de khao sat hsg toan 7 2012-2013

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
M«n : to¸n 7 : n¨m häc 2012-2013
Câu 1 (2,5 điểm). Tính: a/ 7,3. 10,5 + 7,3. 15 + 2,7. 10,5 + 15. 2,7
b/ (6
9
.2
10
+ 12
10
) : (2
19
.27
3
+ 15.4
9
.9
4
)
Câu 2 (5 điểm). So sánh A và B trong mỗi trường hợp sau:
a/ A =
4025
2012−
; B =
3997
1999−
b/ A = 3
21
; B = 2
31
c/ A =
2000.1999

2011

6.5
2011
4.3
2011
2.1
2011
++++
; B=
2012 2012 2012 2012

1001 1002 1003 2000
+ + + +
Câu 3 (5 điểm).
a/ Chứng minh rằng: 3
x+1
+ 3
x+2
+ 3
x+3
+……+ 3
x+100
chia hết cho 120 (với x
∈
N)
b/ Cho
3 2 2 4 4 3
4 3 2
x y z x y z− − −

= =
. Chứng minh rằng:
2 3 4
x y z
= =
c/ Cho f(x) là hàm số xác định với mọi x thỏa mãn điều kiện f(x
1
.x
2
) = f(x
1
).f(x
2
) và
f(2) = 10. Tính f(32).
Câu 4 (5 điểm). Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm
D sao cho CD = AB. Gọi I là giao điểm các đường trung trực của BC và AD.
a/ Chứng minh ∆AIB = ∆DIC
b/ Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC.
c/ Kẻ IE vuông góc với AB, chứng minh
AD
2
1
AE
=
.
1
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2012 – 2013

Môn Toán 7
CÂU ý ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Câu
1
(2,5đ)
a
1,5đ
7,3.10,5 + 7,3.15 + 2,7.10,5 + 15.2,7
= 10,5.(7,3 + 2,7) + 15.(7,3 + 2,7)
= 10,5. 10 + 15. 10
= 105 + 150 = 255
0,5
0,5
0,5
b
1đ
(6
9
.2
10
+ 12
10
) :(2
19
.27
3
+ 15.4
9
.9

4
)
= ( 3
9
.2
9
.2
10
+ 2
20
.3
10
) : (2
19
.3
9
+ 3.5.2
18
.3
8
)
= [2
19
.3
9
(1+2.3)] : [2
18
.3
9
(2 +5)]

= (2.7) : 7 = 2
0,5
0,25
0,25
Câu
2
(5đ)
a
2đ

2012 2012 1 1 1999 1999
;
4025 4024 2 2 3998 3997
2012 1999
4025 3997
< = = <
⇒ <

=>
4025
2012−
>
3997
1999−
Vậy A > B
1,0
0,5
0,5
b
1,5đ

A = 3
21
= 3.(3
2
)
10
= 3.9
10

B = 2
31
= 2.(2
3
)
10
= 2.8
10
Suy ra A > B
0,5
0,5
0,5
c
1,5đ






+++++=













+++++−






++++++=













++++−






++++++++=












++++−






++++=







−++−+−+−=
++++=
2000
1
1999
1

1003
1
1002
1
1001
1
.2011
1000
1
999
1

3
1
2
1
1

2000
1
1999
1

4
1
3
1
2
1
1.2011
2000
1

6
1
4
1
2
1
.2
2000
1
1999
1

6
1
5

1
4
1
3
1
2
1
1.2011
2000
1

6
1
4
1
2
1
1999
1

5
1
3
1
1.2011
2000
1
1999
1

6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1.2011
2000.1999
2011

6.5
2011
4.3
2011
2.1
2011
A

1 1 1 1
2012.
1001 1002 1003 2000
B
 
= + + + +
 ÷
 

Suy ra A < B
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
a
2,5đ
3
x+1
+ 3
x+2
+ 3
x+3
+…… + 3
x+100
= (3
x+1
+ 3
x+2
+ 3
x+3
+ 3
x+4
) + (3
x+5
+ 3
x+6

+ 3
x+7
+ 3
x+8
)+…+ (3
x+97
+
0,75
2
3
(5đ)
3
x+98
+ 3
x+99
+ 3
x+100
)
= 3
x
(3+3
2
+3
3
+3
4
) + 3
x+4
(3+3
2

+3
3
+3
4
) +…+3
x+96
(3+3
2
+3
3
+3
4
)
= 3
x
.120 + 3
x+4
.120 +…+3
x+96
.120
= 120(3
x
+ 3
x+4
+…+3
x+96
)
M
120 (đpcm)
0,75

0,5
0,5
b
1,5đ
3 2 2 4 4 3
4 3 2
x y z x y z− − −
= =
. Suy ra:
4(3 2 ) 3(2 4 ) 2(4 3 )
16 9 4
12 8 6 12 8 6
0
29
x y z x y z
x y z x y z
− − −
= =
− + − + −
= =
Vậy
3 2
0 3 2 (1)
4 2 3
2 4
0 2 4 (2)
3 2 4
x y x y
x y
z x x z

z x
−
= ⇒ = ⇒ =
−
= ⇒ = ⇒ =
Từ (1) và (2) ta được
2 3 4
x y z
= =
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
c
1đ
Vì f(x
1
.x
2
) = f(x
1
).f(x
2
) nên
f(4) = f(2.2) = f(2). f(2) = 10. 10 = 100
f(16) = f(4.4) = f(4). f(4) = 100. 100 = 10000
f(32) = f(16.2) = f(16). f(2) = 10000. 10 = 100000
0,5
0,25

0,25
Câu
4
(5đ)
Hình vẽ
I
P
A
C
D
B
E
0,5
a
1,5đ
Vì I là giao điểm các đường trung trực của BC và AD
nên IB = IC, IA = ID
Lại có AB = CD (gt)
Do đó ∆AIB = ∆DIC (c.c.c)
0,25
0,5
0,25
0,5
b
1,5đ
∆AID cân ở I, suy ra
∠
DAI =
∠
D

∆AIB = ∆DIC (câu a), suy ra
∠
BAI =
∠
D
Do đó
∠
DAI =
∠
BAI.
Vậy AI là tia phân giác của góc BAC
0,5
0,25
0,5
0,25
c
1,5đ
Kẻ IP ⊥AD, ta có ∆AIE = ∆AIP ( cạnh huyền-góc nhọn)
=> AE = AP
Mà AP = ½ AD (vì P là trung điểm AD)
Suy ra
AD
2
1
AE
=
0,5
0,25
0,5
0,25

3
Câu
5
(2,5đ)
a
1đ
Trong 100 số đã cho, phải có ít nhất một số âm (vì nếu cả 100 số
đều dương thì tích của ba số bất kì không thể là một số âm).
Ta tách riêng số âm đó ra. Chia 99 số còn lại thành 33 nhóm, mỗi
nhóm 3 thừa số.
Theo đề bài, mỗi nhóm đều có tích là một số âm nên tích của 33
nhóm tức là của 99 số là một số âm.
Nhân số âm này với số âm đã tách riêng từ đầu ta được tích của
100 số là một số dương.
0,25
0,25
0,25
0,25
b
1,5đ
Sắp xếp 100 số đã cho theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn
a
1
≤a
2
≤a
3
≤ ≤a
100
Các

số này đều khác 0 (vì nếu có 1 thừa số bằng 0 thì tích của nó
với hai thừa số khác cũng bằng 0, trái với đề bài).
Xét tích a
98
.a
99
.a
100
< 0 ⇒ a
98
< 0 (vì nếu a
98
> 0 thì a
99
>0, a
100
> 0,
tích của ba số này không thể là một số âm).
Vậy a
1
, a
2
, a
3
, , a
98
là các số âm.
Xét tích a
1

.a
2
.a
99
< 0 mà a
1
a
2
> 0 nên a
99
<0
Xét tích a
1
.a
2
.a
100
< 0 mà a
1
a
2
> 0 nên a
100
<0
Vậy tất cả 100 số đã cho đều là số âm.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
Ghi chú:
- Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải cho từng bài. Nếu HS làm cách khác
đúng thì cho điểm tương đương.
- Bài hình không vẽ hình hoặc hình vẽ sai, không khớp với chứng minh thì không
chấm phần chứng minh.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của tất cả các câu, không làm tròn.
4