một số tìm hiểu về hình học phi euclide

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM









KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGÀNH TOÁN

Đề tài













GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa

SV thực hiện: Nguyễn Thị Xuyên
Chuyên ngành: Hình học








Long Xuyên, 5 - 2008
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 1
LỜI NÓI ĐẦU
Hình học nói chung là môn học khá thú vị đối với mỗi sinh viên. Lịch sử
phát triển Hình học rất lâu đời với ý tưởng phục vụ nhu cầu sống của con người.
Đến giai đoạn của Euclide, người ta được mở rộng thêm hiểu biết với tác phẩm
“Nguyên lý” rất nổi tiếng có tất cả 13 quyển. Tác phẩm “Nguyên lý” trình bày
cách xây dựng môn Hình học bằng phương pháp tiên đề. Trong tác phẩm, tác giả
nêu ra các định nghĩa,
định đề và tiên đề. Trong đó có 5 định đề có nội dung quan
trọng và vấn đề đặt ra là định đề 5 của Euclide có phải là một định đề hay không?
Hay nó có thể được chứng minh như một định lý? Việc tìm lời giải cho bài toán
này đã thu hút rất nhiều nhà Toán học trong một thời gian dài. Và chưa ai làm
sáng tỏ được cho đến ngày 6/2/1826, vấn đề được giải quyết bởi nhà Toán học
người Nga, Lobachevsky (1792–1856), ông đã trình bày nghiên cứu củ
a mình tại
khoa Toán – Lý trường đại học Ka–zan (Nga).
Lobachevsky chứng minh rằng: không thể chứng minh định đề 5. Định đề 5
đúng là một định đề chứ không phải định lý. Từ đó, ông giữ nguyên các định đề

của Euclide và thay định đề 5 bằng một mệnh đề phủ định, dựa vào đó chứng
minh các định lý của các hệ thống Hình học mới mà ngày nay ta gọi là Hình học
phi Euclide hay Hình học Lobachevsky.
Nghiên cứu Hình học phi Euclide chúng ta s
ẽ thấy được những kết quả hết
sức bất ngờ và thú vị hoàn toàn trái ngược với Hình học Euclide.
Luận văn được trình bày gồm 3 chương:
+Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị.
+Chương II: Hình học phi Euclide.
+Chương III: Mẫu đĩa Poincare và mẫu nửa trên mặt phẳng Poincare.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại Học An Giang với sự
hướng d
ẫn nhiệt tình của cô Phạm Thị Thu Hoa.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô hướng dẫn, quý
thầy cô khoa Sư phạm và Bộ môn Toán trường Đại học An Giang, cảm ơn các
bạn lớp DH5A1 đã giúp tôi hoàn thành luận văn này trong suốt quá trình học tập.
Xin chúc quý thầy cô được dồi dào sức khoẻ, hạnh phúc và công tác tốt.
Do sự hạn chế về thời gian và khả năng nghiên cứu khoa học nên Khóa luận
khó tránh khỏi nhữ
ng thiếu sót, rất mong sự chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Long Xuyên, tháng 5 năm 2008

Tác giả


GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 2

MỤC LỤC

Lời nói đầu 1
Mục lục 2
Các ký hiệu 5
Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6
1. Vài nét về lịch sử ra đời của Hình học phi Euclide 6
1.1 .Hình học Euclide. 6
1.2 .Về định đề 5 của Euclide 7
1.3 .Sự ra đời của Hình học phi Euclide 7
2.Kiến thức bổ tr
ợ 8
2.1. Tứ giác saccheri: 8
2.2. Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương trong không gian vectơ 8
2.2.1. Dạng song tuyến tính: 8
2.2.2. Dạng toàn phương: 8
3. Thể hiện khái niệm cơ bản của hình học Euclide 9
3.1. Mô hình xạ ảnh của không gian Euclide. 9
3.2. Cái tuyệt đối 9
3.3. Khái niệm vuông góc của hai đường thẳng. 10
3.4. Khái niệm siêu cầu: 10
Chương II. HÌNH HỌC PHI EUCLIDE 12
1. Không gian vectơ giả Euclide 12
1.1. Định nghĩa 12
1.2. Định lý. 13
2. Hình học giả Euclide 14
2.1. Định nghĩa không gian giả Euclide bằng tiên đề 14
2.2. Mục tiêu trực chuẩn 14
2.2.1. Định lý 14

2.2.2. Định lý 15
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 3
2.3. Định nghĩa 16
2.4. Định nghĩa 16
2.4.1. Mệnh đề. 16
2.4.2. Định lý 16
2.4.3. Hệ quả: 17
2.4.4. Định lý. 17
2.5. Modul của vectơ – độ dài đoạn thẳng 19
2.5.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng 19
2.5.2. Modul của vectơ. 19
2.5.3. Độ dài đoạn thẳng 19

2.5.4 . Một số khái niệm khác 20
2.6. Định nghĩa 21
2.6.1. Định lý 21
2.6.2. Mệnh đề. 22
2.6.3. Định lý. 22
2.7. Mô hình xạ ảnh của không gian giả
k
n
Ε 23
2.7.1. Xây dựng mô hình. 23
2.7.2. Thể hiện khái niệm giả Euclide trên mô hình 24
2.8. Phép đồng dạng trong không gian
k
n
Ε – Hình học giả Euclide 27
2.8.1. Phương trình của phép đồng dạng – phép dời trong

k
n
Ε . 27
2.8.2. Định lý. 29
3. Hình học Lobachevsky 31
3.1 Định nghĩa 31
3.2. Một số quy ước. 31
3.3. Các định nghĩa. 32
3.4. Khái niệm vuông góc 32
3.5. Phương trình của phép dời hình trong H
n
33
3.6. Khoảng cách giữa hai điểm trong H
n
33
3.7. Góc giữa hai đường thẳng 34
Chương III: MẪU ĐĨA POINCARE VÀ MẪU NỬA TRÊN 35
1. Mẫu đĩa Poincare và hình học Lobachevsky. 35
1.1. Mặt phẳng Hyperbolic trong mẫu đĩa Poincare 35
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 4
1.1.1. Các định nghĩa. 35
1.1.2. Khoảng cách mêtric trên mặt Hyperbolic 37
1.1.3. Định nghĩa khoảng cách Hyperbolic từ A đến B 37
1.1.4. Những đường thẳng song song 38
1.1.5. Định lý. 38
1.1.6. Định lý. 39
1.1.7. Định lý Lobachevsky 39
1.1.8. Định lý. 41
1.1.9. Định lý 41

1.1.10. Định lý. 42
1.1.11. Định lý 42
1.1.12. Định lý Pythagorean Hyperbolic. 42
2. Mẫu nửa trên mặt phẳng Poincare 42
2.1. Các định nghĩa. 42
2.1.1. Đ
iểm 42
2.1.2. Đường thẳng. 43
2.1.3. Phép nghịch đảo 43
2.1.4. Góc 43
2.1.5. Sự bằng nhau của các đoạn thẳng và các góc 44
Kết luận 47
Tài liệu tham khảo. 48












GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 5

CÁC KÝ HIỆU
V

n
:
không gian vectơ thực n- chiều

A
n
: không gian afin thực n- chiều
P
n:
không gian xạ ảnh n- chiều
k
n
uuur
E : không gian vectơ giả Euclide n- chiều chỉ số k
k
n
E : không gian giả Euclide n- chiều chỉ số k
⊕: Tổng trực tiếp
f
r
:
k
n
uuur
E →
k
n
uuur
E : ánh xạ tuyến tính liên kết giữa giữa hai không gian vectơ giả
Euclide n- chiều chỉ số k

H
2
: không gian Lobachevsky 2- chiều
P
r
: r- phẳng xạ ảnh
H
r
: r- phẳng Lobachevsky
[u]
*
: ma trận chuyển vị của ma trận [u]
















GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 6

Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1. Vài nét về lịch sử ra đời của Hình học phi Euclide

1.1 . Hình học Euclide
Như ta đã biết Euclide là một nhà hình học vĩ đại. Tên tuổi của ông gắn
liền với tác phẩm “Nguyên lý” rất nổi tiếng có tất cả 13 quyển. Trong đó có 8
quyển dành cho hình học phẳng và hình học không gian. Kiến thức trong những
cuốn sách này bao gồm toàn bộ nội dung hình học sơ cấp, mà một phần của nó
được dạy trong các trường phổ thông hiện nay.
Về phương pháp: Ta thấy Euclide đã cố gắ
ng xây dựng môn hình học
bằng phương pháp tiên đề.
Trong cuốn sách đầu tiên Euclide đã nêu ra 23 định nghĩa của các khái
niệm: điểm, đường, đường thẳng, mặt, mặt phẳng, đường thẳng song song.
Sau định nghĩa Euclide trình bày các “định đề” và “tiên đề” là những mệnh
đề mà sự đúng đắn của nó được thừa nhận, không chứng minh. Có 5 định đề nói
về hình học đó là:
1). Từ một điểm b
ất kỳ này đến một điểm bất kỳ khác có thể vẽ được
một đường thẳng.
2). Một đường thẳng có thể kéo dài mãi về cả hai phía.
3). Với một điểm bất kỳ làm tâm và với bán kính tuỳ ý có thể vẽ được
một đường tròn.
4). Hai góc vuông thì bằng nhau
5).Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo thành hai góc
trong cùng phía có tổng bé hơn hai vuông, thì hai đường thẳng đó c
ắt nhau về
phía có hai góc đó.

Có 5 tiên đề nội dung rộng hơn dùng cho các suy luận toán học nói chung:
1). Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau.
2). Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những
cái bằng nhau.
3). Bớt những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái
bằng nhau.
4). Các hình chồng khít lên nhau thì bằng nhau.
5). Toàn thể lớn hơn bộ phận.
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 7
Sau khi đã có các định nghĩa, các định đề và tiên đề Euclide đã trình bày
các định lý và chứng minh các định lý đó. Các định lý này đều được cố gắng dựa
vào các định lý đã có trước hoặc các tiên đề và định đề.

1.2.
Về định đề 5 của Euclide
Định đề 5 của Euclide đóng vai trò đặc biệt trong lịch sử phát triển của hình
học nói riêng và Toán học nói chung. Khi nghiên cứu tập “Nguyên lý”, các nhà
toán học đều băn khoăn: Định đề 5 có thật là một định đề hay không? Hay nó có
thể được chứng minh như là một định lý? Có lẽ như chính Euclide cũng băn
khoăn như vậy, bởi vì ông đã cố trì hoãn việc áp dụng định đề đó vào việc chứng
minh các đị
nh lý.
Thế là nhiều nhà toán học đã cố gắng tìm cách chứng minh định đề 5. Có
thể nói trong lịch sử toán học chưa bao giờ có một vấn đề toán học được nhiều
người nghiên cứu đến thế, và giải quyết nó lại cần nhiều thời gian đến thế (từ thế
kỷ II trước CN đến giữa thế kỷ XIX ).
Hầu hết các nhà toán học đều thất bại. Họ
cứ tưởng là đã chứng minh
được định đề 5, nhưng thật ra thì không phải, vì trong khi chứng minh họ đã sử

dụng một điều tương đương với định đề đó. Chẳng hạn, Pro–duyt (Produs
Diadochus 410 – 485) trong chứng minh của mình ông đã sử dụng mệnh đề: “
Nếu hai đường thẳng a và b song song thì khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của
đường thẳng a tới đường thẳng b đề
u bằng nhau”. Mệnh đề này có vẻ hiển nhiên
nhưng để chứng minh nó ta phải dùng định đề 5 (vòng luẩn quẩn!).
Nhiều nhà toán học đã chứng minh định đề 5 bằng phương pháp phản
chứng. Hãy giả sử định đề 5 không đúng, rồi cố rút ra những đều vô lý, những
mâu thuẫn, nhưng họ không thành công vì họ tưởng đã tìm ra cái vô lý nhưng
thực ra lại chẳng vô lý chút nào!.
1.3.
Sự ra đời của Hình học phi Euclide

Cuối cùng, vào ngày 6/2/1826 vấn đề đã được giải quyết bởi nhà toán học
người Nga, Lobachevsky (1792–1856), khi ông trình bày nghiên cứu của mình
tại khoa Toán – Lý trường Đại học Ka–zan (Nga).
Lobachevsky chứng minh rằng: Không thể chứng minh được định đề 5.
Định đề 5 đúng là một định đề chứ không phải định lý.
Ông giữ nguyên các định đề của Euclide và thay định đề 5 bằng một mệnh
đề phủ định: “Qua một điể
m nằm ngoài một đường thẳng có thể kẻ ít nhất hai
đường thẳng song song với đường thẳng đã cho”, dựa vào đó chứng minh các
định lý của hệ thống hình học mới.
Ngày nay chúng ta gọi hình học mà Lobachevsky xây dựng là hình học phi
Euclide hay hình học Lobachevsky hoàn toàn trái ngược với hình học Euclide.
Chẳng hạn, trong hình học của Lobachevsky: tổng các góc của tam giác bé hơn
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 8
180
0

, có tam giác mà tổng số đo các góc bé tuỳ ý, diện tích tam giác bị chặn trên
quỹ tích những điểm cách đều một đường thẳng phải là cặp đường thẳng, … Tuy
nhiên trong nội bộ của hình học đó không hề có mâu thuẫn nào.

2.
Kiến thức bổ trợ

2.1.
Tứ giác Saccheri
Xét một tứ giác AA
’
B
’
B có hai góc
vuông kề đáy AB và có hai cạnh bên AA
’
và
B
’
B bằng nhau. Do đối xứng qua trung trực
của đoạn AB, các góc A
’
và B
’
bằng nhau
Nếu công nhận định đề 5 thì lập tức
suy ra rằng hai góc A’ và B
’
đều vuông và tứ
giác AA

’
B
’
B là một hình chữ nhật.
Ngược lại như saccheri đã chứng minh, nếu tìm được ít nhất một tứ giác
dạng như trên có hai góc ở đỉnh vuông thì sẽ chứng minh được định đề 5.

2.2
Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương trong không gian
vectơ

2.2.1 .
Dạng song tuyến tính
Định nghĩa: Dạng song tuyến tính trên một không gian vectơ V
n
là
một hàm số S(
yx
r
r
, ) của hai vectơ xác định trên toàn bộ V
n
và có tính chất tuyến
tính đối với từng vectơ, tức là:
⎩
⎨
⎧
+=+
+=+
),(),(),(

),(),(),(
22112211
22112211
yxSyxSyyxS
yxSyxSyxxS
rrrrrrr
r
r
r
r
rrr
λµµµ
λλλλ
(1)
Hay một cách tổng quát:
1122112211
),(
µ
λ
µ
µ
λ
λ
=
++ yyxxS
r
rrr
)y,x(S
11
r

r
+
1
λ
2
µ
)y,x(S
21
r
r
+
2
λ
1
µ
),(
12
yxS
rr
+
+
2
λ
2
µ
),(
22
yxS
rr

Với các vectơ và số thực tham gia trong đẳng thức đó được lấy tùy ý.

2.2.2. Dạng toàn phương
Định
nghĩa: Trong không gian vectơ V
n
cho dạng song tuyến đối
xứng
),( yxS
r
r
. Hàm số của một vectơ P(
x
r
)=
),( xxS
r
r
, với mọi
x
r
n
V∈ gọi là dạng
toàn phương xác định bởi dạng song tuyến tính
),( yxS
r
r

Ngược lại:
),( yxS

r
r
gọi là dạng đối cực của dạng toàn phương )(xP
r

B’
A’
H’
H
B A
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 9
3.Thể hiện khái niệm cơ bản của hình học Euclide

3.1 . Mô hình xạ ảnh của không gian Euclide
Ta chọn trong không gian xạ ảnh thực n chiều P
n
, một siêu phẳng P
n–1
làm
siêu phẳng vô tận. Như vậy ta được một không gian afin thực n chiều A
n
(như đã
mô tả trong giáo trình hình học xạ ảnh). Bằng cách định nghĩa một tích vô hướng
trong nền của A
n
thì A
n
trở thành một không gian Euclide. Mô hình đó của không
gian Euclide được gọi là mô hình xạ ảnh của không gian Euclide.

Bây giờ, ta hãy chọn không gian đó một mục tiêu trực chuẩn
{}
n1,
i1n
E;A
+
,
tức là
n1 i
AE
+
∗
uuuuuur
j1n
EA
+
=
ij
δ , i, j = 1, 2, …, n. Ta gọi
{
}
1n1,
E;A
+
i
là mục tiêu xạ ảnh
sinh ra mục tiêu
{}
n1,
i1n

E;A
+
. Điều đó có nghĩa là, A
i
là giao điểm của đường
thẳng A
n+1
E
i
với siêu phẳng P
n–1
, i =
n,1
, còn E có tọa độ với mọi mục tiêu trực
chuẩn
{}
n1,
i1n
E;A
+
là (1, 1, …, 1) tức là :
∑
=
++
=
n
1i
i1n1n
EAEA
Ta nhắc lại rằng, nếu điểm M thuộc

Ε
n
có tọa độ đối với mục tiêu
{}
n1,
i1n
E;A
+
là (X
1
, X
2
, …, …, X
n
) thì nó sẽ có tọa độ đối với mục tiêu xạ ảnh
{
}
1n1,
E;A
+
i
là (x
1
: x
2
: …: x
n+1
) với x
n+1

≠
0 và
1n
i
i
x
x
X
+
= , i = 1, 2, …, n.
Đối với mục tiêu trực chuẩn đã chọn, hai vectơ
u = (u
1
, u
2
, …, u
n
),
v = (v
1
, v
2
, …, v
n
) sẽ có tích vô hướng là:
i
n
1i
i
vuv*u

∑
=
= = [u]
*
.
[v].

3.2 . Cái tuyệt đối
Trong không gian xạ ảnh P
n
với mục tiêu đã chọn
{
}
1n1,
E;A
+
i
nói trên,
phương trình của siêu phẳng vô tận P
n–1
là x
n+1
= 0.
Trong siêu phẳng P
n–1
, ta chọn mục tiêu xạ ảnh là
{
}
n1,
E';A

i
, trong đó E’ là
giao điểm của A
n+1
E với P
n–1
.
Ta xét siêu mặt trái xoan không T có phương trình đối với mục tiêu đã
chọn trong siêu phẳng P
n–1
là: [x]
*
[x] =
∑
=
n
1i
2
i
x = 0 (1)
Siêu mặt T gọi là cái tuyệt đối T của không gian xạ ảnh P
n
.
Cái tuyệt đối trong mặt phẳng xạ ảnh là:
x
1
2
+ x
2
2

= 0 đó là cặp điểm
I(1: i: 0), J(1:–i: 0) được gọi là cặp điểm xyclic.
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 10
3.3. Khái niệm vuông góc của hai đường thẳng

Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng d và d’ vuông góc với
nhau là hai điểm vô tận của chúng liên hợp đối với cái tuyệt đối T.

Chứng minh
Ta dựng qua gốc A
n+1
của mục tiêu
{
}
n1,
i1n
E;A
+
hai đường thẳng d
1
và d
1
’,
lần lượt song song với d và d’. Trên d
1
và d
1
’ lần lượt lấy hai điểm X và X’ khác
A

n+1
có tọa độ là (X
1
, X
2
,…, X
n
) và (X’
1
, X’
2
,…, X’
n
).
Ta gọi
∞
A và
∞
A' là hai điểm vô tận của d và d’, tức là điểm vô tận của d
1

và d
1
’. Khi đó tọa độ xạ ảnh của chúng đối với mục tiêu xạ ảnh là
∞
A (X
1
: X
2
:…,

X
n
: O),
∞
A' (X’
1
: X’
2
:…: X’
n
: O).
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau là:
n1 n1
AX*AX'0
++
=
u
uuuuur uuuuuur
0XX
n
1i
'
ii
=⇔
∑
=

Đây chính là điều kiện để hai điểm
∞
A và

∞
A' liên hợp với nhau đối với cái
tuyệt đối T.
Vậy định lý được chứng minh.


3.4 . Khái niệm siêu cầu
Định lý:
Mỗi siêu mặt bậc hai trong không gian Euclide n chiều Ε
n
là một
siêu cầu khi và chỉ khi nó cắt siêu phẳng vô tận theo cái tuyệt đối T.

Chứng minh
Mỗi siêu cầu S trong Ε
n
sẽ có phương trình đối với mục tiêu trực chuẩn
{}
n,1
i1n
E;A
+
là:
20
1
)(
i
n
i
i

XX −
∑
=
=R
2
(2)
Trong đó (
0
1
X ,
0
2
X ,…,
0
n
X
) là tọa độ tâm siêu cầu. Bằng cách chuyển sang
tọa độ xạ ảnh ta đưa (2) về dạng:
2
0
1
0
1
1
)(
+
=
+
−
∑

n
i
n
i
n
i
x
x
x
x
=R
2
, hay
0022022
11 11
1
().().()
n
ni in n n
i
xx xx R x x
++ ++
=
−=
∑
(3)
Muốn tìm giao của siêu cầu (S) với siêu phẳng vô tận P
n–1
, ta thay
1+n

x = 0
vào (3) ta sẽ được :
0)(
2
1
0
1
=
∑
=
+
n
i
in
xx hay 0)(
2
1
=
∑
=
n
i
i
x
Đó chính là phương trình của cái tuyệt đối T. Vậy mọi siêu cầu của Ε
n
đều
cắt siêu phẳng vô tận theo cái tuyệt đối T.
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 11

Ngược lại, Trong P
n
cho siêu mặt bậc hai (S):
0
1
1,
=
∑
+
=
j
n
ji
iij
xxa
. Giao của siêu
mặt bậc hai (S) với siêu phẳng vô tận là:
0
1,
=
∑
=
j
n
ji
iij
xxa . (4)
Nếu giao đó trùng với cái tuyệt đối T, thì
ijij
ka

δ
=
, với k
0≠
(5)
Bằng cách chuyển sang tọa độ trực chuẩn trong
Ε
n
ta có phương trình của
(S) là:
0 2
11
1
1
1,
=++
++
=
+
=
∑∑
nn
n
i
iinj
n
ji
iij
aXaXXa
(6)

Từ (5) thì (6) trở thành
2
111
11
2 0
nn
iininn
ii
kX aXa
+++
==
+
+=
∑∑

Như ta đã biết (7) chính là phương trình của một siêu cầu (có thể là siêu
cầu điểm hoặc siêu cầu ảo).
Vậy định lý được chứng minh.

GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 12

Chương II. HÌNH HỌC PHI EUCLIDE

1. Không gian vectơ giả Euclide

1.1 . Định nghĩa
Cho không gian V
n
là không gian vectơ n chiều trên trường số thực, V

n

được gọi là không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k
Ký hiệu:
k
n
uur
E

Nếu trên V
n
ánh xạ η: V
n
xV
n
→ Ρ

)b,a( a η(a,b)
r
r
=
a*b
rr

Là tích vô hướng và thỏa thêm điều kiện sau đây:

→
n
V:ω
Ρ

)x,x()xω(x
η
=a
là dạng toàn phương chỉ có số quán tính (k, n – k)
với k > 0, n – k > 0.
Nhận xét: nếu dạng toàn phương
ω
có chỉ số quán tính âm n-k = 0 thì
)xω(
là dạng toàn phương xác định dương và khi đó V
n
là không gian vectơ
Euclide đã biết.
Trong không gian vectơ giả Euclide
k
n
u
ur
E
, một cơ sở
ε
= (
i
e ) thỏa mãn điều
kiện:
Với
b,a

∈

k
n
uur
E
mà

a /(ε ) = (a
1
, a
2
, …, a
n
)

b /(
ε
) = (b
1
, b
2
, …, b
n
)
Khi đó biểu thức tọa độ dạng song tuyến tính có dạng:
)b,aη( = a
1
b
1
+ a
2

b
2
+…+ a
k
b
k
– a
k+1
b
k+1
– a
n
b
n

Khi đó cơ sở
ε
= (
i
e ) được gọi là cơ sở giả trực chuẩn.
Đối với
cơ sở giả trực chuẩn ta có:

i
e
*
j
e = 0 khi i
≠
j

i
e *
i
e
ur
= 1 khi i
≤
k

i
e *
i
e
ur
= –1 khi i > k.
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 13

1.2 . Định lý
Trong không gian vectơ thực V
n

cho một cơ sở
ε
= (
1
e ,
2
e ,… ,

n
e ). Khi
đó ta có trong V
n
có tích vô hướng duy nhất để V
n
trở thành một không gian
vectơ giả Euclide trong
k
n
Ε , trong đó
ε
là cơ sở giả trực chuẩn của nó.
Chứng minh
• Sự tồn tại.
Giả sử tìm được một ánh xạ
η : V
n
xV
n
→ Ρ là một tích vô hướng trong Ρ
sao cho
ε
= (
1
e ,
2
e ,… ,
n
e ) là một cơ sở giả trực chuẩn. Khi đó ∀

a
, b
∈
V
n
ta
có
a
= (a
1
, a
2
, …, a
n
),
b
= (b
1
, b
2
, …, b
n
).
Từ đó ta có:
i
n
1i
i
eaa
∑

=
= ,
j
n
1j
j
ebb
∑
=
= .
Khi đó
)b,aη(
r
r
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∑∑
==
j
n
1j
ji
n

1i
i
eb,eaη
= )e,eη(ba
j
i
n
1ji,
ji
∑
=

Vì
η
nhận ε làm cơ sở giả trực chuẩn nên ta có:


Do đó ta có:
)b,aη( = a
1
b
1
+ a
2
b
2
+…+ a
k
b
k

– a
k+1
b
k+1
– a
n
b
n

Từ đó ta xây dựng ánh xạ
η : V
n
xV
n

→
Ρ như sau
Với
a
,
b ∈
V
n
mà
a
/(
ε
) = (a
1
, a

2
, …, a
n
),
b
/(
ε
) = (b
1
, b
2
, …, b
n
)
Ta đặt
)b,aη( = a
1
b
1
+ a
2
b
2
+…+ a
k
b
k
– a
k+1
b

k+1
– a
n
b
n
(1) thì η là tích vô
hướng thỏa mãn các điều kiện 1, 2, 3 của định nghĩa. Khi đó
i
ii
jj
i
ε 1ik
η(e ,e ) e *e
ε 1ik
=
≤
⎧
==
⎨
=
−>
⎩
rur r ur

Do đó cơ sở
ε = (
i
e ) được gọi là cơ sở giả trực chuẩn.
• Chứng minh sự duy nhất.
Ta chứng minh tích vô hướng

η : V
n
xV
n

→
Ρ xác định bởi công thức (1) là
duy nhất.
Thật vậy: Giả sử ánh xạ :
ξ
: V
n
xV
n

→
Ρ cũng là tích vô hướng trong V
n

cũng thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
Nghĩa là với tích vô hướng
ξ
thì
ε
= (
i
e
) cũng là cơ sở giả trực chuẩn.
-1 nếu i = j > k
0 nếu i

≠
j
1 nếu i = j
≤
k
(, ) *
ij i j
ee e e
η
⎧
⎪
=
=
⎨
⎪
⎩
rr r r
nếu
nếu
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 14
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
±=
0EE*EE
1,EE*EE

j0i0
i0i0
Thế thì ta có:
)b,a(
ξ
=a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ … + a
k
b
k
– a
k+1
b
k+1
– a
n
b
n
(2)
Từ (1) và (2) suy ra ánh xạ
η trùng với ánh xạ
ξ
.

Vậy định lý được chứng minh.

2. Hình học giả Euclide

2.1. Định nghĩa không gian giả Euclide bằng tiên đề
Cho không gian afin thực A
n.
với mỗi cặp vectơ a
r
, b
r
thuộc nền của A
n
ta
xác định một số thực
a
r
*
b
r
gọi là tích vô hướng của
a
r
và
b
r
, sao cho các tiên đề
sau đây được thỏa mãn:
(E
*

1
) a
r
* b
r
= b
r
* a
r
, với mọi vectơ a
r
và b
r
.
(E
*
2
)
a
r
* (
b
r
+
c
r
) =
a
r
*

b
r
+
a
r
*
c
r
với mọi vectơ
a
r
,
b
r
và
c
r
.
(E
*
3
) λa * b
r
=
λ
(a
r
* b
r
) với mọi số thực

λ
và với mọi vectơ a
r
và b
r
.
(E
*
4
) Có n vectơ
i
a
r
, i = n,1 sao cho:
i
a
r
*
i
a
r
> 0, với i
≤
k,
i
a
r
*
i
a

r
< 0, với i > k,
i
a
r
*
j
a
r
= 0, với i
≠
j.
Khi đó không gian A
n
được gọi là không gian giả Euclide n chiều chỉ số k,
kí hiệu
k
n
Ε .
Ta có không gian giả Euclide n – chiều chỉ số n chính là không gian
Euclide.

2.2. Mục tiêu trực chuẩn

Trong không gian giả Euclide
k
n
Ε , ta xét một mục tiêu afin
{}
n1,

i0
E;E (vì
k
n
Ε là không gian afin, cho nên trong đó có mọi khái niệm afin, và vì vậy ta có
thể nói về mục tiêu của
k
n
Ε ta gọi mục tiêu đó là mục tiêu afin). Mục tiêu nói trên
gọi là mục tiêu trực chuẩn nếu:




2.2.1. Định lý

với mọi i
với i
≠
j.
(1)
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 15
Trong không gian
k
n
Ε luôn có một mục tiêu trực chuẩn.
Chứng minh
Ta lấy một điểm E
0

bất kỳ của
k
n
Ε và chọn các E
i
sao cho:

ii
i
i0
a*a
a
EE =
, với i
≤
k,

)a*a(
a
EE
ii
i
i0
−
=
, với i > k.
trong đó
i
a
r

, i = n,1 là các vectơ trong tiên đề (E
*
4
).
Khi đó rõ ràng rằng mục tiêu
{
}
n1,
i0
E;E thỏa mãn điều kiện (1), và do đó
là một mục tiêu trực chuẩn.
Trong cơ sở trực chuẩn này có k vectơ
i0
EE sao cho =
i0i0
EE*EE 1 và (n
– k) vectơ
j0
EE
sao cho
1EE*EE
j0j0
−=
.
Đối với mọi cơ sở trực chuẩn điều đó cũng đúng, bởi vì ta có định lý sau
đây:

2.2.2. Định lý
Nếu ta có n vectơ n1,i,b
i

= sao cho
i
b *
i
b
≠
0 với mọi i và
i
b *
j
b
= 0 với i
≠ j, thì ta sẽ có đúng k vectơ
i
b sao cho
i
b *
i
b > 0, và (n – k) vectơ
j
b
sao cho
j
b *
j
b < 0.
Chứng minh
Giả sử
i
b *

i
b > 0, với i
≤
l và
j
b *
j
b < 0 với mọi j > l. Ta chứng minh
l = k.
Dễ thấy rằng
l vectơ
l
b, b,b
21
, độc lập tuyến tính, bởi vậy chúng sinh ra
một không gian vectơ con
l chiều V
l
. Tương tự, ta gọi V
n–k
là không gian vectơ
con sinh ra bởi n– k vectơ độc lập tuyến tính
n2k1k
a, a,a
++
nói trong tiên đề (E
*
4
).
Nếu

l > k thì V
l
và V
n–k
sẽ giao nhau theo một không gian vectơ có số
chiều ít nhất là
l – k, ta gọi cθ ≠
∈
V
l

∩
V
n–k
thì:
∑∑
=+=
==
l
1i
n
1ki
iiii
aµbλc
.
Do đó
∑∑∑
===
>==
lll

1i
ii
2
i
1i1i
iiii
0b*bλ)bλ(*)bλ(c*c
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 16
Mặt khác
0a*aµ)aµ(*)aµ(c*c
i
n
1ki
i
2
i
n
1ki
ii
n
1ki
ii
<==
∑∑∑
+=+=+=
(vô lý).
Tương tự như vậy, ta chứng minh rằng
l < k là không thể được. Tóm lại,
l = k và định lý đã được chứng minh. 

2.3. Định nghĩa
Cho hai không gian con P và Q của không gian vectơ giả Euclide
k
n
Ε (P là
không gian con của
k
n
Ε
nếu P cùng với tích vô hướng trên
k
n
Ε
cũng làm thành
không gian vectơ giả Euclide n- chiều chỉ số k) , P và Q gọi là vuông góc nhau
nếu với mọi vectơ
∈x
P đều vuông góc với vectơ
∈y
Q, tức là
∈x
P,
∈y
Q thì
⊥x y
(
⊥x y ⇔
x0y∗=
r

r
) . Kí hiệu P
⊥
Q.
Nếu hai không gian con P và Q vuông góc với nhau và
k
n
Ε = P⊕ Q thì ta
nói rằng P là phần bù vuông góc của Q và ngược lại. Ký hiệu: P =
⊥
Q .

2.4 . Định nghĩa
Cho hai không gian con P và Q của
k
n
Ε (các không gian con cũng là
không gian vectơ giả Euclide với tích vô hướng như không gian vectơ giả
Euclide
k
n
Ε ), P và Q gọi là đối vuông góc nếu phần bù vuông góc của P vuông
góc với phần bù vuông góc của Q. Ký hiệu: P đối
⊥
Q.
Nếu hai không gian con P và Q đối vuông góc với nhau và P
I Q = (O ) thì
ta nói P đối bù vuông góc với Q. Ký hiệu: P đối bù
⊥
Q.

2.4.1 . Mệnh đề
1). P đối
⊥
Q
⇔
Q đối
⊥
P.
2). P đối bù
⊥
Q
⇔
Q đối bù
⊥
P.
3). P đối bù
⊥
Q⇒P đối
⊥
Q.

2.4.2 . Định lý
Trong không gian
k
n
Ε ,
µ
là dạng song tuyến tính không suy biến của
k

n
Ε ,
P và Q là hai không gian con không suy biến. P đối bù vuông góc với Q khi và
chỉ khi P bù vuông góc với Q.
Chứng minh
P đối bù⊥ Q⇒
P đối
⊥
Q
P
I Q = (O )
⎩
⎨
⎧
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 17

P đối
⊥ Q⇒
⊥
P ⊥
⊥
Q ⇒
⊥
P ⊂ (
⊥
Q )
⊥
.
Mặt khác ta có:

⊥
Q ⊂ (
⊥
Q )
⊥
và vì
µ
không suy biến ⇒dimQ + dim
⊥
Q = n.
Mà dim
⊥
Q + dim(
⊥
Q )
⊥
= n
⇒
dimQ = dim(
⊥
Q )
⊥

Do đó Q = (
⊥
Q )
⊥
⇒
⊥
P ⊂Q (*).

P
I Q = (O ) ⇒ dim(PI Q ) = 0.
Từ (*)
⇒
P + Q
⊃
P +
⊥
P
.
Vì P không suy biến nên ta có
∈
x
PI
⊥
P ⇒
∈
x
⊥
P ⇒
⊥x y
, ∀
∈y
P ⇒
µ
( ,x y ) = 0 ⇒
x0=
r
r
⇒ P I

⊥
P = (O ) .
Mặt khác: dimP + dim
⊥
P
= n
⇒
P +
⊥
P
=
k
n
Ε
⇒
k
n
Ε⊂P + Q.
Ta lại có: P+Q
⊂
k
n
Ε . Do đó P+Q =
k
n
Ε ⇒ dim(P + Q ) = dim
k
n
Ε
⇒

dim
k
n
Ε = dimP + dimQ – dim (P
I
Q ) = dimP + dimQ (1’)
Ta có: P +
⊥
P =
k
n
Ε và P I
⊥
P = (O )
Nêndim
k
n
E =dim(P+
⊥
P ) = dimP+dim
⊥
P –dim(PI
⊥
P )=dimP+dim
⊥
P (2)
Từ (1’) và (2’)
⇒dimQ = dim
⊥
P (**).

Từ (*) và (**) ta suy ra: Q =
⊥
P
Mặt khác: P bù
⊥
⊥
P ⇒
P bù
⊥
Q .
Ngược lại ta có: P bù
⊥ Q thì PI Q = (O ) và
⊥
P = Q.
Tương tự:
⊥
Q = P.
Do đó: Từ P
⊥ Q ⇒
⊥
P
⊥
⊥
Q ⇒ P đối
⊥
Q và PI Q = (O ) ⇒ P đối bù
⊥
Q.
Vậy định lý đã được chứng minh.


2.4.3 . Hệ quả
Tồn tại duy nhất một không gian con đối bù vuông góc với không gian đã
cho của
k
n
Ε
với giả thiết dạng song tuyến tính của
k
n
Ε
không suy biến.
2.4.4. Định lý
Trong không gian
k
n
Ε cho mục tiêu giả trực chuẩn
{}
n1,
i0
E;E , , và mục
tiêu
{
}
''
0j
1,n
E;E , (
{}
n1,
i0

E;E là mục tiêu giả trực chuẩn khi :
Nên: dim
k
n
Ε
=dim(P+
⊥
P
) = dimP + dim
⊥
P
– dim(P
I
⊥
P
)=dimP + dim
⊥
P
(2’)
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 18
0j 0j
E' E' *E' E'
=
uuuuur uuuuur
1 nếu j
≤
k
0i 0 j
E' E *E' E'

=
uuuuur uuuuur
0 nếu i
≠
j
0j 0j
E' E' *E' E'
=
uuuuur uuuuur
–1 nếu j > k)
Gọi A là ma trận chuyển từ
{
}
n1,
i0
E;E
sang
{
}
'
0j
1,n
E;E'
thế thì
{
}
'
0j
1,n
E;E'

là
mục tiêu giả trực chuẩn khi và chỉ khi A là ma trận giả trực giao, tức là
A
*
k
n
I A =
k
n
I ,
k
n
I là ma trận giả đơn vị cấp n, chỉ số k có dạng











Chứng minh
Gọi
i0
E'E' có tọa độ là (a
i1
, a

i2
, …, a
in
) đối với mục tiêu
{}
n1,
i0
E;E . Khi đó
A chính là ma trận [ a
ij
].
Mục tiêu
{
}
''
0j
1,n
E;E là mục tiêu giả trực chuẩn khi
0j 0j
E' E' *E' E'
=
uuuuur uuuuur
1 nếu j
≤
k
0i 0 j
E' E *E' E'
=
uuuuur uuuuur
0 nếu i

≠
j
0j 0j
E' E' *E' E'
=
uuuuur uuuuur
–1 nếu j > k
Ta có
k0
1
jkj0
EEaE'E'
∑
=
=
n
k


h0
1
jhj0
EEaE'E'
∑
=
=
n
h

Vì

0j 0j
E' E' *E' E'
iij
ε
δ
=
uuuuur uuuuur
(với
i
ε
= 1 nếu i
≤
k,
i
ε
= –1 nếu i > k)
k
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
kn −
⎪
⎪
⎪

⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
dòng
dòng
10 . . 0
.10 . . . 0
.0 .
.

.10 0
01 0 0
.0


00 0 0 . . 0 1
k
n
I
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥

⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
−
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−
⎣⎦
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 19
Nên suy ra:
ik jh 0 k 0 h i ik jh i
,1 1
aa EE*EE aa
nn
ij ij
hk k
ε
δεδ
==
=⇔ =
∑∑
u
uuuur uuuuur

⇔ A
*
k
n
I A =
k
n
I . Tức A là ma trận giả trực giao.
Với
ij
δ
: các ký hiệu kronecker
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
1δ
0δ
ij
ij


2.5 . Modul của vectơ – độ dài đoạn thẳng

2.5.1 .
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Giả sử trong

k
n
Ε đã chọn một mục tiêu trực chuẩn thỏa điều kiện (1).
Nếu
u và v là hai vectơ có tọa độ (u

1
, u
2
,…, u
n
) và (v
1
,v
2
,…, v
n
) thì rõ ràng là
tích vô hướng
u
*
v
cho bởi công thức:
u
*
v =
∑∑
=+=
−
k

1i
n
1ki
iiii
vuvu (2)
Đặc biệt
u
*
u
=
∑∑
=+=
−
k
1i
n
1ki
2
i
2
i
uu (3)
Như vậy tích vô huớng
u * u có thể là một số dương, số âm hoặc bằng 0.

2.5.2 . Modul của vectơ
Ta định nghĩa modul của u là số | u | sao cho: | u | =
u*u
, nếu u *u > 0
|

u | = i )u*u(− , nếu u *u < 0 .(trong đó i là đơn vị ảo) (4)
Trong cả hai trường hợp ta đều ký hiệu |
u | = u*u
Như vậy modul của một vectơ có thể là một số thực dương, bằng 0, hoặc
một số thuần ảo.
2.5.3 . Độ dài đoạn thẳng
Trong
k
n
Ε , ta chọn một mục tiêu giả trực chuẩn {
i
EE ;
0
} và giả sử A, B đối
với mục tiêu đó có toạ độ lần lượt là (
i
x ), (
i
y ). Khi đó vectơ
AB
có toạ độ là
(
i
y –
i
x ). Nên độ dài của một đoạn thẳng hay khoảng cách giữa hai điểm A, B
được định nghĩa bằng |
AB
| và ký hiệu d(A,B).
d(A,B) = |

AB|=
()
2
ii
n
1i
i
2
xyAB −ε=
∑
=

nếu i
≠
j

nếu i=j

GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 20
Với
1
=
i
ε
nếu i
k
≤

1−=
i
ε
nếu
ki >

Bởi vậy độ dài đoạn thẳng có thể là một số thực dương, bằng 0, hoặc một
số thuần ảo.

2.5.4. Một số khái niệm khác
• Hai vectơ u và v vuông góc nhau nếu tích vô hướng u *
v
r
= 0.
Ta thấy rằng có những vectơ khác
θ
mà lại vuông góc với chính nó.
Những vectơ như vậy gọi là vectơ đẳng hướng.
Ví dụ:
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1,0, ,0 0,0, ,1 1,0, ,0,1 0,0, ,0
n

ue e=+= + = ≠
r
rr

Nhưng
()
(
)
01 011,0, ,0,1
222
=−++==u
r

Một vectơ được gọi là đẳng hướng nếu:
0a*a,0a =≠
r
r
r
r

•
Một đường thẳng gọi là đường thẳng đẳng hướng nếu phương của nó sinh
ra bởi vectơ đẳng hướng.(Những vectơ
0a ≠
r
sao cho 0a
=
r
)
•

Tập hợp tất cả các đường thẳng đẳng hướng cùng đi qua một điểm gọi là
nón đẳng hướng.
•
Góc giữa hai vectơ:
Cho hai vectơ
0
r
r
≠a và 0
r
r
≠b . Số
ϕ
xác định bởi công thức
cos
b.a
b*a
r
r
r
r
=ϕ
sẽ gọi là số đo góc của hai vectơ
a
r
và
b
r
(cos
ϕ

được định nghĩa
một cách giải tích là tổng của cấp số:
(1
)
!6!4!2
642
+−+−
ϕϕϕ

Ta có các trường hợp sau:
1)
–1 1cos ≤≤
ϕ

2)
cos 1
ϕ
〉 lúc đó ta có thể viết:
θ
θ
ϕ
ich coscos
=
=
.
Do đó:
θ
ϕ
i= (
θ

thực)
Vậy trong trường hợp này
ϕ
là thuần ảo mặc dù a
r
và b
r
đều thực
3)
1cos −<
ϕ
lúc này ta có thể viết:
()
θ
π
θ
θ
ϕ
iich −=
−
=
−
=
coscoscos
Do đó:
θ
π
ϕ
i−= (
θ

thực)
4)
ϕ
cos thuần ảo lúc này ta có thể viết:
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 21
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−==−=
θ
π
θθϕ
iiish
2
cossincos

Do đó:
θ
π
ϕ
i−=
2
(
θ
thực)
Tóm lại: trong không gian giả Euclide, ngoài các góc có số đo thực còn có

các góc (của những vectơ thực) có số đo thuần ảo hay có số đo phức với phần
thực là
π
hoặc
2
π

Nhận xét
Trong không gian giả Euclide ta có thể đưa ra những khái niệm tương tự
trong không gian Euclide như: các phẳng vuông góc, phép dời, phép đồng dạng,
siêu cầu, …. Đặc biệt có thể chứng minh rằng, các phép dời trong
k
n
Ε , cũng như
các phép đồng dạng lập thành một nhóm. Hình học giả Euclide được định nghĩa
là hình học của nhóm dời (hay nhóm đồng dạng) của không gian
k
n
Ε .

2.6 . Định nghĩa
Ánh xạ f:
k
n
Ε
→
k
n
Ε của các không gian giả Euclide
k

n
Ε và
k
n
Ε gọi là ánh
xạ đẳng cự nếu f là ánh xạ afin mà ánh xạ tuyến tính liên kết :
f
:
k
n
Ε
→
k
n
Ε là ánh xạ tuyến tính trực giao của
k
n
Ε và
k
n
Ε .

2.6.1 . Định lý
Ánh xạ f:
k
n
Ε
→
k
n

Ε
giữa các không gian giả Euclide
k
n
Ε
và
k
n
Ε
. f là ánh xạ
đẳng cự khi và chỉ khi f bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Chứng minh
Giả sử f:
k
n
Ε
→
k
n
Ε là ánh xạ đẳng cự, với cặp điểm M, N thuộc
k
n
Ε và
M’ = f(M), N’ = f(N).
Khi đó d(f(M), f(N)) =
f(M)f(N) = )MN(f = | MN| = d(M, N)
hay d(M’, N’) = d(M, N).
Ngược lại f bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Lấy M
∈

k
n
Ε , M’ = f(M).
Xét ánh xạ liên kết
f :
k
n
Ε
→
k
n
Ε
xác định như sau:
Nếu
∈u
k
n
Ε , ta lấy điểm I
∈
k
n
Ε sao cho uMI = và
f
( u ) = I'M' với
I’= f(I). Ta cần chứng minh
f
là ánh xạ tuyến tính trực giao.
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 22
Thật vậy, giả sử ta có thêm vectơ

v
∈
k
n
Ε , lấy điểm N
∈
k
n
Ε
sao cho
IN
=
v

và
f ( v ) = N'I' , trong đó N’ = f(N). Vì f bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm nên
d(M, N) = d(M’, N’), suy ra
2
MN =
2
N'M'
⇒
(
IN
–
IM
)
2
= (
N'I'

–
M'I'
)
2

⇒ IN
2
+ IM
2
– 2 IN* IM = I’N’
2
+ I’M’
2
– 2 N'I' * M'I' (*)
Vì f bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ nên từ (*) ta có
IN
* IM =
N'I'
* M'I' hay, f (
u
)*f (
v
)=
u
*
v ⇒
f bảo tồn tích vô hướng
⇒
f là
ánh xạ tuyến tính trực giao và

f là ánh xạ liên kết của f .
Vậy f là ánh xạ đẳng cự.


2.6.2 . Mệnh đề
Ánh xạ đẳng cự bảo tồn:
a). Số chiều của các phẳng.
b). Tính trực giao của các phẳng.
c). Số đo góc.
d). Tỷ số giữa hai khoảng cách.

2.6.3 . Định lý
Phép afin f là ánh xạ đẳng cự khi và chỉ khi ma trận của nó đối với mục
tiêu giả trực chuẩn là ma trận giả trực giao chỉ số k.]
Chứng minh
Trong
k
n
Ε chọn mục tiêu giả trực chuẩn {S
0
;e } và xét phép biến đổi afin f
của
k
n
Ε có biểu thức tọa độ (đối với mục tiêu đó) là: X’ = A.X +b (trong đó A là
ma trận vuông cấp n không suy biến X, X’ là ma trận cột tọa độ của điểm và tạo
ảnh của điểm đó, b là ma trận cột tọa độ điểm f(S
0
)).
Khi đó ánh xạ tuyến tính

f
liên kết với f sẽ có biểu thức tọa độ:
X’ = A.X (đối với cơ sở giả trực chuẩn ở trên).
Phép afin f là phép đẳng cự khi và chỉ khi
f
biến mỗi vectơ
X
thành
'X

sao cho
||
X || = || 'X || ⇔
(X)I(X)
k
n
*
=
)(X'I)(X'
k
n
*

⇔
*k
n
XIX = )(X'I)(X'
k
n
*

= (AX)I(AX)
k
n
*

⇔
XIX
k
n
*
= AXIAX
k
n
**
⇔
k
n
I = AIA
k
n
*

GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 23
⇔
A là ma trận giả trực giao.
Định lý đã được chứng minh.

Mọi ánh xạ đẳng cự là một đơn ánh và tích những ánh xạ đẳng cự là ánh
xạ đẳng cự nên ánh xạ đẳng cự từ một không gian giả Euclide đến chính nó là

một song ánh và ánh xạ ngược cũng là một ánh xạ đẳng cự, nó được gọi là một
biến đổi đẳng cự của không gian đó. Như vậy ta có tập hợp các phép biến đổi
đẳng cự của không gian giả Euclide lập thành m
ột nhóm con của nhóm biến đổi
afin của không gian giả Euclide.

2.7 . Mô hình xạ ảnh của không gian giả
k
n
Ε

2.7.1 . Xây dựng mô hình
Trong không gian xạ ảnh P
n
ta chọn một siêu phẳng P
n–1
là siêu phẳng vô
tận và gọi A
n
là không gian afin tương ứng. Ta làm cho A
n
trở thành một không
gian giả Euclide
k
n
Ε bằng cách xác định một tích vô hướng thỏa mãn các tiên đề
(E
*
1
, , E

*
4
). Vậy ta được một mô hình
k
n
Ε
gọi là mô hình xạ ảnh của không gian
giả Euclide
k
n
Ε .
Gọi
{}
n1,
i1n
E;A
+
là một mục tiêu trực chuẩn của
k
n
Ε sinh ra bởi mục tiêu xạ
ảnh
{}
1n1,
i
E;A
+
của P
n
.

Gọi T
*
là siêu mặt bậc hai của siêu phẳng vô tận P
n–1
có phương trình

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=−
+
+==
∑∑
0x
0xx
1n
n
1kj
2
j
k
1i
2
i
(5)
T
*

gọi là cái tuyệt đối của P
n
.
Nếu n
≥ 3 thì T
*
chính là mặt trái xoan hoặc là mặt kẻ (ở đây ta không xét
k = n, đó là trường hợp của không gian Euclide).
Nếu n = 2, T
*
là cặp điểm trên đường thẳng vô tận có tọa độ xạ ảnh là
(1:1:0) và (1:-1:0).
2.7.2. Thể hiện khái niệm giả Euclide trên mô hình

+ Định lý
Hai đường thẳng của
k
n
Ε vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai điểm vô
tận của nó liên hợp với cái tuyệt đối T
*
.

GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 24
+ Định nghĩa siêu cầu trong không gian
k
n
Ε
Trong không gian giả Euclide

k
n
Ε cho một điểm O cố định. Tập hợp tất cả
các điểm X sao cho d(O, X) = R (R là số thực không âm hoặc là số thuần ảo) gọi
là siêu cầu tâm O bán kính R.
Trong
k
n
Ε
, chọn mục tiêu giả trực chuẩn
{
}
n1,
i0
E;E
. Khi đó điểm O có tọa
độ là: O(a
1
, a
2
, …, a
n
)
Gọi tọa độ điểm X đối với mục tiêu đó là X = (x
1
, x
2
, …, x
n
). Khi đó điều

kiện cần và đủ để điểm X thuộc siêu cầu tâm O, bán kính R là:
d(O, X) = R
⇔
∑
=
−
n
1i
2
iii
)x(aε
= R (trong đó
i
ε
= 1 nếu i
≤
k,
i
ε
= –1 nếu i > k)
⇔
∑
=
−
n
1i
2
iii
)x(aε = R
2

⇔
∑∑∑
===
+−
n
1i
2
ii
n
1i
iii
n
1i
2
ii
xεxaε2aε = R
2

⇔
∑∑∑
===
+−
n
1i
2
ii
n
1i
iii

n
1i
2
ii
aεxaε2xε
– R
2
= 0 (*)
(*) chính là phương trình của siêu cầu. Như vậy siêu cầu là siêu mặt bậc
hai.
Nhận xét
Phương trình (*) có hai đặc điểm
•
Các hệ số
2
i
x đều bằng 1 hoặc – 1
•
Các hệ số
ji
xx đều bằng 0 với i
≠
j
Như vậy một siêu mặt bậc hai trong trường hợp nào sẽ trở thành siêu cầu .
Giả sử S là siêu mặt bậc hai nào đó của
k
n
Ε có phương trình đối với cơ sở
giả trực chuẩn {E
0

; E
i
} là
0aXa2XXa
0 0
n
1i
i0 i
n
1ji,
jiij
=++
∑∑
==

Bằng cách chuyển sang tọa độ xạ ảnh ta có phương trình
n+1
ij i j
i,j 1
axx 0
=
=
∑
(**)
Trong phương trình (**) nếu
ij
a = m
iji
ε
δ

Trong đó
i
ε
= 1 nếu i
≤
k

i
ε
= –1 nếu i > k