Chuyên đề hình học giải tích không gian

Chuyên đề
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ
A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy,
Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ
đơn vị .
B. ; M(x;y;z)⇔
C. Tọa độ của vectơ:
cho
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. cùng phương⇔
9. .
D. Tọa độ của điểm:
cho A(x
A
;y
A
;z
A
), B(x
B
;y
B
;z

B
)
1. 2.
3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
x
G
=;y
G
=; z
G
=
4. M chia AB theo tỉ số k:
Đặc biệt: M là trung điểm của
AB:
5. ABC là một tam giác⇔≠
khi đó S=
6. ABCD là một tứ diện⇔.≠0, V
ABCD
=,
V
ABCD
= (h là đường cao của tứ diện hạ từ
đỉnh A)
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT
I. Mặt phẳng
Mặt phẳng
α
được xác định bởi:
{M(x
0

;y
0
;z
0
), }. Phương trình tổng quát của
mặt phẳng
α
: Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax
0
+By
0
+Cz
0
+D=0
hay A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0⇔ Ax+By+Cz+D=0.
 một số mặt phẳng thường gặp:
a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0.
b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: có
c/
α
//
β
⇒ d/
α

⊥
β
⇒và ngược lại e/
α
//d⇒ f/
α
⊥d⇒.
, ,i j k
r ur ur
( )
1i j k= = =
r r ur
( )
1 2 3 1 2 3
; ;
a
a a a a a i a j a k
=
⇔ + +
uur
uur ur ur uur
OM xi y j zk= + +
uur
uuuuur
ur uur
( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z
r r
'; '; 'u v x x y y z z= ⇔ = = =
r r
( )

'; '; 'u v x x y y z z± = ± ± ±
r r
( ; ; )ku kx ky kz=
r
. ' ' 'u v xx yy zz= + +
ur r
' ' ' 0u v xx yy zz⊥ ⇔ + + =
r r
2 2 2
u x y z= + +
r
( )
' ' ; ' ' ; ' '; ;
' ' ' ' ' '
yz y z zx z x xy x y
y z z x x y
u v
y z z x x y
 
= − − −
 ÷
 ÷
 
∧ =
r r
,u v
ur r
[ , ] 0=
r r
r

u v
( )
cos ,
.
.
u v
u v
u v
=
ur r
r r
r r
( ; ; )= − − −
uuur
B A B A B A
AB x x y y z z
2 2 2
( ) ( ) ( )= − + − + −
B A B A B A
AB x x y y z z
3
A B C
x x x+ +
3
A B C
y y y+ +
3
A B C
z z z+ +
; ; ;

1 1 1
− − −
= = =
− − −
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x y z
k k k
; ; .
2 2 2
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x zy
+ + +
= = =
AB AC∧
uuur uuur
0
r
1
2
AB AC∧
uuur uuur
AB AC∧
uuur uuur
AD
uuur
( )

1
,
6
AB AC AD∧
uuur uuur uuur
1
.
3
BCD
S h
( ; ; )n A B C=
r
( )
[ , ]
ABC
n AB AC=
r uuur uuur
n n
α β
=
uur uur
n u
α β
=
uur uur
d
u u
α
=
uur uur

d
n u
α
=
uur uur
1
( )
1;0;0i
r
( )
0;1;0j
r
( )
0;0;1k
r
O
z
x
y
II. Đường thẳngIV.Đường cong
Đường thẳng ∆ được xác định bởi: {M(x
0
;y
0
;z
0
),=(a;b;c)}
i.Phương trình tham số:;
ii.Phương trình chính
tắc:

iii.Đường thẳng qua
giao tuyến hai mặt
phẳng:trong đó ,là hai VTPT và VTCP .
†Chú ý: a/ Đường thẳng Ox: ; Oy: ; Oz:
b/ (AB):; c/ ∆
1
//∆
2
⇒; d/
∆
1
⊥∆
2
⇒.
III. Góc- Kh/C
Góc giữa hai đường thẳng
*cos(∆,∆’)=cos
ϕ
=;
Góc giữa hai mp
*cos(
α
,
α
’)=cosϕ=;
Góc giữa đường thẳng
và mp
*sin(∆,
α
)=sin ψ=.

KHOẢNG CÁCH
Cho M (x
M
;y
M
;z
M
),
α
:Ax+By+Cz+D=0,∆:{M
0
(x
0
;y
0
;z
0
), },
∆’ {M’
0
(x
0
';y
0
';z
0
'), }
* Khoảng cách từ M đến mặt phẳng α:
d(M,
α

)=
* Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆:
d(M,∆)=
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)=
III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Mặt cầu (S){I(a;b;c),bán kính R}
Dạng 1: (x-a)
2
+(y-b)
2
+(z-c)
2
=R
2
(S)
Dạng 2: x
2
+y
2
+z
2
-2ax-2by-2cz+d=0 khi đó R=
1. d(I,
α
)>R:
α
(S)=∅
2. d(I,
α
)=R:

α
(S)=M (M gọi là tiếp điểm)
*Điều kiện để mặt phẳng
α
tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R (mặt phẳng
α
là tiếp diện của mặt cầu (S)
tại M khi đó =)
3. Nếu d(I,
α
)<R thì
α
sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của
α
và (S). Để tìm tâm H
và bán kính r của (C) ta làm như sau:
a. Tìm r =
b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆
qua I, vuông góc với
α
+H=∆
α
(toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với
α
)
B. BÀI TẬP
1. (Khối D_2009)
Chuẩn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):x+y+z−20=0.
Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).

u
∆
uur
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
+ + + =



+ + + =

1 1 1 1
( ; ; )n A B C=
uur
2 2 2 2
( ; ; )n A B C=
uur
1 2
[ ]u n n
∆
=
uur uuruur
0
0
y
z
=


=

0
0
x
z
=
=




0
0
x
y
=


=

AB
u AB=
r uuur
1 2
u u
∆ ∆
=
uur uur
1 2
u n
∆ ∆
=
uur uur
. '
. '
u u
u u
ur uur
r uur

. '
. '
n n
n n
ur uur
r uur
.
.
n u
n u
ur r
r r
u
∆
r
'u
∆
uur
2 2 2
M M M
Ax By CZ D
A B C
+ + +
+ +
1
[ , ]MM u
u
uuuuur r
r
0 0

[ , ']. '
[ , ']
u u M M
u u
r uur uuuuuuuur
uur uur
2 2 2
a b c d+ + −
∩
∩
n
α
uur
IM
uuur
2 2
- ( , )R d I
α
∩
2
Nâng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
đường thẳng vặt phẳng (P):x+2y−3z+4=0.
Viết phương trình đường thẳng d nằm trong
(P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng ∆.
ĐS: Chuẩn , Nâng cao
2. (Khối D_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn
điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3).
a. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.

b. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
22
:
1 1 1
yx z−+
∆ = =
−
5 1
; ; 1
2 2
D
 
−
 ÷
 
3
1 2
1
x t
d y t
z t
= − +


= −


= −

3

ĐS: a. x
2
+y
2
+z
2
−3x−3y−3z=0, b. H(2;2;2).
3. (Khối D_2007)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm A(1;4;2), B(−1;2;4) và đường thẳng .
a. Viết phương trình đường thẳng d đi
qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB).
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA
2
+MB
2
nhỏ nhất.
ĐS: a. , b. M(−1;0;4).
4. (Khối D_2006)
21
:
1 1 2
yx z+−
∆ = =
−
2 2
:
2 1 1
yx z
d

− −
= =
−
4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng
, .
a. Tìm tọa độ điểm A’ đối xưmgs với
điểm A qua đường thẳng d
1
.
b. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
ĐS:
a. A’(−1;−4;1), b. .
5. (Khối D_2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai
đường thẳng và .
a. Chứng minh d
1
và d
2
song song với
nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P)
chứa cả hai đường thẳng d
1
và d
2

.
b. Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O
là gốc tọa độ).
1
22 3
:
2 1 1
yx z
d
+− −
= =
−
1
11 1
:
1 2 1
yx z
d
−− +
= =
−
21 3
:
1 3 5
yx z−− −
∆ = =

− −
1
21 1
:
3 1 2
yx z
d
+− +
= =
−
2
12 3
:
10 2
x t
d y t
z t
= −


=


= −

5
ĐS: a. 15x+11y−17z−10=0, b. .
6. (Khối D_2004)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z−2=0. Viết
phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).

ĐS: .
7. (Khối
D_2003)
Trong không
gian với hệ
tọa độ Oxyz
gian cho
đường thẳng
d
k
là giao
tuyến của hai
mặt phẳng
(
α
):
x+3ky−z+2=0
, (
β
): kx−y+z+1=0. Tìm k để đường thẳng d
k
Vuông góc với mặt phẳng (P):x−y−2z+5=0.
5
OAB
S
∆
=
( ) ( )
2 2
2

1 1 1x y z− + + − =
6
ĐS: k=1.
8. (Khối
D_2002)
Trong không
gian với hệ
tọa độ Oxyz
gian cho mặt
phẳng (P):
2x−y+2=0 và
đường thẳng
d
m
là giao tuyến của hai mặt phẳng (
α
): (2m+1)x+(1−m)y+m−1=0, (
β
): mx+(2m+1)z+4m+2=0. Tìm m để đường
thẳng d
m
song song với mặt phẳng (P).
ĐS: .
9. (Khối
B_2009)
Chuẩn
Trong không
gian với hệ tọa
độ Oxyz, cho tứ
diệm ABCD có

các đỉnh
A(1;2;1),
B(−2;1;3),
C(2;−1;1) và
D(0;3;1). Viết
phương trình
mặt phẳng (P)
đi qua A, B sao
cho khoảng
cách từ C đến
(P) bằng
khoảng cách từ
D đến (P).
Nâng cao
Trong không
gian với hệ tọa
độ Oxyz, cho
mặt phẳng (P):
x−2y+2z−5=0
và hai điểm
A(−3;0;1),
B(1;−1;3).
Trong các
đường thẳng đi
qua A và song
song với (P),
hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
1
2
m = −

7
ĐS: Chuẩn (P): 2x+3z−5=0, Nâng cao .
10. (Khối B_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba
điểm A(0;1;2), B(2;−2;1), C(−2;0;1).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
b. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z−3=0 sao cho MA=MB=MC.
3 1
:
26 11 2
yx z+ −
∆ = =
−
8
ĐS:
a. x+2y−4z+6=0, b. M(2;3;−7).
11. (Khối B_2007)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
−2x+4y+2z−3=0 và mặt phẳng (P): 2x−y+2z−14=0.
a. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M dến mặt phẳng (P) lớn nhất.
ĐS: a. y−2z=0, b. M(−1;−1;−3).
12. (Khối B_2006)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng
9

, .
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua
A, đồng thời song song với d
1
, d
2
.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc d
1
, N thuộc d
2

sao cho A, M, N thẳng hàng.
ĐS: a. (P): x+3y+5z−13=0, b. M(0;1;−1), N(0;1;1).
13. (Khối B_2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
với A(0;−3;0), B(4;0;0), C(0;3;0),
B(4;0;4).
a. Tìm tọa độ các đỉnh A
1
, C
1
. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCB
1
C

1
).
b. Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A
,
M và song song với
BC
1
. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A
1
C
1
tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN.
1
1 1
:
2 1 1
yx z
d
− +
= =
−
2
1
: 1 2
2
x t

d y t
z t
= +


= − −


= +

10
ĐS: §
14. (Khối B_2004)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
A(−4;−2;4) và đường thẳng . Viết phương trình
đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vuông góc
với đường thẳng d.
ĐS:
15. (Khối
B_2003)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm
A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C sao cho . Tính
khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
ĐS: Khoảng cách
bằng 5
17
2
MN =
3 2
: 1

1 4
x t
d y t
z t
= − +


= −


= − +

24 4
:
3 2 1
yx z++ −
∆ = =
−
( )
0;6;0AC =
uuur
11
16. (Khối A_2009)
Chuẩn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x−2y−z−4=0 và mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2

−2x−4y−6z−11=0.
Chứng minh rằng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Nâng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
mặt phẳng (P): x−2y+2z−1=0 và hai đường
thẳng , . Xác định tọa độ điểm M thuộc
đường thẳng ∆
1
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆
2
và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
ĐS: Chuẩn H(3;0;2), r=4. Nâng cao M
1
(0;1;−3),
§.
17. (Khối A_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm A(2;5;3) và đường thẳng .
a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
điểm A lên đường thẳng d.
b. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) chứa d sao cho khoảng cáh từ A đến (
α
) lớn nhất.
ĐS: a. H(3;1;4), (
α
): x−4y+z−3=0.
18. (Khối A_2007)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai

đường thẳng và .
a. Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau.
1
1 9
:
1 1 6
yx z+ +
∆ = =
2
31 1
:
2 1 2
yx z−− +
∆ = =
−
2
18 53 3
; ;
35 35 35
M
 
 ÷
 
1 2
:
2 1 2

x y z
d
− −
= =
1
1 2
:
2 1 1
yx z
d
− +
= =
−
2
1 2
: 1
3
x t
d y t
z
= − +


= +


=

12
b. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x+y−4z=0 và cắt cả hai đường thẳng d

1
,
d
2
.
ĐS: §
19. (Khối A_2006)
Trong không gian với
hệ tọa độ Oxyz, cho
hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ với
A(0;0;0), B(1;0;0),
D(0;1;0), A’(0;01).
Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AB và
CD.
a. Tính khoảng
cách giữa
đường thẳng
A’C và MN.
b. Viết
phương
trình mặt
phẳng chứa
A’C và tạo với
mặt phẳng
Oxy một góc
α
biết
2 1

:
7 1 4
yx z
d
− +
= =
−
1
cos
6
α
=
13
ĐS: a. , (Q
1
):
2x−y+z−1=0,
(Q
2
): x−2y−z+1=0.
20. (Khối A_2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
đường thẳng d: và mặt phẳng (P):
2x+y−2z+9=0.
a. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng
∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông góc với d.
ĐS: a. I
1
(−3;5;7), I

2
(3;−7;1)
( )
1
' ,
2 2
d A C MN =
1 3 3
1 2 1
x y z− + −
= =
−
14
21. (Khối A_2004)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình
chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt
BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0), . Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM.
b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
( )
0;0;2 2S
15
ĐS: a. , b. .
22. (Khối A_2002)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai
đường thẳng:
và
a. Viết phương trình mặt phẳng (P)
chứa đường thẳng ∆
1

và song song
với đường thẳng ∆
2
.
b. Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆
2
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ
nhất.
( )
2 6
,
3
d SA BM =
.
2
S AMN
V =
1
2
:
2 3 4
yx z+
∆ = =
2
1
: 2
1 2
x t
y t
z t

= +


∆ = +


= +

16
ĐS: a.
2x−z=0, b.
H(2;3;4)
23.
(CĐ_Khối
A_2009)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các mặt phẳng (P
1
): x+2y+3z+4=0 và (P
2
): 3x+2y−z+1−0. Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;1;1), vuông góc với hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
).
ĐS: (P): 4x−5y+2z−1−0
24. (CĐ_Khối A_2008)
Trong không gian với hệ tọa
độ Oxyz, cho điểm A(1;1;3) và
đường thẳng d có phương trình

.
a. Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua A và
vuông góc với đường thẳng d.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O.
1
1 1 2
yx z −
= =
−
17
ĐS: a. x−y+2z−6=0
b.
( )
1 2
5 5 7
1; 1;3 , ; ;
3 3 3
M M
 
− − −
 ÷
 
18