Hướng dẫn tính nguyên hàm-tích phân và một số bài tập chất lượng ôn thi Đại học

HƢỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I (1)

I-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ
1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàm
các hàm số thƣờng gặp để tính
Ví dụ 1 : Tính I = =
2/Nguyên hàm các hàm số phân thức :Ta tìm cách tính các nguyên hàm dạng

I = Trong đó h(x) , g(x) là các đa thức biến số x .

*1.Nếu bậc của tử thức cao hơn hay bằng bậc mẫu thức thì chia đa thức ,tách hàm số thành
tổng hai hàm số : một hàm số đa thức và một hàm phân thức có bậc của tử thức nhỏ hơn bậc mẫu
thức ,hoặc tử thức là hằng số :
= q(x) + .Trong đó q(x) , r(x) là các đa thức .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là
hằng số.Hàm số y = nếu có thể đƣợc thì biến đổi y = = + với bậc p(x) bé hơn
bậc r(x) họăc p(x) là hằng số.Ta có : = + + +
Nhƣ vậy ta chỉ cần phải nghiên cứu cách tính các nguyên hàm I = , I =
Bậc r(x) , bậc p(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) . p(x) là hằng số.

*2. Tính các nguyên hàm I = .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số.

+ Dạng I: với a .(Đổi biến số - đặt U = ax+b). I
1
= = = ln + C .

Ví dụ2 : I = = = ln(5x+3) + C

+ Dạng II: với a .( đặt U = ax+b ) . I
2
= = = + C

Ví dụ3 : I = = = + C .


+ Dạng III: với a , h(x) là nhị thức bậc nhất hoặc là hằng số

I
3
= .Tùy vào sự có nghiệm hay vô nghiệm của g(x) = ax
2
+bx+c .Ta chỉ

cần xét với a = 1 .Vì nếu a thì ở mẫu thức lấy a làm nhân tử ,đƣa hằng số ra ngoài dấu tích

phân.Có I
3
= = Với b
1
= , c
1
=

Xét I
3
=

HƢỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I (2)

a -Nếu x

2
+bx+c = (x- x
1
)(x- x
2
) Thì dùng phƣơng pháp “hệ số bất định” tìm 2 số A , B sao

cho : = + .

Do đó : I
3
= = A + = Aln(x-x
1
)+Bln(x-x
2
) + C

Ví dụ 4: I = = - = ln + C


Vídụ 5: I = = dx =

= - ( - ) = ln - .ln + C

b -Nếu x
2
+bx+c = (x- x
0
)
2

.(x
0
là nghiệm kép của mẫu thức )
Hai trƣờng hợp :
* Trƣờng hợp h(x) là hằng số a,ta có : I
3
= = = - + C
(Dạng I
2
khi = 2 Dạng đặc biệt,hay gặp ,nên nhớ)
*Trƣờng hợp h(x) = px+ q là nhị thức bậc nhất (Với p 0) .

Biến đổi: = = + . Do đó ta có:

I
3
= = + (q - ) = + ( - q). + C

Vídụ 6: I = = .dx = - 8

= - 8 = 3.ln + + C

c -Nếu x
2
+bx+c = 0 vô nghiệm .

Ta biến đổi: = = +

Do đó: = + (q - )

HƢỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I (3)

= + C + (q - )

Nguyên hàm : J = dạng I = , với u = x + và a =

Nguyên hàm I = . Đặt u = atant ,Thì: du = a(1 + tan
2
t)dt và u
2
+a
2
= a
2
(1 + tan
2
t) Ta có:

I = = = = + C

Vídụ 7: I= = - 8 = - 8

+ Dạng IV : I
4
= .Trong đó h(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn 3 hoặc h(x) là hằng
số

a-Nếu g(x) = x
3

+ax
2
+bx+c có 3 nghiệm phân biệt , x
3
+ax
2
+bx+c = (x – x
1
)(x – x
2
)(x – x
3
)

Bằng phƣơng pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho :

= + + Do đó :

I
4
= = + + = A.ln +B.ln + C.ln +D

b-Nếu g(x) = x
3
+ax
2
+bx+c = (x- x
1
)(x- x
0

)
2
với x
1
x
0
(1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn)

Thì bằng phƣơng pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = +

Do đó : I
4
= = + = + .dx

= A + +

= A.ln + .ln + (Bx
0
-C). + D

c-Nếu g(x) = x
3
+ax
2
+bx+c = (x- x
1
)(x
2
+px + q) , trong đó x
2

+px+q = 0 vô nghiệm

Thì Bằng phƣơng pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho :
HƢỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I (4)

= +

Ta có : = + = + +

Do đó : I
4
= = A + . + .

= A.ln + .ln + (C - ) + D

Nguyên hàm : J = = (Đã nói rõ ở Dạng III:c-Nếu mẫu thức vô nghiệm)

d-Nếu g(x) = x
3
+ax
2
+bx+c = (x – x
0
)
3
.Bằng phƣơng pháp hệ số bất định tìm các số A. B,

C sao cho : = + + . Do đó ta có :

= + + = - + C.ln + D

-Nếu h(x) là hằng số A thì : = = A = + C

Trường hợp tử thức là bậc 2 thì có thể biến đổi =

Do đó: I
4
= = + .Với p
1
= p- ; q
1
= q -

Nguyên hàm dạng : j = đã nêu rõ ở trên

Bài tập: Tính nguyên hàm

1. I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I =

2. I = ; I = ; I = ; I = ; I =

3. I = ; I = ; I = ; I = ; ; I =

HƢỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I (5)

4. I = ; I = ; I = I = ;

5. I = ; I = ; I = I =

6. a/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3)
b/ I =
2
1
3
xx
dx
; Chú ý:
c/ I = Chú ý: = (2x-1)(x
2
+4x+4)

d/ I = Chú ý: = (3x-2)(x
2
+2x+3)

e/ I = = + +

g/ I= Chú ý: = (x-2)(x
2
+4x+4)

7. a/ I = Chú ý: = (2x-1)(x
2
+4x+4)

b/ I = Chú ý: = (2x-1)(x
2
+4x+4)

c/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3)

d/ I = Chú ý : = (x+1)(x
2
-x+1)

8. I =

Hƣớng dẫn : Tìm các số A,B,C,D,E để = + +

9. I = = .dx ( , đặt x = tant )

10.I = (Hd:I = +3 - 2 )

11. I = I = I = I =

HƢỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I (6)

12.I = I = I = = - 3 +

13. I = (Hd : I= 3 - + 5 )

14. I = (Hd : I= 3 + 2 - 2 )

15. I = (Hd : I= 3 + 5 - 7 )

16. I = (Hd : I = 2 + 5 - 3 )

17. (Hd : I = -4 + - )

CHÚ Ý:
Tích phân các hàm hữu tỷ có vai trò quan trọng. Nhiều bài toán Tích phân
hàm số Lƣợng giác , tích phân hàm số có chứa căn thức – bằng cách đổi biến số
,đƣa về tích phân của hàm hữu tỷ
Khi học cũng nhƣ ôn tập ,nên theo tuần tự từ dễ đến khó .Tôi đã biên soạn
theo tuần tự khoa học . Những dạng bài tập trình bày sau vận dụng các kiến thức
của dạng bài tập trình bày trƣớc để giải – có trật tự logic ,khoa học.
Sắp tới có
Phần II : Nguyên hàm các hàm số lƣợng giác
Phần III : Nguyên hàm các hàm số có chứa căn thức (Hàm vô tỷ)
Các bạn đón đọc trên trang
Chúc các bạn thành công.

Tân kỳ ,Giáng sinh 2009

TRẦN ĐỨC NGỌC