ĐỀ THI HSG TOÁN TỈNH NAM ĐỊNH NĂM 2012-2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
Năm học 2012 – 2013
(Thời gian làm bài 180 phút )

Câu I ( 4 điểm) Cho hàm số y = x
3
+ 2mx
2
– 3x (1) và đường thẳng
∆
: y = 2mx – 2 ( với m là
tham số)
1) Khi m = 0. Gọi đồ thị hàm số đã cho là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
M, biết khoảng cách từ M đến trục tung bằng 2.
2) Tìm m để đường thẳng
∆
cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho diện
tích tam giác OBC bằng 3(Với A là điểm có hoành độ không đổi và O là gốc tọa độ).
Câu II (5 điểm)
1) Giải phương trình:
2sin 2 2sin 2 3
3
4cos4
cos
x x
x
x

π
 
− + +
 ÷
 
=
2) Giải hệ phương trình:
( )
2
2 2 2
2 2
2 1 2 3 2 4
xy y x
y x x x x x

+ = +


+ + + + = −


Câu III ( 3 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có AB = AD <
CD, điểm B(1; 2), đường thẳng BD có phương trình y = 2. Biết rằng đường thẳng (d): 7x – y
– 25 = 0 lần lượt cắt các đoạn thẳng AD và CD theo thứ tự tại M và N sao cho
BM BC⊥
và
tia BN là tia phân giác của góc MBC. Tìm tọa độ đỉnh D (với hoành độ điểm D là số dương).
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1), B(1; -2; 4) và mặt phẳng
(P): 2y + z = 0. Tìm tọa độ điểm C

∈
(P) sao cho tam giác ABC cân tại B và có diện tích bằng
25/2.
Câu IV (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với AB = 2a, tam giác
SAB vuông tại S, Mặt phẳng (SAB) vuông với (ABCD). Biết tạo bởi đường thẳng SD và (SBC)
bằng
ϕ
với
1
sin
3
ϕ
=
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến (SBD) theo a.
Câu V (3 điểm)
1) Tính tích phân: I =
2 3
3
2
4
1
ln( 1)x x x x
dx
x
+ + +
∫
2) Từ các số 0,1,2,3,4,5,6, thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao
cho số đó có măt chữ số 6.
Câu VI(2 điểm) Cho các số thực x,y,z thay đổi thỏa mãn điều kiện x
2

+ y
2
+ z
2
= 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
( )
( )
2
2
8
2
2
xy yz zx
x y z xy yz
+ + −
+ + − − +
…….HÊT….