bài tập mạch điện

1
U
1
I
O
x
3
U
3
I
l
l/2

Bài tập: Mạch Điện 2
Bài 1:
Cho đường dây với các thông số sau:
0
-3
0
-9
0
6
0
1
l = 100 km
R = 6 /m
L = 1,6.10 H/km
C = 6,4.10 F/km
G = 10 S/km
f = 100 Hz

U = 1 kV


0
1
I = 500 -15 A

1/ Xác định các hệ số:
C
, Z , V, 

2/ Xác định U và hệ số phản xạ sóng giữa đường dây

Giải:
a/Ta có:
2 f 2. .100 200 (rad/s)     

o o o
-6 -6
o o o
oo
Z R j L = 6 + j ( )
Y G j C 10 +4,0212.10 j (S)
Z .Y 0,0037 + 0,0034j (1/km)
= 0,0037 (neper/km)
= 0,0034
   
   
  





(rad/km)





o
C
o
5
3
Z
Z 1013,2 - 664,56j ( )
Y
V= 1,8428.10 (km/s)
V
= 1,8428.10 (km)
f
  





b/ Ta có:
 
 

54
1 1 C 1
54
2 1 C 1
1
A U Z .I 2,8816.10 - 9,4922.10 j
2
1
A U Z .I -2,8716.10 9.4922.10 j
2
  
   





Mặc khác:
xx
x 1 2 x x
xx
12
x x x
CC
U A .e A .e U U
AA
I .e .e I I
ZZ
 


 


   


   



Tại điểm: x = l/2 thì
.l/2 .l/2
3 l/2 1 2 l/2 l/2
54
U U A .e A .e U U
-1,3683.10 - 6,4567.10 j (V)
-136,83 - 64,567j (kV)
 

    



.l/2 .l/ 2
12
3 l/ 2 l/2 l/2
CC
AA
I I .e .e I I
ZZ

479,95 144,69j (A)
 

    



1
U
1
I
O
x
2
U
2
I
l
c
Z
Bài 2:
c
-3
2
l 30 km
Z 500
=3.10 Neper/km
Z 500






GTHD của điẹn áp ở dầu đường dây là U
1
= 120V
a/ Xác định GTHD của U
2
;I
2
cuối đường dây
b/ Xác định hiệu suất truyền tải

của đường dây.


Giải:











a/ Do:
cc

ZR
đường dây gần như vận hành ở chế đọ hoà hợp tải nên:
0
. Tức
là mọi điểm trên đường dây chỉ có ST mà không có SPX
Xây dựng công thức theo hệ trục như hình vẽ:

x x x
x 1 2 x x x x 1
x x x
1 2 1
x x x x x
C C C
U A .e A .e U U U U A .e
(1)
A A A
I .e .e I I I I .e
Z Z Z
  
  
  
  

     



     



Ta có

.0
1 (x 0) (x 0) 1 1
11
U U U A .e A
UA

  
   



U
1
1
j.
1 1 U 1 1
U U U .e A (2)

   


Thế (2) vào (1) ta được:

U
1
U
1

U
1
U
1
U
1
U
1
j.
( j )x
x1
j.
( j )x
1
x
C
j( x)
x
x1
j( x)
x
1
x
C
j( l)
l
2 (x l) 1
j( l)
l
1

2 (x l)
C
l (30.
21
U U .e .e

U .e
I .e
Z
U U .e e

U
I .e e
Z
U U U .e e

U
I I .e e
Z
U U .e 120.e


  

  
 

 

 



 


 


























3
3
3.10 )
l (30.3.10 )
1
2
C
109.6717 (V)
U
120
I .e .e 0.2193 (A)
Z 500


 




  



b/ Hiệu suất truyền tải

:
Ta có
2
1

P
.100%
P


Với:
22
11
2 2 2 U I
1 1 1 U I
P U .I .cos( )
P U .I .cos( )
  



  



Chế độ hoà hợp tải nên:
11
22
1 1 1 1
2 2 2 2
11
cc
11
22
cc

22
11
22
UI
UI
U U ; I I

U U ; I I
UU
ZR
II
UU
ZR
II
U ;I cu`ng pha
U ;I cu`ng pha
cos( ) 1
cos( ) 1













  





  






  




   






l
11
21
.0
l

11
1
1 (x 0)
2
CC
C
ll
1
1
C
22
1
11
1
C
2l
U A 120
U U .e
;
AU
U
I I .e
I .e
ZZ
Z
U
U .e . .e
Z
U .I
.100% 100%

U
U .I
U.
Z
e .100%
85%




 







  




   



1
U
1

I
O
x
2
U
2
I
l
2
Z
Bài 3:
Cho đường dây không tiêu tán có:
3
2(t)
l 100 km
3,4.10 rad/km
U 110 2sin( t) kV





Xác địng U
2(t)
ở đầu đường dây trong các trường hợp có:
a/ Z
2
= Z
c

b/ Z
2
= 0,5Z
c


Giải:

Ta có:
x 2 2 c
2
x2
c
U U cos x jI Z sin x
U
I I cos x j sin x
Z

   


   



Mà
2
2
2
U

I
Z

nên:
c
x 2 2 (x) (x)
2
2
2
c
x
2
cc
(x)
22
Z
U U cos x j sin x U .M
Z
Z
M cos x sin x
Z
ZZ
sin x
arctan arctan tan x
Z cos x Z

     




   


   

   
   

   

a/
c
2C
2
Z
Z = Z 1
Z


 
22
x
(x)
M cos x sin x 1
sin x
arctan arctan tan x
cos x
    



   




 
1 (x l)
1 (x l)
1 2 1 1
1(t)
M M 1
arctan tan l 0,34 (rad)
U U .M 110.1 0,34 110 0,34
U 110 2 sin( t 0,34) (kV)



     
     
   


b/

c
2C
2
Z
Z = 0,5.Z 2
Z



 
 
2
2 2 2
x
(x)
M cos x 2sin x cos x 4sin x
sin x
arctan 2. arctan 2.tan x
cos x
       


   



 
22
1 (x l)
1 (x l)
1 2 1 1
1(t)
M M cos l 4sin l 1,915
arctan tan l 0,616 (rad)
U U .M 110.1,915 0.6157 210,62 0,616
U 210,62 2 sin( t 0,616 ) (kV)



     
     
     
   


L
1
I
O
x
2
U
2
I
l
1
U
1
V
Z
Bài 4:
Một đường dây không tiêu tán. Có chiều dài l, Z
C
= R
C
, dòng điện có tần số f,
tải cuối đường dây là cuộn cảm L.
Xác định L để hệ đường dây và tải trở thành mạch cộng hưởng áp

Giải:









 
1
(x)
1
V
1
x 2 2 c
2
x2
c
2 L 2
x 2 L c
L
x2
c
Lc
V
L
c
U

Z
I
U U cos x jI Z sin x

U
I I cos x j sin x
Z
U j.X .I
U j.I X cos x Z sin x

X
I I cos x sin x
Z
X cos x Z sin x
Zj
X
cos x sin x
Z


   


   




   




   




  
  
  
1
1
Lc
L
c
Lc
V
L
c
V
Lc
Lc
c
X Z tan x
j
X
1 tan x
Z
X Z tan l
Zj

X
1 tan l
Z
Z0
X Z tan l 0
X Z tan l
Z
L tan l
2. .f






   
   
   



1
I
O
x
2h
U
2
I
l

1
U
1
V
Z
Bài 5:









 
 
 
(x)
1
1
x 2 2 c
2
x2
c
2 2h
2
x 2h
2h
x

c
2h
Vc
2h
c
Vc
V
U U cos x jI Z sin x
U
I I cos x j sin x
Z
UU
I 0
U U cos x
U
I j sin x
Z
U cos x
Z j.Z .cotan x
U
j sin x
Z
Z j.Z .cotan l
Z 0 cotan l 0
l k
2

   



   
















   

   
   

  
 
6
k=1,3,5, ,2n+1,
2 f 2 f
(dd tren ko: V=c)
Vc
2 fl c

k f k 2,5.10 k (Hz)
c 2 4.l
2,5.k (MHz)

  

    



k
1
3
5
9
11
…
f(MHz)
2.5
7.5
12.5
17.5
22.5
…


Bài tập 6 : Cho mạch điện như hình vẽ:

Đóng khoá K khi
(t) m

e E sin( t )  
(V) đạt giá trị cực đại âm
Xác định
2(t)
i
biết:
12
m
R 25 R 50
L 0.25H C 400 F
E 400V f 50Hz
   
  


Giải:
Ta có:
2(t) 2td(t) 2xl(t)
i i i

 Xác định
2xl(t)
i

Mạch điện sau đóng mở ở chế độ xác lập

 
 
L
C

X 2 f.L 78,5
1
X 7,96
2 f.C
   
  


Tại thời điểm t = 0 thực hiện quá trình đóng cắt
Nên
o
(t) m m
e E sin E 90       

o
(t)
e 400sin(314t 90 )
E 400j (V)
  
  

Ta có:
ab 2 1 C
Z R //(R j.X ) 17 3,5j ( )    

o
xl
L ab
E 400j
I 5,2 167,2 (A)

j.X Z 78,5j 17 3,5j

    
  

o
ab L
U E jX .I 90,5 178.8 (V)   

o
ab
2xl
2
U
I 1,8 178,8 (A)
R
   

L
X
2
R
1
R
C
X
xl
I
a
E

b
1xl
I
2xl
I
L
2
R
1
R
C
K
i
1
i
2
i
(t)
e

o
2xl(t)
i 1,8sin(3,14t 178.8 ) (A)  

 Xác định
2td(t)
i

Xác định số mũ đặc tính p:

ab 2
v(p) ab 1
6
2
12,5p
Z R //pL
50 0,25p
1 12,5p 1
Z Z R 25
pC 50 0,25p p.400.10
75p 7500p 50000
(200 p)p



     





2
v(p)
2
1
2
75p 7500p 50000
Z0
(200 p)p
75p 7500p 50000 0

p 50 64,55j
p 50 64,55j



   
  



  


50t
2td(t)
i 2.A.e .cos(64,55t+ )

  

Trong đó A và

là các hệ số cần xác định.
Xác định sơ kiện: vì trong biểu thức thành phần tự do có hai hệ số cần xác định nên
ta cần xác định 2 sơ kiện là i
2(0)
;i’
2(0)

Xác định: i
(o)

,u
c(o)
theo luật đóng mở chỉnh:
(0) ( 0)
c(0) c( 0)
ii
uu








Xét mạch trước đóng mở (khi khoá K chưa mở)

Lc
1
o
X X 78,5 7,96
tg 2,8216
R 25
70,4

   
  

pL
2

R
1
R
1/pC
a
b
L
1
R
C
i
(t)
e

m
m
2 2 2 2
1 L C
E 400
I 5,34(A)
R (X X ) 25 (78,5 7,96)
  
   

o
(t)
i 5,34.sin(314t 160,4 ) (A)  

Cm m C
U I .X 5,34.7,96 42,50 (V)  

o
C(t)
u 42,50.sin(314t 250,4 ) (V)  

o
(0)
o
C(0)
i 5,34.sin( 160,4 ) 1,79 (A)
u 42,50.sin( 250,4 ) 40.03 (V)

   



  



Hệ phương trình mô tả sau đóng mở:


(t) 1(t) 2(t)
2(t) 2 (t)
2(t) 2 1(t) 1(t) 1
i i i 0
di
L i .R e
dt

1
i .R i .dt i .R 0
C


  






  



(I)
Thay t = 0 vào hệ (I) ta được
(0) 1(0) 2(0)
'
(0) 2(0) 2 (0)
2(0) 2 C(0) 1(0) 1
i i i 0
L.i i .R e
i .R u i .R 0

  





  


1(0) 2(0)
'
(0) 2(0)
2(0) 1(0)
1,79 i i 0
0,25.i 50.i 400
50.i 40,03 25.i 0

   

   


  

1(0) 2(0)
1(0) 2(0)
'
(0) 2(0)
i i 1,79
25.i 50.i 40,03
0,25.i 50.i 400

 

   



  


1(0)
2(0)
'
(0)
i 1,7272 (A)
i 0,0628 (A)
i 1578,44 (A/s)



  






Đạo hàm các vế của các phương trình trong hệ pt(I)
L
2
R
1
R
C
K

i
1
i
2
i
(t)
e

(t) 1(t) 2(t)
(t) 2(t) 2 (t)
2(t) 2 1(t) 1(t) 1
i i i 0
Li i .R e
1
i .R i i .R 0
C


  
  

 





  

(t) 1(t) 2(t)

(t) 2(t) (t)
2(t) 1(t) 1(t)
i i i 0
0,25.i i .50 e
i .50 2500.i i .25 0
  

  

  
  



  


(0) 1(0) 2(0)
(0) 2(0) (0)
2(0) 1(0) 1(0)
i i i 0
0,25.i i .50 e
i .50 2500.i i .25 0
  

  

  
  




  

1(0) 2(0)
2(0) 1(0)
(0) 2(0) (0)
1587,44 i i 0
i .50 2500.1,7272 i .25 0
0,25.i i .50 e


   


   


  



1(0) 2(0)
1(0) 2(0)
(0) 2(0) (0)
i i 1587,44
i .25 i .50 4318
0,25.i i .50 e



  


  


  



1(0)
2(0)
i 1000,72 (A/s)
i 586,72 (A/s)









Ta có:
2(t) 2td(t) 2xl(t)
i i i

o
2xl(t)
i 1,8sin(3,14t 178.8 ) (A)

50t
2td(t)
i 2.A.e .cos(64,55t+ ) (A)



2(0) 2td(0) 2xl(0)
i i i
0,0628 2.A.cos( ) 0,0377
A.cos( ) 0,01255 (1)

    
   

Ta có:
2(t) 2td(t) 2xl(t)
i i i
  


o
2xl(t)
i 314.1,8.cos(3,14t 178.8 ) (A/s)



 
50t
2td(t)

i 2A.e 50.cos(64,55t ) 64,55.sin(64,55t ) (A/s)


      

 
2(0) 2td(0) 2xl(0)
o
i i i
586,72 2A 50.cos 64,55.sin 314.1,8.cos( 178.8 )
21,72 129,1.Asin 100Acos (2)
  

        
    

Từ (1)(2) ta có
o
Acos 0,54
129,1.Asin 100Acos 21,72
Acos 0,01255 tg 14,18
Asin 0,178 Asin 0,178
85,97
A 0,178
  



   


     



   








Vậy:
o
2xl(t)
i 1,8sin(3,14t 178.8 ) (A)


50t o
2td(t)
i 0,35e .cos(64,55t+85,97 ) (A)




o 50t o
2(t)
i 1,8sin(3,14t 178.8 ) 0,35e .cos(64,55t+85,97 ) (A)


   


Bài tập 7: Cho mạch điện như hình vẽ:

Xác định
(t)
i
biết các nguồn trong mạch là nguồn hằng và các thông số sau:
1 2 3
34
12
R 300 R R 600
C 300 F C 200 F
E 36 V E 6 V
    
   


Giải:
A. Phương pháp tích phân kinh điển:
Ta có:
(t) td(t) xl(t)
i i i

 Xác định
xl(t)
i

Mạch điện sau đóng mở ở chế độ xác lập

Vì nguồn E
1
là nguồn hằng nên I
c
= 0
Tại thời điểm trước đóng cắt
1
xl(t) xl
13
E 36
i I 0.04(A)
R R 900
   


 Xác định
td(t)
i

Xác định số mũ đặc tính p:
Mạch điện sau đóng mở được đại số hóa theo p
1
E
2
E
1
R
3

R
2
R
3
C
4
C
K
1
2
i(t)
3
U
4
U
1
E
1
R
3
R
3
C
xl
I
4
C
xl
I
c

I0



 
v(p) 1 3
34
34
34
4
11
Z R //R
pC pC
11
200 200
11
p(C C )
pC pC
1
200
5.10 p


  


   




v(p)
4
4
1
Z 200 0
5.10 p
1
200
5.10 p
p 10


  
  
  

Dạng của thành phần tự do là:
10t
td(t)
i A.e



Trong đó A hệ số cần xác định.
Xác định sơ kiện: vì trong biểu thức thành phần tự do có một hệ số cần xác định nên
ta cần xác định 1 sơ kiện là i
(0)

Xác định: u

3(o)
,u
4(o)
theo luật đóng mở không chỉnh:
Xét mạch trước đóng mở (khi khoá K chưa mở)


1
E
2
E
1
R
3
R
2
R
3
C
i(t)
3( 0)
U

4( 0)
U

4
C
1
R

3
R
3
1
pC
4
1
pC
Hở mạch

1
3(t) 3
13
3( 0)
E
u U 0.04 600 24V
RR
u 24

    



4(t) 4 2
4( 0)
u u E 6V
u 6(V)

    
  

Theo luật đóng mở không chỉnh:
3 4 3(0) 3 3( 0) 4 4( 0)
3(0)
3(0) 4(0)
(C C )U C U C U
500 U 300 24 200 6
U U 12 V

  
     
  

Hệ phương trình mô tả sau đóng mở:


1 3(t)
(t)
1
1 3(0)
(0)
1
EU
i
R
EU
36 12
i 0.08(A)
R 300





   

Xác định A:
(0) xl(0)
A i i 0.04  

Vậy:
10t
2(t)
i 0.04 (1 e )

   


B/ Giải bằng phương pháp toán tử LAPLACE

Các sơ kiện độc lập được tính như ở trên (phương pháp tích phân kinh điển):
3(0) 4(0)
U U 12 V

Sơ đồ toán tử hóa:
1
E
1
R
3
R

3
C
i(t)
3(t)
U
4
C


Chọn
2(p)
0

Ta có điện thế đỉnh tạo điểm 1:
 
 
3(0) 4(0)
1
3 4 1(p)
1 2 1
34
34
1
1(p) 3 3(0) 4 4(0)
1
34
1(p)
1(p)
43
1(p)

UU
E
11
p p p
pC pC
11
R R R
pC pC
E
5 10 5 10 p C .U C .U
pR
0.12
5 10 5 10 p 0.006
p
0.12 0.006p 240 12p
p(5 10 p 5 10 ) p(p 10)
24 12

p p 10




      


        
       

   

   
   

(V)

Do đó:
10t
1(t)
10t
1 1(t)
(t)
1
24 12e
E
36 24 12e
i
R 300


  




10t
(t)
i 0.04(1 e )

  

1
E
p
1(p)
I
1
R
3
R
3
1
pC
4
1
pC
3(0)
U
p
4(0)
U
p
3(p)
I
C(p)
I
C3(p)
I
C4(p)
I
1

2

Bài tập 8:


Hãy xác định dòng điện i
(t)
khi dịch chuyển K sang vị trí 3. Biết khi khóa K còn ở vị
trí 1 thì mạch ở chế độ xác lập
Giải:
A. Khi t < 25 ms
 Tính sơ kiện độc lập: i
(0)

Trước khi khóa K chuyển từ vị trí 1 sang 2:
( 0)
1
E6
i 3 (A)
R2

  

Theo LDM chỉnh ta có:
L(0) L( 0)
i i 3 (A)



 Sơ đồ phức hóa:

Ta có:
   
(0)
(p)
2
E6
Li 0.1 3
60 3p 40 p
pp
I 1.5 3
pL R p 0.1 4 p p 40 p p 40 p 40
  

      
     

40t 40t 40t
(t)
i 1.5(1 e ) 3e 1.5(1 e )
  
     

1
2
3
E 6 (E)
L 100 mH
R 2
R 4

R 6





1
R
2
R
3
R
1
2
3
E
(t)
i
L
Cho mạch điện với các thông số
sau:
E
p
pL
(0)
Li
2
R
t = 0 chuyển K từ 1 sang 2
t = 25 ms chuyển K từ 2 sang 3

B. Khi t > 25ms
 Tính sơ kiện độc lập: i
1(0)

Trước khi khóa K chuyển từ vị trí 2 sang 3:
3
3
40 25 10
1( 0)
(t 2.5 10 )
i i 1.5(1 e ) 2.05 (A)





   

 Sơ đồ phức hóa:

Ta có:
   
1(0)
(p)1
3
E6
Li 0.1 2.05
60 2.05p 60 p

pp
I 2.05
pL R p 0.1 6 p p 60 p p 60 p 60
  

     
     

60t 60t 60t
(t)1
i (1 e ) 2.05e 1 1.05e
  
     

E
p
pL
(0)
Li
3
R

Bài tập 9:


Tính sơ kiện độc lập: u
C(0)

C(0) C( 0)
u u E 100 (V)


  

Sơ đồ phức hóa:


Chọn
2
0

Ta có:
 
 
 
     
C(0)
1(p)
1 2 1
1(p) C(0)
1 2 1
44
1(p)
4
1(p)
1(p)
4
u
E
11
pp

pC
1
R R R
pC
1 1 E
pC Cu
R R pR
100
0.01 10 p 10 100
200p
0.5
0.01 10 p 0.01
p
0.5 0.01p 5000 100p 100 1
50 100
p p 100 p p 100 p 100
p 10 p 0.01




    



    


    
   


      
  



100t 100t 100t
1(t)
50(1 e ) 100e 50(1 e )
  
     

E
p
1
R
1
pC
2
R
C(0)
u
p
1
2
E
1
R
C
2

R
K
2
i
1
i
C
i

Ta có:
100t
C(t) 1(t) 2(t) 1(t)
100t
C(t)
100t
2(t)
2
u 50(1 e )
u
50(1 e )
i 0.25(1 e )
R 200



       

   