de thi HSG lop 9 THCS 2012-2013 TB

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐẾ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (3 điểm)
Cho
1 3

2 3 2 2( 3 1)
x = −
− +
.
Tính giá trị của biểu thức:
2013 2012
2
4(x 1)x 2x 2x 1
A
2x 3x
+ − + +
=
+
.
Bài 2. (3 điểm)
Giải phương trình:
( )
2 2
2x 2x 1 2x 3 ( x x 2 1).
+ + = + + + −
Bài 3. (3 điểm)

Tìm các số nguyên x, y thoả mãn:
( ) ( )
2 2 3 3
2y 2x 1 2x 2y 1 1 x y .+ − + + =
Bài 4. (3 điểm)
Cho đa thức P(x) = ax
2
+ bx

+ c . Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0.
Chứng minh rằng:
5a 3b 2c
1.
a b c
− +
>
− +
Bài 5. (3 điểm)
Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến
đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và
song song với BC, lấy điểm P. Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M, N.
Chứng minh: PM = PN = PA.
Bài 6. (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại C, có
·
0
BAC 30
=
. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,
lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC. Chứng minh rằng:

2 2 2
3BD 5AD 5CD DC 2DA.
= + ⇔ =
Bài 7. (2 điểm)
Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 0 < a, b, c <1 và ab + bc + ca = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
a (1 2b) b (1 2c) c (1 2a)
P .
b c a
− − −
= + +
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh :