) hoặc 6b
d)





*Ví dụ minh họa

Bài toỏn 1: Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam
giác vuông đỉnh O. Gọi , , lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các
mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB).
Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC có ba góc nhọn.
b) .
Lời giải:
Cỏch 1: Giải bằng hình học không gian thuần tỳy
Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên
AB, AC, BC. Khi đó , , .
Thật vậy ta có
Mặt khỏc
Từ (1) và (2) ta có
Mà Hình 2. 30
Vậy là góc giữa mặt phẳng (OBC) và mặt phẳng (ABC).
Tương tự là góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng
(OAB) và (OAC).
a) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn
Ta có: .

Bài toỏn 3: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB=a,
và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AB. Tính độ dài đoạn
vuông góc chung của SM và BC.
Bài toỏn 4: Cho tứ diện SABC có , SC vuông góc với mặt
phẳng (ABC), ∆ABC vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao
cho .
a) Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trị của t để đoạn MN
ngắn nhất.
b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường
vuông góc chung của BC và SA.

Bài toỏn 5: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC.
Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao
cho . Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với
nhau.
Bài toỏn 6: Cho hình chóp S. ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC),∆ABC
vuông đỉnh B, AB=a, AC=2a, mặt (SBC) hợp với (ABC) góc .
a) Tìm trên đoạn BC điểm M cách đều hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC).
b) Tìm trên đoạn SA điểm N cách đều hai mặt phẳng
(SBC) và (ABC). Tính khoảng cách đó.
c) Tìm trên đoạn AB điểm P cách đều hai mặt phẳng
(SAC) và (SBC). Tính khoảng cách đó.
Bài toỏn 7: Cho hình lập phương ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa A
1
B và B
1
D.

a) Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm cỏc cạnh BB
1
,

CD, A
1
D. Tính góc giữa MP và C
1
N.
Bài toỏn 8: Cho hình lập phương ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
cạnh bằng a. Gọi M, N theo thứ
tự là trung điểm cỏc cạnh AD, CD. Lấy điểm P trờn BB
1
sao cho BP = 3PB
1
. Tính
diện tích thiết diện do (MNP) cắt hình lập phương.
Bài toỏn 9: Cho hình lập phương ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
cạnh bằng a.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng A

1
B và
AC
1
.
b) Gọi K là trung điểm DD
1
. Tính góc và khoảng cách
giữa hai đường thẳng CK và A
1
D.
c) Mặt phẳng (P) qua BB
1
và hợp với hai đường thẳng
BC
1
, B
1
D hai góc bằng nhau. Tính các góc này.
Bài toỏn 10: Cho hình lập phương ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
cạnh bằng a. Chứng minh rằng
khoảng cách từ một điểm bất kì trong không gian đến một trong các đường thẳng
AA

1
, B
1
C
1
, CD không thể đồng thời nhỏ hơn .
Bài toỏn 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
có AB=a, AD=2a, AA
1
= .
Trờn cạnh AD lấy điểm M, gọi K là trung điểm B
1
M.
a) Đặt AM = ma) Đặt AM = m a) Đặt AM=m . Tính thể tích
khối tứ diện A
1
KID theo a và m, trong đó I là tâm hình hộp. Tìm vị trí của điểm M
để thể tích đó đạt giá trị lớn nhất.
b) Khi M là trung điểm AD.
1) Hỏi thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (B
1
CK) là hình gì?
Tính diện tích thiết diện đó theo a.