bài tập toán 12

Phạm Đào Thanh Tú
BÀI TẬP ÔN THI TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC 2013
Mục lục
1 Bài tập khảo sát hàm số trong các đề thi tốt nghiệp 2
2 Bài tập khảo sát hàm số trong các đề thi đại học 3
3 Bài tập về lũy thừa và logarit trong các đề thi tốt nghiệp 8
4 Bài tập về lũy thừa và logarit trong các đề thi đại học 8
5 Bài tập về phương trình lượng giác trong các đề thi đại học 10
6 Bài tập phương trình chứa căn thức trong các đề thi đại học 12
7 Bài tập bất phương trình chứa căn thức trong các đề thi đại học 12
8 Bài tập tổ hợp - Nhị thức Newton trong các đề thi đại học 13
9 Bài tập hệ phương trình trong các đề thi đại học 15
10 Bài tập tích phân trong các đề thi tốt nghiệp 17
11 Bài tập tích phân trong các đề thi đại học 17
12 Bài tập số phức trong các đề thi tốt nghiệp 20
13 Bài tập số phức trong các đề thi đại học 20
14 Bài tập hình học trong các đề thi tốt nghiệp 22
15 Bài tập hình học trong các đề thi đại học 25
1
BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ
1 Bài tập khảo sát hàm số trong các đề thi tốt
nghiệp
1.1 Cho hàm số y = f(x) =
1
4
x
4
− 2x
2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x

0
, biết
f

(x
0
) = −1.
1.2 Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) =
x − m
2
+ m
x + 1
trên đoạn [0; 1] bằng −2.
1.3 Cho hàm số y =
2x + 1
2x − 1
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = x + 2.
1.4 Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x
3
− 2x
2
+ mx + 1 đạt cực
tiểu tại x = 1.
1.5 Cho hàm số y =
1
4
x
3

−
3
2
x
2
+ 5
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x
3
− 6x
2
+ m = 0 có 3
nghiệm thực phân biệt.
1.6 Cho hàm số f(x) = x − 2
√
x
2
+ 12. Giải bất phương trình f

(x)  0.
1.7 Cho hàm số y =
2x + 1
x − 2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến
bằng −5.
1.8 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x
2
− ln(1 − 2x)
trên đoạn [−2; 0].

1.9 Cho hàm số y = x
3
− 3x
2
.
2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x
3
− 3x
2
− m = 0 có ba
nghiệm phân biệt.
1.10 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) =
2x − 1
x − 3
trên
đoạn [0; 2].
1.11 Cho hàm số y = x
4
− 2x
2
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
x = −2.
1.12 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x +
9
x
trên đoạn

[2; 4].
1.13 Cho hàm số y = −x
3
+ 3x
2
− 2, gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn của (C).
1.14 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = −x + 1 −
4
x + 2
trên đoạn [−1; 2].
1.15 Cho hàm số y =
2x + 1
x + 1
, gọi đồ thị của hàm số là (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm
A(−1; 3).
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C).
1.16 Xác định tham số m để hàm số y = x
3
−3mx
2
+ (m
2
−1)x + 2 đạt cực đại
tại điểm x = 2.
2 Bài tập khảo sát hàm số trong các đề thi đại
học

2.1 Cho hàm số y = x
4
− 2(m + 1)x
2
+ m
2
(1) với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0.
3
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của
một tam giác vuông.
2.2 Cho hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ 3m
3
(1) với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam
giác OAB có diện tích bằng 48.
2.3 Cho hàm số y =
2
3
x
3
−mx
2
−2(3m
2

−1)x +
2
3
(1) với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị x
1
và x
2
sao cho
x
1
x
2
+ 2(x
1
+ x
2
) = 1.
2.4 Cho hàm số y =
−x + 1
2x − 1
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C)
tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k
1
, k
2
lần lượt là hệ số góc của các tiếp

tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k
1
+ k
2
đạt giá trị lớn nhất.
2.5 Cho hàm số y = x
4
− 2(m + 1)x
2
+ m (1) với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA =
BC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C
là hai điểm cực trị còn lại.
2.6 Cho hàm số y =
2x + 1
x + 1
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.
2.7 Cho hàm số y = x
3
− 2x
2
+ (1 − m)x + m (1) với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ x
1

, x
2
, x
3
thoả mãn điều kiện x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
< 4.
4
2.8 Cho hàm số y =
2x + 1
x + 1
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
√
3 (O là gốc tọa độ).
2.9 Cho hàm số y = −x
4
− x
2
+ 6.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng y =
1
6
x − 1.
2.10 Cho hàm số y =
x + 2
2x + 3
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt
trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác
OAB cân tại gốc toạ độ.
2.11 Cho hàm số y = 2x
4
− 4x
2
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Với các giá trị nào của phương trình x
2
|x
2
−2| = m có đúng 6 nghiệm thực
phân biệt ?
2.12 Cho hàm số y = x
4
− (3m + 2)x
2
+ 3m có đồ thị là (C

m
), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0.
2. Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (C
m
) tại 4 điểm phân biệt đều
có hoành độ nhỏ hơn 2.
2.13 Cho hàm số y = 4x
3
− 6x
2
+ 1 (1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến
đó đi qua điểm M(−1; −9).
2.14 Cho hàm số y = x
3
− 3x
2
+ 4 (1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
5
2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k >
−3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời
I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
2.15 Cho hàm số y = −x
3
+ 3x
2
+ 3(m

2
− 1)x − 3m
2
− 1 (1), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị
hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O.
2.16 Cho hàm số y =
2x
x + 1
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục
Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng
1
4
.
2.17 Cho hàm số y = 2x
3
− 9x
2
+ 12x − 4.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2|x|
3
−9x
2
+12|x| = m.
2.18 Cho hàm số y = x
3

− 3x + 2.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để
đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.
2.19 Cho hàm số y = −x
3
+ 3mx
2
+ 3(1 −m
2
)x + m
3
−m
2
(1), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm k để phương trình −x
3
+ 3x
2
+ k
3
−3k
2
= 0 có ba nghiệm phân biệt.
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
(1).
2.20 Cho hàm số y =
1
3

x
3
− 2x
2
+ 3x (1) có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng
∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
2.21 Cho hàm số y = x
3
− 3x
2
+ m (1), m là tham số.
6
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau
qua gốc tọa độ.
2.22 Cho hàm số y = mx
4
+ (m
2
− 9)x
2
+ 10 (1), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba cực trị.
2.23 Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số y =
1

3
−
m
2
x
2
+
1
3
(*) (m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 2.
2. Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến của
(C
m
) tại điểm M song song với đường thẳng 5x − y = 0.
2.24 Cho hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ 9x + 1 (1), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
2. Tìm m để điểm uốn của đồ thị của hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x+1.
7
BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA VÀ LOGARIT
3 Bài tập về lũy thừa và logarit trong các đề thi
tốt nghiệp
3.1 Giải phương trình: log
2

(x − 3) + 2 log
4
3. log
3
x = 2.
3.2 Giải phương trình: 7
2x+1
− 8.7
x
+ 1 = 0.
3.3 Giải phương trình: 2 log
2
2
x − 14 log
4
x + 3 = 0.
3.4 Giải phương trình: 25
x
− 6.5
x
+ 5 = 0.
4 Bài tập về lũy thừa và logarit trong các đề thi
đại học
4.1 Giải hệ phương trình:

log
2
(x
2
+ y

2
) = 1 + log
2
(xy)
3
x
2
−xy+y
2
= 81
4.2 Giải bất phương trình: 2 log
3
(4x − 3) + log
1
3
(2x + 3)  2.
4.3 Giải phương trình: 3.8
x
+ 4.12
x
− 18
x
− 2.27
x
= 0.
4.4 Giải hệ phương trình:



log

1
4
(y − x) − log
4
1
y
= 1
x
2
+ y
2
= 25
4.5 Giải hệ phương trình:

log
2
(3y − 1) = x
4
x
+ 2
x
= 3y
2
(với x, y ∈ R).
4.6 Giải bất phương trình: log
0,7

log
6
x

2
+ x
x + 4

< 0.
4.7 Giải phương trình:

√
2 + 1

x
+

√
2 − 1

x
− 2
√
2 = 0.
4.8 Giải bất phương trình: log
5
(4
x
+ 144) − 4 log
5
2 < 1 + log
5

2

x−2
+ 1

.
4.9 Giải hệ phương trình:

√
x − 1 +
√
2 − y = 1
3 log
9
(9x
2
) − log
3
y
3
= 3
4.10 Giải bất phương trình: log
x
(log
3
(9
x
− 72))  1.
4.11 Giải bất phương trình: log
1
2
x

2
− 3x + 2
x
 0.
4.12 Giải phương trình: log
2
(4
x
+ 15.2
x
+ 27) + 2 log
2
1
4.2
x
− 3
= 0.
4.13 Giải phương trình: 2
x
2
+x
− 4.2
x
2
−x
− 2
2x
+ 4 = 0.
4.14 Giải phương trình: 2
x

2
−x
− 2
2+x−x
2
= 3.
8
4.15 Giải hệ phương trình:



2
3x
= 5y
2
− 4y
4
x
+ 2
x+1
2
x
+ 2
= y
9
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
5 Bài tập về phương trình lượng giác trong các
đề thi đại học
5.1 Giải phương trình:
√

3 sin 2x + cos 2x = 2 cos x − 1.
5.2 Giải phương trình:
1 + sin 2x + cos 2x
1 + cot
2
x
=
√
2 sin x sin 2x.
5.3 Giải phương trình:
(1 + sin x + cos 2x) sin

x +
π
4

1 + tan x
=
1
√
2
cos x.
5.4 Giải phương trình:
(1 − 2 sin x) cos x
(1 + 2 sin x)(1 − sin x)
=
√
3.
5.5 Giải phương trình:
1

sin x
+
1
sin

x −
3π
2

= 4 sin

7π
4
− x

.
5.6 Giải phương trình:

1 + sin
2
x

cos x +

1 + cos
2
x

sin x = 1 + sin 2x.
5.7 Giải phương trình:

2

cos
6
x + sin
6
x

− sin x cos x
√
2 − 2 sin x
= 0.
5.8 Giải phương trình: cos
2
3x cos 2x − cos
2
x = 0.
5.9 Giải phương trình: cot x − 1 =
cos 2x
1 + tan x
+ sin
2
x −
1
2
sin 2x.
5.10 Giải phương trình: 2(cos x +
√
3 sin x) cos x = cos x −
√

3 sin x + 1.
5.11 Giải phương trình: sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x.
5.12 Giải phương trình: (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0.
5.13 Giải phương trình: sin x + cos x sin 2x +
√
3 cos 3x = 2(cos 4x + sin
3
x).
5.14 Giải phương trình: sin
3
x −
√
3 cos
3
x = sin x cos
2
x −
√
3 sin
2
x cos x.
5.15 Giải phương trình: 2 sin
2
2x + sin 7x − 1 = sin x.
5.16 Giải phương trình: cot x + sin x

1 + tan x tan
x
2


= 4.
5.17 Giải phương trình: 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.
5.18 Giải phương trình: 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan
2
x.
5.19 Giải phương trình: cot x − tan x + 4 sin 2x =
2
sin 2x
.
5.20 Giải phương trình: sin
2
3x − cos
2
4x = sin
2
5x − cos
2
6x.
5.21 Giải phương trình: sin 3x + cos 3x − sin x + cos x =
√
2 cos 2x.
5.22 Giải phương trình:
sin 2x + 2 cos x − sin x − 1
tan x +
√
3
= 0.
5.23 Giải phương trình: sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0.
5.24 Giải phương trình:
√

3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0.
5.25 Giải phương trình: 2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x.
10
5.26 Giải phương trình:

sin
x
2
+ cos
x
2

2
+
√
3 cos x = 2.
5.27 Giải phương trình: cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0.
5.28 Giải phương trình: cos
4
x + sin
4
x + cos

x −
π
4

sin

3x −

π
4

−
3
2
= 0.
5.29 Giải phương trình: (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x.
5.30 Giải phương trình: sin
2

x
2
−
π
4

tan
2
x − cos
2
x
2
= 0.
11
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
6 Bài tập phương trình chứa căn thức trong các
đề thi đại học
6.1 Giải phương trình: 2
3

√
3x − 2 + 3
√
6x − 5 − 8 = 0.
6.2 Giải phương trình: 3
√
2 + x − 6
√
2 − x + 4
√
4 − x
2
= 10 − 3x.
6.3 Giải phương trình:
√
3x + 1 −
√
6 − x + 3x
2
− 14x − 8 = 0.
6.4 Giải phương trình:
√
2x − 1 + x
2
− 3x + 1 = 0.
6.5 Giải phương trình: 2

x + 2 + 2
√
x + 1 −

√
x + 1 = 4.
BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
7 Bài tập bất phương trình chứa căn thức trong
các đề thi đại học
7.1 Giải bất phương trình:
x −
√
x
1 −

2(x
2
− x + 1)
 1.
7.2 Giải bất phương trình:
√
5x − 1 −
√
x − 1 >
√
2x − 4.
7.3 Giải bất phương trình:

2(x
2
− 16)
√
x − 3
+

√
x − 3 >
7 − x
√
x − 3
.
7.4 Giải bất phương trình: x + 1 +
√
x
2
− 4x + 1  3
√
x.
7.5 Giải bất phương trình: (x
2
− 3x)
√
2x
2
− 3x − 2  0.
12
BÀI TẬP TỔ HỢP - NHỊ THỨC NEWTON
8 Bài tập tổ hợp - Nhị thức Newton trong các
đề thi đại học
8.1 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C
n−1
n
= C
3
n

. Tìm số hạng chứa x
5
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

nx
2
14
−
1
x

n
, x = 0.
8.2 Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Niutơn của

1
x
4
+ x
7

n
biết rằng C
1
2n+1
+ C
2
2n+1

+ . . . + C
n
2n+1
= 2
20
−1. (n nguyên dương,
C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
8.3 Tìm số nguyên dương n sao cho C
1
2n+1
−2.2C
2
2n+1
+3.2
2
C
3
2n+1
−4.2
3
C
4
2n+1
+
··· + (2n + 1).2
2n
C

2n+1
2n+1
= 2005 (C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
8.4 Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1 + x
2
(1 − x)]
8
.
8.5 Tìm hệ số của x
8
trong khai triển nhị thức Newton của

1
x
3
+
√
x
5

n
biết
rằng
C
n+1

n+4
− C
n
n+3
= 7(n + 3)
(n là số nguyên dương, x > 0, C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
8.6 Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi
ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được
gọi có cả nam và nữ.
8.7 Chứng minh rằng
n + 1
n + 2

1
C
k
n+1
+
1
C
k+1
n+1

=
1
C
k

n
(n, k là các số nguyên dương, k  n, C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
8.8 Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển nhị thức Niutơn của (2+x)
n
,
biết: 3
n
C
0
n
−3
n−1
C
1
n
+ 3
n−2
C
2
n
−3
n−3
C
3
n

+ . . . + (−1)
n
C
n
n
= 48 (n là số nguyên
dương, C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
8.9 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử
của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k ∈ {1, 2, . . . , n} sao
cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.
8.10 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền
núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ ?
8.11 Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó,
10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu
13
đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết
phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ?
8.12 Cho n là số nguyên dương. Tính tổng C
0
n
+
2
2
− 1
2
C

1
n
+
2
3
− 1
3
C
2
n
+ . . . +
2
n+1
− 1
n + 1
C
n
n
(C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
8.13 Cho đa giác đều A
1
A
2
. . . A
2n
(n  2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O).
Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A

1
, A
2
, . . . , A
2n
nhiều gấp
20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A
1
, A
2
, . . . , A
2n
, tìm n.
8.14 ìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C
1
2n
+ C
3
2n
+ . . . + C
2n−1
2n
= 2048
với C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử.
8.15 Tìm hệ số của x
5
trong khai triển thành đa thức của x(1−2x)

5
+x
2
(1+3x)
10
.
8.16 Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm
5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi
làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn như vậy ?
8.17 Tính giá trị của biểu thức M =
A
4
n+1
+ 3A
3
n+1
(n + 1)!
, biết rằng C
2
n+1
+ 2C
2
n+2
+
2C
2
n+3
+ C
2

n+4
= 149, n là số nguyên dương, A
k
n
là số chỉnh hợp chập k của n
phần tử, C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử.
8.18 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton

3
√
x +
1
4
√
x

7
với x > 0.
8.19 Với n là số nguyên dương, gọi a
3n−3
là hệ số của x
3n−3
trong khai triển
thành đa thức của

x
2

+ 1

n
(x + 2)
n
. Tìm n để a
3n−3
= 26n.
14
BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
9 Bài tập hệ phương trình trong các đề thi đại
học
9.1 Giải hệ phương trình:



x
3
− 3x
2
− 9x + 22 = y
3
+ 3y
2
− 9y
x
2
+ y
2
− x + y =

1
2
9.2 Giải hệ phương trình:

5x
2
y − 4xy
2
+ 3y
3
− 2(x + y) = 0
xy(x
2
+ y
2
) + 2 = (x + y)
2
9.3 Giải hệ phương trình:

(4x
2
+ 1)x + (y − 3)
√
5 − 2y = 0
4x
2
+ y
2
+ 2
√

3 − 4x = 7
.
9.4 Giải hệ phương trình:





x
2
+ y + x
3
y + xy
2
+ xy = −
5
4
x
4
+ y
2
+ xy(1 + 2x) = −
5
4
9.5 Giải hệ phương trình:

x + y −
√
xy = 3
√

x + 1 +
√
y + 1 = 4
9.6 Giải hệ phương trình:



x −
1
x
= y −
1
y
2y = x
3
+ 1
9.7 Giải hệ phương trình:

xy + x + 1 = 7y
x
2
y
2
+ xy + 1 = 13y
2
9.8 Giải hệ phương trình:

x
4
+ 2x

3
y + x
2
y
2
= 2x + 9
x
2
+ 2xy = 6x + 6
9.9 Giải hệ phương trình:





3x =
x
2
+ 2
y
2
3y =
y
2
+ 2
x
2
9.10 Giải hệ phương trình:

xy + x − 2 = 0

2x
3
− x
2
y + x
2
+ y
2
− 2xy − y = 0
9.11 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

2x
3
− (y + 2)x
2
+ xy = m
x
2
+ x − y = 1 − 2m
15
9.12 Giải hệ phương trình:



x(x + y + 1) − 3 = 0
(x + y)
2
−
5
x

2
+ 1 = 0
9.13 Giải hệ phương trình:

xy + x + y = x
2
− 2y
2
2
√
2y − y
√
x − 1 = 2x − 2y
9.14 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:





x +
1
x
+ y +
1
y
= 5
x
3
+
1

x
3
+ y
3
+
1
y
3
= 15m − 10
9.15 Chứng minh rằng với mọi a > 0 hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

e
x
− e
y
= ln(1 + x) − ln(1 + y)
y − x = a
9.16 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

√
x +
√
y = 1
x
√
x + y
√
y = 1 − 3m
16
BÀI TẬP TÍCH PHÂN

10 Bài tập tích phân trong các đề thi tốt nghiệp
Tính các tích phân sau: (Từ bài 10.1 đến bài 10.14)
10.1 I =
π
2

0
sin 2x
4 − cos
2
x
dx 10.2 I =
e

1
ln
2
x
x
dx
10.3 I =
1

0
3x
2
x
3
+ 1
dx 10.4 I =

1

0
(1 + e
x
)x dx
10.5 I =
1

0
√
3x + 1 dx 10.6 I =
π

0
x(1 + cos x) dx
10.7 I =
1

0
x
2
(x − 1)
2
dx 10.8 I =
e

1
√
4 + 5 ln x

x
dx
10.9 I =
ln 2

0
(e
x
− 1)
2
e
x
dx 10.10 I =
π
2

0
(x + sin
2
x) cos x dx
10.11 I =
1

0
dx
x
2
− 5x − 6
10.12 I =
π

2

0
(2 sin x + 3) cos x dx
10.13 I =
π
2

0
cos
2
x sin x dx 10.14 I =
π
2

0
cos x
1 + sin x
dx
10.15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = e
x
, y = 2 và
đường thẳng x = 1.
10.16 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ln x, x = 1, x = e
và trục Ox.
10.17 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
3
và y = 4x.
10.18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
3

+ 11x − 6 và
y = 6x
2
.
11 Bài tập tích phân trong các đề thi đại học
Tính các tích phân sau: (từ bài 11.1 đến bài 11.28)
17
11.1 I =
2
√
3

√
5
dx
x
√
x
2
+ 4
11.2 I =
π
4

0
1 − 2 sin
2
x
1 + sin 2x
dx

11.3 I =
2

0
|x
2
− x| dx 11.4 I =
2

1
x
1 +
√
x − 1
dx
11.5 I =
e

1
√
1 + 3 ln x ln x
x
dx 11.6 I =
3

2
ln(x
2
− x) dx
11.7 I =

π
2

0
sin x + sin 2x
√
1 + 3 cos x
dx 11.8 I =
π
2

0
sin 2x cos x
1 + cos x
dx
11.9 I =
π
2

0

e
sin x
+ cos x

cos x dx 11.10 I =

π
2
0

sin 2x

cos
2
x + 4 sin
2
x
dx
11.11 I =
ln 5

ln 3
1
e
x
+ 2e
−x
− 3
dx 11.12 I =

1
0
(x − 2)e
2x
dx
11.13 I =
e

1
x

3
ln
2
x dx 11.14 I =
π
6

0
tan
4
x
cos 2x
dx
11.15 I =
2

1
ln x
x
3
dx 11.16 I =
π
4

0
sin

x −
π
4


sin 2x + 2(1 + sin x + cos x)
dx
11.17 I =
π
2

0

cos
3
x − 1

cos
2
x dx 11.18 I =
3

1
3 + ln x
(x + 1)
2
dx
11.19 I =
3

1
1
e
x

− 1
dx 11.20 I =
1

0
x
2
+ e
x
+ 2x
2
e
x
1 + 2e
x
dx
11.21 I =
e

1
ln x
x(2 + ln x)
2
dx 11.22 I =
e

1

2x −
3

x

ln x dx
11.23 I =
π
4

0
x sin x + (x + 1) cos x
x sin x + cos x
dx 11.24 I =
π
3

0
1 + x sin x
cos
2
x
dx
11.25 I =
4

0
4x − 1
√
2x + 1 + 2
dx 11.26 I =
3


1
1 + ln(x + 1)
x
2
dx
18
11.27 I =
1

0
x
3
x
4
+ 3x
2
+ 2
dx 11.28 I =
π
4

0
x(1 + sin 2x) dx
11.29 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = |x
2
− 4x + 3| và
y = x + 3.
11.30 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =

4 −

x
2
4
và y =
x
2
4
√
2
.
11.31 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (e + 1)x và y =
(1 + e
x
) x.
11.32 Cho hình H giới hạn bởi các đường y = x ln x, y = 0, x = e. Tính thể tích
khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
19
BÀI TẬP SỐ PHỨC
12 Bài tập số phức trong các đề thi tốt nghiệp
12.1 Giải phương trình sau trên tập số phức
8z
2
− 4z + 1 = 0
12.2 Cho hai số phức z
1
= 1 + i và z
2
= 2 −3i. Xác định phần thực và phần ảo
của số phức z
1

− 2z
2
.
12.3 Cho hai số phức z
1
= 2 + 5i và z
2
= 3 −4i. Xác định phần thực và phần ảo
của số phức z
1
.z
2
.
12.4 Giải phương trình sau trên tập số phức
(z − i)
2
+ 4 = 0
12.5 Giải phương trình sau trên tập số phức
(1 − i)z + 2 − i = 4 − 5i
12.6 Tìm các số phức 2z + z và
25i
z
biết z = 3 − 4i.
12.7 Tìm căn bậc hai của số phức
z =
1 + 9i
1 − i
− 5i
13 Bài tập số phức trong các đề thi đại học
13.1 Gọi z

1
và z
2
là hai nghiệm của phương trình z
2
+ 2z + 10 = 0. Tính giá trị
của biểu thức
A = |z
1
|
2
+ |z
2
|
2
13.2 Tìm số phức z thỏa mãn: z − (2 + i) =
√
10 và z.z = 25.
13.3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z
thỏa mãn điều kiện |z − (3 − 4i)| = 2.
13.4 Tìm phần ảo của số phức z biết z = (
√
2 + i)
2
(1 −
√
2i).
13.5 Cho số phức z thỏa mãn z =
(1 −
√

3i)
3
1 − i
. Tìm môđun của số phức z + iz.
13.6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z
thỏa mãn
|z − i| = |(1 + i)z|
13.7 Tìm số phức z thỏa mãn: |z| =
√
2 và z
2
là số thuần ảo.
20
13.8 Tìm tất cả các số phức z, biết z
2
= |z|
2
+ z.
13.9 Tính môđun của số phức z, biết
(2z − 1)(1 + i) + (z + 1)(1 − i) = 2 − 2i
13.10 Cho số phức z thỏa mãn
5(z + i)
z + 1
= 2 − i. Tính môđun của số phức
w = 1 + z + z
2
.
13.11 Tìm số phức z, biết z −
5 + i
√

3
z
− 1 = 0.
13.12 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =

1 + i
√
3
1 + i

3
.
13.13 Gọi z
1
và z
2
là hai nghiệm phức của phương trình z
2
− 2
√
3iz − 4 = 0.
Viết dạng lượng giác của z
1
và z
2
.
13.14 Tìm số phức z, biết z − (2 + 3i)z = 1 − 9i.
13.15 Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z +
2(1 + 2i)
1 + i

= 7 + 8i. Tìm môđun của số
phức w = z + 1 + i.
13.16 Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức
z
2
+ 3(1 + i)z + 5i = 0
21
BÀI TẬP HÌNH HỌC
14 Bài tập hình học trong các đề thi tốt nghiệp
14.1 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A

B

C

có đáy ABC là tam giác vuông tại B
và BA = BC = a. Góc giữa đường thẳng A

B với mặt phẳng (ABC) bằng 60
◦
.
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A

B

C

theo a.
14.2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 2; 1), B(0; 2; 5) và
mặt phẳng (P ) có phương trình 2x − y + 5 = 0.

1. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và B.
2. Chứng minh rằng (P ) tiếp xúc với mặt cầu có đường kính AB.
14.3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 2) và đường thẳng
∆ có phương trình
x − 1
2
=
y − 3
2
=
z
1
.
1. Viết phương trình của đường thẳng đi qua O và A.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và đi qua O. Chứng minh ∆ tiếp
xúc với (S).
14.4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D
với AD = CD = a, AB = 3a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên
SC tạo với mặt đáy một góc 45
◦
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
14.5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 1; 0) và mặt phẳng
(P ) có phương trình 2x + 2y − z + 1 = 0.
1. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P ). Viết phương trình mặt
phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P ).
2. Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P ).
14.6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 0; 3), B(−1; −2; 1)
và C(−1; 0; 2).
1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
2. Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A.

14.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy
bằng 60
◦
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
14.8 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và
C(0; 0; 3).
22
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
2. Tìm toạ độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
14.9 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình
x
2
=
y + 1
−2
=
z − 1
1
1. Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ∆.
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm O và đường thẳng ∆.
14.10 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết

BAC = 120
◦
. Tính thể tích của khối
chóp S.ABC theo a.
14.11 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P ) có phương
trình:


(S) : (x − 1)
2
+ (y − 2)
2
+ (z − 2)
2
= 36
(P ) : x + 2y + 2z + 18 = 0
1. Xác định toạ độ tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng
cách từ T đến mặt phẳng (P ).
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với
(P ). Tìm toạ độ giao điểm của d và (P ).
14.12 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; −2; 3) và đường thẳng d có phương
trình:
x + 1
2
=
y − 2
1
=
z + 3
−1
1. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc
với đường thẳng d.
2. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt
cầu tâm A, tiếp xúc với d.
14.13 Trong không gian Oxyz cho điểm M (1; 2; 3) và mặt phẳng (α) có phương
trình 2x − 3y + 6z + 35 = 0.
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng

(α).
2. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α). Tìm tọa độ điểm N
thuộc trục Ox sao cho độ dài đoạn thẳng NM bằng khoảng cách từ điểm
M đến mặt phẳng (α).
23
14.14 Trong không gian Oxyz cho điểm M(−2; 1; −2) và đường thẳng d có
phương trình
x − 1
2
=
y + 1
−1
=
z
2
.
1. Chứng minh rằng đường thẳng OM song song với đường thẳng d.
2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng
d.
14.15 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d có phương trình
x − 2
1
=
y + 1
2
=
z − 1
3
và mặt phẳng (P ) có phương trình x − y + 3z + 2 = 0.
1. Tìm tọa độ giao điểm M của d và (P ).

2. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt
phẳng (P ).
14.16 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và (d

) lần lượt có phương
trình
(d) :
x − 1
1
=
y + 2
2
=
z − 1
1
và (d

) :





x = −1 + t
y = 1 − 2t
z = −1 + 3t
1. Chứng minh hai đường thẳng (d) và (d

) vuông góc nhau.
2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm K(1; −2; 1) và vuông góc với

đường thẳng (d

).
14.17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; −1; 2), B(1; 3; 2),
C(4; 3; 2), D(4; −1; 2).
1. Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng.
2. Gọi A

là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng Oxy. Hãy viết
phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A

, B, C, D.
3. Viết phương trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) tại điểm A

.
14.18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 0; −1),B(1; 2; 1),
C(0; 2; 0) và G là trọng tậm của ∆ABC.
1. Viết phương trình đường thẳng OG.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C.
24
3. Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc
với mặt cầu (S).
14.19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P ) và đường thẳng
d lần lượt có phương trình
(P ) : x + 9y + 5z + 4 = 0 và d :






x = 1 + 10t
y = 1 + t
z = −1 − 2t
với t ∈ R.
1. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P ).
2. Cho đường thẳng d
1
có phương trình
x − 2
31
=
y − 2
−5
=
z + 3
1
. Chứng minh
hai đường thẳng d
1
và d chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa
đường thẳng d và song song với đường thẳng d
1
.
3. Viết phương trình tổng quát và phương trình chính tắc của đường thẳng
∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P ) và (Q).
14.20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z

2
−
2x + 2y + 4z − 3 = 0 và hai đường thẳng (∆
1
) :

x + 2y − 2 = 0
x − 2z = 0
và (∆
2
) :
x − 1
−1
=
y
1
=
z
−1
.
1. Chứng minh (∆
1
) và (∆
2
) chéo nhau.
2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song
với hai đường thẳng (∆
1
) và (∆
2

).
15 Bài tập hình học trong các đề thi đại học
15.1 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB.
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60
◦
. Tính thể tích của
khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
15.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là
trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử
M

11
2
;
1
2

và đường thẳng AN có phương trình 2x − y − 3 = 0. Tìm tọa độ
điểm A.
25