Đề thi HSG Toán 9- Ninh Bình- 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học 2012- 2013
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1. (4 điểm). Cho phương trình:
2
(4 1) 2( 4) 0x m x m+ + + − =
(1)
(x là ẩn, m là tham số)
1. Chứng minh rằn phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
2. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của (1). Tìm m để
1 2
17x x− =
.
Bài 2. (4 điểm). Cho biểu thức:
2
2 2( 1)
1 1
x x x x x
P
x x x x
− + −
= − +
+ + −

0; 1x x> ≠
1. Rút gọn P
2. Tìm giá trị của x để P = 3
Bài 3. (4 điểm )
1. Giải hệ phương trình:
3 3 2 2
7
3( ) 3( ) 70
x y xy
x y x y x y
+ + =


+ + + + + =

2. Giải phương trình:
2
( 5 2)(1 7 10) 3x x x x+ − + + + + =
Bài 4. (5 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Ax và By là hai tia thay
đổi luôn tạo với nhau một góc 60
0
, nằm về hai phía của AB, cắt đường tròn (O) lần lượt
tại M và N. Đường thẳng BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM cắt Ay tại F. Gọi K là trung
điểm của đoạn thẳng EF.
1. Chứng minh rằng
EF
3
AB
=
2. Chứng minh OMKN là tứ giác nội tiếp.

3. Khi tam giác AMN đều, gọi C là điểm di động trên cung nhỏ AN (
,C A C N≠ ≠
).
Đường thẳng qua M và vuông góc với AC cắt NC tại D. Xác định vị trí của điểm
C để diện tích tam giác MCD là lớn nhất.
Bài 5. (3 điểm)
1. Cho các số thực m, n, p thỏa mãn:
2
2 2
3
1
2
m
n np p+ + = −
. Tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của biểu thức S = m + n + p
2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

2 2 2
1
( 1) ( 1) ( 1)
a b c
ab a bc b ca c a b c
+ + ≥
+ + + + + + + +
Đẳng thức xảy ra khi nào?
HẾT
ĐỀ CHÍNH THỨC