bài 1: Khái niệm đạo hàm

Giáo Viên: Mai Ngọc Thắm
Môn: Đại số và Giải Tích 11(NC)
1. Bài toán mở đầu.
a. Bài toán: Cho vật chuyển động có pt : S = S(t). Tính vận tốc tức thời của
vật tại thời điểm t
0.
b. Giải: + G/s vật chuyển động từ thời điểm
tt →
0
+ Thời gian vật chuyển động :
0
ttt −=∆
+ Quãng đường vật đi được :
)()(
0
tStSS −=∆
+ Vận tốc trung bình
0
0
)()(
tt
tStS
t
S
V
Tb
−
−
=
∆
∆

=
Vậy: khi thì có giá trị gần tới
0
tt →
Tb
V
0
t
V
Hay (1)
( ) ( )
t
S
tt
tStS
VV
ttt
Tb
tt
t
∆
∆
=
−
−
==
→∆→→ 0
0
0
limlimlim

00
0
Nhận xét: Trong khoa học vật lý, Hoá học, sinh học… giới hạn(1) được
sử dụng nhiều lần đòi hỏi toán học phải đưa ra khái niệm và phép toán
đặc trưng khái niệm đạo hàm.
⇒
2. Đònh nghóa đạo hàm tại một điểm:
Kí hiệu là tức là:
( )
( ) ( )
0
0
0
0
lim'
xx
xfxf
xf
xx
−
−
=
→
( )
0
' xf
Cho hàm số xác đònh trên khoảng (a;b) và
( )
xfy =
( )

.;
0
bax ∈
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn): thì giới hạn đó được
gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm x
0
.
( ) ( )
0
0
0
lim
xx
xfxf
xx
−
−
→
( )
xfy =
a. S giaố
b. nh ngh a.Đị ĩ
c. Quy t c tính ắ ođạ hàm bằng đònh nghóa.
Bước 1: Giả sử là số gia của đối số tại x
0
, tính
Bước 2: Tìm
( ) ( )
.
00

xfxxfy −∆+=∆
x∆
x
y
x
∆
∆
→∆ 0
lim
d. Baứi taọp aựp duùng:
Vớ d 1: Cho hm s . Tớnh f

(x
0
) bng nh ngha ti x
0
=1
2
3
= xy

!!!!!!
Gi i:
B1.
( ) ( )
.
00
xfxxfy +=
=
( ) ( )

.11 fxf +
( )
( )
( )
( )
21-2x1
33
+=
( ) ( )
( )
( )
21213
2
3
3
+++= xxx
( )
( )
xxx ++= 3
2
3
3
B2.
( ) ( )
( )
( )
333lim
33
limlim
2

0
23
00
=++=

++
=



xx
x
xxx
x
y
xxx

( )
31' =f
Vớ d 2:Cho hm s .Tớnh o hm ca hm s ti x
0
=0
( )
xxfy ==

!!!!!!
Gi i:
B1.
( ) ( )
xfxfy =+= 00

B2.
+=

=


=



x
x
x
x
y
xxx
1
limlimlim
000

.0
0
=x
Haứm soỏ khoõng coự ủaùo haứm taùi
……
!!!!!!
Nhận xét:
- Nếu hàm số gián đoạn tại thì nó không có đạo hàm tại
( )
xfy =

0
x
0
x
- Nếu hàm số liên tục tại thì nó có thể có đạo hàm hoặc
không có đạo hàm tại ( như ở ví dụ 1, ví dụ 2 ) .
( )
xfy =
0
x
0
x

!!!!!!
Cho hm s cú th l ng cong (C)
( )
xfy =
3. Y nghúa hỡnh hoùc cuỷa ủaùo haứm:
( )( )
000
, xfxM
c nh
( )
C
( )( )
MM
xfxM ,
di chuyn
( )
C

Nh vy: ng thng l cỏt tuyn i qua cú h s gúc
vi
MM
0 0
M
M
k
( ) ( )
0
0
xx
xfxf
k
M
M
M


=
G/s:
M
xx
kk
M 0
lim
0

=
Khi ú: ng thng M
0

T i qua M
0
cú h s gúc k
0
chớnh l v trớ gii
hn ca cỏt tuyn M
0
M

V : M
0
T l tip tuyn ca ng cong (C),
l tip im.

( )( )
000
, xfxM
a. Tip tuyn ng cong phng.
……
!!!!!!
b. Ý nghĩa hình học của đạo hàm.
.
)(
00
xfk
′
=
0
x
0

k
Vậy : Đạo hàm của hàm số tại điểm chính là hệ số góc
của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm
)(xfy =
))
0
(,
0
( xfxM