Đề thi khảo sát HSG toán 7 lần 1 năm 2012-2013

TRƯỜNG THCS KIM LONG.
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 1
MÔN TOÁN LỚP 7
Năm học 2012-2013.
Thời gian 120 phút.
Câu 1(2 điểm): Tính giá trị của các biểu thức:
a/ A =
12 5 6 2 10 3 5 2
2 6 3 9 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
(2 .3) (125.7) 5 .14
− −
−
+

b/ S = 1 +3 + 3
2
+ 3
3
+ … + 3
2013

Câu 2(2,5 điểm):
a/ Cho các số a, b, c, d thoả mãn
a b c d
b c d c d a d a b a b c
= = =
+ + + + + + + +
Tính giá trị của biểu thức:

a b b c c d d a

P
c d d a b a b c
+ + + +
= = = =
+ + + +
b/ Tìm x biết:
1 1 1 1
100
1.2 2.3 3.4 99.100
x x x x x
+ + + + + + + + =
Câu 3(1,5 điểm):
Ba phân số tối giản có tổng bằng
213
70
, các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5, các
mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó.
Câu 4(1,5 điểm):
Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2 số 2n +1 và 3n + 1 đồng thời là số
chính phương
Câu 5(2,5 điểm):
Cho
∆
ABC nhọn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C dựng đoạn thẳng AD
vuông góc với AB và AD=AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B ta
dựng đoạn thẳng AE vuông góc với AC và AE=AC.Vẽ AH vuông góc với BC.
Đường thẳng HA cát DE ở K. Chứng minh rằng: K là trung điểm của DE
Hết
ĐÁP ÁN THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 1
MÔN TOÁN LỚP 7

CÂU
NỘI DUNG ĐIỂM
1
a)
12 5 12 4 10 3 10 4
12 6 12 5 9 3 9 3 3
12 4 10 3
12 5 9 3 3
2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 .2
2 .3 .(3 1) 5 .7 (1 7)
2 .3 .(3 1) 5 .7 (1 2 )
2 5.( 6)
3.4 9
1 10 1
3
6 3 2
A
− −
= −
+ +
− −
= −
+ +
−
= −
= + =
0,25
0,25
0,25

0,25
Ta có: S =
2 3 2013
1 3 3 3 3+ + + + +
(1)
⇒
3S =
2 3 2014
3 3 3 3+ + + +
(2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được:
3S – S =
2014
3 1−
Hay S =
2014
3 1
2
−
0,25
0,5
0,25
2 a)
* Từ
a b c d
b c d c d a d a b a b c
= = =
+ + + + + + + +
suy ra
1 1 1 1
a b c d

b c d c d a d a b a b c
+ = + = + = +
+ + + + + + + +
Hay
a b c d a b c d a b c d a b c d
b c d c d a d a b a b c
+ + + + + + + + + + + +
= = =
+ + + + + + + +
* Nếu a+b+c+d = 0 thì
a+b = -(c+d)
1; 1
a b c d
c d a b
+ +
⇒ = − = −
+ +
b+c = -(d+a)
1; 1
b c d a
d a b c
+ +
⇒ = − = −
+ +
nên P=-1
* Nếu a+b+c+d
≠
0 thì
b+c+d = c+d+a = d+a+b = a+b+c
⇒

a = b = c = d
⇒
P=1
Vậy P= -1 nếu a+b+c+d = 0
P = 1 nếu a+b+c+d
≠
0
0,5
0,5
0,5
b)
Vì Vế trái
0
≥
nên để đẳng thức xảy ra thì vế phải
0
≥
. Hay
100 0 0x x
≥ ⇒ ≥
Khi đó ta có:
1 1 1
100
1.2 2.3 99.100
x x x x+ + + + + + =

1
99 1 100
100
x x+ − =

0,25
0,25
0,25

99
100
x =
(thoả mãn) 0,25
3
Gọi các phân số cần tìm là
; ;
a c e
b d f
Vì tử của chúng tỉ lệ với 3;4;5 nên
3 4 5
a c e
k= = =
3 ; 4 ; 5a k c k e k
⇒ = = =
Vì mẫu của chúng tỉ lệ với 5;1;2 nên
5 1 2
b d f
p= = =
5 ; ; 2b p d p e p
⇒ = = =
Mặt khác:
213
70
a c e

b d f
+ + =

⇒

3 4 5 213
5 2 70
k k k
p p p
+ + =

Hay:
6 40 25 71 213 3
10 10 70 7
k k k k k
p p p
+ +
= = ⇒ =
⇒
3 3 9
.
5 7 35
a
b
= =
;
4 3 12
.
1 7 7
c

d
= =
;
5 3 15
.
2 7 14
e
f
= =
Ba phân số trên đều tối giản và có tổng bằng
213
70
Vậy 3 phân số cần tìm là:
9 12 15
; ;
35 7 14
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4
Vì n là số tự nhiên có 2 chữ số
⇒
10 n
≤
≤
100. Do đó 21
≤

2n +1
≤
201 (1)
Mặt khác 2n + 1 là số chính phương lẻ (2)
Từ (1) và (2)
⇒
2n + 1
∈
{25; 49; 81; 121; 169}

⇒
n
∈
{12; 24 ; 40 ; 60 ; 84}
Do đó 3n +1
∈
{37; 73; 121; 181; 253}
Trong các số trên chỉ có 121 = 11
2

là số chính phương .
Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là 40
0, 5
0,25
0,25
0,25
0,25
5 Hình vẽ:
C
Từ D và E kẻ các đường vuông góc đến AH cát đường thẳng AH lần lượt tại

0,5
0, 5
P và Q
Ta có:
AHB DPA∆ = ∆
(Cạnh huyền – góc nhọn)
(1)DP AH⇒ =
AHC EQA∆ = ∆
(Cạnh huyền – góc nhọn)
(2)AH EQ⇒ =
Từ (1) và (2) suy ra DP = EQ
DKP EKQ⇒ ∆ = ∆
( Cạnh góc vuông và góc
nhọn kề)
KD KE⇒ = ⇒
K là trung điểm của DE
0,5
0,5
0,5