đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm 2012 - 2013

trờng THCS thiết ống đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9
Câu 1 (4,0 điểm)
a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
x
2
+5x-6; 25x
2
- 5x - 49y
2
- 7y
b) Giải và biện luận bất phơng trình theo tham số m: m
2
x - 2x - 1

mx + m.
Câu 2 (4,0 điểm)
Cho biu thc P =









+

+
+
+

1
1
113
113
:
10
8
13
1
xxx
x
x
x
x
x
1) Rỳt gn P
2) Tớnh giỏ tr ca P khi x =
44
223
223
223
223
+

+
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phơng trình: 2x + |-3x+2m| = 0
a) Chứng minh rằng nếu m > 0 thì phơng trình vô nghiệm.
b) Giải phơng trình với m

0.
Câu 4 (3,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên k để đa thức P = 5a
k+1
b
7
- 11a
k+3
b
4
chia hết cho đơn thức: Q=
k
ba
3
3
1

b) Chứng minh rằng tổng các lập phơng của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9
c) Chứng minh rằng:
3
51

16
1
9
1
4
1
1
2
<+++++
n
.
Câu 5 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cố định có diện tích là S. Trên các cạnh AB, BC, CA
lần lợt lấy các điểm M, N, P sao cho:
k
PA
CP
NC
BN
MB
AM
===
.
a) Chứng minh: S
AMP
=
2
)1( +k
k
S
b) Tính diện tích S

MNP
theo S và k.
c) Với giá trị nào của k thì S
MNP
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo S?
Câu 6 (2,0 điểm) Cho hai số thực dơng a, b thoả mãn:
a
100
+b
100
=a
101
+b
101
= a
102
+b
102
=2
Tính giá trị của biểu thức: P = a
2001
+b
2001
.
Đề số 2
Câu 1: (4,5đ)
a) Giải và biện luận phơng trình: m
2
x +3mx- m=-2x+1
b) Cho ba s hu t a, b, c tho món

1 1 1
.
a b c
+ =
Chng minh rng
2 2 2
A a b c= + +
l s hu t.
c) Cho ba s hu t
, ,x y z
ụi mt phõn bit. Chng minh rng:

2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
B
x y y z z x
= + +

l s hu t.
Câu 2: (3,5đ) Cho biểu thức:
A=
2
3
3
12
65
92

+

+
+
+

x
x
x
x
xx
x
a, Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
b, Rút gọn A.
c, Tìm x nguyên để A là số nguyên.
Câu 3: (4,5đ)
a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 5xy+2x-5y=19
b) Cho a,b,c là ba số dơng chứng minh rằng:

ba
c
ac
b
cb
a
c
c
b
b
a

a
+
+
+
+
+

+
+
+
+
+
2
3
111
222
c)Tìm m để đa thức x
3
+y
3
+z
3
+mxyz chia hết cho x+y+z.
Câu 4: (5,5đ)
1. Cho hỡnh ch nht ABCD cú AB=6cm, AD=4cm. M l mt im bt kỡ trờn cnh
AB (M khụng trựng vi A v B). Qua M k cỏc ng thng d, d' ln lt song song vi
AC, BD chỳng ct cỏc cnh BC, AD theo th t ti N,Q. Qua N k ng thng song song
vi BD ct CD ti P. Tỡm v trớ ca M trờn AB din tớch t giỏc MNPQ ln nht.
2. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh bng a. Gi O l tõm hỡnh vuụng ABCD, M l trung
im cnh OB, N l trung im cnh CD. H l chõn ng cao h t M ca tam giỏc

AMN. Chng minh AMN l tam giỏc vuụng cõn, t ú tớnh di on AH theo a.
Câu5: (2đ) Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn:
1
222
222222222
=
+
+
+
+
+
ca
bac
bc
acb
ab
cba
.
Chứng minh rằng hai trong ba phân thức đã cho bằng 1, phân thức còn lại bằng -1.
Hết

Cho hình thang ABCD (AB//CD); AB<CD). Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo. Đờng
thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E và cắt CD tại M; đờng thẳng qua B song song với
AD cắt AC tại F và CD tại N. Chứng minh rằng:
a) EF//AB
b) AB
2
=EF.CD
c) Cho biết S
AOB

=a
2
; S
COD
=b
2
. Tính diện tích hình thang ABCD.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, góc B gấp đôi góc C và AH là đơng cao. Gọi M là
trung điểm của cạnh AC, các đờng thẳng MH và AB cắt nhau tại điểm N. Chứng minh
rằng:
a) Tam giác MHC là tam giác cân.
b)

BNH =

MCH.
c) 2MH
2
=AB
2
+AB.BH