phương pháp stein cho xấp xỉ chuẩn

LỜI MỞ ĐẦU
Đời sống khoa học ngày càng phát triển thì nảy sinh càng nhiều bài
toán thực tế đòi hỏi toán học giải quyết. Một trong những nhu cầu thực tế là
làm các phép toán mà ước lượng được sai sè.
Vào năm 1972, trong một kết quả đăng trên tạp chí Proceedings of the
Sixth Berkeley Symposium,Stein đã đưa ra phương pháp để có thể xác định
mức độ chính xác của một xấp xỉ chuẩn tới phân phối của tổng các biến
ngẫu nhiên phụ thuộc thoả mãn điều kiện mixing.
Kể từ đó rất nhiều nhà toán học đã tham gia nghiên cứu mở rộng các
kết quả về xấp xỉ chuẩn của Stein và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác
nhau.
Bản luận văn đã chọn đề tài : “Phương pháp Stein cho xấp xỉ chuẩn”
làm đề tài nghiên cứu của mình.
Nội dung bản luận văn gồm 3 chương:
Chương I: Giới thiệu phương pháp cơ bản của Stein, đưa ra các tính
chất nghiệm của phương trình Stein vào xây dựng các đẳng thức Stein.
Chương II: Trình bày bài toán xấp xỉ chuẩn với hàm trơn trong các
trường hợp các biến ngẫu nhiên độc lập, các biến ngẫu nhiên phụ thuộc địa
phương, các biến ngẫu nhiên thay đổi được.
Chương III: Trình bày về cận Berry - Esseen đều trong trường hợp bị
chặn và trường hợp độc lập; cận Berry - Esseen không đều trường hợp độc
lập.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo TS.
Trần Quang Vinh người tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu.
1
Tác giả xin chân thành cảm ơn tới các thầy trong tổ Toán ứng dụng khoa
Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã dìu dắt tôi trong quá trình học
tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tá lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy đã
đọc và đóng góp nhiều ý kiến bổ sung quý báu góp phần làm luận văn được
hoàn thiện.
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học nên bản luận văn này

không tránh khỏi thiếu sót. Tôi kính mong các thầy cô cùng bạn đọc đóng
góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, năm 2009.
2
CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN CỦA STEIN
1.1. Giới thiệu
Phương pháp Stein là cách ước lượng độ chính xác một xấp xỉ của một
phân phối xác suất bởi một phân phối xác suất khác, được thực hiện bởi
cách so sánh kỳ vọng như trong chuyên khảo “Approximate computation of
expectations” của Stein xuất bản năm 1986. Mét cận trên sẽ được tính cho
hiệu kỳ vọng, tính theo 2 phân phối khác nhau, của một hàm trong họ các
hàm test. Chẳng hạn, nếu họ các hàm test chứa các hàm chỉ tiêu của tất cả
các tập đo được thì độ chính xác được cho bởi khoảng cách biến phân toàn
phần d
TV
giữa 2 phân phối
TV
A
h H
d (P,Q):= sup hdP hdQ sup P(A)-Q(A)- =
∈
∫ ∫
ở đó H = {1
A
: A đo được}.
Nếu phân phối xác định trên R và hàm test là hàm chỉ tiêu trên nửa đường
thẳng thì độ chính xác được xác định bởi khoảng cách Kolmogorov:
K
z
h H

d (P,Q): sup hdP hdQ sup P Q
( ;z] ( ,z]
∈
∈
= − = −
−∞ −∞
∫ ∫
¡
ở đó
{ }
( ,z]
H 1 : z R
−∞
= ∈
.
Nếu hàm test là hàm Lipschitz đều với cận trên là hằng số 1 thì độ chính xác
được xác định bởi khoảng cách Wassserstein

W
h H
d (P,Q): sup hdP hdQ
∈
= −
∫ ∫
ở đó
{ }
H h : R R, h 1
= → ≤
với
g

ký hiệu
x
sup g(x)
∈
¡
.
Nếu hàm test là hàm bị chặn đều và Lipschitz đều thì độ chính xác được xác
định bởi khoảng cách Wassserstein
( )
BW k
h H
d (P,Q): sup hdP hdQ
∈
= −
∫ ∫
3
ở đó
{ }
H h : R R, h 1, h k
′
= → ≤ ≤
.
Phương pháp Stein áp dụng cho tất cả các khoảng cách trên.
Với xấp xỉ chuẩn trên R, Stein bắt đầu với việc nhận thấy với mọi
hàm bị chặn f có đạo hàm bị chặn và Z là biến ngẫu nhiên chuẩn tắc thì
{ }
E f (Z) zf(Z) 0
′
− =
(1.1)

Thật vậy,ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
+
+ +
x x x
- - -
'
2 2 2
- -
-
1 1 1
f x e dx= f x e + xf x e dx
2π 2π 2π
∞
∞ ∞
∞ ∞
∞
 
 
 
 
∫ ∫

( )
2
x
2
1
xf x e dx

2
+∞
−
−∞
=
π
∫
Tuy nhiên, bằng cách giải phương trình vi phân
2
x
2
f (x) xf (x) g(x), lim f (x)e 0
x
−
′
− = =
↓−∞
(1.2)
với g là một hàm bị chặn ta có

( ) ( ) ( )
{ }
2 2
y y
x x
2 2
g x e dx f ' x xf x e dx
− −
−∞ −∞
= −

∫ ∫
=
( )
2
y
x
2
d
f x e dx
dx
−
−∞
 
 
 
 
 
∫
=
( )
2
y
2
f y e
−
và do đó

( ) ( )
2 2
y

y x
2 2
f y e g x e dx
−
−∞
=
∫
Chó ý rằng f thực sự thỏa mãn
( )
y
lim f y 0
↓−∞
=
vì
Khi
4

( )
2 2
y
x y
2 2
1 1
y e dx ~ e
2 y 2
− −
−∞
Φ =
π π
∫

thì
−∞↓
y
.
Vậy f bị chặn khi và chỉ khi
2
x
2
g(x)e dx 0
+∞
−
−∞
=
∫
hoặc tương đương Eg(Z) =
0.
Vậy, với hàm bị chặn h, hàm f
h
định nghĩa bởi
{ }
2 2
x t
2 2
h
f (x) e h(t) Eh(Z) e dt
+∞
−
−∞
= −
∫

(1.3)
thỏa mãn (1.2) với g(x) = h(x) – Eh(Z). Thay thế x bởi biến ngẫu nhiên W
trong (1.2) và lấy kỳ vọng ta được
{ }
h h
E f (W) Wf (W) Eh(W) Eh(Z)
′
− = −
(1.4)
Vậy đặc trưng (1.1) của phân phối chuẩn tắc đã đưa ra một cận trên cho xấp
xỉ chuẩn đối với một trong các khoảng cách định nghĩa như trên: Với mọi
líp H các hàm test h
{ }
h h
h H h H
sup Eh(W)- Eh(Z) = sup E f (W)- Wf (W)
∈ ∈
′
(1.5)
1.2. Đặc trưng
Cho Z là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc,
C
bd
là tập các hàm
f : R R
→
liên tục và có đạo hàm liên tục trên từng đoạn thỏa mãn
( )
'
E f Z

< ∞
. Phương pháp Stein dùa trên đặc trưng quan trọng sau:
Bổ đề 1.1: Cho W là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực. Khi đó,
W có phân phối chuẩn tắc khi và chỉ khi với mọi hàm
bd
f C
∈
ta có:
{ }
'
(W) W (W)
=
Ef E f
(1.6)
Chứng minh: Điều kiện cần:
Nếu W có phân phối chuẩn tắc thì với
f C
bd
∈
ta có:
5

( ) ( )
2
2
1
' '
Ef W f .e d
2
ω

−
+∞
−∞
= ω ω
π
∫

( ) ( ) ( )
2 2
0
x x
2 2
0
1 1
' '
f . x .e dx d f x.e dx d
2 2
ω +∞ ∞
− −
−∞ −∞ ω
   
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
= ω − ω + ω ω
π π
∫ ∫ ∫ ∫
Theo định lý Fubini, ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2

0 0 x
x x
2 2
x 0 0
x
1 1
' ' '
Ef W f d .e dx f d .x.e dx
2 2
+∞
− −
−∞
  
−
 ÷
 ÷
   
= ω ω + ω ω
π π
∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )
( )
2
x
2
1
f x f 0 x.e dx E W.f W .
2
+∞

−
−∞
 
 
= − =
π
∫
Điều kiện đủ: Với
z R
∈
cố định, đặt
( ) ( )
z
f : f
ω = ω
là nghiệm của
phương trình:

( ) ( )
(
( ) ( )
;z
'
f f 1 z
−∞


ω − ω ω = ω − Φ
. (1.7)
Nhân cả hai vế (2.2) với

2
2
e
ω
−
−
ta được:
( )
(
( ) ( )
2 2
2 2
;z
'
e f e 1 z
ω ω
− −
−∞


ω = − ω − Φ
 
 
 
 
 
 
suy ra
( )
(

]
( ) ( )
2
2
z
2
x
2
;z
f e
1 x z e dx
ω
ω
−
−∞
−∞
 
 
ω =
−Φ
∫
(
]
( ) ( )
2
2
2
x
2
;z

e 1 x z e dx
ω
−
+∞
−∞
ω
= −
 
− Φ
 
∫
6

( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
2 .e 1 z z
(1.8)
2 .e z 1 z
ω
ω
π Φ ω − Φ ω ≤
=
π Φ − Φ ω ω ≥


 


 


 

 

Bằng Bổ đề 2.2 dưới đây, f
z
là hàm liên tục bị chặn và khả vi liên tục
trên từng đoạn. Giả sử (1.6) đúng với mọi
bd
f C∈
. Từ đó áp dông cho hàm
f
z
thì từ (1.7) ta có:
( ) ( )
(
]
( )
( )
( )
( )
'
z z
;z
0 E f W Wf W E 1 Z P W z z
 

 
 
 
 
 
 
−∞
= − = ω −Φ = ≤ −Φ
Nh vậy W có phân phối chuẩn.
Phương trình (1.7) là một trường hợp đặc biệt của phương trình Stein
tổng quát

( ) ( ) ( ) ( )
'
f f h Eh Z
ω − ω ω = ω −
(1.9)
mà nã sẽ được giải cho
f
với mét hàm h đo được nhận giá trị thực cho trước
thỏa mãn
( )
E h Z
< ∞
.
Tương tù (1.8), nghiệm
h
f = f
được cho bởi
( ) ( ) ( )

( ) ( )
2
x
2
2
2
2 2
x
2 2
f e h x Eh Z e dx
h
e h x Eh Z e dx
−
∞
ω
−ω
ω
−∞
ω −
ω = − 
∫
 
= − − 
∫
 
(1.10)
1.3. TÝnh chất của nghiệm
Chóng ta trình bày mét vài tính chất cơ bản của nghiệm các phương
trình (1.8) và (1.10) liên quan tới phương trình Stein (1.7) và (1.9).
Bổ đề 1.2: Giả sử f

z
là hàm được định nghĩa bởi (1.8). Khi đó,
)(f
Z
ωω
là một hàm tăng của
ω
. (1.11)
Hơn nữa, với mọi sè thùc
ω
, u và v ta có:
7

( ) ( ) ( )
1; 1
≤ − ≤
z
z
z
f f uf u
ω ω ω ω
(1.12)

( ) ( ) ( )
' ' '
1; 1
≤ − ≤
z z z
f f f v
ω ω

(1.13)

( )
2 1
0 min ;
4
 
< ≤
 ÷
 ÷
 
z
f
z
π
ω
(1.14)
và:

( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
4
 
 ÷
 ÷
 
+ + − + + ≤ + +
z z
u f u v f v u v

π
ω ω ω ω ω

(1.15)
Chứng minh:
Vì
z z
f ( ) f ( )
−
ω = −ω
nên ta chỉ cần xét trường hợp
z 0
≥
. Với
0
ω >
thì
2
2 2
x x
2
2 2
x e
e dx e dx
ω
−
∞ ∞
− −
ω ω
≤ =

ω ω
∫ ∫
và từ đó

2 2
x
2
2 2
(1 ) e dx e
ω
∞
− −
ω
+ ω ≥ ω
∫
Bằng cách so sánh đạo hàm hai hàm có :

( )
( )
2 2
2 2
2
e e
1
1 2 2
ω ω
− −
ω
≤ − Φ ω ≤
+ ω π ω π

(1.16)
suy ra

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
z
2
2
2 1 z 1 e z
2
f
2 z 1 e 1 z
2
ω
ω

 
ω

π −Φ + ω Φ ω + ω≤

 ÷
 ÷
π

 
′
ω ω =

 

ω
πΦ + ω − Φ ω − ω >
 ÷

 ÷
π
 

suy ra
( )
( )
'
z
f 0
ω ω ≥
( ta chứng minh được (1.11) )
8
Ta có

( ) ( )
z
x
lim f z 1
→−∞
ω ω = Φ −
và
( ) ( )
z
x
lim f z
→∞
ω ω = Φ
(1.17)
Kết hợp với (1.11) ta có (1.12) .
T ừ (1.7) ta có:

( ) ( )
{ }
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2
'

z z
z
z
z
1
2
2
f f I z
f 1 z khi z
f z khi z
2 e 1 1 z khi z
(1.18)
2 e 1 1 z khi z
ω≤
ω
ω
ω =ω ω + −Φ
ω ω + −Φ ω<
=

ω ω −Φ ω>


 
πω Φ ω + −Φ ω<

 ÷
 

=


 

πω −Φ ω − Φ ω>
 ÷

 ÷
 

Từ
( )
z
f
ω ω
là một hàm tăng đối với
ω
kết hợp (1.16) và (1.17) ta có:

( ) ( ) ( )
'
z z
0 f zf z 1 z 1
< ω ≤ + − Φ <
với
z
ω <
(1.19)
và

( ) ( ) ( )

'
z z
1 zf z z f 0
− < −Φ ≤ ω <
khi
z
ω >
(1.20)
Do đó với bất kỳ
ω
và v ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
' '
z z z z
f f v max 1,zf z 1 z zf z z 1ω − ≤ + − Φ − − Φ =
điều này suy ra (1.13)
Để ý rằng ,từ (1.19) và (1.20) ,
z
f
đạt giá trị lớn nhất tại z.Thật vậy ta
có:

( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
z
2
z z

0 f f z 2 e z 1 z
< ω ≤ = π Φ − Φ
(1.21)
Từ (1.16),
( )
z
1
f z
z
≤
. Để hoàn thành chứng minh (1.14), đặt
( ) ( ) ( )
( )
2
z
2
1
g z z 1 z e
4
−
= Φ − Φ −
và
( )
( )
1
2 z
1 z
g z
4
2 2

Φ
= + −
π π
9
Để ý rằng
( ) ( )
2
1
z
'
2
1
g z e g z
−
=
và :
ở đó
1
2
0
4
z 2ln
 
 
=
 ÷
 ÷
π
 
 

. Như vậy ,
( )
1
g z
là hàm giảm trên
[
)
0
0;z
và tăng
trên
( )
0;
z
∞
. Từ
( )
1
g 0 0
=
và
( )
1
g ∞ = ∞
thì tồn tại
1
z
>0 sao cho
( )
1

g z 0
<

với
1
0 z z< <
và
( )
1
g z 0
>
với
1
z z
>
. Hơn nữa, g(z) cũng đạt maximum
tại z=0 hoặc
z
= ∞
suy ra:

( ) ( ) ( )
( )
g z max g 0 ,g 0≤ ∞ =
tương đương
( )
z
2
f z
4

π
≤

Điều này hoàn thành chứng minh của (1.14).
Bằng cách viết :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
z z
z z z z
u f u v f v
f u f v uf u vf v
ω+ ω+ − ω+ ω+ =
= ω ω+ − ω + + ω + − ω+
Kết hợp với (1.13), (1.14) và sử dụng biểu diễn Taylor ta chứng được (1.15).
Chóng ta thường xuyên sử dông (1.13) và (1.14) cho các xấp xỉ của chúng
ta. Nếu không quá quan tâm về các hằng sè, bằng cách sử dụng bất đẳng
thức
2
2
1 1
1 ( ) min , e , 0
2
2
ω
−
 
− Φ ω ≤ ω >
 ÷

ω π
 
ta dễ dàng chứng minh được
10
( )
2
0
' z
1 0
0
0 0 z z
1 1
g z e 0 z z
4
0 z z
−
< ≤ <


= − = =

π

> >


'
z
f ( ) 2ω ≤
và

z
0 f ( )
2
π
< ω ≤
Tiếp theo, chóng ta sẽ xét nghiệm f
h
của phương trình Stein (1.9)
được cho bởi (1.10) với h là hàm liên tục tuyệt đối bị chặn .
Bổ đề 1.3.: Cho h:R
→
R là hàm liên tục tuyệt đối. Nghiệm f
h
được
cho bởi công thức (1.10) thoả mãn:

'
min (.) ( ) , 2
2
 
≤ −
 ÷
 
h
f h Eh Z h
π
(1.22)

( )
' '

min 2 (.) ( ) , 4
≤ −
h
f h Eh Z h
(1.23)

h
f 2 h
′′ ′
≤
(1.24)
Chứng minh:
Đặt

h( ) h( ) Eh(Z)
ω = ω −
%
và
0 1
c sup h( ) ; c sup h ( )
ω ω
′
= ω = ω
%
. Vì
h
%
và
f
h

không
thay đổi khi h được thay thế bởi h – h(0) nên ta có thể giả thiết h(0) = 0. Do
đó
1
t
h(t) c
≤
và
1 1
2
Eh(Z) c E Z c≤ =
π
.
Trước hết ta chứng minh (1.22). Từ định nghĩa (1.10) của f
h
ta có:

( )
( )
( )
2 2
2 2
x
2 2
h
x
2 2
e h x e dx 0
f
e h x e dx 0

ω
ω −
−∞
∞
ω −
ω

ω ≤


ω ≤


ω ≥


∫
∫
%
%
11
2 2 2
x x
2 2 2
0 1
1
2
e min c e dx;c x e dx
min ;2c
2

∞ ∞
ω −
−
ω ω
 
 
 ÷
≤ +
 ÷
 ÷
 ÷
π
 
 
 
π
≤
 ÷
 
∫ ∫
Để ý rằng:

2 2
x
2 2
e e dx
2
∞
ω −
ω

π
≤
∫
Để chứng minh (1.23) ta xuất phát từ:
( ) ( ) ( ) ( )
,
f f h Eh Z
ω − ω ω = ω −
với
0
ω≥
suy ra
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
x x
2 2
h
f h Eh Z e h x Eh Z e dx
∞
−
−
ω
′
ω ≤ ω − + ω −
∫

( ) ( )
2 2
x
2 2

0
0
h Eh Z c e e dx
2c
∞
ω
−
ω
≤ ω − + ω
≤
∫
Lại có:

( ) ( ) ( ) ( )
f f f h
′′ ′ ′
ω − ω ω − ω = ω
tương đương

( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
e f e f h
ω ω
−
′
 
′ ′
ω = ω + ω

 ÷
 ÷
 
suy ra

( ) ( ) ( )
2 2
x
2 2
f e (f x h x )e dx
∞
−ω −
ω
′ ′
ω = +
∫
suy ra
12

( ) ( ) ( )
2 2
x
' '
2 2
f e f x h x e dx
∞
ω
−
ω
 

ω = +
 
∫

( ) ( )
2 2 2
x x
'
2 2 2
e f x e dx h x e dx
∞ ∞
ω
− −
ω ω
 
 ÷
≤ +
 ÷
 
∫ ∫

( ) ( )
2 2 2
x x
'
2 2 2
e f x e dx h x e dx
∞ ∞
ω
− −

ω ω
 
≤ + ÷
 ÷
 
∫ ∫

2 2 2
x x
2 2 2
1 1
e 2c e dx c e dx
∞ ∞
ω
− −
ω ω
 
≤ + ÷
 ÷
 
∫ ∫

2 2
x
2 2
1 1 1
3c e e dx 3c 4c
2
∞
ω

−
ω
π
= ≤ ≤
∫
Suy ra:

( )
0 1
0
sup f min(2c ,4c )
ω≥
′
ω ≤

tương tự , có cận trên cho
( )
0 1
0
sup f min(2c ,4c )
ω≤
′
ω ≤

Ta có:
( )
0 1
sup f min(2c ,4c )
′
ω ≤

(chứng minh được (1.23))
Bây giờ ta chứng minh (1.24). Lấy vi phân (1.9) ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
h h h
2
h
f f f h
1 f h Eh Z h
′′ ′ ′
ω = ω ω + ω + ω
′
= + ω ω + ω ω − + ω
(1.25)
Từ
( ) ( ) ( ) ( )
2
s
2
1
h x Eh Z h x h s e ds
2
+∞
−
−∞
− − 
 

π
∫

( ) ( )
2 2
x x s
s s
' '
2 2
s x x
1 1
h x dte ds h t dte ds
2 2
∞
− −
−∞
= −
π π
∫ ∫ ∫∫

(1.26)
13
( ) ( ) ( ) ( )
( )
x
' '
x
h t t dt h t 1 t dt
∞
−∞

= Φ − −Φ
∫ ∫
suy ra
( ) ( ) ( )
2 2
x
2 2
h
f e h x Eh Z e dx
ω
ω
−
−∞
ω = −
 
 
∫

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
x
x
' '
2 2
x
e h t t dt h t 1 t dt e dx
ω ∞
ω
−
−∞ −∞

 
= Φ − − Φ
 
 ÷
 
 
∫ ∫ ∫

( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
' '
2 2
2 e 1 h t t dt 2 e h t 1 t dt
ω ∞
ω ω
−∞ ω
= − π − Φ ω Φ − π Φ ω − Φ 
 
∫ ∫
(1.27)
từ (1.25),(1.26),(1.27) và (1.16) ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
'' ' 2
h h
f h 1 f h Eh Z

ω ≤ ω + + ω ω + ω ω −

( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
' 2 '
2
h 2 1 e 1 h t t dt
ω
ω
−∞
 
≤ ω + ω− π + ω − Φ ω Φ
 ÷
 ÷
 
∫

( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2 '
2
2 1 e h t 1 t dt
∞
ω

ω
 
+ −ω− π + ω Φ ω − Φ
 ÷
 ÷
 
∫

( )
( )
( )
( )
( )
2
' 2
2
1
h c 2 1 e 1 t dt
ω
ω
−∞
 
≤ ω + −ω+ π + ω − Φ ω Φ
 ÷
 ÷
 
∫

( )
( ) ( )

( )
2
2
2
1
c 2 1 e 1 t dt
∞
ω
ω
 
+ ω+ π + ω Φ ω − Φ
 ÷
 ÷
 
∫
(1.28)
Do đó ta có:
14
( ) ( )
'' '
h
f hω ≤ ω +

( )
( )
( )
( )
2
2
2

2
2
1
e
c 2 1 e 1
2
ω
−
ω
 
 
 ÷
+ −ω+ π + ω − Φ ω ωΦ ω +
 ÷
 ÷
 ÷
π
 ÷ 
 
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
2
1
e
c 2 1 e 1

2
ω
−
ω
 
 
 ÷
+ ω + π + ω Φ ω −ω − Φ ω +
 ÷
 ÷
 ÷
π
 ÷ 
 

( )
'
1 1
h c 2c= ω + ≤

(1.29)
1.4 Xây dựng các đẳng thức Stein
Trong phần này, chúng ta trở lại phương pháp cơ sở mà Stein sử dông. Giả
sử
1 2 3 n
, , ξ ξ ξ ξ
là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối thoả mãn E
i
ξ
=0,

( )
1 i n
≤ ≤
và
n
2
i
i 1
E 1
=
ξ =
∑
. Đặt

n
i
i 1
W
=
= ξ
∑
và
( )
i
i
W W
= −ξ
(1.30)
và định nghĩa:

( )
{ } { }
(
)
{ }
i i
i i
0 t t 0
K t E I I (1.31)
≤ ≤ξ ξ ≤ <
= ξ −
Dễ dàng để kiểm tra rằng
K (t) 0
i
≥
với mọi số thực t và

( ) ( )
3
2
i i i i
1
K t dt E t .K t dt E (1.32)
2
;
+∞ +∞
−∞ −∞
= ξ = ξ
∫ ∫
Cho h là một hàm đo được với

( )
E h Z
< ∞
. Đặt f=f
h
là nghiệm
tương ứng của phương trình Stein (1.9). Mục đích của chúng ta là ước lượng
15
( ) ( ) ( ) ( )
( )
'
Eh W Eh Z E f W Wf W
− = −
Phương pháp dưới đây là cơ sở để có được ước lượng trên.
Vì
i
ξ
và
( )
i
W
độc lập với mỗi
1 i n
≤ ≤
và E
i
ξ
=0 nên
( )
{ }

( )
{ }
( )
( )
( )
{ }
i
i
n
i
i 1
n
i 1
E Wf W E f W
E f W f W
=
=
= ξ
 
= ξ −
 
∑
∑
Viết dưới dạng tích phân ta nhận được

( )
{ }
( )
(
)

'
n
i
i
i
0
i 1
E Wf W E f W t dt
ξ
=
 
 
= ξ +
∫
 
 
 
∑

( )
(
)
{ } { }
( )
(
)
{ }
( )
n
i

i
0 t t 0
i i
i 1
n
i
i
i 1
'
E f W t . I I dt
'
E f W t .K t dt (1.33)
+∞
≤ ≤ξ ξ ≤ <
=
−∞
+∞
=
−∞
 
 
= + ξ −
 
 ÷
 
 
= +
∑
∫
∑

∫
từ định nghĩa của K
i
và tính độc lập. Tuy nhiên vì

( )
n n
2
i i
i 1 i 1
K t dt E 1
+∞
= =
−∞
ξ =
=
∑ ∑
∫
nên ta có

( ) ( )
{ }
( )
n
i
i 1
' '
Ef W E f W K t dt
+∞
=

−∞
=
∑
∫
(1.34)
Vì vậy từ (1.33) và (1.34) ta có:
( ) ( )
{ }
( )
( )
( )
n
i
i
i 1
' ' '
E f W Wf W E f W f W t .K t dt (1.35)
∞
=
−∞
 
 
− = − +
 
 ÷
 
 
∑
∫
Phương trình (1.33) và (1.35) đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh

xấp xỉ chuẩn. Để ý rằng trong trường hợp đặc biệt, (1.35) là một đẳng thức
thay thế các cận cho
1
η
và
2
η
dẫn tới :
16

( ) ( )
1
3
2
H 1
h H
1
sup Eh W Eh Z C n 1 E X
2
−
∈
 
− ≤ +
 
 

(với H là một lớp hàm kiểm tra và
''
H h
h H

C : sup f
∈
=
) .
Cũng cần lưu ý rằng (1.33) và (1.35) luôn đúng với mọi hàm f bị chặn liên
tục tuyệt đối.
CHƯƠNG 2: XẤP XỈ CHUẨN VỚI HÀM TRƠN
Trong phần này, chúng ta sẽ đưa ra các ước lượng Eh(W) - Eh(Z) cho
rất nhiều líp các biến ngẫu nhiên W và h là một hàm trơn thoả mãn:
x
h : sup h (x)
′ ′
= < ∞
(2.1)
Trước hết ta có kết quả sau:
Định lý 2.1: Giả sử tồn tại sè
δ
sao cho với mọi hàm Lipschiz đều h
ta có:

(W)- Eh(Z) 'Eh h
δ
≤
(2.2)
Khi đó
w
(1)
( (W), (0,1)) : sup ( ) ( )
∈
= − ≤

h Lip
d L N Eh W Eh Z
δ
(2.3)
1/2
w
( (W), (0,1)) : sup ( z) ( ) 2.
= ≤ − Φ ≤
z
d L N P W z
δ
(2.4)

C
h
ứ
17
n
g

m
i
n
h
:
Từ định nghĩa của d
w
ta có ngay (2.3). Để chứng minh (2.4), giả sử
1
4

δ ≤
bởi trong những trường hợp khác (2.4) hiển nhiên đúng. Đặt
1/2 1/4
(2 )α = δ π
và với mỗi z cố định đặt
z
1
z
h ( ) 0
linear z z
α
ω ≤


ω ≥ + α
ω =

≤ ω ≤ + α


Khi đó
h
′
=
1
α
và do đó từ (2.2) ta có
P(W z) (z) Eh (W) Eh (Z) Eh (Z) (z)
α α α
≤ − Φ ≤ − + − Φ

}
{
P z Z z
δ
≤ + ≤ ≤ + α
α

2
δ α
≤ +
α
π
và vì vậy

1/
4
2 2
1/ 1/
P(W z)- (z) 2.(2 ) 2
−
≤ Φ ≤ π δ ≤ δ
(2.5)
Tương tù ta cũng có
2
1/
P(W z)- (z) 2.≤ Φ ≥ − δ
(2.6)
Từ (2.5),(2.6) ta nhận được (2.4).
18

Trong các phần tiếp theo, chóng ta sẽ chỉ ra rằng (2.2) được thoả mãn
với sè
δ
nhá thích hợp trong trường hợp khi W là tổng của các biến ngẫu
nhiên độc lập hoặc khi W là tổng của các biến ngẫu nhiên phụ thuộc địa
phương. Ta cũng sẽ chỉ ra rằng (2.2) thoả mãn khi W được cho sao cho cặp
thay đổi (W, W’) được xây dựng có tính chất hồi quy tuyến tính

}
{
E W'/W (1 )W
= − λ
với 0<
λ
<1 (2.7)
2.1. Các biến ngẫu nhiên độc lập
Trong phần này, ta sẽ sử dụng (1.35) để chứng minh (2.2) với W là tổng
của các biến ngẫu nhiên độc lập với trung bình 0 và momen bậc ba hữu
hạn, mở rộng

( ) ( )
1
3
2
H 1
h H
1
sup Eh W Eh Z C n 1 E X
2
−

∈
 
− ≤ +
 
 
cho trường hợp các biến ngẫu nhiên không có cùng phân phối.
Định lý 2.2: Cho
1 2
, ,
n
ξ ξ ξ
là các biến ngẫu nhiên độc lập thoả mãn
0=
i
E
ξ
,
3
< ∞
i
E
ξ
với mỗi
1≤ ≤i n
và
2
1
=
< ∞
∑

n
i
i
E
ξ
. Khi đó Định lý 2.1
đúng với
3
1
3
=
=
∑
n
i
i
E
δ ξ
(2.8)
Trong trường hợp đặc biệt ta có:
3
1
2
W 3
=
− ≤
∑
n
i
i

E E
ξ
π
Chứng minh: Từ Bổ đề 1.3 ta có
h
f '' 2 h'≤
. Từ (1.35) và định lý
giá trị trung bình ta nhận được
}
{
n
' ' (i)
h h h h i
i 1
E f ' (W)-Wf (W) E f (W) f (W t)K (t)dt
+∞
−∞
=
≤ − +
∑
∫
19

n
i i
i 1
2 h' E( t )K (t)dt
+∞
=
−∞

≤ + ξ
∑
∫

Sử dông (1.32) ta có
}
{
n
3
' ' 2
h h i i i
i 1
1
E f (W) Wf (W) 2 h E E E
2
=
 
− ≤ ξ + ξ ξ
 ÷
 
∑

3
n
i
i 1
3 h' . E
=
≤ ξ
∑

Định lý được chứng minh.
Thực tế ta không cần giả thiết sự tồn tại momen bậc ba hữu hạn trong
Định lý 2.2. Đại lượng
δ
có thể tính được nhờ định lý giới hạn trung tâm.
Định lý 2.3: Cho
1 2
, ,
n
ξ ξ ξ
là các biến ngẫu nhiên độc lập thoả mãn
0=
i
E
ξ
với mỗi
1
≤ ≤
i n
và
2
1
1
=
=
∑
n
i
i
E

ξ
. Khi đó Định lý 2.1 đúng với

2 3
4(4 3 )= +
δ β β
(2.9)
ở đó
{ }
2
2
1
1
>
=
=
∑
i
n
i
i
E I
ξ
β ξ
và
{ }
3
3
1
1

≤
=
=
∑
i
n
i
i
E I
ξ
β ξ
(2.10)
Chứng minh: Chóng ta sẽ sử dụng (1.23) và (1.24) để chỉ ra rằng:

' ' (i)
h h i
f (W) f (W t) h' min(8,2( t ))− + ≤ + ξ

i
8 h ' ( t 1 1)≤ ∧ + ξ ∧
ở đó
( )
a b : min a;b∧ =
.
Thay thế cận này vào (1.35) chóng ta được:
n
i i
i 1
Eh(W) Eh(Z) 8 h' E( t 1 1)K (t)dt
∞

=
−∞
− ≤ ∧ + ξ ∧
∑
∫
(2.11)
Lại có:
20
[ ] [
)
( )
{ }
2
0,x x,0
3
1
x t x ( x 1) x 1
2
( t 1) 1 (t) 1 t dt
1
x x 1
2
+∞
−
−∞

+ − >


∧ − =



≤


∫
Vì vậy
( )
i i
E t 1 1 K (t)dt
+∞
−∞
∧ + ξ ∧
∫
=
( )
{ }
{ }
( )
{ }
( )
{ }
i
2
2
i i i i i i
1
1
E 1 .I E . 1 E E 1
2

ξ >
ξ ξ − + ξ ξ ∧ + ξ ξ ∧
=
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
i i i
3
2 2
i i i i i
1 1 1
1 1
E I E .I E .I E E( 1)
2 2
ξ > ξ > ξ ≤
ξ − ξ + ξ + ξ ξ ∧
Thêm vào i, ta có:
( )
n
2
2 3 i i
i 1
1
Eh(W) - Eh(Z) 8 h' E E 1
2
=

 
≤ β + β + ξ ξ ∧
 
 
∑

(2.12)
Tuy nhiên, vì x
2
và (x
∧
1) là những hàm tăng của x
≥
0 nên với biến ngẫu
nhiên
ξ
bất kỳ ta có:

( ) ( )
{ }
2 2
E E 1 E 1
ξ ξ ∧ ≤ ξ ξ ∧
{ } { }
3
2
1 1
E I E I
ξ ≤ ξ >
= ξ + ξ

(2.13)
Vì tổng cuối cùng không lớn hơn
3 2
β + β
, từ (2.12) ta chứng minh được định
lý.
Định lý 2.1 kết hợp Định lý 2.3 suy ra định lý giới hạn trung tâm dạng
Lindeberg như sau: cho
1 2 n
X ,X , ,X
là những biến ngẫu nhiên độc lập với
i
EX 0
=
và
2
i
EX
< ∞
với mỗi
ni
≤≤
1
.
Đặt
n
n i
i 1
S X
=

=
∑
và
n
2 2
n i
i 1
B EX
=
=
∑
.
Để áp dông Định lý 2.1 và 2.3, đặt

i
i
n
X
B
ξ =
và
n
n
S
W=
B
(2.14)
21
Định nghĩa
2

β
và
3
β
như trong (2.10) và lưu ý rằng với
10
<ε<
ta có

{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
i n i n
i n n i n
i n
i n
n n
3
2
2 3 i i
2 3

X B X B
i 1 i 1
n n
n n
2 2
i n i
2 3
X B B X B
i 1 i 1
n n
n
2
n i
3
X B
i 1
n
n
2
i
2
X B
i 1
n
1 1
E X I E X I
B B
1 1
E X I B E X I
B B

1
B E X I
B
1
E X I
B
> ≤
= =
> ε ≤ ≤
= =
<ε
=
>ε
=
β + β = +
≤ +
+ ε
≤ + ε
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑

(2.15)
Nếu điều kiện Lindebeg được thỏa mãn tức là
{ }
{ }
i n
n
2

i
2
X B
i 1
n
1
E X I
B
0
>ε
=
→
∑
khi
n
→ ∞

với mọi
0
>ε
thì từ (2.15) ta suy ra
2 3
0β + β →
khi
n
→ ∞
vì
ε
tuỳ ý. Vậy
từ Đinh lý 2.1 và 2.3 ta nhận được

08
2
1
32
→β+β≤Φ−








≤
)()z(z
B
S
Psup
n
n
z
khi
∞→
n
Điều này chứng minh định lý giới hạn trung tâm dạng Lindeberg.
2.2 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc địa phương
Dãy biến ngẫu nhiên
i
(i )
ξ ∈

Z
được gọi là m - phô thuộc nếu nó có
tính chất: với mỗi i, tập các biến ngẫu nhiên
{ }
j
; j iξ ≤
và
{ }
j
; j i m
ξ > +
là
độc lập. Dễ thấy dãy các biến ngẫu nhiên độc lập là 0 - phô thuộc.
Giả sử T là tập chỉ số hữu hạn của tập có n phần tử. Gọi
{ }
i
,i Tξ ∈
là
trường ngẫu nhiên với kỳ vọng 0 và phương sai hữu hạn. Đặt
∑
∈
ξ=
Ti
i
W
và
giả sử DW =1.
22
Với
A

A T;⊂ ξ
là ký hiệu
{ }
i
,i Aξ ∈
và
{ }
c
A j T; j A
= ∈ ∉
. Giả sử rằng
( LD1) Với mỗi i
T
∈
, tồn tại
i
A T
⊂
sao cho
i
ξ
và
C
i
A
ξ
độc lập
( LD2) Với mỗi
i T
∈

, tồn tại
i i
A B T⊂ ⊂
sao cho
i
ξ
độc lập với
C
i
A
ξ
và
i
A
ξ
độc lập với
C
i
B
ξ
.
Chóng ta tiếp tục định nghĩa
i
i j
j A∈
η = ξ
∑
và
i
i j

j B
.
∈
τ = ξ
∑
Chó ý rằng, với các
biến ngẫu nhiên độc lập
i
ξ
, chóng ta có thể lấy
{ }
i i
A B i
= =
để có
i i i
η = τ = ξ
.
Định lý 2.4: Giả sử giả thiết ( LD1) được thỏa mãn. Khi đó
Định lý 2.1 đúng với

( )
{ }
2
4
∈ ∈
= − +
∑ ∑
i i i i i i
i T i T

E E E
δ ξη ξη ξη
(2.17)
Nếu giả thiết ( LD2) được thỏa mãn thì Định lý 2.1 đúng với
( )
( )
2
2
∈ ∈
= + +
∑ ∑
i i i i i i i i
i T i T
E E E E
δ ξητ ξη τ ξη
(2.18)
Chứng minh: Trước tiên chúng ta chứng minh đẳng thức Stein tương
tự (1.33) và (1.35). Giả sử
h
f f=
là nghiệm của phương trình (1.9) thì

{ }
i
i T
E Wf(W) E f (W)
∈
= ξ
∑
[ ]

i i
i T
E f (W) -f (W- )
∈
= ξ η
∑
do
i
ξ
và W-
i
η
độc lập. Vì vậy
{ }
[ ]
{ }
i i i i i
i T i T
E Wf(W) E f (W)-f(W- )- f '(W) E f '(W)
∈ ∈
 
 
= ξ η η + ξ η
 
 ÷
 
 
∑ ∑
(2.19)
Bây giê, do

i
E 0
ξ =
với mọi i và từ giả thiết ( LD1) ta suy ra
{ }
{ }
2
i j i i
i J j J i J
1 EW E E
∈ ∈ ∈
= = ξ ξ = ξ η
∑ ∑ ∑
23
vậy
{ } ( )
{ }
( ) ( )
{ }
i i i i
i T
i i i
i T
E f '(W)-Wf(W) E E f '(W)
E f W f W- f '(W)
∈
∈
 
= − ξ η − ξ η
 ÷

 
− ξ − η − η 
 
∑
∑

(2.20)
Từ (1.23) và (1.24) suy ra
f ' 4 h'≤
và
f '' 2 h'≤
. Do đó, từ (2.20) và
công thức khai triển Taylor ta có:
{ }
2
i i i i i i
i T i T
E h(W) - E h (Z) h' 4E E( ) E
∈ ∈
 
≤ ξ η − ξ η + ξ η
 
 
∑ ∑
Điều này chứng minh (2.17).
Giả sử giả thiết ( LD2) được thoả mãn ,
i
f' (W- )
τ
và

i i
ξ η
độc lập với
mỗi
i T
∈
. Sử dông (2.20) ta có:
( )
{ }
( )
( )
'
i i i i i
i T
2
i i
i T
Eh(W)-Eh(Z) E E f'(W)-f W
h' E
∈
∈
≤ ξ η − ξ η − τ
+ ξ η
∑
∑

2
i i i i i i i i
i T i T
h' 2 (E E( ) E ) E

∈ ∈
 
≤ ξ η τ + ξ η τ + ξ η
 
 
∑ ∑

Định lý được chứng minh.
2.3. Cặp biến ngẫu nhiên thay đổi được
Cho W là mét biến ngẫu nhiên ( không nhất thiết là tổng của các biến
ngẫu nhiên độc lập). Giả sử W là xấp xỉ chuẩn, và chúng ta sẽ tìm hiểu mức
độ chính xác của xấp xỉ. Mét phương pháp cơ sở khác của Stein là đưa vào
một biến ngẫu nhiên W’ khác xác định trên cùng không gian xác suất sao
cho ( W, W’) là mét cặp biến ngẫu nhiên thay đổi được, nghĩa là ( W, W’)
và (W’, W) có cùng phân phối. sau đó dùng kết quả quan trọng: nếu ( W,
24
W’) là mét cặp biến ngẫu nhiên thay đổi được và g(x, y) là một hàm đo
được phản đối xứng sao cho
E g( W,W')
tồn tại thì

E g( W,W')
= 0 (2.21)
Trước hết ta có bổ đề cơ bản sau:
Bổ đề 2.5 : Cho (W, W’) là mét cặp thay đổi được các biến ngẫu nhiên thực
có phương sai hữu hạn, có tính chất hồi quy tuyến tính

(W'/ W) = (1- ). WE
λ
(2.22)

với
0 1
< <
λ
. Khi đó

W =0E
và
2 2
(W' -W) 2 W=E E
λ
(2.23)
và với mọi hàm f liên tục trên từng khúc thoả mãn điều kiện

( ) (1 )≤ +f C
ω ω
ta có
{ } ( )
{ }
( )
1
W f(W) W-W' (W) - (W')
2
=E E f f
λ
( 2.24)
Chứng minh: Từ (2.21) với g(x,y)=(x-y) (f(y)+f(x)) ta có:
( )
{ }
0 Eg(W,W')= E (W-W') f(W)+f(W')

=

( )
{ }
{ }
(W-W') f(W')-f(W) 2 (W)(W-W')
= +
E E f
=
( )
{ } { }
(W- ') f(W')-f(W) 2 (W) E(W-W' W)
+
E W E f
(2.25)

{ } { }
(W-W')(f(W')-f(W)) 2 Wf(W)= +E E
λ

do (2.22) và từ đó suy ra (2.24).
Sử dụng bổ đề này, chúng ta có định lý sau:
Định lý 2.6: Nếu (W, W’) là cặp thay đổi được và (2.22) thoả mãn thì Định
lý 2.1 được áp dụng với:

( )
(
)
2
3

'
1 1
4 1 W-W'
2 2
= − − +
E E W W W E
δ
λ λ
(2.26)
Chó ý: Trong số hạng đầu tiên, chú ý rằng:
25