một số vấn đề về định thức dieudonné

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
======================








Đề Tài:
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỊNH THỨC
DIEUDONNÉ





GVHD:
Th
.S Phạm Thị Vui SVTH : Lê Xuân Lợi
MSSV: 1050231
Lớp: Sư phạm Toán tin K31

Cần thơ, 4 - 2009





Trong suốt thời gian nghiên cứu và thực hiện đề tài này thì em đã gặp rất
nhiều khó khăn. Tuy nhiên, bên cạnh những khó khăn đó em đã được sự giúp
đỡ tận tình của quí thầy cô trong bộ môn Toán và các bạn lớp Toán tin k31 và
đến nay thì đề tài của em đã được hoàn thành.
Em xin chân thành cảm ơn quí thầy cô trong Bộ môn Toán, Khoa Sư
phạm, Trường Đại học Cần thơ đã trang bị cho em những kiến thức bổ ích,
đồng thời dành cho em nhiều ý kiến quí báu để hoàn thành đề tài này.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô Phạm Thị Vui đã hướng dẫn tận
tụy, hết sức nhiệt tình và tạo mọi điều kiện giúp em hoàn thành đề tài này.
Cuối cùng, em xin cảm ơn các bạn trong lớp đã giúp đỡ, động viên em trong
suốt thời gian thực hiện đề tài.
Đây là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học, chưa có nhiều kinh nghiệm nên
khó tránh khỏi thiếu sót, em rất mong có được những đóng góp quí báu của
quí thầy cô và các bạn để đề tài được hoàn chỉnh hơn.
Em xin chân thành cảm ơn.
Sinh viên thực hiện

Lê Xuân Lợi
MỤC LỤC
o
Trang

Bảng kí hiệu

Phần mở đầu 1
1. Lí do chọn đề tài 1
2. Đối tượng nghiên cứu 1
3. Mục đích nghiên cứu 2
4. Phương pháp nghiên cứu 2
Phần nội dung 3
1. Kiến thức bổ sung 3
1.1 Nhóm 3
1.2 Vành 7
1.3 Trường 8
1.4 Vành chia 9
2. Định thức trên trường 18
2.1 Định nghĩa phép thế 18
2.2 Định nghĩa dấ u của phép thế 18
2.3 Định nghĩa nghịch thế 19
2.4 Định thức 19
2.5 Các phép biến đổi sơ cấp 20
2.6 Các tính chất cơ bản của định thức 20
2.7 Định lý Laplace 24
3. Định thức Dieudonné 28
3.1 Một số khái niệm cơ bản 28
3.2 Tính chất 29
3.3 Nhận xét 36
3.4 Định lý 37
3.5 Định lý 38
3.6 Định lý 39
3.7 Định nghĩa 39
3.8 Định nghĩa 40
3.9 Sự tồn tại của định thức Dieudonné 40
3.10 Các tính chất của Dieudonné 44

3.11 Định nghĩa 49
3.12 Bổ đề 49
3.13 Định lý 50
3.14 Mệnh đề 51
3.15 Mệnh đề 53
3.16 Định lý 53
3.17 Định lý 53
3.18 Cách tính định thức Dieudonné 54
4. Một vài nhận xét về định thức trên trường
và định thức Dieudonné 57
4.1 Một số tính chất giống nhau giữa hai định thức 57
4.2 Một số tính chất không còn đúng cho định thức Dieudonné 59
Tài liệu tham khảo 63


BẢNG KÍ HIỆU
o

+
R
: trường số thực.
+ x
-1
: phần tử nghịch đảo của phần tử x.
+ H ≤ X: H là nhóm con của nhóm X.
+ H  X: H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X.
+ C(A): tâm giao hoán của tập A.
+ Z(X): tâm giao hoán của nhóm X.
+ [x, y] = xyx
-1

y
-1

+ [X, X]: nhóm con các hoán tử của nhóm X.
+ N
X
(H) = {x ∈ X| x
-1
Hx = H}: chuẩn hóa tử của H trong X.
+ M
m,n
(K): tập hợp các ma trận cấp mxn trên K.
+ M
n
(K): vành các ma trận vuông cấp n trên K.
+
GL
n
(K): nhóm tuyến tính tổng quát trên K.
+
ij
δ
: kí hiệu của Kronecker.
+ S
n
: tập các phép thế σ: S → S.
+ sgn: hàm dấu.
+
n
F

: trường có đúng n phần tử.


1
PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong phần Đại số tuyến tính, chúng em đã được tìm hiểu về định thức
trên trường K mà ta gọi là định thức trên trường (normal determinant). Khi
đó, với K là cấu trúc có tính giao hoán đối với phép nhân và định thức
được định nghĩa ở đây phụ thuộc vào tính giao hoán. Khi xét K là cấu trúc
không giao hoán thì định thức được định nghĩa ở đây không còn hiệu lực
nữa. Một vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên là với những cấu trúc này
(thể, trường bỏ đi tính giao hoán) khái niệm định thức sẽ được định nghĩa
như thế nào?
Vì lí do trên càng làm cho em có sự tìm tòi và cuối cùng thì em đã quyết
định chọn đề tài này _ “Một số vấn đề về định thức Dieudonné” với
mong muốn là nắm được rõ những tính chất, định lý liên quan đến định
thức Dieudonné cũng như việc tìm hiểu sự giống và khác nhau giữa định
thức trên trường và định thức trên trường mà bỏ đi tính giao hoán.

2. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài “Một số vấn đề về định thức Dieudonné” trình bày một số tính
chất cơ bản của định thức Dieudonné.

Nội dung đề tài được chia thành 4 phần:
+ Kiến thức bổ sung: trình bày các khái niệm có liên quan đến đề tài.
+ Định thức trên trường: trình bày những khái niệm và tính chất của
định thức trên trường.
+ Định thức Dieudonné: trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản

của định thức Dieudonné.
+ Một số nhận xét giữa hai định thức trên.



2
3. Mục đích nghiên cứu
Luận văn này tìm hiểu rõ về định thức Dieudonné cũng như những tính
chất của nó.

4. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài được nghiên cứu bằng cách tổng hợp những tài liệu có được,
phân tích đối chiếu các tài liệu đó, sau đó tổng hợp kiến thức lại và so sánh
để tìm ra mối liên hệ giữa hai loại định thức.
Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné

GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 3

PHẦN NỘI DUNG

1. KIẾN THỨC BỔ SUNG
1.1 Nhóm
1.1.1 Định nghĩa
Nhóm là một tập hợp X ≠ φ cùng với phép toán hai ngôi thỏa mãn các điều
kiện sau:
i. Với x, y, z ∈ X thì (xy)z = x(yz)
ii. Tồn tại một phần tử đơn vị e ∈ X sao cho ex = xe = x
iii. Với ∀x ∈ X, tồn tại phần tử nghịch đảo x
-1
thỏa x x

-1
= x
-1
x = e
Nếu phép toán có tính chất giao hoán tức là
yx
xy
X
y
x
=
∈
∀
,
,
thì X được gọi
là nhóm giao hoán hay nhóm Abel.

1.1.2 Định nghĩa
Cho nhóm (X, .) là một nhóm và H ≠ φ là một tập con ổn định đối với phép
toán trên X (tức là mọi x, y ∈ H thì xy ∈ H). Tập H được gọi là nhóm con của
X nếu H cùng với phép toán cảm sinh trên H lập thành một nhóm.
Kí hiệu: H ≤ X.

1.1.3 Định lý
Cho H là một tập con khác rỗng của nhóm X. Khi đó các phát biểu sau đây là
tương đương:
i. H là nhóm con của nhóm X.
ii. Với mọi x, y ∈ H, ta có xy ∈ H và x
-1

∈ H.
iii. Với mọi x, y ∈ H, ta có xy
-1
∈ H.


Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné

GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 4

1.1.4 Lớp ghép
* Cho H là nhóm con của nhóm X. Trong nhóm X ta định nghĩa một quan hệ
~ như sau:
x ~ y ⇔ xy
-1
∈ H, với ∀x, y ∈ X
Khi đó ta được quan hệ ~ là một quan hệ tương đương.
Nên trong X có sự phân lớp. Gọi X/H là tập tất cả các lớp tương đương [x]
~
,
với x ∈ X. Chúng ta xét lớp tương đương:
[x]
~
= {y ∈ X| y ~ x} = {hx | h ∈ H}
Kí hiệu [x]
~
= Hx. Tập Hx được gọi là lớp ghép trái của x đối với nhóm con H
và khi đó tập X/H = {Hx | x ∈ X}

* Với H là nhóm con của nhóm X, ta định nghĩa quan hệ ~ trong X như sau:

x ~ y ⇔ x
-1
y ∈ H, ∀ x, y ∈ X
Khi đó tương tự như trên ta cũng xây dựng được lớp ghép phải của phần tử x
∈ X đối với nhóm con H:
xH = {xh | h ∈ H}

1.1.5 Định nghĩa
Cho H là nhóm con của nhóm X. Nhóm con H được gọi là nhóm con chuẩn
tắc của X (hoặc ước chuẩn) nếu mọi x ∈ X thì xH = Hx.
Kí hiệu H  X.

Chú ý
i. Mọi nhóm con của nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc.
ii. Với X là nhóm thì các nhóm con {e}, X là nhóm con chuẩn tắc của X.
Các nhóm con chuẩn tắc này được gọi là nhóm con chuẩn tắc tầm thường.


Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné

GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 5

1.1.6 Định lý
Một nhóm con H của nhóm X là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X nếu và chỉ
nếu với mọi x ∈ X, với mọi h ∈ H thì x
-1
hx ∈ H (xhx
-1
∈ H).

1.1.7 Định nghĩa
Cho A là một tập con khác rỗng của nhóm X. Tập hợp
C(A) = {x ∈ X | ax = xa, ∀a ∈ A}
Được gọi là tâm giao hoán của tập A. Đặc biệt nếu X = A thì tâm C(X) được
gọi là tâm giao hoán của nhóm X, thường kí hiệu là Z(X).

1.1.8 Mệnh đề
A là tập con khác rỗng của nhóm X. Khi đó:
i. C(A) là nhóm con của nhóm X.
ii. Z(X) là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X.

1.1.9 Nhóm thương
Cho X là nhóm, H  X. Trong tập X/H = {xH | x ∈ X} ta xét phép toán nhân
như sau:
xH. yH = xyH, ∀x, y ∈ X
Khi đó nhóm X/H được gọi là nhóm thương.
Chú ý: Nếu X là nhóm Abel thì X/H cũng là nhóm Abel

1.1.10 Định nghĩa
Cho X là nhóm và x, y ∈ X, phần tử xyx
-1
y
-1
được gọi là một hoán tử của X.
Kí hiệu [x, y].
Nhóm con sinh bởi tất cả các hoán tử được gọi là nhóm con các hoán tử, kí
hiệu [X, X] hoặc DX hoặc
'
X
.

Như vậy: [X, X] = <[x, y]| x, y ∈ X>
Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné

GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 6

1.1.11 Mệnh đề
Cho H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X, khi đó:
i. [X, X] là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X.
ii. Nhóm X/H là nhóm Abel khi và chỉ khi [X, X] ⊆ H.

1.1.12 Định nghĩa
Giả sử X là nhóm, H ≤ X. Khi đó,
Chuẩn hóa tử của H trong X bao gồm tập hợp các phần tử x thuộc X sao cho
x
-1
Hx = H
Kí hiệu N
X
(H).
N
X
(H) = {x ∈ X| x
-1
Hx = H}

1.1.13 Định nghĩa
Ánh xạ f từ nhóm X đến nhóm Y được gọi là đồng cấu nhóm nếu f bảo tồn
phép toán, tức là f(xy) = f(x)f(y) với mọi x, y ∈ X.
Một đồng cấu nhóm từ X vào X được gọi là tự đồng cấu nhóm. Đồng cấu
nhóm f : X → Y với f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh) được gọi là đơn cấu

nhóm (toàn cấu, đẳng cấu).

1.1.14 Định lý tổng quát về đồng cấu nhóm
Cho ánh xạ f : X → Y là toàn cấu nhóm và g: X → Z là đồng cấu nhóm. Khi
đó các phát biểu sau là tương đương:
i. ker f ⊆ ker g.
ii. Tồn tại duy nhất đồng cấu nhóm h : Y → Z sao cho hf = g.
Khi một trong hai điều kiện trên xảy ra thì :
a. h là đơn cấu nhóm khi và chỉ khi ker f = ker g.
b. h là toàn cấu nhóm khi và chỉ khi g là toàn cấu nhóm.

Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné

GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 7

Hệ quả
Nếu f : X → Y là đồng cấu nhóm thì
imf
f
X
≅
ker
. Đặc biệt nếu f : X → Y là
toàn cấu nhóm thì
Y
f
X
≅
ker
.

1.2 Vành
1.2.1 Định nghĩa
Cho X ≠ φ, trên X ta trang bị hai phép toán hai ngôi:
Phép cộng + :
XXX
→
×


y
x
y
x
+
a
)
,
(

Phép nhân . :
XXX
→
×


xy
y
x
a

)
,
(

Tập (X, +, .) được gọi là vành nếu nó thỏa các điều kiện sau:
i. (X, +) lập thành nhóm Abel.
ii. (X, .) lập thành nửa nhóm.
iii. Phép nhân phân phối về hai phía đối với phép cộng:
∀ x, y, z ∈ X ta có:
* x(y + z) = xy + xz
* (y + z)x = yx + zx
Vành X được gọi là có tính giao hoán nếu (X, .) có tính giao hoán. Vành X
được gọi là vành có đơn vị nếu (X, .) có đơn vị.

1.2.2 Định nghĩa
Giả sử X là vành và A là tập con khác rỗng ổn định đối với hai phép toán cộng
và nhân của vành X. Tập A được gọi là vành con của X nếu A cùng với hai
phép toán cảm sinh trên A lập thành một vành.


Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné

GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 8

1.2.3 Định lý
Cho A là tập con khác rỗng của vành X. Khi đó các điều kiện sau là tương
đương:
i. A là vành con của vành X.
ii. Với mọi x, y ∈ A ta có x + y ∈ A, xy ∈ A, -x ∈ A.
iii. Với mọi x, y ∈ A, ta có x – y ∈ A, xy ∈ A.

1.3 Trường
1.3.1 Định nghĩa
Giả sử X là vành và a ∈ X\{0}. Phần tử a được gọi là ước của 0 nếu tồn tại
b ∈ X\{0} sao cho ab = 0 hoặc ba = 0.

1.3.2 Định nghĩa
Vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và không có ước của 0
được gọi là miền nguyên.
Tức là tập X có nhiều hơn một phần tử cùng với hai phép toán cộng và nhân là
miền nguyên nếu nó thỏa các điều kiện sau:
i. (X, +) là nhóm giao hoán.
ii. (X, .) là vị nhóm giao hoán.
iii. Phép toán nhân phân phối với phép toán cộng.
iv. x, y ∈ X, giả sử xy = 0 thì x = 0 hoặc y = 0.

1.3.3 Định nghĩa
Vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và mọi phần tử khác
không đều khả nghịch (đối với phép nhân) được gọi là trường.
Như vậy, tập X có nhiều hơn một phần tử với hai phép toán cộng và nhân
được gọi là trường nếu nó thỏa các điều kiện sau:
i. (X, +) là nhóm giao hoán.
Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné

GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 9

ii. (X, .) là nhóm giao hoán.
iii. Phép toán nhân phân phối phép toán cộng.

1.4 Vành chia

1.4.1 Định nghĩa
Cho X là một tập hợp khác rỗng, cùng với hai phép toán cộng và nhân là một
vành chia (hay còn gọi là thể) nếu nó thỏa các điều kiện sau:
i. (X, +) là nhóm giao hoán.
ii. (X\{0}, .) là một nhóm.
iii. Phép toán nhân phân phối phép toán cộng.
Chú ý: Vành chia có thêm tính giao hoán đối với phép toán nhân thì sẽ thành
trường.

1.4.2 Các ví dụ
a. GL
2
(
R
) là tập các ma trận vuông cấp 2 khả nghịch với hệ số thực lập thành
vành chia.
Thật vậy,
+ Hiển nhiên GL
2
(
R
) với phép cộng hai ma trận lập thành nhóm giao hoán.
+ Ta xét GL
2
(
R
) với phép nhân hai ma trận
 Tính kết hợp: với A, B, C ∈ GL
2
(

R
) ta luôn có:
A(B.C) = (A.B)C
 Phần tử đơn vị là I
2
do:
Với A ∈ GL
2
(
R
) ta có AI
2
= I
2
A
 Với A ∈ GL
2
(
R
) tồn tại A
-1
∈ GL
2
(
R
) sao cho A A
-1
= A
-1
A = I

2

(do A khả nghịch)
 Với A, B ∈ GL
2
(
R
) ta có A.B ≠ B.A
Suy ra GL
2
(
R
) với phép nhân hai ma trận lập thành nhóm không giao hoán.
Vậy với GL
2
(
R
) là vành chia 
Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné

GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 10

b. GL
3
(
R
) là tập các ma trận vuông cấp 3 khả nghịch với hệ số thực lập thành
vành chia.
Thật vậy,
+ Hiển nhiên GL

3
(
R
) với phép cộng hai ma trận lập thành nhóm giao hoán.
+ Ta xét GL
3
(
R
) với phép nhân hai ma trận
 Tính kết hợp: với A, B, C ∈ GL
3
(
R
) ta luôn có:
A(B.C) = (A.B)C
 Phần tử đơn vị là I
3
do:
Với A ∈ GL
3
(
R
) ta có AI
3
= I
3
A
 Với A ∈ GL
3
(

R
) tồn tại A
-1
∈ GL
3
(
R
) sao cho A A
-1
= A
-1
A = I
3

(do A khả nghịch)
 Với A, B ∈ GL
3
(
R
) ta có A.B ≠ B.A
Suy ra GL
3
(
R
) với phép nhân hai ma trận lập thành nhóm không giao hoán.
Vậy với GL
3
(
R
) là vành chia 

c. GL
n
(
R
) là tập các ma trận vuông cấp n khả nghịch với hệ số thực lập thành
vành chia.
Thật vậy,
+ Hiển nhiên GL
n
(
R
) với phép cộng hai ma trận lập thành nhóm giao hoán.
+ Ta xét GL
n
(
R
) với phép nhân hai ma trận
 Tính kết hợp: với A, B, C ∈ GL
n
(
R
) ta luôn có:
A(B.C) = (A.B)C
 Phần tử đơn vị là I
n
do: với A ∈ GL
n
(
R

) ta có AI
n
= I
n
A
 Với A ∈ GL
n
(
R
) tồn tại A
-1
∈ GL
n
(
R
) sao cho A A
-1
= A
-1
A = I
n

(do A khả nghịch)
 Với A, B ∈ GL
n
(
R
) ta có A.B ≠ B.A
Suy ra GL
n

(
R
) với phép nhân hai ma trận lập thành nhóm không giao hoán.
Vậy với GL
n
(
R
) là vành chia 
Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné

GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 11

d. Tập hợp T các song ánh đi từ tập X vào tập Y cùng với hai phép toán cộng
hai ánh xạ và phép hợp thành hai ánh xạ lập thành vành chia.
Thật vậy,
+ Xét T cùng với phép toán cộng hai ánh xạ
 Ta có :
hgfhgf
xhgfxhxgxfxhgxfxhgf
x
T
h
g
f
++=++⇒
++=++=++=++
∈
∀
∈
∀

)()(
)]()[()()()())(()( )( )]( [
X

,
,
,

thỏa tính kết hợp.
 Song ánh không là phần tử không.

0 )( )(- : - ! ,
=
+
−
=
+
∈
∃
∈
∀
ffffTfTf


X ,,
∈
∀
∈
∀
xTgf

fggf
x
f
g
x
f
x
g
x
g
x
f
x
g
f
+=+⇒
+
=
+
=
+
=
+
)
)(


(
)

(
)
(
)
(

)
(


)
)(


(

⇒ (T, +) lập thành nhóm giao hoán.
+ Xét T cùng với phép hợp thành hai ánh xạ

,,, XxThgf
∈
∀
∈
∀


hgfhgf
x
h
g

f
x
h
g
f
. ).( ) (
)
](

.

)
.
[(

)
](

)
.
.(
[
=⇒
=

thỏa tính kết hợp.
 Song ánh đồng nhất là phần tử đơn vị vì:

fffTf
=

=
∈
∀
1 1 :


1 : ! ,
111
==∈∃∈∀
−−−
ffffTfTf


fggfTgf . . ,,
≠
∈
∀

⇒ (T, .) lập thành nhóm không giao hoán
Vậy T là một vành chia 


Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné

GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 12

1.4.3 Mệnh đề
Nếu bình phương của một phần tử trong vành chia K nằm trong tâm Z(K) thì
K là trường.

1.4.4 Định lý (định lý Wedderburn)
Mọi vành chia hữu hạn đều là trường.

1.4.5 Định nghĩa
A là ma trận khả nghịch nếu và chỉ nếu tồn tại ma trận B sao cho:
AB = BA = I
n
(1)
Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A.
GL
n
(K) là tập các ma trận vuông cấp n khả nghịch trên vành chia K.
GL
n
(K) = {A ∈ M
n
(K) | A khả nghịch}
Ta thấy GL
n
(K) cùng với phép toán nhân hai ma trận lập thành một nhóm
không giao hoán và ta gọi đây là nhóm tuyến tính tổng quát.
Ta nói A là ma trận không suy biến nếu A ∈ GL
n
(K). Trong trường hợp
ngược lại ta nói A là ma trận suy biến.
Hiển nhiên A không suy biến nếu và chỉ nếu A khả nghịch.

1.4.6 Định nghĩa
Xét vành chia K, A
1

, A
2
, …, A
n
là các ma trận cùng cấp trên K
a. Khi đó
∑
=
n
i
ii
A
1
λ
được gọi là một tổ hợp tuyến tính trái của các A
i
.
(λ
i
∈ K) (λ
i
được nhân từ bên trái).
b. Khi đó
i
n
i
i
A
λ
∑

=1
được gọi là một tổ hợp tuyến tính phải của các A
i

(λ
i
∈ K)( λ
i
được nhân từ bên phải).
Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné

GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 13

c. Hệ {A
1
, A
2
, …, A
n
} được gọi là độc lập tuyến tính trái nếu từ tổ hợp
tuyến tính trái
∑
=
n
i
ii
A
1
λ
= 0 thì ta luôn có λ

i
= 0 (∀ i=1 n).
d. Hệ {A
1
, A
2
, …, A
n
} được gọi là độc lập tuyến tính phải nếu từ tổ hợp
tuyến tính phải
i
n
i
i
A
λ
∑
=1
= 0 thì ta luôn có λ
i
= 0 (∀ i=1 n).

Ví dụ: Trong vành chia K = GL
2
(
R
). Xét hai ma trận trên K

















−








=

















−








=
30
21
21
10
,
21
32
12
01
21
AA

∈ M
1,2
(K)
Khi đó, với








=








=
hg
fe
dc
ba
21
,λλ
∈ K
Ta có:

















+++−−
+++−−








++++
++++
=

















+−
+−








+
+
+

















+−
+−








+
+
=

















−

























+
















−

























=+
hgdcgdc
febaeba
hgdhdc
febfba
hgg
fee
hgh
fef
dcdc

baba
ddc
bba
hg
fe
hg
fe
dc
ba
dc
ba
AA
32232
32232
22
22

32
32
2
2
232
232
2
2

30
21
21
10

21
32
12
01
2211
λλ

là một tổ hợp tuyến tính trái của A
1
và A
2
.
Tương tự,
















++−++

+−++−+








++++++
++
=
















+−+−









++
+
















+−+−
++









++
=

























−
















+

























−

















=+
hdbgge
hfdbgeca
hfdbgeca
hbga
hg
hfge
hfge
hg
dbca
dbca
dbca
ba
hg
fe
hg
fe
dc
ba
dc
ba
AA
3232
232232
2222

33
22
2222
3232

22

30
21
21
10
21
32
12
01
2211
λλ
là một tổ hợp tuyến tính phải của A
1
và A
2
.
Ta có:

0
2211
=
+
AA
λ
λ

Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné

GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 14

0
0
03223
02
03223
02
02
02
02
02
00
00
00
00
32232
32232
22
22
21
==⇒
========⇒














=+++
=−−
=+++
=−−
=++
=++
=++
=++
⇔

























=
















+++−−
+++−−









++++
++++
⇔
λλ
hgfedcba
hgdc
gdc
feba
eba
hgd
hdc
feb
fba
hgdcgdc
febaeba
hgdhdc
febfba

Vậy {A
1
, A
2
} độc lập tuyến tính trái.

Tương tự,

0
0
21
2211
==⇒
=
+
λλ
λ
λ
AA

Vậy {A
1
, A
2
} độc lập tuyến tính phải.

Ta thấy, hệ {A
1
, A
2
} vừa độc lập tuyến tính trái, vừa độc lập tuyến tính phải.
Sau đây là một ví dụ về hệ {A’
1
, A’
2
} trên GL
2

(R) độc lập tuyến tính trái
nhưng không độc lập tuyến tính phải.
Ví dụ: Trong vành chia K = GL
2
(
R
). Xét hai ma trận trên K

























=
























=
02
21
11

10
',
30
21
20
01
'
21
AA
∈ M
1,2
(K)
Khi đó, với
1 2 2
, ( )
a b e f
GL
c d g h
λ λ
   
= = ∈
   
   
R

+ Ta có:










































+









































=+
02
21
11
10
30
21
20
01
''
2211
hg
fe

hg
fe
dc
ba
dc
ba
AA λλ

Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné

GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 15

















++++
++++









+++
+++
=
















+
+









+
+
+
















+
+









=
gdchgc
ebafea
hgdhc
febfa
ghg
efe
hgh
fef
dcc
baa
dc
ba
2322
2322
2
2

22
22
32
32
2
2

Khi đó,
0''
2211
=
+
AA
λ
λ

00
0232
0 2
0232
0 2
02
0
02
0
00
00
00
00
2322
2322
2
2
21

==⇔========⇒













=++
=++
=++
=++
=++
=+
=++
=+

























=

















++++
++++








+++
+++
⇒
λλhgfedcba
gdc
hgc
eba
fea
hgd
hc
feb
fa
gdchgc
ebafea
hgdhc
febfa

⇒
{ A’
1
, A’
2
} độc lập tuyến tính trái trên GL
2
(
R
).
+ Ta có:

















++
++++++









++++
++
=
















++









++
+
















++









=









































+









































=+
fdec
hfdbgeca
hfdgec
hbga

fe
hfge
hfge
hg
dc
dbca
dc
ba
hg
fe
hg
fe
dc
ba
dc
ba
AA
2323
2222
22
22
22
33
22
22
02
21
11
10
30

21
20
01
''
2211
λλ

Khi đó,
0''
2211
=
+
λ
λ
AA


























=
















++
++++++









++++
++
⇔
00
00
00
00
2323
2222
22 fdec
hfdbgeca
hfdgec
hbga

Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné

GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 16















=+
=+
=+++
=+++
=++
=++
=+
=+
⇒
)8( 023
)7( 023
)6( 022
)5( 022
)4( 02
)3( 02
)2( 0
)1( 0
fd
ec
hfdb
geca
hfd

gec
hb
ga

Lấy (5) – ((3)+(1)) ta được phương trình 0 = 0.
Như vậy 8 ẩn 7 phương trình ⇒ hệ có nghiệm không tầm thường ⇒
{A’
1
, A’
2
} không độc lập tuyến tính phải trên GL
2
(
R
).

1.4.7 Định nghĩa
Với mỗi π ∈ S
n
, ta kí hiệu ma trận (π) ∈ GL
n
(K) xác định bởi
)()(
)( jiπ
δ
π
=
với
ij
δ

là kí hiệu của Kronecker (tức là



=
≠
=
ji 1,
ji ,0
ij
δ
)
Ma trận này được gọi là ma trận hoán vị cấp n trên K.
Ví dụ: Giả sử π ∈ S
3
,








=
312
321
π

Khi đó, ma trận (π) có dạng











==
100
001
010
)()(
)( jiπ
δπ

Tích (π)d của (π) với một ma trận đường chéo d ∈ GL
n
(K) được gọi là một
ma trận monomial trong GL
n
(K).
Ví dụ: Giả sử π ∈ S
3
,









=
312
321
π











==
100
001
010
)()(
)( jiπ
δπ
,











=
400
030
002
d

Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné

GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 17

Khi đó,










=





















=
400
002
030
400
030
002
100
001
010

)( dπ

Ta thấy, tích (π)d là một ma trận mà trong mỗi dòng có đúng một phần tử
khác 0.
Khi đó, tập tất cả các ma trận monomial trong GL
n
(K) sẽ lập thành một nhóm
con của GL
n
(K). Nhóm con này được gọi là nhóm con monomial của GL
n
(K).



Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné

GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 18
2 ĐỊNH THỨC
2.1 Định nghĩa
Với n là số nguyên dương cho trước, đặt S = {1, 2, …, n}. Mỗi song ánh σ:
S → S được gọi là một phép thế bậc n.
σ: S → S có thể viết dưới dạng:

1 2 3 n
=
σ(1) σ (2) σ (3) σ (n)
σ
 
 

 

(Phần tử đứng dưới là ảnh của phần tử đứng trên)
Ta kí hiệu S
n
là tập các phép thế σ: S → S
Ta thấy rằng S
n
là một nhóm với phép toán hợp thành của 2 ánh xạ.
Thật vậy,
+ Tính kết hợp:
hfgghf
xhfgxghfSx
Shgf
n
)()(
)()())((,
,,
=⇒
=∈∀
∈
∀

(do f, g, h là các ánh xạ)
+ Phần tử đơn vị là song ánh đồng nhất.(

S
1
)
fffSf

SSn
=
=
∈
∀
11:

+
n
Sf
∈
∀
⇒
S
fffff 1:
111
==∃
−−−
(f là song ánh)
1−
f

là phần tử nghịch đảo của
f


Nhóm này được gọi là nhóm đối xứng bậc n hay nhóm các phép thế bậc n.
Nhóm này là tập hợp các song ánh với tập nguồn là S có n phần tử, nên
mỗi phần tử của nhóm là một hoán vị của n phần tử suy ra nhóm có n! phần
tử.

2.2 Định nghĩa
* Với n = 1 thì S
n
có đúng 1 phần tử là ánh xạ đồng nhất.
Ta xét ánh xạ sgn: S
n
→ {-1, 1}
Được xác định bởi sgn(1
s
) = 1
Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné

GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 19
* Với n ≥ 2, ta xét ánh xạ
sgn: S
n
→ {-1, 1}

1
( ) ( )
( ) (i, j 1, , n)
i j n
j i
j i
σ σ
σ
≤ < ≤
−
→ =

−
∏
a

Ta gọi sgn là hàm dấu hay ánh xạ dấu.
Nếu sgnσ = 1 thì σ được gọi là phép thế chẳn, còn nếu sgnσ = -1 thì σ
được gọi là phép thế lẻ.

2.3 Định nghĩa
Cho σ ∈ S
n
, ta nói rằng (i, j) tạo thành một nghịch thế đối với σ nếu ta có
(i - j)(
)
(
)
(
j
i
σ
σ
−
) < 1.
Chú ý:
n
ế
u s
ố
ngh
ị

ch th
ế
là k thì sgn
σ
= (-1)
k

Định lý
: V
ớ
i f, g
∈
S
n
thì sgn(fg) = sgn f.sgn g.
Hệ quả:
V
ớ
i f
∈
S
n
, ta luôn có sgn f = sgn f
-1
, sgn 1
s
= 1.

2.4 Định nghĩa
V

ớ
i
K
là tr
ườ
ng, cho
)()(a
ij
KMA
nn
∈
=
. Khi
đ
ó ta hi
ể
u
đị
nh th
ứ
c A là s
ố

đượ
c xác
đị
nh
) )((sgn
)()1(1
∑

∈
n
S
nn
aa
σ
σσ
σ
và ta kí hi
ệ
u là detA hay
A
hay
nnn
n
aa
aa



1
111

+ Khi n = 1: detA = a
11

+ Khi n = 2:detA=
2221
1211
aa

aa
= sgn(1)a
11
.a
22
+sgn(1 2)a
12
.a
21
= a
11
.a
22
- a
12
.a
21

+ Khi n = 3: detA =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
= (a
11
a
22
a

33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
) -
(a
13
a
22
a
31
+ a
12
a
21
a
33
+ a
11
a
23

a
32
)
Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné

GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 20
Chú ý
:
Đị
nh th
ứ
c ch
ỉ

đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a
đố
i v
ớ
i ma tr
ậ
n vuông mà không
đị
nh ngh
ĩ
a v

ớ
i ma tr
ậ
n tùy ý.

2.5 Phép biến đổi sơ cấp
V
ớ
i
K
là tr
ườ
ng, cho )()(a
ij
KMA
nn
∈
=

* Các phép bi
ế
n
đổ
i
đượ
c th
ự
c hi
ệ
n trên các hàng c

ủ
a A nh
ư
sau:
h1)
Đổ
i ch
ỗ
hai hàng h
i
, h
j
cho nhau. Kí hi
ệ
u
ji
hh
↔

h2) Nhân vào m
ộ
t hàng h
i
m
ộ
t
đạ
i l
ượ
ng vô h

ướ
ng k
∈

K
, k
≠
0.
Kí hi
ệ
u
ii
khh
↔

h3) Thay hàng h
i
nào
đ
ó b
ở
i
jji
hkh
+
. Ta kí hi
ệ
u
jjii
hkhh

+
↔

h4)
∑
≠
+
↔
ij
jjii
hkkhh
( k
≠
0) (h
ệ
qu
ả
c
ủ
a h2 và h3)
Các phép bi
ế
n
đổ
i trên
đượ
c g
ọ
i là
các phép bi

ế
n
đổ
i s
ơ
c
ấ
p theo hàng
c
ủ
a
ma tr
ậ
n.

* Các phép bi
ế
n
đổ
i
đượ
c th
ự
c hi
ệ
n trên các c
ộ
t c
ủ
a A nh

ư
sau:
c1)
Đổ
i ch
ỗ
hai c
ộ
t c
i
, c
j
cho nhau. Kí hi
ệ
u
ji
cc
↔

c2) Nhân vào m
ộ
t c
ộ
t c
i
m
ộ
t
đạ
i l

ượ
ng vô h
ướ
ng k
∈

K
, k
≠
0.
Kí hi
ệ
u
ii
kcc
↔

c3) Thay c
ộ
t c
i
nào
đ
ó b
ở
i
jji
ckc
+
. Ta kí hiệu

jjii
ckcc
+
↔

c4)
∑
≠
+
↔
ij
jjii
ckkcc
( k ≠ 0) (hệ quả của h2 và h3)
Các phép biến đổi trên được gọi là các phép biến đổi sơ cấp theo cột của
ma trận.

2.6 Các tính chất cơ bản của định thức:
2.6.1 Định lý:
Với K là trường, cho A = (a
ij
) ∈ M
n
(K). Khi đó detA = detA
*
Chứng minh. Ta có A
*
= (a
ji
) nên det A

*
=
)' ')((sgn
)()1(1
1
∑
∈
−
n
S
nn
aa
σ
σσ
σ