tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán 8 có đáp án

ĐỀ THI SỐ 1
Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x
2
– 7x + 2; b) a(x
2
+ 1) – x(a
2
+ 1).
Câu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :
2 2
2 2 3
2 4 2 3
( ) : ( )
2 4 2 2
x x x x x
A
x x x x x
+ − −
= − −
− − + −
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b) Tìm giá trị của x để A > 0?
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (5,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x
2
+ y

2
+ 2z
2
– 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b) Cho
1
x y z
a b c
+ + =
và
0
a b c
x y z
+ + =
. Chứng minh rằng :
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + =
.
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt
là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C
xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC
2

.
ĐỀ THI SỐ 2
Câu1.
a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:
a
1
/
4
x 4+
a
2
/
( ) ( ) ( ) ( )
x 2 x 3 x 4 x 5 24+ + + + −
b. Giải phương trình:
4 2
x 30x 31x 30 0− + − =
c. Cho
a b c
1
b c c a a b
+ + =
+ + +
. Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c
0
b c c a a b
+ + =
+ + +

Câu2.

Cho biểu thức:
2
2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
 
−
 
= + + − +
 ÷
 ÷
− − + +
 
 
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tớnh giỏ tr ca A , Bit |x| =
1
2
.
c. Tỡm giỏ tr ca x A < 0.
d. Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x A cú giỏ tr nguyờn.
Cõu 3. Cho hỡnh vuụng ABCD, M l mt im tu ý trờn ng chộo BD. K ME

AB, MF

AD.
a. Chng minh:

DE CF=
b. Chng minh ba ng thng: DE, BF, CM ng quy.
c. Xỏc nh v trớ ca im M din tớch t giỏc AEMF ln nht.
Cõu 4.
a. Cho 3 s dng a, b, c cú tng bng 1. Chng minh rng:
1 1 1
9
a b c
+ +
b. Cho a, b dơng và a
2000
+ b
2000
= a
2001
+ b
2001
= a
2002
+ b
2002

Tinh: a
2011
+ b
2011
THI S 3
Câu 1 : (2 điểm) Cho P=
8147
44

23
23
+
+
aaa
aaa
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên
Câu 2 : (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phơng
của chúng chia hết cho 3.
b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :
P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .
Câu 3 : (2 điểm)
a) Giải phơng trình :
18
1
4213
1
3011
1
209
1
222
=
++
+
++
+
++ xxxxxx

b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
A =
3
+
+
+
+
+ cba
c
bca
b
acb
a
Câu 4 : (3 điểm)
Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 60
0
quay
quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lợt tại D và E . Chứng
minh :
a) BD.CE=
4
2
BC
b) DM,EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®ỉi.
C©u 5 : (1 ®iĨm)
T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè ®o diƯn
tÝch b»ng sè ®o chu vi .
ĐỀ THI SỐ 4
Câu1( 2 đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử

( ) ( ) ( ) ( )
1 3 5 7 15A a a a a= + + + + +
Câu 2( 2 đ): Với giá trò nào của a và b thì đa thức:
( ) ( )
10 1x a x− − +

phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên
Câu 3( 1 đ): tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) =
4 3
3x x ax b− + +
chia hết cho đa
thức
2
( ) 3 4B x x x= − +
Câu 4( 3 đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx của góc AHB và phân giác
Hy của góc AHC. Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy.
Chứng minh rằngtứ giác ADHE là hình vuông
Câu 5( 2 đ): Chứng minh rằng
2 2 4 2
1 1 1 1
1
2 3 4 100
P = + + + + <
ĐỀ THI SỐ 5
Bài 1: (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y + z)
3
– x
3

– y
3
– z
3
.
b) x
4
+ 2010x
2
+ 2009x + 2010.
Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:
x 241 x 220 x 195 x 166
10
17 19 21 23
− − − −
+ + + =
.
Bài 3: (3 điểm)
Tìm x biết:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2009 x 2009 x x 2010 x 2010
19
49
2009 x 2009 x x 2010 x 2010
− + − − + −
=

− − − − + −
.
Bài 4: (3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2010x 2680
A
x 1
+
=
+
.
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình
chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.
a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6: (4 điểm)
Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao
cho:
·
·
·
·
·
·
AFE BFD, BDF CDE, CED AEF
= = =
.
a) Chứng minh rằng:

·
·
BDF BAC
=
.
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.
ĐỀ THI SỐ 6
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x
2
– 4x + 4 = 25
b)
4
1004
1x
1986
21x
1990
17x
=
+
+
−
+
−
c) 4
x
– 12.2
x
+ 32 = 0

Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và
0
z
1
y
1
x
1
=++
.
Tính giá trị của biểu thức:
xy2z
xy
xz2y
xz
yz2x
yz
A
222
+
+
+
+
+
=
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị
vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng
chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
a) Tính tổng

'CC
'HC
'BB
'HB
'AA
'HA
++
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB.
Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức
222
2
'CC'BB'AA
)CABCAB(
++
++
đạt giá trị nhỏ nhất?
ĐỀ THI SỐ 7
Bài 1 (4 điểm)
Cho biểu thức A =
32
23
1
1
:
1
1
xxx
x
x

x
x
+−−
−








−
−
−
với x khác -1 và 1.
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tính giá trị của biểu thức A tại x
3
2
1−=
.
c, Tìm giá trị của x để A < 0.
Bài 2 (3 điểm)
Cho
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
a b b c c a 4. a b c ab ac bc

− + − + − = + + − − −
.
Chứng minh rằng
cba
==
.
Bài 3 (3 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn
vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Bài 4 (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
5432
234
+−+−
aaaa
.
Bài 5 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 60
0
, phân giác BD. Gọi M,N,I theo
thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.
a, T giỏc AMNI l hỡnh gỡ? Chng minh.
b, Cho AB = 4cm. Tớnh cỏc cnh ca t giỏc AMNI.
Bi 6 (5 im)
Hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú hai ng chộo ct nhau ti O. ng thng qua O v
song song vi ỏy AB ct cỏc cnh bờn AD, BC theo th t M v N.
a, Chng minh rng OM = ON.
b, Chng minh rng
MNCDAB

211
=+
.
c, Bit S
AOB
= 2008
2
(n v din tớch); S
COD
= 2009
2
(n v din tớch). Tớnh S
ABCD
.
THI S 8
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1.
2
7 6x x
+ +
2.
4 2
2008 2007 2008x x x
+ + +
Bài 2: (2điểm) Giải phơng trình:
1.
2
3 2 1 0x x x
+ + =

2.
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x

+ + + + + = +
ữ ữ ữ ữ

Bài 3: (2điểm) 1. CMR với a,b,c,là các số dơng ,ta có: (a+b+c)(
9)
111
++
cba
3. Tìm số d trong phép chia của biểu thức
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 8 2008x x x x
+ + + + +
cho
đa thức
2
10 21x x
+ +
.
Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H

BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại
D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài
đoạn BE theo
m AB
=
.
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM
và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
=
+
.
THI S 9
Bài 1( 6 điểm): Cho biểu thức:
P =
2
2 2 2
2 3 2 8 3 21 2 8
: 1
4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3
x x x x
x x x x x x x
+

+ +
ữ
+ +

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi
1
2
x
=
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
d) Tìm x để P > 0.
Bài 2(3 điểm):Giải phơng trình:
a)
2
15 1 1
1 12
3 4 4 3 3
x
x x x x

= +
ữ
+ +

b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x

+ + + =
c)

2 3 5x
+ =
Bài 3( 2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu ngời ấy tăng vận tốc
thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi
của ngời đó.
Bài 4 (7 điểm):
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của
điểm C qua P.
a) Tứ giác AMDB là hình gì?
b) Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC và
ba điểm E, F, P thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị
trí của điểm P.
d) Giả sử CP

BD và CP = 2,4 cm,
9
16
PD
PB
=
. Tính các cạnh của hình chữ nhật
ABCD.
Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 2009
2008
+ 2011
2010
chia hết cho 2010
b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
+
+ + +
S 10
Bi 1: (3) a) Phõn tớch a thc x
3
5x
2
+ 8x 4 thnh nhõn t
b) Tỡm giỏ tr nguyờn ca x A
M
B bit
A = 10x
2
7x 5 v B = 2x 3 .
c) Cho x + y = 1 v x y

0 . Chng minh rng

( )
3 3 2 2
2
0
1 1 3
x y
x y
y x x y

+ =
+
Bi 2: (3) Gii cỏc phng trỡnh sau:
a) (x
2
+ x)
2
+ 4(x
2
+ x) = 12
b)
2003
6
2004
5
2005
4
2006
3
2007
2
2008
1
+
+
+
+
+
=

+
+
+
+
+
xxxxxx

Bi 3: (2) Cho hỡnh vuụng ABCD; Trờn tia i tia BA ly E, trờn tia i tia CB ly F sao cho AE =
CF
a) Chng minh

EDF vuụng cõn
b) Gi O l giao im ca 2 ng chộo AC v BD. Gi I l trung im EF. Chng minh O, C,
I thng hng.
Bi 4: (2)Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A. Cỏc im D, E theo th t di chuyn trờn AB, AC sao
cho BD = AE. Xỏc nhv trớ im D, E sao cho:
a/ DE cú di nh nht
b/ T giỏc BDEC cú din tớch nh nht.
S 11
Bi 1(3 im): Tỡm x bit:
a) x
2
4x + 4 = 25
b)
4
1004
1x
1986
21x
1990

17x
=
+
+

+

c) 4
x
12.2
x
+ 32 = 0

Bi 2 (1,5 im): Cho x, y, z ụi mt khỏc nhau v
0
z
1
y
1
x
1
=++
.
Tớnh giỏ tr ca biu thc:
xy2z
xy
xz2y
xz
yz2x
yz

A
222
+
+
+
+
+
=
Bi 3 (1,5 im): Tỡm tt c cỏc s chớnh phng gm 4 ch s bit rng khi ta thờm 1
n v vo ch s hng nghỡn , thờm 3 n v vo ch s hng trm, thờm 5 n v vo
ch s hng chc, thờm 3 n v vo ch s hng n v , ta vn c mt s chớnh
phng.
Bi 4 (4 im): Cho tam giỏc ABC nhn, cỏc ng cao AA, BB, CC, H l trc tõm.
a) Tớnh tng
'CC
'HC
'BB
'HB
'AA
'HA
++
b) Gi AI l phõn giỏc ca tam giỏc ABC; IM, IN th t l phõn giỏc ca gúc AIC v
gúc AIB. Chng minh rng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
c) Chng minh rng:
4
'CC'BB'AA
)CABCAB(
222
2

++
++
.
Đề S 12

Câu 1: (5điểm) Tìm số tự nhiên n để:
a, A=n
3
-n
2
+n-1 là số nguyên tố.
b, B =
2
2623
2
234
+
+++
n
nnnn
Có giá trị là một số nguyên.
c, D= n
5
-n+2 là số chính phơng. (n

2)
Câu 2: (5điểm) Chứng minh rằng :
a,
1
111

=
++
+
++
+
++ cac
c
bbc
b
aab
a
biết abc=1
b, Với a+b+c=0 thì a
4
+b
4
+c
4
=2(ab+bc+ca)
2
c,
c
a
a
b
b
c
a
c
c

b
b
a
++++
2
2
2
2
2
2
Câu 3: (5điểm) Giải các phơng trình sau:
a,
6
82
54
84
132
86
214
=

+

+
xxx
b, 2x(8x-1)
2
(4x-1)=9
c, x
2

-y
2
+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng.
Câu 4: (5điểm). Cho hình thang ABCD (AB//CD), 0 là giao điểm hai đờng chéo.Qua 0
kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA tại E,cắt BCtại F.
a, Chứng minh :Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC.
b. Chứng minh:
EFCDAB
211
=+
c, Gọi Klà điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đờng thẳng đi qua Kvà chia đôi diện
tích tam giác DEF.
S 13
Bi 1(3 im): Tỡm x bit:
a) x
2
4x + 4 = 25
b)
4
1004
1x
1986
21x
1990
17x
=
+
+

+

c) 4
x
12.2
x
+ 32 = 0

Bi 2 (1,5 im): Cho x, y, z ụi mt khỏc nhau v
0
z
1
y
1
x
1
=++
.
Tớnh giỏ tr ca biu thc:
xy2z
xy
xz2y
xz
yz2x
yz
A
222
+
+
+
+

+
=
Bi 3 (1,5 im): Tỡm tt c cỏc s chớnh phng gm 4 ch s bit rng khi ta thờm 1 n v
vo ch s hng nghỡn , thờm 3 n v vo ch s hng trm, thờm 5 n v vo ch s hng
chc, thờm 3 n v vo ch s hng n v , ta vn c mt s chớnh phng.
Bi 4 (4 im): Cho tam giỏc ABC nhn, cỏc ng cao AA, BB, CC, H l trc tõm. a)
Tớnh tng
'CC
'HC
'BB
'HB
'AA
'HA
++
b) Gi AI l phõn giỏc ca tam giỏc ABC; IM, IN th t l phõn giỏc ca gúc AIC v gúc AIB.
Chng minh rng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
c) Chng minh rng:
4
'CC'BB'AA
)CABCAB(
222
2

++
++
.

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HS GIỎI
ĐỀ 1
Nội dung đáp án

Bài 1
a 3x
2
– 7x + 2 = 3x
2
– 6x – x + 2 =
= 3x(x -2) – (x - 2)
b a(x
2
+ 1) – x(a
2
+ 1) = ax
2
+ a – a
2
x – x =
= ax(x - a) – (x - a) == (x - a)(ax - 1).
Bài 2:
a ĐKXĐ :
2
2
2 3
2 0
4 0 0
2 0 2
3
3 0
2 0
x
x x

x x
x
x x
x x

− ≠

− ≠ ≠


 
+ ≠ ⇔ ≠ ±
 
 
≠
− ≠



− ≠

2 2 2 2 2 2
2 2 3
2 4 2 3 (2 ) 4 (2 ) (2 )
( ) :( ) .
2 4 2 2 (2 )(2 ) ( 3)
x x x x x x x x x x
A
x x x x x x x x x
+ − − + + − − −

= − − = =
− − + − − + −
2
4 8 (2 )
.
(2 )(2 ) 3
x x x x
x x x
+ −
=
− + −
2
4 ( 2) (2 ) 4
(2 )(2 )( 3) 3
x x x x x
x x x x
+ −
= =
− + − −
Vậy với
0, 2, 3x x x≠ ≠ ± ≠
thì
2
4x
3
A
x
=
−
.

b
Với
2
4
0, 3, 2 : 0 0
3
x
x x x A
x
≠ ≠ ≠ ± > ⇔ >
−
c
7 4
7 4
7 4
x
x
x
− =

− = ⇔

− = −

Bài 3
a 9x
2
+ y
2
+ 2z

2
– 18x + 4z - 6y + 20 = 0
⇔
(9x
2
– 18x + 9) + (y
2
– 6y + 9) + 2(z
2
+ 2z + 1) = 0
b
Từ :
ayz+bxz+cxy
0 0
a b c
x y z xyz
+ + = ⇔ =
⇔
ayz + bxz + cxy = 0
Ta có :
2
1 ( ) 1
x y z x y z
a b c a b c
+ + = ⇔ + + =
2 2 2
2 2 2
2( ) 1
x y z xy xz yz
a b c ab ac bc

⇔ + + + + + =
2 2 2
2 2 2
2 1
x y z cxy bxz ayz
a b c abc
+ +
⇔ + + + =
2 2 2
2 2 2
1( )
x y z
dfcm
a b c
⇔ + + =
Bài 4
O
F
E
K
H
C
A
D
B
a Ta có : BE
⊥
AC (gt); DF
⊥
AC (gt) => BE // DF

Chứng minh :
( )BEO DFO g c g∆ = ∆ − −
b
Ta có:
·
·
·
·
ABC ADC HBC KDC= ⇒ =
Chứng minh :
( )CBH CDK g g∆ ∆ −:
c,
Chứng minh :
AF ( )D AKC g g∆ ∆ −:
AF
. A .
AK
AD AK F AC
AD AC
⇒ = ⇒ =
Chứng minh :
( )CFD AHC g g∆ ∆ −:
CF AH
CD AC
⇒ =
Mà : CD = AB
. .
CF AH
AB AH CF AC
AB AC

⇒ = ⇒ =
Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC
2
(đfcm).
ĐỀ 2
Câu Đáp án
Câu 1
(6 điểm)
a. x
4
+ 4 = x
4
+ 4x
2
+ 4 - 4x
2
= (x
4
+ 4x
2
+ 4) - (2x)
2
= (x
2
+ 2 + 2x)(x
2
+ 2 - 2x)
( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x
2

+ 7x

+ 11 - 1)( x
2
+ 7x + 11 + 1) - 24
= [(x
2
+ 7x

+ 11)
2
- 1] - 24
= (x
2
+ 7x

+ 11)
2
- 5
2
= (x
2
+ 7x

+ 6)( x
2
+ 7x

+ 16)
= (x + 1)(x + 6) )( x

2
+ 7x

+ 16)
b.
4 2
x 30x 31x 30 0− + − =
<=>
( )
( ) ( )
2
x x 1 x 5 x 6 0
− + − + =
(*)
Vì x
2
- x + 1 = (x -
1
2
)
2
+
3
4
> 0
x
∀
 (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0

x 5 0 x 5

x 6 0 x 6
− = =
 
⇔
 
+ = = −
 
c. Nhân cả 2 vế của:
a b c
1
b c c a a b
+ + =
+ + +

với a + b + c; rút gọn
⇒
đpcm
Câu 2
(6 điểm)
Biểu thức:
2
2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
 
−
 
= + + − +
 ÷

 ÷
− − + +
 
 
a. Rút gọn được kq:
1
A
x 2
−
=
−
b.
1
x
2
=

1
x
2
⇒ =
hoặc
1
x
2
−
=
4
A
3

⇒ =
hoặc
4
A
5
=
Câu Đáp án
c.
A 0 x 2< ⇔ >
d.
{ }
1
A Z Z x 1;3
x 2
−
∈ ⇔ ∈ ⇒ ∈
−
Câu 3
(6 điểm)
HV + GT + KL
a. Chứng minh:
AE FM DF
= =
⇒
AED DFC∆ = ∆

⇒
đpcm
b. DE, BF, CM là ba đường cao của
EFC∆ ⇒

đpcm
c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
ME MF a⇒ + =
không đổi
AEMF
S ME.MF⇒ =
lớn nhất
⇔
ME MF
=
(AEMF là hình vuông)
M⇒
là trung điểm của BD.
Câu 4:
(2 điểm)
a. Từ: a + b + c = 1
⇒

1 b c
1
a a a
1 a c
1
b b b
1 a b
1
c c c

= + +




= + +



= + +



1 1 1 a b a c b c
3
a b c b a c a c b
3 2 2 2 9
     
⇒ + + = + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
≥ + + + =
Dấu bằng xảy ra
⇔
a = b = c =
1
3
b. (a
2001
+ b
2001
).(a+ b) - (a
2000

+ b
2000
).ab = a
2002
+ b
2002
 (a+ b) – ab = 1
 (a – 1).(b – 1) = 0
 a = 1 hoÆc b = 1
Víi a = 1 => b
2000
= b
2001
=> b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i)
Víi b = 1 => a
2000
= a
2001
=> a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i)
VËy a = 1; b = 1 => a
2011
+ b
2011
= 2
ĐỀ 3
C©u 1 : (2 ®)
a) (1,5) a
3
- 4a
2

- a + 4 = a( a
2
- 1 ) - 4(a
2
- 1 ) =( a
2
- 1)(a-4)
=(a-1)(a+1)(a-4) 0,5
a
3
-7a
2
+ 14a - 8 =( a
3
-8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a
2
+ 2a + 4) - 7a( a-2 )
=( a -2 )(a
2
- 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5
Nêu ĐKXĐ : a
4;2;1 aa
0,25
Rút gọn P=
2
1

+
a
a

0,25
b) (0,5đ) P=
2
3
1
2
32

+=

+
aa
a
; ta thấy P nguyên khi a-2 là ớc của 3,
mà Ư(3)=
{ }
3;3;1;1
0,25
Từ đó tìm đợc a
{ }
5;3;1
0,25
Câu 2 : (2đ)
a)(1đ) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 . 0,25
Ta có a
3
+b
3
=(a+b)(a
2

-ab+b
2
)=(a+b)
[ ]
abbaba 3)2(
22
++
=
=(a+b)
[ ]
abba 3)(
2
+
0,5
Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b)
2
-3ab chia hết cho 3 ;
Do vậy (a+b)
[ ]
abba 3)(
2
+
chia hết cho 9 0,25
b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x
2
+5x-6)(x
2
+5x+6)=(x
2
+5x)

2
-36 0,5
Ta thấy (x
2
+5x)
2


0 nên P=(x
2
+5x)
2
-36

-36 0,25
Do đó Min P=-36 khi (x
2
+5x)
2
=0
Từ đó ta tìm đợc x=0 hoặc x=-5 thì Min P=-36 0,25
Câu 3 : (2đ)
a) (1đ) x
2
+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x
2
+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
x
2

+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25
ĐKXĐ :
7;6;5;4 xxxx
0,25
Phơng trình trở thành :

18
1
)7)(6(
1
)6)(5(
1
)5)(4(
1
=
++
+
++
+
++ xxxxxx


18
1
7
1
6
1
6
1

5
1
5
1
4
1
=
+

+
+
+

+
+
+

+ xxxxxx

18
1
7
1
4
1
=
+

+ xx
0,25

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Từ đó tìm đợc x=-13; x=2; 0,25
b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
Từ đó suy ra a=
2
;
2
;
2
yx
c
zx
b
zy +
=
+
=
+
; 0,5
Thay vào ta đợc A=






+++++=
+
+

+
+
+
)()()(
2
1
222 y
z
z
y
x
z
z
x
y
x
x
y
z
yx
y
zx
x
zy
0,25
Từ đó suy ra A
)222(
2
1
++

hay A
3
0,25
Câu 4 : (3 đ)
a) (1đ)
Trong tam giác BDM ta có :
1
0
1

120

MD =
Vì
2

M
=60
0
nên ta có :
1
0
3

120

MM =
Suy ra
31

MD =

Chứng minh
BMD


CEM
(1) 0,5
Suy ra
CE
CM
BM
BD
=
, từ đó BD.CE=BM.CM
Vì BM=CM=
2
BC
, nên ta có BD.CE=
4
2
BC
0,5
b) (1đ) Từ (1) suy ra
EM
MD
CM
BD
=
mà BM=CM nên ta có

EM
MD
BM
BD
=

Chứng minh
BMD

MED
0,5
Từ đó suy ra
21

DD =
, do đó DM là tia phân giác của góc BDE
Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED 0,5
c) (1đ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC
Chứng minh DH = DI, EI = EK 0,5
Tính chu vi tam giác bằng 2AH; Kết luận. 0,5
Câu 5 : (1đ)
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z
(x, y, z là các số nguyên dơng )
Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x
2
+ y
2
= z
2

(2) 0,25
Từ (2) suy ra z
2
= (x+y)
2
-2xy , thay (1) vào ta có :
3
2
1
2
1
x
y
E
D
M
C
B
A
z
2
= (x+y)
2
- 4(x+y+z)
z
2
+4z =(x+y)
2
- 4(x+y)
z

2
+4z +4=(x+y)
2
- 4(x+y)+4
(z+2)
2
=(x+y-2)
2
, suy ra z+2 = x+y-2 0,25
z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®ỵc :
xy=2(x+y+x+y-4)
xy-4x-4y=-8
(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25
Tõ ®ã ta t×m ®ỵc c¸c gi¸ trÞ cđa x , y , z lµ :
(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;
(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25
ĐỀ 4
Câu Đáp án
1
2 đ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2
2 2

2
2
2 2
2
1 3 5 7 15
8 7 8 15 15
8 22 8 120
8 11 1
8 12 8 10
2 6 8 10
A a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a a a
= + + + + +
= + + + + +
= + + + +
= + + −
= + + + +
= + + + +
2
2 đ
Giả sử:
( ) ( ) ( ) ( )
10 1 ;( , )x a x x m x n m n Z− − + = − − ∈

( ) ( )
{

2 2
10
. 10 1
10 10 1
m n a
m n a
x a x a x m n x mn
+ = +
= +
⇔ − + + + = − + +
⇔
Khử a ta có :
mn = 10( m + n – 10) + 1
10 10 100 1
( 10) 10 10) 1
mn m n
m n n
⇔ − − + =
⇔ − − + =
vì m,n nguyên ta có:
{
{
10 1 10 1
10 1 10 1
m m
n n
v
− = − =−
− = − =−
suy ra a = 12 hoặc a =8

3
1 đ
Ta có:
A(x) =B(x).(x
2
-1) + ( a – 3)x + b + 4
Để
( ) ( )A x B xM
thì
{
{
3 0 3
4 0 4
a a
b b
− = =
+ = =−
⇔
4
3 đ
Tứ giác ADHE là hình vuông
Hx là phân giác của góc
·
AHB
; Hy phân giác của góc
·
AHC
mà
·
AHB

và
·
AHC
là
hai góc kề bù nên Hx và Hy vuông góc
Hay
·
DHE
= 90
0
mặt khác
·
·
ADH AEH =
= 90
0
Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( 1)
Do
·
·
·
·
·
·
0
0
0
0
90
45

2 2
90
45
2 2
AHB
AHD
AHC
AHE
AHD AHE
= = =
= = =
⇒ =

Hay HA là phân giác
·
DHE
(2)
Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông
5
2 đ
2 2 4 2
1 1 1 1

2 3 4 100
1 1 1 1

2.2 3.3 4.4 100.100
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 99.100

1 1 1 1 1
1
2 2 3 99 100
1 99
1 1
100 100
P
= + + + +
= + + + +
< + + + +
= − + − + + −
= − = <
ĐỀ 5
Bài 1:
a) (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
=
( )
3
3 3 3
x y z x y z
 
 
+ + − − +

 
 
=
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2
y z x y z x y z x x y z y yz z
 
+ + + + + + + − + − +
 
=
( )
( )
2
y z 3x 3xy 3yz 3zx
+ + + +
= 3
( ) ( ) ( )
y z x x y z x y
+ + + +
 
 
= 3
( ) ( ) ( )
x y y z z x+ + +
.
b) x
4
+ 2010x

2
+ 2009x + 2010 =
( ) ( )
4 2
x x 2010x 2010x 2010
− + + +
=
( )
( ) ( )
2 2
x x 1 x x 1 2010 x x 1
− + + + + +
=
( ) ( )
2 2
x x 1 x x 2010
+ + − +
.
Bài 2:
x 241 x 220 x 195 x 166
10
17 19 21 23
− − − −
+ + + =
x 241 x 220 x 195 x 166
1 2 3 4 0
17 19 21 23
− − − −
⇔ − + − + − + − =
x 258 x 258 x 258 x 258

0
17 19 21 23
− − − −
⇔ + + + =
( )
1 1 1 1
x 258 0
17 19 21 23
 
⇔ − + + + =
 ÷
 

x 258⇔ =
Bài 3:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2009 x 2009 x x 2010 x 2010
19
49
2009 x 2009 x x 2010 x 2010
− + − − + −
=
− − − − + −
.
ĐKXĐ:
x 2009; x 2010
≠ ≠

.
Đặt a = x – 2010 (a
≠
0), ta có hệ thức:
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
a 1 a 1 a a
19
49
a 1 a 1 a a
+ − + +
=
+ + + +

2
2
a a 1 19
3a 3a 1 49
+ +
⇔ =
+ +
2 2
49a 49a 49 57a 57a 19⇔ + + = + +

2
8a 8a 30 0⇔ + − =

( ) ( ) ( )
2
2
2a 1 4 0 2a 3 2a 5 0⇔ + − = ⇔ − + =

3
a
2
5
a
2

=

⇔


= −


(thoả ĐK)
Suy ra x =
4023
2
hoặc x =
4015
2
(thoả ĐK)
Vậy x =
4023

2
và x =
4015
2
là giá trị cần tìm.
Bài 4:
2
2010x 2680
A
x 1
+
=
+

=
2 2 2
2 2
335x 335 335x 2010x 3015 335(x 3)
335 335
x 1 x 1
− − + + + +
= − + ≥ −
+ +

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.
Bài 5:
a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì
µ
µ
$

o
E A F 90
= = =
)
Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân
giác của
·
BAC
.
b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF
Suy ra 3AD + 4EF = 7AD
3AD + 4EF nhỏ nhất
⇔
AD nhỏ nhất
⇔
D là hình chiếu vuông góc của A lên BC.
Bài 6:
a) Đặt
·
·
·
·
·
·
AFE BFD , BDF CDE , CED AEF
= = ω = = α = = β
.
Ta có
·
0

BAC 180
+ β + ω =
(*)
Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy
ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF.
⇒
·
·
·
o
OFD OED ODF 90
+ + =
(1)
Ta có
·
·
·
o
OFD OED ODF 270
+ ω+ + β + + α =
(2)
(1) & (2)
⇒
o
180
α +β + ω =
(**)
(*) & (**)
⇒
·

·
BAC BDF
= α =
.
b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:
µ
B
= β
,
µ
C
= ω
⇒
AEF
∆

DBF
∆

DEC
∆

ABC
∆
⇒
BD BA 5 5BF 5BF 5BF
BD BD BD
BF BC 8 8 8 8
CD CA 7 7CE 7CE 7CE
CD CD CD

CE CB 8 8 8 8
AE AB 5 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24
AF AC 7
   
= = = = =
   
   
   
= = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
   
   
= − = − − =
   
= =
   
   
CD BD 3⇒ − =
(3)
Ta lại có CD + BD = 8 (4)
(3) & (4)
⇒
BD = 2,5
E
F
A
B
C
D
O
A

B
C
F
D
E
α
β
ω
β
ω
α
s
s
s
ĐỀ 6
• Bài 1 (3 điểm):
a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )
b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )
c) 4
x
– 12.2
x
+32 = 0
⇔
2
x
.2
x
– 4.2
x

– 8.2
x
+ 4.8 = 0 ( 0,25điểm )

⇔
2
x
(2
x
– 4) – 8(2
x
– 4) = 0
⇔
(2
x
– 8)(2
x
– 4) = 0 ( 0,25điểm )

⇔
(2
x
– 2
3
)(2
x
–2
2
) = 0
⇔

2
x
–2
3
= 0 hoặc 2
x
–2
2
= 0 ( 0,25điểm )

⇔
2
x
= 2
3
hoặc 2
x
= 2
2

⇔
x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )

• Bài 2 (1,5 điểm):
0
z
1
y
1
x

1
=++
0xzyzxy0
xyz
xzyzxy
=++⇒=
++
⇒
⇒
yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
x
2
+2yz = x
2
+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )

Tương tự: y
2
+2xz = (y–x)(y–z) ; z
2
+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
Do đó:
)yz)(xz(
xy
)zy)(xy(
xz
)zx)(yx(
yz
A
−−

+
−−
+
−−
=
( 0,25điểm )
Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )
• Bài 3 (1,5 điểm):
Gọi
abcd
là số phải tìm a, b, c, d
∈
N,
090
≠≤≤
a,d,c,b,a
(0,25điểm)

Ta có:
2
kabcd
=


2
m)3d)(5c)(3b)(1a(
=++++

2
kabcd

=

2
m1353abcd
=+
(0,25điểm)
Do đó: m
2
–k
2
= 1353

⇒
(m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)
m+k = 123 m+k = 41
m–k = 11 m–k = 33
m = 67 m = 37
k = 56 k = 4 (0,25điểm)
Kết luận đúng
abcd
= 3136 (0,25điểm)
Bài 4 (4 điểm) :
Vẽ hình đúng
(0,25điểm)
a)
'AA
'HA
BC'.AA.
2
1

BC'.HA.
2
1
S
S
ABC
HBC
==
;
(0,25điểm)
với k, m
∈
N,
100mk31
<<<

(0,25điểm)
⇔
⇔
⇒
⇔
hoặc
hoặc
Tương tự:
'CC
'HC
S
S
ABC
HAB

=
;
'BB
'HB
S
S
ABC
HAC
=
(0,25điểm)

1
S
S
S
S
S
S
'CC
'HC
'BB
'HB
'AA
'HA
ABC
HAC
ABC
HAB
ABC
HBC

=++=++
(0,25điểm)
b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:

AI
IC
MA
CM
;
BI
AI
NB
AN
;
AC
AB
IC
BI
===
(0,5điểm )

AM.IC.BNCM.AN.BI
1
BI
IC
.
AC
AB
AI
IC

.
BI
AI
.
AC
AB
MA
CM
.
NB
AN
.
IC
BI
=⇒
===

c)Vẽ Cx
⊥
CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD
≤
BC + CD (0,25điểm)
-
∆
BAD vuông tại A nên: AB
2
+AD
2

= BD
2

⇒
AB
2
+ AD
2

≤
(BC+CD)
2
AB
2
+ 4CC’
2

≤
(BC+AC)
2
4CC’
2

≤
(BC+AC)
2
– AB
2
(0,25điểm)
Tương tự: 4AA’

2

≤
(AB+AC)
2
– BC
2
4BB’
2

≤
(AB+BC)
2
– AC
2
-Chứng minh được : 4(AA’
2
+ BB’
2
+ CC’
2
)
≤
(AB+BC+AC)
2

4
'CC'BB'AA
)CABCAB(
222

2
≥
++
++
(0,25điểm)
Đẳng thức xảy ra
⇔
BC = AC, AC = AB, AB = BC
⇔
AB = AC =BC
⇔
∆
ABC đều
Kết luận đúng (0,25điểm)
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó
ĐỀ 7
Bài 1( 4 điểm )
a, ( 2 điểm )
Với x khác -1 và 1 thì : 0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b, (1 điểm)
Tại x =
3
2
1−
=
3
5

−
thì A =






−−−






−+ )
3
5
(1)
3
5
(1
2
0,25đ
0,25đ
27
2
10
27
272

3
8
.
9
34
===

0,5đ
c, (1điểm)
Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi
0)1)(1(
2
<−+ xx
(1)
0,25đ
0,5đ
0,25đ
Bài 2 (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để được 0,5đ
(0,5điểm )
(0,5điểm )

⇔
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 3 (3 điểm)
Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số cần

tìm là
11+x
x
(x là số nguyên khác -11)
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số
15
7
+
−
x
x

0,5đ
0,5đ
0,5đ
1đ
0,5đ
Bài 4 (2 điểm)
Biến đổi để có A=
3)2()2(2)2(
2222
++++−+ aaaaa
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
KL 0,25đ
Bài 5 (3 điểm)
a,(1 điểm)
Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang 0,5đ

0,5đ
b,(2điểm)
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 6 (5 điểm)
a, (1,5 điểm)
Lập luận để có
BD
OD
AB
OM
=
,
AC
OC
AB
ON
=
Lập luận để có
AC
OC
DB
OD
=

0,5đ
0,5đ
0,5đ

b, (1,5 điểm)
Xét
ABD∆
để có
AD
DM
AB
OM
=
(1), xét
ADC∆
để có
AD
AM
DC
OM
=
(2)
0,5đ
N
I
M
D
C
A
B
O
N
M
D

C
B
A
0,5
0,5
b, (2 im)
OD
OB
S
S
AOD
AOB
=
,
OD
OB
S
S
DOC
BOC
=


=
AOD
AOB
S
S
DOC
BOC

S
S



AODBOCDOCAOB
SSSS =
0,5
0,5
0,5
0,5
8
Bi 1
1)
( ) ( )
2 2
7 6 6 6 1 6 1x x x x x x x x
+ + = + + + = + + +
( ) ( )
1 6x x
= + +
2)
4 2 4 2 2
2008 2007 2008 2007 2007 2007 1x x x x x x x
+ + + = + + + + +
( ) ( ) ( )
2
4 2 2 2 2 2
1 2007 1 1 2007 1x x x x x x x x= + + + + + = + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2
1 1 2007 1 1 2008x x x x x x x x x x
= + + + + + + = + + +
Bi 2
1)
2
3 2 1 0x x x
+ + =
(1)
+ Nếu
1x

: (1)
( )
2
1 0 1x x
= =
(thỏa mãn điều kiện
1x

).
+ Nếu
1x
<
: (1)
( ) ( ) ( )
2 2
4 3 0 3 1 0 1 3 0x x x x x x x
+ = = =

1; 3x x
= =
(cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là
1x
=
.
2)
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x

+ + + + + = +
ữ ữ ữ ữ

(2)
Điều kiện để phơng trình có nghiệm:
0x

(2)
( )
2 2
2
2 2
2 2

1 1 1 1
8 4 4x x x x x
x x x x


+ + + + + = +

ữ ữ ữ ữ



( ) ( )
2
2 2
2
2
1 1
8 8 4 4 16x x x x
x x

+ + = + + =
ữ ữ

0 8x hay x
= =
và
0x

.
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm

8x
=
Bi 3
1)Ta có:
A=
111)
111
)((
++++++++=++++
b
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
cba
cba
=
)()()(3
c
b
b
c
a

c
c
a
a
b
b
a
++++++
Mà:
2
+
x
y
y
x
(BĐT Cô-Si)
Do đó A
.92223
=+++
Vậy A
9

2)Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
( ) 2 4 6 8 2008
10 16 10 24 2008
P x x x x x
x x x x

= + + + + +
= + + + + +
Đặt
2
10 21 ( 3; 7)t x x t t= + +
, biểu thức P(x) đợc viết lại:
( ) ( )
2
( ) 5 3 2008 2 1993P x t t t t
= + + = +
Do đó khi chia
2
2 1993t t
+
cho t ta có số d là 1993
4
4.1 + Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung.

CD CA
CE CB
=
(Hai tam giác vuông
CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
Suy ra:
ã
ã
0
135BEC ADC= =

(vì
tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên
ã
0
45AEB
=
do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:
2 2BE AB m
= =
4.2
Ta có:
1 1
2 2
BM BE AD
BC BC AC
= ì = ì
(do
BEC ADC

:
)
mà
2AD AH
=
(tam giác AHD vuông vân tại H)
nên
1 1 2
2 2
2

BM AD AH BH BH
BC AC AC BE
AB
= ì = ì = =
(do
ABH CBA

:
)
Do đó
BHM BEC

:
(c.g.c), suy ra:
ã
ã
ã
0 0
135 45BHM BEC AHM= = =
4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra:
GB AB
GC AC
=
, mà
( ) ( )
//
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC

= = =
:
9
Bài 1: Phân tích:
4x
2
12x + 5 = (2x 1)(2x 5)
13x 2x
2
20 = (x 4)(5 2x)
21 + 2x 8x
2
= (3 + 2x)(7 4x)
4x
2
+ 4x 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ
Điều kiện:
1 5 3 7
; ; ; ; 4
2 2 2 4
x x x x x


0,5đ
a) Rút gọn P =
2 3
2 5
x
x

2đ
b)
1
2
x
=

1
2
x
=
hoặc
1
2
x

=

+)
1
2
x
=


P =
1
2
+)

1
2
x

=


P =
2
3
1đ
c) P =
2 3
2 5
x
x


=
2
1
5x
+

Ta có:
1 Z

Vậy P
Z

khi
2
5
Z
x



x 5

Ư
(2)
Mà Ư
(2)
= { -2; -1; 1; 2}
x 5 = -2

x = 3 (TMĐK)
x 5 = -1

x = 4 (KTMĐK)
x 5 = 1

x = 6 (TMĐK)
x 5 = 2

x = 7 (TMĐK)
KL: x

{3; 6; 7} thì P nhận giá trị nguyên. 1đ

d) P =
2 3
2 5
x
x


=
2
1
5x
+

0,25đ
Ta có: 1 > 0
Để P > 0 thì
2
5x

> 0

x 5 > 0

x > 5 0,5đ
Với x > 5 thì P > 0. 0,25
Bài 2:
a)
2
15 1 1
1 12

3 4 4 3 3
x
x x x x

= +
ữ
+ +

( ) ( ) ( )
15 1 1
1 12
4 1 4 3 1
x
x x x x

= +
ữ
ữ
+ +

ĐK:
4; 1x x


3.15x 3(x + 4)(x 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)


3x.(x + 4) = 0

3x = 0 hoặc x + 4 = 0

+) 3x = 0 => x = 0 (TMĐK)
+) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMĐK)
S = { 0} 1đ
b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x

+ + + =

148 169 186 199
1 2 3 4 0
25 23 21 19
x x x x


+ + + =
ữ ữ ữ ữ


(123 x)
1 1 1 1
25 23 21 19

+ + +
ữ

= 0
Do

1 1 1 1
25 23 21 19

+ + +
ữ

> 0
Nên 123 x = 0 => x = 123
S = {123} 1đ
c)
2 3 5x
+ =
Ta có:
2 0x x

=>
2 3x
+
> 0
nên
2 3 2 3x x
+ = +
PT đợc viết dới dạng:

2 3 5x + =

2x
= 5 3

2x
= 2
+) x - 2 = 2 => x = 4
+) x - 2 = -2 => x = 0
S = {0;4} 1đ
Bài 3(2 đ)
Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) 0,25đ
Vận tốc dự định của ngời đ xe gắn máy là:

3
( / )
1
10
3
3
x x
km h
=
(3
h
20

=
( )
1
3
3
h
) 0,25đ
Vận tốc của ngời đi xe gắn máy khi tăng lên 5 km/h là:

( )
3
5 /
10
x
km h
+
0,25đ
Theo đề bài ta có phơng trình:

3
5 .3
10
x
x

+ =
ữ

0,5đ

x =150 0,5đ
Vậy khoảng cách giữa A và B là 150 (km) 0,25đ
Vận tốc dự định là:
( )
3.150
45 /
10
km h=

Bài 4(7đ)
Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0,5đ
a) Gọi O là giao điểm 2 đờng chéo của hình chữ nhật ABCD.
A
B
C
D
O
M
P
I
E
F