DE THI HSG TOAN 12 NAM TIEN HAI

Sở GD - ĐT Thái Bình
Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12
Trờng THPT Nam Tiền hải
năm học 2008 - 2009
--------o0o-------
(Thời gian 180 phút)
Bài 1: (6 điểm)
1. Khảo sát vẽ đồ thị hàm y = 4x
3
- 3x
2. Chứng minh phơng trình
3 2
4 3 1x x x
=
có 3 nghiệm.
Bài 2: (4 điểm)
1. Cho x>y>0. Chứng minh
2 ln ln
x y x y
x y
+
>

2. Giải bất phơng trình:
( )
2 2
2 1 4
2
log log 3 5 log 3x x x+ >
Bài 3: (4 điểm)
1. Giải phơng trình:

2 1
2
og cos 2 cos sin 2 cos 0
2 2
x x
L x Log x

+ + + =
ữ ữ

2. Chứng minh:
2 3 4
*
2 3 4
2 3
... 1 , 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
n
n
C n C n C n nC n
n N n
n n n n
+ + + + =

Bài 4: (6 điểm)
Cho tứ diện ABCD có BC=a, AB=AC=b, BD = DC = c
Gọi là góc AID (với I là trung điểm BC, 0<<
2

)

1. Với điểu kiện nào của b,c thì đờng nối I với trung điểm J của AD là đờng vuông
góc chung của BC và AD.
Chứng minh khi đó hình cầu đờng kính CD đi qua I và J
2. Với b = c. Tính V
ABCD
theo a,b,.
Với b = c =
3
2
a
xác định để hình cầu đờng kính IJ tiếp xúc với CD.
Ngời ra đề Ngời thẩm định BGH duyệt
Sở GD - ĐT Thái Bình
đáp án sơ lợc đề học sinh giỏi Toán lớp 12
Trờng THPT Nam Tiền hải
năm học 2008 - 2009
--------o0o-------
(Thời gian 180 phút)
Bài 1: (6 điểm)
1. (3 điểm): y = 4x
3
- 3x
BBT
x
-
1
2

1
2

y'
0 0
y 1
+
-
-1
2. (3 điểm) Chứng minh phơng trình
3 2
4 3 1x x x
=
có 3 nghiệm.
- Có đồ thị y = 4x
3
- 3x đã vẽ ở trên
- Hàm y=
2
1 x
<=> y > 0
x
2
+y
2
= 1
Có đồ thị là nửa đờng tròn tâm o, bán kính bằng 1.
- Vẽ chúng trên cùng hệ trục => đ.p.c.m
Bài 2: (4 điểm)
1. Cho x>y>0. Chứng minh
2 ln ln
x y x y

x y
+
>

Do x > y> 0 => lnx - lny >
BĐT <=> lnx - lny >
1
2 ln 2
1
x
x y x
y
x
x y y
y


>
+
+
1
ln 2 0(1)
1
x
x
y
x
y
y

>
+
Xét f(t) = ln t - 2
1
1
t
t

+
với t > 1
f'(t) =
2
2
( 1)
0
( 1)
t
t t

>
+
t >1
=> f(t) đồng biến khi t > 1
Vì
1
x
y
>
=>
( ) (1)

x
f f
y
> =>
(1) đợc c.m
2. Giải bpt:
( )
2 2
2 1 4
2
log log 3 5 log 3x x x+ >
Đk: x > 0
=>
2 2
1 2 4 2
2
log 2 log & log logx x x= =
Bpt <=>
( )
2 2 2
log 2log 3 5 log 3x x x >
(1)
(1) tơng đơng với 2 hệ sau:
a. x > 0
2 2
2
1
log 2 log 3 0 0
2
log 3

x x x
x
< <
<

b. x> 0
2
2
2 2 2
log 3
log 2log 3 5(log 3)
x
x x x
>
>
x > 8
4t
2
-28t +48 < 0 (t=log
2
x) <=> 8< x< 16
Vậy tập nghiệm là S =
( )
1
0; 8;16
2

Bài 3 (4 điểm)
1. Giải phơng trình:
2 1
2
log cos 2 cos log sin 2 cos 0
2 2
x x
x x

+ + + =
ữ ữ


pt:
2 2
log cos 2 cos log sin 2 cos
2 2
x x
x x

+ + +
ữ ữ


cos 2 cos
2
x
x +
> 0 (1)

cos 2 cos
2
x
x +
=
sin 2 cos
2
x
x +
(2)
(2) <=> tan2x = 1 <=> x =
8 2
k

+
Thử điều kiện (1) ta đợc x=
5
2 , 2
8 8
k x k


+ = +
Kết luận
2. Chứng minh:
2 3 4
*
2 3 4
2 3
... 1 , 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
n
n
C n C n C n nC n
n N n
n n n n
+ + + + =

xét f(x) =
1
. 1
n
x
x

+
ữ

f'(x) =
1
1 1
1 . 1
n
n
x x



+ +
ữ ữ

(1)
f(x) =
0 1 2
2
1 1 1
. ...
n
n n n n
n
x c c c c
x x x

+ + + +
ữ

=
0 1 2 3
2
1 1 1
...
n
n n n n n
n
c x c c c c
x x x

+ + + + +
ữ

f'(x) =
2 3 4
0
2 3 4
2 3 ( 1)
...
n
n n n n
n
n
c c c n c
c
x x x x


+ + + +


(2)
Từ (1) và (2) cho (3)
Trong (3) thay x=n-1 thì VT = 0 và cho kết quả
Bài 4 (6 điểm).
- Dễ thấy điều kiện là b = c
- Hình cầu đờng kính CD có tâm là trung
điểm Q của CD
- DIC: QI = QD = QC = DC/2
B= c => AD JC
- Tam giác vuông DJC: QJ = QD = QC
=> QD = QC = QI = QJ
=> Hình cầu đờng kính CD đi qua I và J

có = AID
BC = (AID) => V
ABCD
= V
BADC
= 2V
BADI
= 2/3 BI .S
ADI
=
2 1
. . .sin
3 2 2
a
AI DI

Vì b = c => AI = DI = AI.DI = AI
2
= b
2
-a
2
/4
=> V
ABCD
=
( )
2 2
sin . 4
24

a b a


2.
0 là trung điểm của I và J
Hình cầu đờng kính IJ tiếp xúc CD
<=> (0,DC) = 1/2IJ
Khi b = c =
3 2
2 2
a a
AI ID = =
Có FC = CI = a/2
(hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ C)
( )
3
2 2
3 1
2
a a
DF D FC
a
DJ DF
= =
= =
(Hai tiếp tuyến xuất phát từ 1 điểm)
Có
6 2
sin sin cos 2 3 3
2 2

JD
JID
DI



= = = =
Vậy = arccos
(2 3 3)
Ngời ra đề Ngời thẩm định BGH duyệt
A
J
D
B
I
C
Q
x

B
J
A
D
I
C
F
0
Sở GD - ĐT Thái Bình
Đề thi học kỳ 1 - môn toán lớp 12
Trờng THPT Nam Tiền hải

năm học 2008 - 2009
--------o0o-------
(Thời gian 120 phút)
Bài 1: (3 điểm)
Cho hàm số y = f(x) =
2 1
1
x
x


có đồ thị (C)
1. Khảo sát vẽ đồ thị (C)
2. Viết phơng trình tiếp tuyến tại A = (C) OX
Bài 2: (2 điểm)
1. Cho 0 < <
2

. Chứng minh:
.sin + cos > 1
2. Giải phơng trình: Log
2
(4
x
+ 4) = x - log
1/2
(2
x+1
-3)
Bài 3: (2 điểm) Tính:

a. A=
2 2
sin cos
sin 2cos 5
x xdx
x x+ +

b. B =
3
2
4
sin
xdx
x



Bài 4 (2,5 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S
ABC
cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b.
1. Tính thể tích hình chóp.
2. Xác định tâm và tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 5 (0,5 điểm)
Tính I=
2
2 2
0
3sin cos
dx

x x

+

Ngời ra đề Ngời thẩm định BGH duyệt