đề thi đại học có đáp án
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (6.52 MB, 80 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2007
Môn thi: TOÁN, khối A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
22
x2(m1)xm4m
y(1),
x2
++++
=
+
m
là tham số.
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m1=− .
2.
Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa
độ
O
tạo thành một tam giác vuông tại
O.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình:
()( )
22
1sinxcosx 1cosxsinx 1sin2x.+++ =+
2.
Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
4
2
3x 1 mx 1 2x 1.−+ += −
Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
xy1z2
d:
211
−+
==
−
và
2
x12t
d: y 1 t
z3.
=− +
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=
⎩
1.
Chứng minh rằng
1
d và
2
d chéo nhau.
2.
Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
()
P:7x y 4z 0+− = và cắt hai đường
thẳng
1
d,
2
d.
Câu IV (2 điểm)
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
()
ye1x,=+
()
x
y1ex.=+
2.
Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz 1.= Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
222
x(y z) y(z x) z(x y)
P
yy 2zz zz 2xx xx 2yy
++ +
=++⋅
++ +
PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chỉ được chọn làm câu V.a hoặc câu V.b
Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(−2; −2) và C(4; −2). Gọi H là
chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình
đường tròn đi qua các điểm H, M, N.
2.
Chứng minh rằng:
2n
135 2n1
2n 2n 2n 2n
111 1 21
C C C C
246 2n 2n1
−
−
++++ =
+
(
n là số nguyên dương,
k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử).
Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2 điểm)
1. Giải bất phương trình:
31
3
2log (4x 3) log (2x 3) 2.−+ +≤
2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng
minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: …………… ……………………………số báo danh: ……………………………….
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2007
Môn thi: TOÁN, khối B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I. (2 điểm)
Cho hàm số:
32 2 2
y x 3x 3(m 1)x 3m 1=− + + − − − (1), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều
gốc tọa độ O.
Câu II. (2 điểm)
1. Giải phương trình:
2
2sin 2x sin 7x 1 sin x.+−=
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực
phân biệt:
()
2
x2x8 mx2.+−= −
Câu III. (2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
()
222
S:x y z 2x 4y 2z 3 0++−++−= và
mặt phẳng
()
P:2x y 2z 14 0.−+ − =
1. Viết phương trình mặt phẳng
()
Q chứa trục Ox và cắt
()
S theo một đường tròn có bán kính
bằng 3.
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu
()
S sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng
()
P lớn nhất.
Câu IV. (2 điểm)
1. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: yxlnx,y0,xe.=== Tính thể tích của khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
2. Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x1 y1 z1
Px y z .
2yz 2zx 2xy
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞
=+++++
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh chỉ được chọn làm một trong hai câu: V.a hoặc V.b)
Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 điểm)
1. Tìm hệ số của số hạng chứa
10
x trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
(2 x) ,+ biết:
()
n
n0 n11 n22 n33 n
nn n n n
3 C 3 C 3 C 3 C 1 C 2048
−− −
−+ −++−=
(n là số nguyên dương,
k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử).
2.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm
()
A2;2 và các đường thẳng:
d
1
: x + y – 2 = 0, d
2
: x + y – 8 = 0.
Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d
1
và d
2
sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2 điểm)
1. Giải phương trình:
()()
xx
21 21 22 0.−+ +− =
2.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D
qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh
MN vuông
góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: …………… ……………………………Số báo danh: ……………………………….
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008
Môn thi: TOÁN, khối A
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
22
mx (3m 2)x 2
y(1),
x3m
+−−
=
+
với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m1= .
2. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng
o
45 .
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình
11 7π
4sin x .
3π
sinx 4
sin x
2
⎛⎞
+=−
⎜⎟
⎛⎞
⎝⎠
−
⎜⎟
⎝⎠
2. Giải hệ phương trình
()
232
42
5
xyxyxyxy
4
x, y .
5
xyxy(12x)
4
⎧
++ + + =−
⎪
⎪
∈
⎨
⎪
++ + =−
⎪
⎩
\
Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
()
A2;5;3
và đường thẳng
x1 y z2
d: .
212
−−
==
1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng
d.
2. Viết phương trình mặt phẳng
(α)
chứa
d
sao cho khoảng cách từ A đến
(α)
lớn nhất.
Câu IV (2 điểm)
1. Tính tích phân
π
4
6
0
tg x
Idx.
cos 2x
=
∫
2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt :
4
4
2x 2x 2 6 x 2 6 x m++−+−=
(m ).∈ \
PHẦN RIÊNG
__________
Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc V.b
__________
Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban
(2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elíp (E) biết rằng
(E) có tâm sai bằng
5
3
và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.
2. Cho khai triển
()
n
n
01 n
12x a ax ax,+=+++ trong đó
*
n ∈ `
và các hệ số
01 n
a ,a , ,a
thỏa mãn hệ thức
1n
0
n
aa
a 4096.
22
+++ = Tìm số lớn nhất trong các số
01 n
a , a , , a .
Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm)
1. Giải phương trình
22
2x 1 x 1
log (2x x 1) log (2x 1) 4.
−+
+−+ − =
2. Cho lăng trụ
ABC.A 'B 'C '
có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB = a, AC =
a3
và hình chiếu vuông góc của đỉnh
A'
trên mặt phẳng (ABC) là trung
điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp
A'.ABC
và tính cosin của góc giữa hai
đường thẳng
AA ',
B'C'
.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008
Môn thi: TOÁN, khối B
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
32
y4x 6x 1=−+ (1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua
điểm
()
M1;9.−−
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình
33 22
sin x 3cos x s inxcos x 3sin xcosx.−= −
2. Giải hệ phương trình
4322
2
x2xyxy2x9
x2xy6x6
⎧
++=+
⎪
⎨
+=+
⎪
⎩
()
x, y .∈ \
Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
()( )( )
A 0;1; 2 , B 2; 2;1 , C 2;0;1 .−−
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
A, B, C.
2. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng
2x 2y z 3 0++−= sao cho MA MB MC.==
Câu IV (2 điểm)
1. Tính tích phân
4
0
sin x dx
4
I.
sin 2x 2(1 sin x cos x)
π
π
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
=
++ +
∫
2. Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức
22
xy1.+= Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
2(x 6xy)
P.
12xy2y
+
=
++
PHẦN RIÊNG Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc V.b
Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban
(2 điểm)
1. Chứng minh rằng
kk1k
n1 n1 n
n1 1 1 1
n2C C C
+
++
⎛⎞
+
+=
⎜⎟
+
⎝⎠
(n, k là các số nguyên dương,
kn,≤
k
n
C
là
số tổ hợp chập k của n phần tử).
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết
rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm
H( 1; 1),−−
đường phân giác
trong của góc A có phương trình
xy20−+= và đường cao kẻ từ B có phương trình
4x 3y 1 0.+−=
Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm)
1. Giải bất phương trình
2
0,7 6
xx
log log 0.
x4
⎛⎞
+
<
⎜⎟
+
⎝⎠
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
2a, SA a,=
SB a 3=
và
mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai
đường thẳng SM, DN.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn thi: TOÁN; Khối: A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm):
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số
2
23
x
y
x
+
=
+
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại
hai điểm phân biệt
A
,
B
và tam giác
OAB
cân tại gốc toạ độ
.O
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
(
)
()()
12sin cos
3
12sin 1sin
xx
xx
−
=
+−
.
2. Giải phương trình
(
)
3
23 2 36 5 8 0 .xxx−+ − −= ∈\
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân
()
2
32
0
cos 1 cosIx
π
=−
∫
xdx
.
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp có đáy
.SABCD
A
BCD
là hình thang vuông tại
A
và
;D
2
A
BAD a==
,
;CD a
=
góc giữa
hai mặt phẳng và
()
SBC
(
)
A
BCD
bằng Gọi là trung điểm của cạnh 60 .
D
I
A
D
. Biết hai mặt phẳng
(
)
SBI
và
(
cùng vuông góc với mặt phẳng
)
SCI
(
)
A
BCD
, tính thể tích khối chóp theo
.SABCD
.a
Câu V (1,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương
,,
x
yz
thoả mãn
(
)
3,
x
xyz yz++ =
ta có:
()()()()()()
33
35
3
.
x
yxz xyxzyz yz+++++ + +≤ +
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho hình chữ nhật ,Oxy
A
BCD
có điểm là giao điểm của hai đường
chéo
(6;2)I
A
C
và
B
D
. Điểm
(
)
1; 5M
thuộc đường thẳng
A
B
và trung điểm
E
của cạnh thuộc đường
thẳng
. Viết phương trình đường thẳng
CD
:50xyΔ+−=
A
B
.
2.
Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt phẳng ,Oxyz
(
)
:2 2 4 0Pxyz−−−=
và mặt cầu
(
)
222
: 2 4 6 11 0.Sx y z x y z++−−−−=
Chứng minh rằng mặt phẳng
(
)
P
cắt mặt cầu
(
)
S
theo một
đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.
Câu VII.a (1,0 điểm)
Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình
1
z
2
z
2
210zz 0
+
+=. Tính giá trị của biểu thức
22
12
.Az z=+
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho đường tròn ,Oxy
(
)
22
:446Cx y x y 0
+
+++=
và đường thẳng
với m là tham số thực. Gọi là tâm của đường tròn
(
Tìm để :23xmy mΔ+ − +=0,
I
)
.C
m
Δ
cắt
(
)
C
tại hai điểm phân biệt
A
và
B
sao cho diện tích tam giác lớn nhất.
IAB
2. Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt phẳng ,Oxyz
(
)
:221Px y z 0
−
+−=
và hai đường thẳng
1
19
:
116
xyz++
Δ==
,
2
13
:
21
1
2
x
yz−−+
Δ==
−
. Xác định toạ độ điểm
M
thuộc đường thẳng
1
Δ
sao cho
khoảng cách từ
M
đến đường thẳng
2
Δ
và khoảng cách từ
M
đến mặt phẳng
(
)
P
bằng nhau.
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình
(
)
()
()
22
22
22
log 1 log
,.
381
xxyy
xy xy
xy
−+
⎧
+=+
⎪
∈
⎨
=
⎪
⎩
\
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn: TOÁN; Khối: B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số (1).
4
24yx x=−
2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Với các giá trị nào của phương trình
,m
22
|2|
x
xm
−
= có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ?
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
3
sin cos sin 2 3 cos3 2(cos4 sin ).
x
xx x x x++=+
2. Giải hệ phương trình
22 2
17
(, ).
113
xy x y
xy
xy xy y
++=
⎧
∈
⎨
++=
⎩
\
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân
3
2
1
3ln
.
(1)
x
Id
x
+
=
+
∫
x
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình lăng trụ tam giác .'''
A
BC A B C có
',
B
Ba
=
góc giữa đường thẳng
'
B
B
và mặt phẳng bằng
tam giác
(ABC)
60 ;
D
A
BC vuông tại và C
n
B
AC
=
60 .
D
Hình chiếu vuông góc của điểm
'
B
lên mặt phẳng ()
A
BC
trùng với trọng tâm của tam giác
.
A
BC Tính thể tích khối tứ diện '
A
ABC theo
.a
Câu V (1,0 điểm)
Cho các số thực
,
x
y
thay đổi và thoả mãn ()
3
42.xy xy+≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
+
4422 22
3( ) 2( ) 1Axyxy xy=++ −++.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho đường tròn ,Oxy
22
4
():( 2)
5
Cx y
−
+=
và hai đường thẳng
1
:0xy ,
Δ
−=
Xác định toạ độ tâm
2
:70xyΔ−=.
K
và tính bán kính của đường tròn
(
biết đường tròn tiếp xúc
với các đường thẳng và tâm
1
);C
1
()C
12
,ΔΔ
K
thuộc đường tròn ().C
2.
Trong không gian với hệ toạ độ cho tứ diện ,Oxyz
A
BCD có các đỉnh và
Viết phương trình mặt phẳng đi qua sao cho khoảng cách từ đến bằng khoảng
cách từ đến
(
(1;2;1), ( 2;1;3), (2; 1;1)AB C−−
(0;3;1).D ()P ,AB C ()P
D
).P
Câu VII.a (1,0 điểm)
Tìm số phức thoả mãn: z (2 ) 10zi−+= và
. 25.zz=
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho tam giác ,Oxy
A
BC cân tại
A
có đỉnh và các đỉnh (1;4)A − ,
B
C thuộc
đường thẳng Xác định toạ độ các điểm
:4xyΔ−−=0.
B
và biết diện tích tam giác
,C
A
BC bằng 18.
2.
Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt phẳng ,Oxyz (): 2 2 5 0Px y z
−
+−= và hai điểm (3;0;1),A
−
Trong các đường thẳng đi qua
(1; 1; 3).B −
A
và song song với hãy viết phương trình đường thẳng mà
khoảng cách từ
(),P
B
đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Câu VII.b (1,0 điểm)
Tìm các giá trị của tham số để đường thẳng
m
yxm
=
−+ cắt đồ thị hàm số
2
1x
y
x
−
=
tại hai điểm phân biệt
sao cho
,AB 4.AB =
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010
Môn: TOÁN; Khối: A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y = x
3
− 2x
2
+ (1 − m)x + m (1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x
1
, x
2
, x
3
thoả mãn điều
kiện
222
123
x
xx++ < 4.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
(1 sin cos 2 ) sin
1
4
cos
1tan
2
xxx
x
x
π
⎛⎞
++ +
⎜⎟
⎝⎠
=
+
.
2. Giải bất phương trình
2
12( 1
xx
xx
−
−−+)
≥ 1.
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I =
1
22
0
2
d
12
xx
x
xe xe
x
e
++
+
∫
.
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SH = a
3
. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và
SC theo a.
Câu V (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
22
(4 1) ( 3) 5 2 0
42347
xxy y
xy x
⎧
++− −=
⎪
⎨
++ − =
⎪
⎩
(x, y ∈
R).
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d
1
: 30xy+= và d
2
: 3xy−=0. Gọi (T) là
đường tròn tiếp xúc với d
1
tại A, cắt d
2
tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết
phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
và điểm A có hoành độ dương.
2.
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆:
1
21 1
xyz−
==
−
2+
và mặt phẳng (P): x − 2y + z = 0.
Gọi
C là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC =
6
.
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm phần ảo của số phức z, biết
2
(2 )(1 2)zi=+ −i.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung
điểm của các cạnh
AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; −3)
nằm trên đường cao đi qua đỉnh
C của tam giác đã cho.
2.
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) và đường thẳng ∆:
22
232
3
x
yz+−+
==
. Tính
khoảng cách từ
A đến ∆. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.
Câu VII.b (1,0 điểm)
Cho số phức z thỏa mãn
z
=
3
(1 3 )
1
i
i
−
−
. Tìm môđun của số phức
z
+ i z.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010
Môn: TOÁN; Khối: B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
21
1
x
y
x
+
=
+
.
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2.
Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB
có diện tích bằng
3
(O là gốc tọa độ).
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình (sin . 2 cos 2 )cos 2cos2 sin 0xxx xx++−=
2.
Giải phương trình
2
31 6 3 14 8xxxx+− − + − − =0
(x ∈ R).
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
()
2
1
ln
d
2ln
e
x
I
x
xx
=
+
∫
.
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều
'
có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng
.''ABC A B C
(' )
A
BC và ()
A
BC bằng . Gọi G là trọng tâm tam giác . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
60
o
'ABC
Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
22 22 22 2 2 2
3( ) 3( ) 2
M
ab bc ca ab bc ca a b c=++++++++
.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(− 4; 1), phân giác trong góc A có
phương trình x
+ y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và
đỉnh A có hoành độ dương.
2.
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong đó b, c dương
và mặt phẳng (P): y
− z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng
(P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng
1
3
.
Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
(1 )zi iz−= + .
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(2;
3
) và elip (E):
22
1
32
xy
+
=
. Gọi F
1
và F
2
là các
tiêu điểm của (E) (F
1
có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF
1
với
(E); N là điểm đối xứng của F
2
qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF
2
.
2.
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:
1
21
2
x
yz
−
=
= . Xác định tọa độ điểm M trên
trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến
Δ bằng OM.
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
2
log (3 1)
423
xx
yx
y
−
=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
(x, y ∈ R).
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011
Môn: TOÁN; Khối: A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
1
.
21
x
y
x
−+
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và
B. Gọi k
1
, k
2
lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng đạt
giá trị lớn nhất.
1
kk+
2
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
2
1sin2 cos2
2sin sin2 .
1cot
xx
x
x
x
++
=
+
2. Giải hệ phương trình
223
22 2
5432()0
(, ).
()2()
xy xy y x y
xy
xy x y x y
⎧
−+−+=
⎪
∈
⎨
++=+
⎪
⎩
\
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
4
0
sin ( 1)cos
d.
sin cos
x
xx x
I
x
xx x
π
++
=
+
∫
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a;
hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB;
mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
bằng 60
o
. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Câu V (1,0 điểm) Cho ,,
x
yzlà ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
.
23
=++
++
+
x
yz
P
x
yyzzx
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x + y + 2 = 0 và đường tròn
Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến
MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích
bằng 10.
22
(): 4 2 0.Cx y x y+− − =
2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3) và mặt phẳng
Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3.
():2 4 0.Pxyz−−+=
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm tất cả các số phức z, biết:
2
2
.zz=+z
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip
22
(): 1.
41
xy
E +=
Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc
(E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và điểm
. Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
222
(): 4 4 4 0Sx y z x y z++− − − =
(4; 4; 0)A
Câu VII.b (1,0 điểm) Tính môđun của số phức z, biết: (2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2−+++−=−zizii.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011
Môn: TOÁN; Khối: B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
42
2( 1)
y
xmx=− + +m (1), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc
tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx.
2. Giải phương trình
2
32 62 44 10 3 ( ).xxx xx+− −+ − = − ∈\
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
3
2
0
1sin
d.
cos
x
x
I
x
x
π
+
=
∫
Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABCD.A
1
BB
1
C
1
D
1
có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a,
3.AD a= Hình chiếu vuông góc của điểm A
1
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm
của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD
1
A
1
) và (ABCD) bằng 60 . Tính thể tích khối
lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B
1
o
B đến mặt phẳng (A
1
BD) theo a.
Câu V (1,0 điểm) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a
2
+ b
2
) + ab = (a + b)(ab + 2).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
33 22
33 22
49
ab ab
P
ba ba
⎛⎞⎛
=+−+
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⋅
⎟
⎠
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆: x – y – 4 = 0 và d: 2x – y – 2 = 0.
Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại
điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
21
:
12
1
x
y−+
Δ==
−−
z
và mặt
phẳng (P): x + y + z – 3 = 0. Gọi I là giao điểm của ∆ và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P)
sao cho MI vuông góc với ∆ và
414.MI
=
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z, biết:
53
10
i
z
z
+
−−
.=
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh
1
;1 .
2
B
⎛
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
Đường tròn nội tiếp
tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho
và đường thẳng EF có phương trình y – 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung
độ dương.
(3; 1)D
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆:
21
13
xyz+−+
==
−
5
2
và hai
điểm A(– 2; 1; 1), B(– 3; – 1; 2). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho tam
giác MAB có diện tích bằng 35.
Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm phần thực và phần ảo của số phức
3
13
.
1
i
z
i
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012
Môn: TOÁN; Khối A và khối A1
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
với m là tham số thực.
422
2( 1) (1),yx m x m=− + +
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
0.m
=
b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 3 sin 2 cos 2 2 cos 1.xx x
+
=−
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
32 3 2
22
3922 39
(, ).
1
2
xxx yy y
xy
xyxy
⎧
−−+=+−
⎪
∈
⎨
+−+=
⎪
⎩
\
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
3
2
1
1ln( 1)
d.
x
I
x
x
++
=
∫
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp
có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
.SABC S
2.
H
AHB
=
Góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng (ABC) bằng
Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA
và BC theo a.
o
60 .
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực
,,
x
yz
thỏa mãn điều kiện
0.xyz
+
+=
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
|| || || 2 2 2
333 666
xy yz zx
Px
−−−
=++−++.yz
.ND
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm
của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho
CN 2
=
Giả sử
(
)
11 1
;
22
M
và đường thẳng AN có
phương trình
Tìm tọa độ điểm A.
23xy−−=0.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
12
:
121
xyz
d
+−
==
và
điểm
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB
vuông tại I.
(0;0;3).I
Câu 9.a (1,0 điểm). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
1
5
n
n
C
− 3
n
C
=
. Tìm số hạng chứa
5
x
trong khai
triển nhị thức Niu-tơn của
()
2
1
,0.
14
n
nx
x
x
−≠
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
Viết phương
trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành
bốn đỉnh của một hình vuông.
22
(): 8.Cx y+=
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
12
:,
211
xyz
d
+−
==
mặt
phẳng
và điểm
(): 2 5 0Pxy z+− += (1; 1; 2).A
−
Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P) lần lượt
tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Câu 9.b (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn
5( )
2
1
zi
i
z
.
+
=
−
+
Tính môđun của số phức
2
1.wzz=+ +
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012
Môn: TOÁN; Khối B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
m là tham số thực.
323
33(yx mx m=− + 1),
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1.m
=
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
2(cos 3 sin ) cos cos 3 sin 1.xxxxx
+
=− +
Câu 3 (1,0 điểm). Giải bất phương trình
2
1413.
x
xx++ − +≥ x
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
1
3
42
0
d.
32
x
I
x
xx
=
++
∫
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với
2, .SA a AB a
=
=
Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của
khối chóp S.ABH theo a.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện
0xyz
+
+=
và
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
222
1.xyz++=
555
.Px y z=++
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường tròn
22
1
(): 4,Cxy
+
=
và đường thẳng
22
2
(): 12 180Cxy x+− +=
:4dx y 0.
−
−=
Viết phương trình đường tròn có tâm
thuộc tiếp xúc với d và cắt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d.
2
()C ,
1
()C
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
:
212
x
yz
d
−
==
−
và hai
điểm
Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d.
(2;1;0),A (2;3;2).B −
Câu 9.a (1,0 điểm). Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi
ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có
và
đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình
2AC BD=
22
4.xy
+
=
Viết phương trình chính
tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của hình thoi. Biết A thuộc Ox.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho Viết phương trình
mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm
thuộc đường thẳng AM.
(0;0;3), (1; 2;0).AM
Câu 9.b (1,0 điểm). Gọi z
1
và z
2
là hai nghiệm phức của phương trình
2
23 4 0.ziz
−
−=
Viết dạng
lượng giác của z
1
và z
2
.
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
−−−−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối A và khối A1
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian l a ø m bài: 180 phút, không kể thơ ø i gian phát đề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 đie å m)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = −x
3
+ 3x
2
+ 3mx − 1 (1), với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số (1) khi m = 0.
b) Tìm m để hàm số (1) nghòch biến trên khoảng (0; + ∞).
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 1 + tan x = 2
√
2 sin
x +
π
4
.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
√
x + 1 +
4
√
x − 1 −
y
4
+ 2 = y
x
2
+ 2x(y − 1) + y
2
− 6y + 1 = 0
(x, y ∈ R).
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
2
1
x
2
− 1
x
2
ln x dx.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,
ABC = 30
◦
, SBC là
tam gi á c đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối cho ù p
S.ABC và khoả ng cá ch t ư ø điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa m ã n đ i e à u kiện (a + c)(b + c) = 4c
2
. Tìm giá trò
nhỏ nhất của biểu thức P =
32a
3
(b + 3c)
3
+
32b
3
(a + 3c)
3
−
√
a
2
+ b
2
c
.
II. PHẦ N RIÊNG (3 ,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một tron g hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với he ä tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc
đường thẳng d : 2x + y + 5 = 0 và A(−4; 8). Gọi M là điểm đo á i xứng của B qua C, N là hình chiếu
vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N(5; −4).
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆:
x − 6
−3
=
y + 1
−2
=
z + 2
1
và đie å m A(1; 7; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A và vuông góc với ∆ . Tìm tọa độ điểm
M thuộc ∆ sao cho AM = 2
√
30.
Câu 9.a (1,0 điểm). Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ
các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác đònh số phần tử của S. C ho ï n ngẫ u nhiên mo ä t s o á từ S, tính xác suất
để số đươ ï c chọn là số chẵn.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x − y = 0. Đường
tròn (C) có bán kính R =
√
10 cắt ∆ tại hai điểm A và B sao cho AB = 4
√
2. Tiếp tuyến của (C)
tại A và B cắt nhau tại một đ i e å m thuộc tia Oy. Viết phương trình đường tròn (C).
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa đo ä Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : 2x + 3y + z −11 = 0
và mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 2x + 4y − 2z −8 = 0. Chứng minh (P ) tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ
tiếp điểm của (P ) và (S) .
Câu 9.b (1,0 điểm). Cho số phức z = 1+
√
3 i. Viết dạng lượng giá c của z. Tìm phần thực và phần ảo
của số phức w = (1 + i)z
5
.
−−−−−−Hết−−−−−−
Thí sinh không được sử dụng tài lie ä u . Cán bo ä coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐA Ï I HỌC NĂM 2013
−−−−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối B
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian l a ø m bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = 2x
3
− 3(m + 1)x
2
+ 6mx (1), với m là tham s o á thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số (1) khi m = −1.
b) Tìm m để đồ thò hàm số (1) có hai điểm cực trò A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với
đường thẳng y = x + 2.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin 5x + 2 cos
2
x = 1.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
2x
2
+ y
2
− 3xy + 3x − 2y + 1 = 0
4x
2
− y
2
+ x + 4 =
√
2x + y +
√
x + 4y
(x, y ∈ R).
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
1
0
x
√
2 − x
2
dx.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đá y là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm tro ng mặt phẳng vuông gó c với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trò lớn nhất của bi e å u thức
P =
4
√
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 4
−
9
(a + b)
(a + 2c)(b + 2c)
.
II. PHẦ N RIÊNG (3 ,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một tron g hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trì nh Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình t hang cân ABCD có hai đường
chéo vuông góc với nhau và AD = 3BC. Đường thẳng BD có phương trình x + 2y − 6 = 0 và tam
giác ABD có trực tâm là H(−3; 2). Tìm tọa độ các đỉnh C và D.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong kho â ng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 5; 0) và mặt phẳng
(P ) : 2x + 3y − z − 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc vơ ù i (P ). Tìm tọa
độ điểm đối xứng của A qua (P ).
Câu 9.a (1,0 điểm). Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng,
hộp thứ hai chứa 2 vie â n bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác
suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1 ,0 điểm). Trong mặ t phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ
từ đỉnh A là H
17
5
; −
1
5
, chân đường phân giác trong của góc A là D(5; 3) và trung điểm của cạnh
AB là M(0; 1). Tìm tọa độ đỉnh C.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; −1; 1), B(−1; 2; 3) và
đường thẳng ∆ :
x + 1
−2
=
y − 2
1
=
z − 3
3
. Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với
hai đường thẳng AB và ∆.
Câu 9.b (1,0 điểm). Giải hệ phương t rình
x
2
+ 2y = 4x − 1
2 log
3
(x − 1) − log
√
3
(y + 1) = 0.
−−−−−−Hết−−−−−−
Thí sinh không được sư û dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐA Ï I HỌC NĂM 2014
−−−−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối A và Khối A1
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian l a ø m bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y =
x + 2
x − 1
(1).
a) Khả o sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1).
b) Tìm tọ a độ điể m M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x bằng
√
2.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x.
Câu 3 (1,0 điể m). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x
2
−x + 3 và đường
thẳng y = 2x + 1.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) C ho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (2 + i) z = 3 + 5i. Tìm phần thực và phần ảo của z.
b) Tư ø một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất
để 4 thẻ được chọn đều đư ơ ï c đ á nh s o á chẵn.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x+y−2z−1 = 0
và đường thẳng d :
x − 2
1
=
y
−2
=
z + 3
3
. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P ). Viết phương
trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P ).
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD =
3a
2
,
hình chiếu vuông góc của S trên m ặ t phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cá ch t ư ø A đến mặt phẳng (SBD).
Câu 7 (1,0 điể m). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đi e å m M
là trung điểm của đ o ạ n AB và N là điểm thuộc đ o ạ n AC sao cho AN = 3NC. Viết phương
trình đường thẳng CD, biết rằng M(1; 2) và N(2; −1).
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
x
√
12 − y +
y(12 − x
2
) = 12
x
3
− 8x − 1 = 2
√
y − 2
(x, y ∈ R).
Câu 9 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn đi e à u kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 2.
Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức
P =
x
2
x
2
+ yz + x + 1
+
y + z
x + y + z + 1
−
1 + yz
9
.
−−−−−−Hết−−−−−−
Thí sinh không được sư û dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 201 4
−−−−−−−−−− Môn: TOA Ù N; Khối B
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, khô n g kể thời g i a n phát đề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Câu 1 (2,0 đie å m). Cho hàm số y = x
3
− 3mx + 1 (1), với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biế n t hi e â n và ve õ đồ thò của hàm số (1) khi m = 1.
b) Cho đi e å m A(2; 3). Tìm m để đồ thò hàm số (1) có hai điểm cực trò B và C sao cho
tam giác ABC cân tại A.
Câu 2 (1,0 đie å m). Giải phương trình
√
2(sin x − 2 cos x) = 2 − sin 2x.
Câu 3 (1,0 đie å m). Tính tích phân I =
2
1
x
2
+ 3x + 1
x
2
+ x
dx.
Câu 4 (1,0 đie å m).
a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + 3(1 − i) z = 1 − 9i. Tính môđun của z.
b) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ mộ t cô ng ty sữa, người t a đã gửi đế n bộ phận
kiểm nghiệm 5 ho ä p sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm
chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu . Tính xác suất để 3 hộp sữa được cho ï n
có cả 3 loại.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa đ o ä Oxyz, cho điểm A(1; 0; −1) và đường
thẳng d :
x − 1
2
=
y + 1
2
=
z
−1
. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuô ng góc với d.
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho lăng trụ ABC.A
B
C
có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của A
trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, gó c giư õ a đường
thẳng A
C và mặt đáy bằ ng 60
◦
. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A
B
C
và
khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC
A
).
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD. Điểm
M(−3; 0) là trung điểm của cạnh AB, điểm H(0; −1) là hình chiếu vuông góc của B trên
AD và điểm G
4
3
; 3
là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm tọa độ các điể m B và D.
Câu 8 (1,0 đie å m). Giải hệ phương trình
(1 − y)
√
x − y + x = 2 + (x − y − 1)
√
y
2y
2
− 3x + 6y + 1 = 2
√
x − 2y −
√
4x − 5y − 3
(x, y ∈ R).
Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực a, b, c không âm và thỏa mãn điều kiện (a + b)c > 0.
Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức
P =
a
b + c
+
b
a + c
+
c
2(a + b)
.
−−−−−−Hết−−−−−−
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . .
1/4
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2007
Môn: TOÁN, khối A
(Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang)
Câu Nội dung Điểm
I 2,00
1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm)
Khi m1=− ta có
2
x3 1
yx2
x2 x2
−
==−+
+
+
.
• Tập xác định: D = \{ 2}
−
\ .
• Sự biến thiên:
2
22
1x4x3
y' 1
(x 2) (x 2)
+
+
=− =
++
,
x3
y' 0
x1.
=
−
⎡
=⇔
⎢
=
−
⎣
0,25
Bảng biến thiên:
y
CĐ
=
()
(
)
CT
y3 6,y y1 2.−=− = −=−
0,25
• Tiệm cận: Tiệm cận đứng x = − 2, tiệm cận xiên y = x − 2.
0,25
• Đồ thị:
0,25
2
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và … (1,00 điểm)
()
22
2
x4x4m
y'
x2
++−
=
+
.
Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu ⇔
(
)
22
gx x 4x 4 m=++− có 2 nghiệm
phân biệt x ≠ −2
()
2
2
'44m 0
g2 484m 0
⎧
∆= − + >
⎪
⇔
⎨
−=−+− ≠
⎪
⎩
⇔ m ≠ 0.
0,50
x − ∞
−
3
−
2
−
1+ ∞
y
' + 0
−
−
0+
y
−
6 + ∞ + ∞
−∞
−
∞
−
2
x
y
−
3
−
6
−
2
O
−
1
−
2
2/4
Gọi A, B là các điểm cực trị ⇒
(
)
A2m;2
−
−−,
(
)
B2m;4m2
−
+−.
Do
(
)
OA m 2; 2 0=− − − ≠
JJJG G
,
(
)
OB m2;4m2 0
=
−−≠
J
JJG G
nên ba điểm O, A, B
tạo thành tam giác vuông tại O ⇔
2
OA.OB 0 m 8m 8 0
=
⇔− − + =
J
JJG JJJG
⇔
m426=− ± (thỏa mãn m ≠ 0).
Vậy giá trị m cần tìm là:
m426=− ± .
0,50
II
2,00
1
Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)
Phương trình đã cho ⇔ (sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx)
2
⇔ (sinx + cosx)(1−sinx)(1−cosx) = 0.
0,50
⇔
ππ
xkπ,x k2π,x k2π
42
=− + = + =
(k ∈
Z ).
0,50
2
Tìm m để phương trình có nghiệm (1,00 điểm)
Điều kiện:
x1≥
. Phương trình đã cho ⇔
4
x1 x1
32 m (1).
x1 x1
−−
−+ =
++
Đặt
4
x1
t
x1
−
=
+
, khi đó (1) trở thành
2
3t 2t m (2).−+=
0,50
Vì
44
x1 2
t1
x1 x1
−
==−
+
+
và
x1≥
nên 0t1.
≤
<
Hàm số
2
f(t) 3t 2t, 0 t 1=− + ≤ < có bảng biến thiên:
Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ∈ [0; 1) ⇔
1
1m
3
−< ≤ .
0,50
III
2,00
1 Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau (1,00 điểm)
+) d
1
qua M(0; 1; −2), có véctơ chỉ phương
1
u
J
JG
= (2; −1; 1),
d
2
qua N(−1; 1; 3), có véctơ chỉ phương
2
u
J
JG
= (2; 1; 0).
0,25
+)
12
[u ,u ]
JJGJJG
= (−1; 2; 4) và MN
J
JJJG
= (−1; 0; 5). 0,50
+)
12
[u ,u ]
JJGJJG
. MN
J
JJJG
= 21 ≠ 0 ⇒ d
1
và d
2
chéo nhau.
0,25
2 Viết phương trình đường thẳng d (1,00 điểm)
Giả sử d cắt d
1
và d
2
lần lượt tại A, B. Vì A ∈ d
1
, B ∈ d
2
nên
A(2s;1 s; 2 s), B( 1 2t;1 t;3).
−
−+ −+ +
⇒ AB
JJJG
= (2t − 2s − 1; t + s; − s + 5).
0,25
(P) có véctơ pháp tuyến
n
G
= (7; 1; − 4).
AB ⊥ (P) ⇔ AB
JJJG
cùng phương với n
G
0,25
⇔
2t 2s 1 t s s 5
714
−− + −+
==
−
⇔
5t 9s 1 0
4t 3s 5 0
+
+=
⎧
⎨
+
+=
⎩
⇔
s1
t2
=
⎧
⎨
=
−
⎩
⇒
()( )
A2;0; 1,B 5; 1;3.−−−
0,25
Phương trình của d là:
x2 y z1
71 4
−
+
==
−
.
0,25
1
1/3
0
f(t)
t
0
1/3
-1
3/4
IV
2,00
1
Tính diện tích hình phẳng (1,00 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là:
(e + 1)x = (1 + e
x
)x ⇔ (e
x
− e)x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.
0,25
Diện tích của hình phẳng cần tìm là: S =
1
x
0
xe ex dx−
∫
=
11
x
00
e xdx xe dx.−
∫∫
0,25
Ta có:
1
0
exdx
∫
=
2
1
ex
0
2
=
e
2
,
11
xxx
00
1
xe dx xe e dx
0
=−
∫
∫
=
x
1
ee 1
0
−
= .
Vậy
e
S1
2
=− (đvdt).
0,50
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của P (1,00 điểm)
Ta có:
2
x(y z)+
2x x≥
. Tương tự,
2
y(z x)
+
≥
2y y
,
2
z(x y)+ ≥
2z z
.
0,25
⇒
2y y
2x x 2z z
P
yy 2zz zz 2xx xx 2yy
≥++
++ +
.
Đặt a =
xx 2yy+
, b =
yy 2zz+
, c =
zz 2xx+
.
Suy ra:
4c a 2b
xx
9
+−
= ,
4a b 2c
yy
9
+
−
= ,
4b c 2a
zz
9
+
−
= .
0,25
Do đó
24ca2b 4ab2c 4bc2a
P
9b c a
+− +− +−
⎛⎞
≥++
⎜⎟
⎝⎠
2cab abc
46
9bca bca
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
=+++++−
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
≥
()
2
4.3 3 6 2.
9
+
−=
(Do
cab
b
ca
++ =
ca
b
c
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
+
b
1
a
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
− 1 ≥ 2
a
b
+ 2
b
a
− 1 ≥ 4 − 1 = 3,
hoặc
cab
b
ca
++≥
3
cab
3
b
ca
⋅⋅
= 3. Tương tự,
abc
b
ca
+
+ ≥ 3).
0,25
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2.
0,25
V.a
2,00
1
Viết phương trình đường tròn (1,00 điểm)
Ta có M(−1; 0), N(1; −2), AC
J
JJG
= (4; − 4). Giả sử H(x, y). Ta có:
BH AC
HAC
⎧
⊥
⎪
⎨
∈
⎪
⎩
JJJG JJJG
⇔
4(x 2) 4(y 2) 0
4x 4(y 2) 0
+
−+=
⎧
⎨
+−=
⎩
⇔
x1
y1
=
⎧
⎨
=
⎩
⇒ H(1; 1).
0,25
Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là:
22
x y 2ax 2by c 0
+
+++= (1).
0,25
Thay tọa độ của M, N, H vào (1) ta có hệ điều kiện:
2a c 1
2a 4b c 5
2a 2b c 2.
−=
⎧
⎪
−+=−
⎨
⎪
++=−
⎩
0,25
1
a
2
1
b
2
c2.
⎧
=−
⎪
⎪
⎪
⇔=
⎨
⎪
=−
⎪
⎪
⎩
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
22
xyxy20.
+
−+−=
0,25
4/4
2
Chứng minh công thức tổ hợp (1,00 điểm)
Ta có:
()
2n
0 1 2n 2n
2n 2n 2n
1 x C C x C x ,+=+++
(
)
2n
0 1 2n 2n
2n 2n 2n
1 x C C x C x−=− ++
()()
(
)
2n 2n
13355 2n12n1
2n 2n 2n 2n
1 x 1 x 2 C x C x C x C x .
−−
⇒+ −− = + + ++
()()
()
11
2n 2n
13355 2n12n1
2n 2n 2n 2n
00
1x 1x
dx Cx Cx Cx C x dx
2
−−
+−−
⇒=++++
∫∫
0,50
•
()() () ()
()
1
2n 2n 2n 1 2n 1
0
1
1x 1x 1x 1x
dx
0
222n1
++
+−− + +−
=
+
∫
=
2n
21
2n 1
−
+
(1)
•
()
1
13355 2n12n1
2n 2n 2n 2n
0
Cx Cx Cx C x dx
−−
++++
∫
1
246 2n
135 2n1
2n 2n 2n 2n
0
xxx x
C. C. C. C .
246 2n
−
⎛⎞
=++++
⎜⎟
⎝⎠
135 2n1
2n 2n 2n 2n
111 1
C C C C
246 2n
−
=++ + (2).
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
0,50
V.b
2,00
1
Giải bất phương trình logarit (1,00 điểm)
Điều kiện: x >
3
4
. Bất phương trình đã cho ⇔
2
3
(4x 3)
log
2x 3
−
+
≤ 2
0,25
⇔ (4x − 3)
2
≤ 9(2x + 3)
0,25
⇔ 16x
2
− 42x −18 ≤ 0 ⇔ −
3
8
≤ x ≤ 3.
0,25
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là:
3
4
< x ≤ 3.
0,25
2
Chứng minh AM ⊥ BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP (1,00 điểm)
Gọi H là trung điểm của AD.
Do
SAD∆ đều nên SH AD.⊥
Do
()( )
SAD ABCD⊥ nên
()
SH ABCD⊥
()
SH BP 1 .⇒⊥
Xét hình vuông ABCD ta có
CDH BCP∆=∆⇒
(
)
CH BP 2 .⊥ Từ (1) và (2)
suy ra
()
BP SHC .⊥
Vì
MN // SC và AN // CH
nên
()()
AMN // SHC . Suy ra
()
BP AMN⊥ ⇒
BP AM.⊥
0,50
Kẻ
(
)( )
MK ABCD , K ABCD .⊥∈
Ta có:
CMNP CNP
1
VMK.S.
3
=
Vì
2
CNP
1a3 1 a
MK SH , S CN.CP
24 2 8
== = = nên
3
CMNP
3a
V
96
= (đvtt).
0,50
NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®−îc ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh−
®¸p ¸n quy ®Þnh.
Hết
A
S
D
C
B
H
M
N
P
K
1/4
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2007
Môn: TOÁN, khối B
(Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang)
Câu Ý Nội dung Điểm
I 2,00
1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm)
Khi m =1 ta có
32
yx3x4=− + −
.
• Tập xác định: D = \ .
• Sự biến thiên:
2
y' 3x 6x,=− + y' 0
=
⇔
x0
=
hoặc
x2.
=
0,25
Bảng biến thiên:
y
CĐ
= y(2) = 0, y
CT
= y(0) = − 4.
0,50
• Đồ thị:
0,25
2
Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu … (1,00 điểm)
Ta có:
22
y' 3x 6x 3(m 1)=− + + − , y' = 0 ⇔
22
x2xm10
−
−+= (2).
Hàm số (1) có cực trị ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆' = m
2
> 0 ⇔ m ≠ 0.
0,50
Gọi A, B là 2 điểm cực trị ⇒ A(1 − m; −2 − 2m
3
), B(1 + m; − 2 + 2m
3
).
O cách đều A và B ⇔ OA = OB ⇔ 8m
3
= 2m ⇔ m =
1
2
±
(vì m ≠ 0).
0,50
II
2,00
1
Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với:
(
)
2
sin 7x sin x 2sin 2x 1 0 cos 4x 2sin 3x 1 0.−+ −=⇔ −=
0,50
•
()
cos 4x 0 x k k .
84
ππ
=⇔= + ∈Z
•
12
sin 3x x k
2183
ππ
=⇔= + hoặc
()
52
xkk.
18 3
π
π
=+ ∈Z
0,50
x
−
∞ 02+ ∞
y
'
−
0+0 −
y
−
4 − ∞
+ ∞ 0
O
−
4
2
y
x
−
1
2/4
2
Chứng minh phương trình có hai nghiệm (1,00 điểm)
Điều kiện: x2.≥ Phương trình đã cho tương đương với
()
()
32
x2x 6x 32m 0−+−−=
32
x2
x6x32m0.
=
⎡
⇔
⎢
+
−−=
⎣
Ta chứng minh phương trình:
(
)
32
x6x32m1+−= có một nghiệm trong
khoảng
()
2;
+
∞ .
0,50
Xét hàm
(
)
32
fx x 6x 32=+ −với x2.> Ta có:
(
)
2
f' x 3x 12x 0, x 2.
=
+>∀>
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy với mọi
m0> , phương trình (1) luôn có một
nghiệm trong khoảng
()
2;
+
∞ .
Vậy với mọi
m0> phương trình đã cho luôn có hai nghiệm thực phân biệt.
0,50
III
2,00
1
Viết phương trình mặt phẳng (Q) (1,00 điểm)
()( ) ( ) ( )
222
S:x 1 y 2 z 1 9−++ ++= có tâm
(
)
I1; 2; 1
−
− và bán kính R3.=
0,25
Mặt phẳng (Q) cắt (S) theo đường tròn có bán kính R = 3 nên (Q) chứa I. 0,25
(Q) có cặp vectơ chỉ phương là:
(
)
(
)
OI 1; 2; 1 , i 1;0;0=−− =
J
JG G
.
⇒ Vectơ pháp tuyến của (Q) là:
(
)
n0;1;2.=−
G
0,25
Phương trình của (Q) là:
(
)
(
)
(
)
0. x 0 1. y 0 2 z 0 0 y 2z 0.
−
−−+−=⇔−=
0,25
2
Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu sao cho khoảng cách lớn nhất (1,00 điểm)
Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P). Đường thẳng d cắt (S) tại
hai điểm
A, B
. Nhận xét: nếu
(
)
(
)
(
)
(
)
dA;P dB;P≥ thì
()
(
)
dM;P lớn nhất
khi
MA.≡
0,25
Phương trình đường thẳng d:
x1 y 2 z1
.
212
−
++
==
−
0,25
Tọa độ giao điểm của d và (S) là nghiệm của hệ
()( )()
222
x1 y2 z1 9
x1 y 2 z1
.
212
⎧
−
++ ++ =
⎪
⎨
−++
==
⎪
⎩−
Giải hệ ta tìm được hai giao điểm
(
)
(
)
A 1; 1; 3 , B 3; 3;1 .−−− −
0,25
Ta có:
()
()
(
)
()
dA;P 7 dB;P 1.=≥ =
Vậy khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất khi
(
)
M1;1;3.
−
−−
0,25
IV
2,00
1
Tính thể tích vật thể tròn xoay (1, 00 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của các đường
yxlnx
=
và y0= là:
xlnx 0 x 1.
=
⇔=
0,25
f(x)
f '(x) +
0
x 2 + ∞
+ ∞
3/4
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục hoành là:
()
ee
2
2
11
V y dx x ln x dx.=π =π
∫∫
0,25
Đặt
3
22
2lnx x
u ln x, dv x dx du dx, v .
x3
==⇒= = Ta có:
()
e
eee
33
2
22 2
111
1
x2 e2
x ln x dx ln x x ln xdx x ln xdx.
33 33
=− =−
∫∫∫
0,25
Đặt
3
2
dx x
ulnx,dvxdx du ,v .
x3
==⇒== Ta có:
ee
ee
3333
22
11
11
x1 ex2e1
x ln xdx ln x x dx .
33 399
+
=−=−=
∫∫
Vậy
(
)
3
5e 2
V
27
π−
= (đvtt).
0,25
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của P (1,00 điểm)
Ta có:
222222
xyzxyz
P.
222 xyz
++
=+++
Do
22 22 22
222
xy yzzx
xyz xyyzzx
222
+++
++= + + ≥++
nên
222
x1 y1 z1
P.
2x 2y 2z
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
≥+++++
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
0,50
Xét hàm số
()
2
t1
ft
2t
=+ với
t0.> Lập bảng biến thiên của f(t) ta suy ra
()
3
ft ,t 0.
2
≥∀> Suy ra:
9
P.
2
≥ Dấu bằng xảy ra
⇔
xyz1.
=
==
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
9
.
2
0,50
V.a
2,00
1
Tìm hệ số trong khai triển… (1,00 điểm)
Ta có:
() ( )
nn
n0 n11 n22 n n
nn n n
3 C 3 C 3 C 1 C 3 1 2
−−
−+ −+−=−=.
Từ giả thiết suy ra
n11=
.
0,50
Hệ số của số hạng chứa
10
x trong khai triển Niutơn của
()
11
2x+ là:
10 1
11
C .2 22.=
0,50
2
Xác định tọa độ điểm B, C sao cho …(1,00 điểm)
Vì
12
Bd,Cd∈∈ nên
()
(
)
Bb;2 b,Cc;8 c.
−
− Từ giả thiết ta có hệ:
(
)
(
)
()()
22
22
b1c 4 2
bc 4b c 2 0
AB.AC 0
AB AC
b2bc8c18
b
1c43.
−−=
⎧
−−+=
⎧
⎧
=
⎪⎪ ⎪
⇔⇔
⎨⎨ ⎨
=
−=−+
⎪
⎪
−
−− =
⎩
⎩
⎪
⎩
JJJG JJJG
0,50
Đặt x b 1, y c 4=− =− ta có hệ
22
xy 2
xy3.
=
⎧
⎪
⎨
−
=
⎪
⎩
Giải hệ trên ta được x 2, y 1=− =− hoặc x 2, y 1
=
= .
Suy ra:
()()
B1;3,C3;5− hoặc
(
)
(
)
B3; 1,C5;3− .
0,50
4/4
V.b
2,00
1
Giải phương trình mũ (1,00 điểm)
Đặt
()
()
x
21 tt 0,−= > ta có phương trình
1
t220t21,t21.
t
+− =⇔=−=+
0,50
Với
t21=−
ta có
x1.=
Với
t21=+ ta có x1.=−
0,50
2
(1,00 điểm)
Gọi P là trung điểm của SA. Ta có MNCP là hình bình hành nên MN song
song với mặt phẳng (SAC). Mặt khác,
(
)
BD SAC⊥ nên BD MN.⊥
0,50
Vì
()
MN || SAC nên
()() ()
()
11a2
d MN;AC d N;(SAC d B; SAC BD .
244
== ==
Vậy
()
a2
dMN;AC .
4
=
0,50
NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®−îc ®ñ ®iÓm tõng
phÇn nh− ®¸p ¸n quy ®Þnh.
Hết
N
E
C
B
M
P
D
A
S
Trang 1/5
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008
Môn thi: TOÁN, khối A
(Đáp án - thang điểm gồm 05 trang)
Câu Nội dung Điểm
I 2,00
1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm)
Khi m = 1 hàm số trở thành:
2
xx2 4
yx2.
x3 x3
+−
==−+
++
• TXĐ:
{
}
D\3.=−\
• Sự biến thiên:
2
22
4x6x5
y' 1 ,
(x 3) (x 3)
++
=− =
++
x1
y' 0
x5
=−
⎡
=⇔
⎢
=−
⎣
• y
CĐ
()
y5 9=−=−, y
CT
()
y1 1.=−=−
0,25
•
TCĐ: x3=− , TCX:
yx2.=−
0,25
•
Bảng biến thiên:
0,25
• Đồ thị:
0,25
2
Tìm các giá trị của tham số m (1,00 điểm)
22
mx (3m 2)x 2 6m 2
ymx2.
x3m x3m
+−− −
==−+
++
• Khi
1
m
3
=
đồ thị hàm số không tồn tại hai tiệm cận.
0,25
•
Khi
1
m
3
≠ đồ thị hàm số có hai tiệm cận :
d
1
: x3mx3m0,=− ⇔ + = d
2
: ymx2 mxy20.=−⇔−−=
0,25
Vectơ pháp tuyến của d
1
, d
2
lần lượt là
1
n (1;0)=
J
JG
,
2
n(m;1).=−
J
JG
Góc giữa d
1
và d
2
bằng
o
45
khi và chỉ khi
12
0
22
12
n.n
mm
2
cos45 m 1.
2
n.n
m1 m1
== ⇔ =⇔=±
++
JJGJJG
JJGJJG
0,50
x −∞ 5− 3− 1− +∞
y’ + 0 − − 0 +
y
−∞
−∞
+∞ +∞
1−
9−
-3
-
1
O
-
1
-9
-
5
y
x
2
-2
