gởi bạn Nguyễn Khánh Ninh

Gởi Nguyễn Khánh Ninh
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) đường tròn (O) đường kính BC cắt
AB, AC lần lượt tại E, D. BD cắt CE tại H. Các tiếp tuyến tại B, tại D của
đường tròn (O) cắt nhau tại K. AK cắt BC tại M. MH cắt BK tại N. Vẽ tiếp
tuyến AS đến đường tròn (O) (S thuộc cung nhỏ CD). DK cắt AH tại I.
Chứng minh rằng:
a) N, E, I thẳng hàng
b) M, E, D thẳng hàng
c) M, H , S thẳng hàng
HƯỚNG DẪN GIẢI
a) Từ ID là tiếp tuyến của đường tròn (O), chứng minh được I là trung
điểm của AH và IE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Gọi T (T khác A) là giao điểm của đường tròn (O’) ngoại tiếp tam giác
ABC và AK. Vẽ đường kính AF của (O’). Chứng minh được tứ giác
BHCF là hình bình hành. Do đó H,O,F thẳng hàng (1)
Góc MIB = góc ACB (tứ giác BTAC nội tiếp), góc KDB = góc ACB
(=1/2 sđ cung BD)
Nên góc MTB = góc KDB. Do đó tứ giác TKDB nội tiếp.
Mà góc KBO = góc KDO = 90
0
. Nên tứ giác OBKD nội tiếp.
Ta có: B, T, K, D, O cùng thuộc một đường tròn.
 Góc OTK = góc OBK = 90
0
. Mà góc FTA = 90
0
. Do vậy F,O,T
thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) có: T, H , O ,F thẳng hàng.
Tam giác MAO có AH, OT là 2 đường cao nên MH ⊥ OA (tại L).
Do đó L thuộc đường tròn (AETHD) (góc ATH = góc AEH = góc ALH

= góc ADH = 90
0
) => góc ALE = góc ADE. Mà góc ADE = góc EBO.
Nên góc ALE = góc EBO.
 Tứ giác BELO nội tiếp.
Mặt khác góc NBO = góc NLO = 90
0
nên tứ giác BNLO nội tiếp.
Ta có: B, N, E, L, O cùng thuộc 1 đường tròn => góc NEO = góc NLO
= 90
0
.
Góc NEO + góc OEI = 90
0
+ 90
0
= 180
0
.
Vậy: N, E, I thẳng hàng.
b) Ta có góc MTE = góc ADI (tứ giác TADE nội tiếp), góc ADE = góc
ABC.
Do đó góc ABC = góc MTE => tứ giác MTEB nội tiếp.
 Góc MEB góc MTB. Mà góc BED = góc BTA (cùng bù với góc
ACB) .
Do vậy góc MEB + góc BED = góc MTB + góc BTA = 180
0
.
Vậy M, E, D thẳng hàng
c) OE ⊥ IE. Nên OE là tiếp tuyến của đường tròn (AETHDL) tâm I =>

góc OEL = góc OAE.
Xét ∆OEL và ∆OAE có góc EOL chung, góc OEL = góc OAE.
Do đó ∆OEL đồng dạng ∆OAE (g.g) =>
OE
OL
OA
OE
=
=> OA.OL = OE
2
.
Nên OA.OL = OS
2
Xét ∆OLS và ∆OSA có góc LOS chung,
OA
OS
OS
OL
=
Do đó ∆OLS đồng dạng ∆OSA (c.g.c)
 Góc OLS = góc OSA. Mà góc OSA = 90
0
. Nên góc OLS = 90
0
Ta có: góc MLO + góc OLS = 90
0
+ 90
0
= 180
0

 M, L, S thẳng hàng
Mà H, M, L, N thẳng hàng
Nên M, N, H, L, S thẳng hàng
Vậy M, H, S thẳng hàng
Người gởi: Nguyễn Đức Tấn, mong muốn liên lạc với bạn qua điện thoại.