de thi hoc sinh gioi toan 8 co dap an

Phòng giáo dục và đào tạo Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Thanh Miện Năm học 2010 - 2011
Môn: Toán - lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 23 tháng 04 năm 2011
Đề thi gồm: 01 trang
Câu I: (2 điểm)
a) Rút gọn biểu thức:
+

= +
ữ
+

2 2
1 1 x 1
A :
x x x 1 x 2x 1
b) Xác định các hệ số a, b để đa thức f(x) =
+ +
3
x ax b
chia hết cho đa thức
+
2
x x 6
Câu II: (2 điểm)
Giải các phơng trình sau:
a)
= + +
+ +

2
15x 12 4
1
x 3x 4 x 4 x 1
b)
( ) ( ) ( )
+ =x x 2 x 1 x 1 24
Câu III: (2 điểm)
a) Cho x, y, z là các số khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn:
+ + =
1 1 1
0
x y z
.
Tính giá trị của biểu thức:
= + +
+ + +
2 2 2
yz xz xy
A
x 2yz y 2xz z 2xy
.
b) Cho biểu thức M =
+
2
2
x 2x 2011
x
với x > 0
Tìm x để M có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Câu IV: (3 điểm )
Cho hình thoi ABCD có
ã
=
0
BAD 120
. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB, hai đờng
thẳng DM và BC cắt nhau tại N, CM cắt AN tại E. Chứng minh rằng:
a)
AMD

CDN
và
=
2
AC AM.CN
b)
AME

CMB
.
Câu V: (1 điểm)
Cho a , b là các số dơng thỏa mãn:
+ = +
3 3 5 5
a b a b
. Chứng minh rằng:
+ +
2 2
a b 1 ab

=============Hết============
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký của giám thị số 1: Chữ ký của giám thị số 2:
Đáp án và biểu điểm:
Câu Phần Nội Dung Điểm
I
2 đ
a)
1 đ
ĐKXĐ
Rút gọn A:
( )
( )
( )
( )
+

= +
ữ
+


+
= +
ữ
ữ

+
=
+

=
2 2
2
2
1 1 x 1
A :
x x x 1 x 2x 1
1 1 x 1
A :
x x 1 x 1
x 1
x 1
1 x
A .
x x 1 x 1
x 1
A
x
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
b)
1 đ
f(x) chia hết cho
+

2
x x 6


f(x) chia hết cho (x + 3)(x -2)

f(- 3) = 0
+ =3a b 27
(1)
Tơng tự ta có f(2) = 0
+ = 2a b 8
(2)
Trừ hai vế của (1) cho (2) ta đợc: - 5a = 35
= a 7
Thay a = - 7 vào (1) tìm đợc b = 6
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
II
2 đ
a)
1 đ
ĐKXĐ:
x 4 ; x 1
( )
( ) ( )
( )
= + +
+ +

= + +
+ +
= + + + +
+ =
=

+ =

=

2
2
2
15x 12 4
1
x 3x 4 x 4 x 1
15x 12 4
1
x 4 (x 1) x 4 x 1
15x 12 x 1 4 x 4 x 3x 4
x 4x 0
x 0
x x 4 0
x 4
x = 0 (thỏa mãn đ/k) ; x = - 4(không thỏa mãn đ/k)
Vậy nghiệm của phơng trình là x = 0
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

b)
1 đ
( ) ( ) ( )
+ = x x 2 x 1 x 1 24
( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ =
=
2 2
x x 1 x 2 x 1 24
x x x x 2 24
Đặt

2
x x
= t . Phơng trình trở thành:
( )
=
=
2
t t 2 24
t 2t 24 0
Giải phơng trình tìm đợc t = - 4 ; t = 6
* Với t = - 4 =>
=
2
x x 4


+ = + =

ữ

2
2
1 15
x x 4 0 x 0
4 4
(phơng trình vô nghiệm)
* Với t = 6 =>
( ) ( )
= + =
2
x x 6 x 2 x 3 0
Giải phơng trình đợc: x= - 2 ; x = 3
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
III
2 đ
a)
1 đ
Từ giả thiết:
+ +
+ + = = + + =
1 1 1 yz xz xy
0 0 yz xz xy 0
x y z xyz

(vì x,y,z >0)

( ) ( )
= + = + =
2 2
yz xy xz x 2yz x yz xy xz x z x y
Tơng tự ta có:
+
2
z 2xy
=
( ) ( )
z x z y

+
2
y 2xz
=
( ) ( )
y z y x
Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= + +

yz xz xy
A
x z x y y z y x z x z y

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+ +
=


+

=

+
=


=


= =

yz y z xz z x xy x y
x z x y y z
yz y z xz x z xy x z y z
x z x y y z
yz y z xz x z xy x z xy y z
x z x y y z
x x z y z y y z x z

x z x y y z
x z x y y z
1
x z x y y z
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
b)
1 đ
Ta có: M =
+ +
=
2 2 2
2 2
x 2x 2011 2011x 2.2011x 2011
x 2011x

( ) ( )
+ + +
=
+
= = +
2 2 2
2
2 2
2
2 2
x 2.2011x 1 2011 2010x
2011x

x 2011 2010x x 2011
2010 2010
2011x 2011x 2011 2011
Dấu = xấy ra
( )
= =
2
x 2011 0 x 2011
(thỏa mãn)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
2010
2011
đạt đợc khi
=x 2011
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
IV
1 đ
a)
1,5 đ
M
A
B
C
D
N
E
Vẽ hình chính xác

0,25 đ
* Xét

AMD và

CDN có
ã
ã
=AMD CDN
( so le trong)
ã
ã
=ADM CND
( so le trong)



AMD

CDN ( g. g )
* Vì

AMD

CDN
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

AM . CN = AD . CD

Vì
ã
ã
= =
0 0
BAD 120 CAD 60 ACD
đều

AD = CD = AC

AM . CN = AC
2
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
b)
1,25 đ
Vì AM . CN = AC
2
theo (a)


=
AM AC
AC CN
Chứng minh
ã
ã
= =
0

MAC ACN 60



MAC

CAN ( c . g . c)


ã
ã
=ACM CNA
Mà
ã
ã
+ =
0
ACM ECN 60


ã
ã
+ =
0
CNA ECN 60


ã
=
0

AEC 60
Xét
AME
và
CMB
có
ã
ã
=AME BMC
( đối đỉnh);
ã
ã
= =
0
AEM MBC 60


AME

CMB
( g . g)
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
V
1 đ
1 đ

+ +
2 2
a b 1 ab
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
+
+ + +
+ +
+ + + +
+
+
2 2
2 2
3 3
3 3 3 3 5 5
3 3 5 5
4 2 2 4
a b ab 1
a b a b ab a b
a b a b
a b a b a b a b
2a b ab a b
ab a 2a b b 0
( )

2
2 2
ab a b 0
đúng

a, b > 0
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Ghi chú: Nếu HS có cách làm khác mà kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa