DE THI HOC KY 2 TOAN 12

Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học

A/- TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Lí thuyết Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong (a ; b) ;
( )
bax ;
∈∀
•
0y
′
> ⇔
Hàm số đồng biến trong ( a ; b )
•
0y
′
< ⇔
Hàm số nghịch biến trong ( a ; b )
• Hoặc
⇔≥
′
0y
Hàm số đồng biến trong ( a ; b )
•
⇔≤
′
0y
Hàm số nghịch biến trong ( a ; b )
(Dấu “=” xảy ra tại một số hữu hạn điểm)
x
y’
y

Vấn đề 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
Phương pháp Để tìm khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x)
• Tìm tập xác định D
• Tìm y’ .Tìm các giá trị
i
x D∈
mà tại các điểm đó
y
′
= 0 hoặc không xác định
• Lập bảng xét dấu của y’
• Căn cứ dấu của y’ để kết luận
Ví dụ: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số :
1; y = x
3
– 3x
2
+ 2
Giải :
Tập xác định D =
¡
Đạo hàm y’ = 3x
2
– 6x .
y’ = 0
⇔
20063
2
=∨=⇔=−
xxxx

Bảng biến thiên
x
∞−
0 2
∞+

y’ + 0 – 0 +
y
Vậy hàm số đồng biến trong
( ) ( )
∞+∞−
;2;0;
, nghịch biến trong (0;2)
2; y =
1
22
2
+
++
x
xx

Tập xác định D =
¡
\
{ }
1
−
Đạo hàm y’ =
( )

20020
1
2
2
2
2
−=∨=⇔=+⇔=
′
+
+
xxxxy
x
xx
Bảng biến thiên
x
∞−
-2 -1 0
∞+

y’
+ 0 – – 0 +
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 1
Chuyên đề : 1
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
y

Vậy hàm số : Đồng biến trên mỗi khoảng (
∞−
;-2) và (0;

+∞
)
Nghịch biến trên mỗi khoảng (-2;-1) và (-1;0)
Vấn đề 2: Tìm m để hàm số đơn điệu trong tập X
Phương pháp
• Hàm số đồng biến trong X
Xxy ∈∀≥
′
⇔ 0

• Hàm số nghịch biến trong X
Xxy ∈∀≤
′
⇔ 0
• Riêng hàm số nhất biến y =
dcx
bax
+
+

không có dấu “=”
Ví dụ: Cho hàm số y =
3
3
1
x
−
- mx
2
+ (m –2 )x + 2. Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Giải : Tập xác định D =
¡

Đạo hàm y’= -x
2
– 2mx + m – 2
Hàm số nghịch biến trên tập xác định
' 0y x
⇔ ≤ ∀ ∈
¡
1202
2
≤≤−⇔≤−+=∆
′
⇔ mmm
(Vì a = – 1 < 0 )
B/- CỰC TRỊ
Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc 1 ( Dùng y’ ) a; Tìm tập xác định D b; Tìm y’
• Cho y’ = 0 tìm nghiệm x
0
( hay điểm
0
x D
∈
mà
( )
0
y x
′

không tồn tại).
• Lập bảng xét dấu của y’
• Căn cứ bảng xét dấu của y’ nếu khi x đi qua x
0
mà :
+ y’ đổi dấu từ ( + ) sang (–) thì hàm số đạt cực đại tại x
0
; y
CĐ
= y
0
= f(x
0
)
+ y’ đổi dấu từ (–) sang ( + ) thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
; y
CT
= y
0
= f(x
0
)
x x
o
x
1

y’ + – – +
y y

0

CĐ CT

Qui tắc 2 ( Dùng y”)
a; Tìm tập xác định D
b; Tìm y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm x
0
; x
1
; …
c ; Tìm y” . Tính y”(x
0
). Nếu :
• y”(x
0
) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x
0
• y”(x
1
) > 0 thì hàm số đat cực tiểu tại x
1
Lưu ý :
• Nếu y”(x
0
) = 0 hay tại x
0
mà y’(x
0
) không tồn tại thì không dùng được qui tắc 2

• Hàm số y =
11
2
bxa
cbxax
+
++
đạt cực trị tại x
0
. Có y
0
=
1
0
2
a
bax +

• Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d đạt cực trị tại x
0
khi tính y
0
gặp khó khăn ta chia y cho y’ được thương
P(x) và số dư px + q .
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 2
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học

Ta có : y = y’.P(x) + px + q
nên y
0
= y’(x
0
).P(x
0
) + px
0
+ q = px
0
+ q (vì x
0
là nghiệm của y’ = 0) .
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số :
1; y = f(x) =
1
2
2
−
++
x
xx

Tập xác định D =
¡
\
{ }
1
Đạo hàm y’ =

( )
2
2
1
32
−
−−
x
xx

y’ = 0



=
−=
⇔



=
−=
⇔=−−⇔
7
1
3
1
032
2
1

2
1
2
y
y
x
x
xx
• Bảng biến thiên
x
∞−
–1 1 3
∞+

y’ + 0 – – 0 +
y –1
CĐ
CT
• Vậy hàm số : Đạt cực đại tại x = – 1 ; y
CĐ
= – 1 ,
Đạt cực tiểu tại x = 3 ; y
C T
= 7
2; y = f(x) = x + 2cosx
Tập xác định D =
¡

Đạo hàm y’ = f’(x) = 1 – 2sinx ; f”(x) = – 2 cosx
y’ = 0

( )
Zk
kx
kx
xx
∈






+=
+=
⇔=⇔=−⇔
π
π
π
π
2
6
5
2
6
2
1
sin0sin21
2
1

Ta có
(
)
′′
1
f x
=
3
−
< 0
⇒
Hàm số đạt cực đại tại
32;2
6
=+=
CD
ykx
π
π
(
)
′′
2
f x
=
3
> 0
⇒
Hàm số đạt cực tiểu tại x =
π

π
2
6
5
k+
;
32−=
CT
y

Vấn đề 2 : Tìm tham số để hàm số đạt cực trị tại
0
x
Phương pháp Hàm số đạt cực trị tại x
0
khi y’(x
0
) = 0 hoặc không tồn tại từ điều kiện này suy ra
giá trị của tham số. Kiểm tra lại bằng cách xét dấu y’ hoặc dùng y”. Qua việc thử lại cho ta cụ thể hàm số
đạt cực đại hay cực tiểu tại x
0.
• Nếu đồ thị hàm số có điểm cực trị M(x
0
; y
0
) thì thêm y
0
= f(x
0
) .

• Trong vài trường hợp cụ thể ta có thể sử dụng
1;
( )
( )
0
0
' 0
" 0
f x
f x
=


≠



⇒
Hs đạt cực trị tại x
0
2;
( )
( )
0
0
' 0
" 0
f x
f x
=



<



⇒
Hs đạt cực đại tại x
0

GV: Võ Văn Nghiệp Trang 3
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
3;
( )
( )
0
0
' 0
" 0
f x
f x
=


>



⇒
Hàm số đạt cực tiểu tại x

0

Nếu f”(x
0
) = 0 không kết luận mà phải xét dấu y’
Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = x
3
– 2x
2
+ mx – 3. Tìm m để hàm số :
a; Đạt cực trị tại x = 1 b; Đạt cực đại tại x = 0
GIẢI : Tập xác định D =
¡
Đạo hàm y’ = f’(x) = 3x
2
– 4x + m
a; Hàm số đạt cực trị tại x = 1 khi f’(1) = 0
⇔
3 – 4 + m = 0
1
−=⇔
m
.
Khi m = –1 ta có y’ = 3x
2
– 4x + 1
x
∞−
1/3 1
∞+

y’ + 0 – 0 +
y CĐ CT
Vậy khi m = – 1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Vấn đề 3 : Tìm tham số để hàm số có cực trị
Phương pháp Tìm tập xác định D và y’ = f’(x)
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có nghiệm x
0
(hoặc
y
′
không tồn tại tại
0
x D∈
) và y’ đổi dấu khi
x đi qua x
0
. Phương trình y’ = 0 có bao nhiêu nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó thì hàm số
có bấy nhiêu cực trị.
Ví dụ: Cho hàm số y =
1
1
2
+
++−
x
mxx
. Tìm m để :
1; Hàm số có cực trị 2; Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu
GIẢI : 1; Tập xác định D =
¡

\
{ }
1
−

Đạo hàm : y’ =
( )
2
2
1
22
+
−−+
x
mxx
.
Hàm số có cực trị
⇔
y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó
022
2
=−−+⇔
mxx
có 2
nghiệm phân biệt
3021 −>⇔>++=∆
′
⇔ mm
2; Khi m > -3 hàm số có 2 giá trị cực trị y
1

= 2x
1
– 1 ; y
2
= 2x
2
– 1 .
y
1
; y
2
cùng dấu
⇔
y
1
.y
2
> 0
( )( ) ( )
012.401212
212121
>++−⇔>−−⇔
xxxxxx
(*)
Vì x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình x
2

+ 2x – m – 2 = 0 nên ta có
(*)
4
3
014)2(4
−
<⇔>++−−⇔ mm

4
3
3 −<<−⇔ m
Vậy hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu khi
4
3
3 −<<− m

C/- ĐIỂM UỐN (NC)
Lí thuyết
Đồ thị hàm số có điểm uốn tại x
0
⇔
f”(x) đổi dấu khi x đi qua x
0
D /- GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1; Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trong ( a;b ) nếu:
( ) ( )
0 0
; :
( ) ( ; )
x a b f x M

f x M x a b

∃ ∈ =


≤ ∀ ∈


thì
( )
;
max
a b
y
= M
( ) ( )



∈∀≤
=∈∃
);()(
:;
00
baxmxf
mxfbax
thì
( )
;
min

a b
y
= m
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 4
Tài Liệu Ơn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
2; Cách tìm
a; Tìm miền giá trị của hàm số từ đó suy ra max y , min y
b; Dùng đạo hàm
• Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trong ( a;b )
Phương pháp
Tìm y’ . Tìm
)(lim)(lim xfxf
bxax
−+
→→
∧
. Lập bảng xét dấu của y’. Căn cứ bảng xét dấu để kết luận
• Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trong [ a;b ]
Phương pháp
Tìm y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm x
0
, x
1…

[ ]
ba;
∈
.
Tính f(a), f(b), f(x
0

), f(x
1
),……
;
ax
a b
m y
 
 
là giá trị lớn nhất trong các giá trị trên.
;
in
a b
m y
 
 
là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên
E/- TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ (NC- đọc thêm)
Lý thuyết :
Trong hệ trục Oxy cho
( ) ( )
: ( ) ;C y f x và I a b
=
. Tịnh tiến hệ Oxy theo
OI
uur
được hệ trục IXY theo
cơng thức
x X a
y Y b


= +

= +

thì trong hệ trục IXY ta có
( ) ( )
: ( )C Y g X f X a b
= = + −
1; Đồ thị (C) có tâm đối xứng I(a;b)
Bằng phương pháp đổi hệ trục Oxy về hệ trục IXY theo cơng thức :



+=
+=
bYy
aXx
biến đổi y = f(x) thành Y = g(X) và chứng minh Y = g(X) là hàm số lẻ
( F(–X) = – F(X) )
2; Đồ thị (C) có trục đối xứng
( )
∆
: x = a
( )
∆
cắt trục hồnh tại điểm I(a; 0). Bằng phương pháp đổi hệ trục Oxy về hệ trục IXY theo cơng thức :




=
+=
Yy
aXx
biến đổi y = f(x) thành Y = g(X) và chứng minh Y = g(X) là hàm số chẵn ( Với I(a;0) )
( g(– X) = g(X) )
F/- TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ
I/- Tiệm cận đứng
Cách tìm Tìm tập xác định D
1. Nếu D =
¡
\
{ }
;;
10
xx
. Tìm
lim ( ) lim ( ) lim ( )
lim ( ) 
x a x a x a
x a
f x hoặc f x hoặc f x
hoặc f x thì x a là pt tiệm cận đứng
+ + −
−
→ → →
→
= +∞ = − ∞ = + ∞
= −∞ =
g

( )
1
lim
x x
f x M
→
=g
thì x = x
1
khơng phải là phương trình tiệm cận đứng
2. Nếu D = ( a ; b ) tìm
( ) ( )
xfxf
bxax
−+
→→
∧
limlim
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 5
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
Ví dụ: y =
32
6
2
2
−+
−+
xx
xx

• Tập xác định D =
¡
\
{ }
1;3
−
•
2 2
2 2
1 1
6 6
lim lim
2 3 2 3
x x
x x x x
vaø
x x x x
+ −
→ →
+ − + −
= −∞ = + ∞
+ − + −
⇒
Tiệm cận đứng x = 1
•
2
2
3 3
6 2 5
lim lim 3

1 4
2 3
x x
x x x
x
x
x x
→− →−
+ − −
= = ⇒ = −
−
+ −
không phải là phương trình tiệm cận đứng
II/- Tiệm cận ngang
Cách tìm Tập xác định D
• Nếu D không chứa
±∞
thì không có tiệm cận ngang
• Nếu
lim ( ) lim ( )
x x
f x a hay f x a
→+∞ →−∞
= = ⇒
y = a là phương trình tiệm cận ngang
• Nếu
( )
lim
x
f x

→±∞
= ± ∞ ⇒
đồ thị không có tiệm cận ngang
III/- Tiệm cận xiên (NC)
Định nghĩa y = ax + b là phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x)
( ) ( )
lim 0
x
f x ax b
→±∞
 
⇔ − + =
 
. hay a =
( )
( )
lim ; lim
x x
f x
b f x ax
x
→± ∞ →± ∞
 
= −
 
 Nếu phân tích được y = ax + b + P(x) mà
lim ( ) 0
x
P x
→±∞

=
thì
y = ax + b là phương trình tiệm cận xiên .
 Đặc biệt với đồ thị hàm số y =
edx
cbxax
+
++
2
chia tử số cho mẫu số được thương
( gần đúng ) mx + n và số dư p
edx
p
nmxy
+
++=⇒
Ta có
lim 0
x
p
y mx n
dx e
→±∞
= ⇒ = +
+
là phương trình tiệm cận xiên
IV-/ Đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối
Phương pháp Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), từ đồ thị (C) suy ra :
1; (C
1

) : y = f
( )
x
=
( ) 0
( ) 0
f x khi x
f x khi x

≥

− <

nên ta có (C
1
) :
• Giữ phần đồ thị (C) với x
≥
0
• Bỏ phần đồ thị (C) với x < 0
• Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị (C) với x
≥
0
2; (C
2
) : y =
)(xf
=




<−
≥
0)()(
0)()(
xfkhixf
xfkhixf
nên ta có (C
2
) :
• Giữ phần đồ thị (C) với f(x)
≥
0
• Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) với f(x) < 0
• Bỏ phần đồ thị (C) với f(x) < 0
3; (C
3
) : y = f(x) =
)(
)(
xQ
xP
=








<−
>
0)(
)(
)(
0)(
)(
)(
xQkhi
xQ
xP
xQkhi
xQ
xP
nên ta có (C
3
):
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 6
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
• Giữ phần đồ thị (C) với Q(x) > 0
• Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) với Q(x) < 0
• Bỏ phần đồ thị (C) với Q(x) < 0
4; (C
4
) : y = f(x) =
)(.)( xQxP
hay y = f(x) =
)(
)(
xQ

xP
Vì y =



<−
≥
0)()(
0)()(
xPkhixf
xPkhixf
nên ta có (C
4
) :
• Giữ phần đồ thị (C) với P(x)
≥
0
• Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) với P(x) < 0
• Bỏ phần đồ thị (C) với P(x) < 0
CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ( C ) : y = f(x)
Lí thuyết
• P trình tiếp tuyến của ( C ) tại M(x
0
; y
0
) : y – y
0
= f’(x
0

)(x – x
0
)
• ( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x) tiếp xúc với nhau
( ) ( )
( ) ( )



=
′
=
′
⇔
xgxf
xgxf
có nghiệm
( nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm )
Vấn đề 1 : Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M(
0 0
;x y
)
Phương pháp : Áp dụng công thức y – y
0
= f’(x
0
)( x – x
0
)
• Nếu chưa cho y

0
thì tính y
0
= f(x
0
) (giao của (C ) và trục tung là cho
0
0x
=
)
• Nếu chưa cho x
0
thì x
0
là nghiệm của phương trình f(x) = y
0
(giao của (C ) và trục hoành là cho
0
0y
=
)
Ví dụ: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số :
(C ) : y = f(x) = x
3
– 3x + 2 tại:
a; Điểm M có hoành độ x
M
= 0 b; Giao điểm của ( C ) với trục hoành
Giải :
a; x

M
= 0
⇒
y
M
= 2
( )
2;0M
⇒
y’ = f’(x) = 3x
2
– 3
⇒
f’(0) = – 3
Vậy phương trình tiếp tuyến : y – 2 = –3( x – 0 )
⇔
y = – 3x + 2
b; Phương trình trục Ox : y = 0 .
Ta có x
3
– 3x + 2 = 0
( )
( )
21021
2
−=∨=⇔=−+−⇔
xxxxx

• x = 1 phương trình tiếp tuyến y = f’(1)(x – 1)
0

=⇔
y
• x = – 2 phương trình tiếp tuyến y = f’(– 2)(x + 2)
189)2(9 +=⇔+=⇔ xyxy
Vấn đề 2 Lập phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
Phương pháp
Cách 1 : Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm.
Tiếp tuyến có hệ số góc k
( )
kxf
=
′
⇔
0
.
Giải phương trình tìm x
0
( )
00
xfyD
=⇒∈

Phương trình tiếp tuyến y – y
0
= k( x – x
0

)
Cách 2 : Gọi (d) : y = kx + b là tiếp tuyến của ( C )
⇔
( ) ( )
( ) ( )



+=
=
′
2
1
bkxxf
kxf
có nghiệm .
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 7
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
Giải (1) tìm x thế vào (2) tìm b
Lưu ý Cho (d) : y = a.x + b nếu :
• (d
1
) song song với (d) thì (d
1
) có hệ số góc k = a
• (d
2
) vuông góc với (d) thì (d
1
) có hệ số góc k =

a
1
−
(hay a.k = – 1 )
Ví dụ : Cho ( C ) : y = f(x) = x
3
– 2x + 2. Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết
1; Tiếp tuyến song song với (d) : y = x + 1
2; Tiếp tuyến vuông góc với (d)
GIẢI
1; Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm.
Tiếp tuyến song song với (d) nên có hệ số góc k = 1
( )
11231
0
2
00
±=⇔=−⇔=
′
⇔
xxxf
• x
0
= 1
⇒
y

0
= 1 . Phương trình tiếp tuyến : y = x
• x
0
= – 1
⇒
y
0
= 3 . Phương trình tiếp tuyến : y = x + 4
2; Vì tiếp tuyến vuông góc với (d) nên có hệ số góc k = – 1 .
Gọi (d
1
) : y = – x + b là tiếp tuyến của ( C )
( )
( )





+−=+−
−=−
⇔
222
1123
3
2
bxxx
x
có nghiệm

( )
3
3
1231
2
±=⇔−=−⇔ xx
.
Từ (2) với x =
9
32
2
3
3

=⇒±
b
.
Phương trình tiếp tuyến y = – x + 2
9
32

Vấn đề 3 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A(
1 1
;x y
)
Phương pháp
Cách 1 : Gọi M(x
0
; y
0

) là tiếp điểm.Tính y
0
= f(x
0)
và f’(x
0
) theo x
0
. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại
M là : y – y
0
= f’(x
0
)( x – x
0
) (1) Vì tiếp tuyến đi qua A(
1 1
;x y
) nên y
1
– y
0
= f’(x
0
)( x
1
– x
0
) giải phương
trình tìm x

0
thay vào (1).
Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k .
Ta có :(d) : y – y
1
= k( x – x
1
) (1) là tiếp tuyến của (C)
( ) ( )
( ) ( ) ( )



+−=
=
′
⇔
2
1
11
yxxkxf
kxf
có nghiệm
Thế k từ (1) vào (2) giải tìm x thế vào (1) tìm k và thay vào phương trình (1)
Ví dụ: Lập phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x
3
– 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến đi qua A(2 ; –4 ).
Cách 1 : Gọi M(x
0
; y

0
) là tiếp điểm .
Ta có y
0
= x
0
3
– 3x
0
+2 và f’(x
0
) = 3x
0
2
– 3
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
y – (x
0
3
– 3x
0
+ 2) = (3x
0
2
– 3)( x – x
0
)
( )
2233
3

0
2
0
+−−=⇔ xxxy
(1)
Vì tiếp tuyến đi qua A(2;– 4) , nên
– 4 = (3x
0
2
– 3).2 – 2x
0
3
+ 2
3003
00
2
0
3
0
=∨=⇔=−⇔
xxxx
• x
0
= 0 phương trình tiếp tuyến là y = – 3x + 2
• x
0
= 3 phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52
Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 8
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học

Phương trình (d) : y = k(x – 2) – 4 .
(d) là tiếp tuyến của (C)
( )
( ) ( )





−−=+−
=−
⇔
24223
133
3
2
xkxx
kx
có nghiệm
Từ (1) và (2) ta có x
3
– 3x + 2 = (3x
2
– 3) (x – 2) – 4
3003
23
=∨=⇔=−⇔ xxxx

• x = 0
3

−=⇒
k
. Phương trình tiếp tuyến là y = – 3x + 2
• x = 3
⇒=⇒
24k
phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52
Vấn đề 4: Sự tiếp xúc giữa hai đường
Phương pháp :
Áp dụng (C) và (D) tiếp xúc với nhau



=
=
⇔
)()(
)(')('
xgxf
xgxf
có nghiệm.
Từ đó suy ra giá trị tham số
Ví dụ: Cho (C) : y = f(x) = x
4
– x
2
+ 1 và (D) : y = g(x) = x
2
+ m. Tìm để (C) và (D) tiếp xúc với nhau.
GIẢI :

(C) và (D) tiếp xúc với nhau
( )





+=+−
=−
⇔



=
=
⇔
21
)1(224
)()(
)(')('
224
3
mxxx
xxx
xgxf
xgxf
có nghiệm
(1)
10044
3

±=∨=⇔=−⇔
xxxx
• x = 0 từ (2) ta có m = 1
• x =
1±
từ (2) ta có m = 0
SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐƯỜNG
Phương pháp: Cho 2 đường ( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x)
- Hoành độ giao điểm của 2 đường là nghiệm của ptrình f(x)= g(x) (1 )
- Phương trình ( 1 ) có bao nhiêu nghiệm thì ( C ) và ( D ) có bấy nhiêu điểm chung. - - - Muốn tìm giao
điểm ta thay nghiệm của ( 1 ) vào y = f(x) hay y =g(x)
Ví dụ: Cho (C) : y = f(x) = 4x
3
– 3x + 1 và (d) : y = g(x) = m(x – 1) + 2. Biện luận theo m số giao điểm
của (C) và (d).
GIẢI : Hoành độ giao điểm của 2 đường là nghiệm của phương trình
4x
3
– 3x + 1 = m(x – 1) + 2
⇔
(x – 1)(4x
2
+ 4x + 1 – m) = 0 (1)
( )



=−++
=−
⇔

20144
01
2
mxx
x

Đặt h(x) = 4x
2
+ 4x + 1 – m .
Tính
∆
′
= 4 – 4(1 – m) = 4m và h(1) = 9 – m
x
∞−
0 9
∞+
∆
′
– 0 + +
Số điểm
chung
1
¶
2
3
¶
2
3
BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Phương pháp
Cho (C) : y = f(x), dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình F(x; m) = 0
GIẢI :
Biến đổi F(x;m) = 0
⇔
f(x) = am + b
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 9
Ti Liu ễn Thi Tt Nghip V Luyn Thi i Hc
S nghim ca phng trỡnh ó cho l s giao im ca
( ): ( )
( ): ( )
C y f x
d y am b cuứng phửụng vụựi truùc Ox

=

= +

( y = a m + b l ng thng cựng phng vi Ox ct Oy ti im cú tung am + b)
Da vo th kt lun. Chỳ ý so sỏnh am + b vi cỏc giỏ tr cc tr
D
;
C CT
y y
, nu th cú tim
cn ngang thỡ so sỏnh vi giỏ tr tim cn ngang.
Vớ d: Cho (C) : y = x
3
3x
2

+ 2.
1; Kho sỏt hm s .
2; Da vo (C) bin lun theo m s nghim ca :
x
3
3x
2
m = 0 (1)
GII : 1;

2; (1)

x
3
3x
2
+ 2 = m + 2
S nghim ca phng trỡnh (1) l s giao im ca
3 2
( ) : 3 2
( ) : 2 (cuứng phửụng vụựi truùc hoaứnh)
C y x x
d y m


= +

= +

Da vo th, ta cú :

2 2 2 2 4 0m hoaởc m m hoaởc m
+ < + > < >
: Phng trỡnh cú 1 nghim

2 2 2 2 4 0m hoaởc m m hoaởc m+ = + = = =
: Phng trỡnh cú 2 nghim

2 2 2 4 0m m
< + < < <
Phng trỡnh cú 3 nghim


1. KHO ST HM BC BA: y = ax
3
+bx
2
+cx+d
Vớ d 1: Kho sỏt hm s y = x
3
+ 3x
2
4.
Vớ d 2: Kho sỏt v v th hm s
3
2
1
3

x
y x x= + +
Vớ d 3: Kho sỏt v v th hm s
3 2
3 4 2y x x x= + +
Gii Vớ d 1:
Ni dung Bi gii Gii thớch ghi nh cho HS
Tp xỏc nh D =
Bc 1: Tỡm tp xỏc nh ca hm s
y = 3x
2
+ 6x
y = 0 3x
2
+ 6x = 0 x(3x + 6) = 0 x = 0;
x = - 2
Bc 2:Tỡm y v lp phng trỡnh y =
0 tỡm nghim ( nu cú thỡ ghi ra nu vụ
nghim thỡ nờu vụ nghim vỡ ch yu
l Tỡm du ca y s dng trong
bng bin thiờn
Gii hn:
lim
x
y
+
= +
;
lim
x

y

=
Bc 3:Ch cn tỡm gii hn ca s
hng cú m cao nht, õy l tỡm
3
lim ??
x
x

=

- Nờu tớnh n iu ca hm s.
- Nờu cc tr ca hm s
GV: Vừ Vn Nghip Trang 10
x
y
m + 2
O
1
Chuyờn 2
KHO ST HM S
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
Bảng biến thiên:
x -∞ -2 0 +∞
y' + 0 - 0 +
y 0 +∞
-∞ - 4
Bước 4:BBT luôn gồm có “ 3 dòng”:
dành cho x, y’ và y

y’’ = 6x + 6
y’’ = 0 ⇔ 6x + 6 = 0 ⇔ x = 1 ( điểm uốn I(1;-2))
Bước 5: Tìm điểm uốn
Đồ thị hàm số:
Giao điểm với Ox:
y = 0 ⇒ x = -2; x = 1
Giao điểm với Oy:
x = 0 ⇒ y = - 4
Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo
thứ tự gợi ý sau:
 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy
 Xác định các điểm cực đại, cực tiểu,
điểm uốn, giao điểm với Ox,Oy
 Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng
đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp
cho bài toán của mình
(tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi
dạng hàm số)
Bốn dạng đồ thị hàm số bậc 3
KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG : y = ax
4
+bx
2
+c
Ví dụ 4: Khảo sát hàm số y = x
4
- 2x
2
– 3.
Ví dụ 5: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

4
2
3
2 2
x
y x
= − − +
Ví dụ 6: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
4 2
2 2y x x
= − + −
Giải Ví dụ 4:
Nội dung Bài giải Giải thích – ghi nhớ cho HS
Tập xác định D =
Bước 1:Tìm tập xác định của hàm
số
y’ = 4x
3
- 4x
y’ = 0 ⇔ 4x
3
- 4x = 0 ⇔ x(4x
2
– 4) = 0⇔ x = 0; x = 1; x = - 1
Bước 2:
Giới hạn:
lim
x
y
→+∞

= +∞
;
lim
x
y
→−∞
= +∞
Bước 3: Chỉ cần tìm giới hạn của
số hạng có mũ cao nhất, ở đây là
tìm
4
lim ??
x
x
→±∞
=

GV: Võ Văn Nghiệp Trang 11
CĐ
CT
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I

a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ?
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
- Nêu tính đơn điệu của hàm số.
- Nêu cực trị của hàm số

Bảng biến thiên:
x -∞ -1 0 1 +∞
y' - 0 + 0 - 0 +
y +∞ -3 +∞
-4 -4
Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3
dòng”: dành cho x, y’ và y
Đồ thị hàm số:
Giao điểm với Ox:
x = ; y = 0

x = - ; y = 0
Giao điểm với Oy:
x = 0 ; y = - 3
Bước 5:Vẽ đồ thị cần thực hiện
theo thứ tự gợi ý sau:
 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy
 Xác định các điểm cực đại, cực
tiểu, điểm uốn, giao điểm với
Ox,Oy
 Dựa vào BBT và dạng đồ thị để
vẽ đúng dạng
(tham khảo các dạng đồ thị ở sau
đây)
Học sinh giải ví dụ 5 và ví dụ 6
Bốn dạng đồ thị hàm số trùng phương
KHẢO SÁT HÀM NHẤT BIẾN:
ax b
y
cx d
+
=
+
( tử và mẫu không có nghiệm chung)
Ví dụ 7: Khảo sát hàm số
2
1
x
y
x
− +

=
+
.
Ví dụ 8: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2
2 1
x
y
x
−
=
+
Ví dụ 9: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1 2
2 4
x
y
x
−
=
−
Giải Ví dụ 7:
Nội dung Bài giải Giải thích – ghi nhớ cho HS
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 12
CĐ
CT CT
x
y
O
x

y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 1 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 1 nghiệm
duy nhất x = 0
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 3 nghiệm phân
biệt
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
Tập xác định D = \{-1}
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm
số
y’ =
2
3
( 1)x
−
+
< 0 ∀x∈D.
Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định
Bước 2:Tìm y’ và dựa vào tử số để
khẳng định luôn luôn âm (hay luôn

luôn dương) từ đó suy ra:
Hàm số luôn luôn giảm ( hay luôn
luôn tăng ).
Giới hạn và tiệm cận:
Tiệm cận đứng x = - 1 vì
1
lim
x
y
−
→−
= −∞
;
1
lim
x
y
+
→−
= +∞
Tiệm cận ngang: y = - 1 vì
lim 1
x
y
→−∞
= −
lim 1
x
y
→+∞

= −
Bước 3: Hàm số luôn có 2 tiêm cận
là tiệm cân đứng và tiệm cận ngang
Bảng biến thiên:
x -∞ -1 +∞
y' - -
y -1 +∞
-∞ -1
Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3
dòng”:
Hàm số không có cực trị Bước 5:luôn không có cực trị
Đồ thị hàm số:
Giao điểm với Ox:
y = 0 ⇒ x = 2
Giao điểm với Oy:
x = 0 ⇒ y = 2
Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo
thứ tự gợi ý sau:
 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy và xác định
giao điểm với Ox,Oy.
 Vẽ 2 đường tiệm cận đứng và
ngang.
 Nhận xét hàm số có bao nhiêu
dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị
phù hợp cho bài toán của mình
(tham khảo các dạng đồ thị ở sau
mỗi dạng hàm số)
Học sinh giải ví dụ 8 và ví dụ 9
Hai dạng đồ thị hàm số nhất biến
CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1 Cho hàm số y = x
3
– mx + m + 2 có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát hàm số khi m = 3.
b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x
3
– 3x – k +1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3.
Bài 2 Cho hàm số y = x
3
– 2x
2
– (m - 1)x + m = 0
a) Xác định m để hàm số có cực trị.
b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C).
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 13
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biếnDạng 1: hsố đồng biến
x
O
I
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C)
và đoạn OA.
Bài 3 Cho hàm số y = (x +1)

2
(x –1)
2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình :
(x
2
– 1)
2
– 2n + 1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 4 Cho hàm số
mx
mxm
y
−
+−
=
)1(
(m khác 0) và có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2
).
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
2
), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x = 3, x
= 4.
Bài 5 Cho hàm số:
2 4
2y x x

= −
(C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) .
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
c) Dùng đồ thị (C) tìm điều kiện của
k
để phương trình:
4 2
2 0 (*)x x k− + =
có 4 nghiệm phân
biệt.
Bài 6 Cho hàm số:
4 2
2y x mx
= − +
, có đồ thị (C
m
), ( m là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1m
=
.
b) Lập phương trình tiếp tuyến của (C
1
) tại điểm A(
2
;0).
c) Xác định m để hàm số (C
m
) có 3 cực trị.

Bài 7 Biện luận số giao điểm của đồ thị (C):
3 2
2
3 2
x x
y x= + −
và đường thẳng
(T):
13 1
( )
12 2
y m x− = +
.
KQ: 1 giao điểm ( m ≤
27
12
−
), 3 giao điểm ( m >
27
12
−
)
Bài 8 Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số
3 4
1
x
y
x
+
=

−
.
KQ: -28 < a ≤ 0
Bài 9 Cho hàm số:
2 3
1
x
y
x
−
=
−
có đồ thị là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục toạ độ.
c) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng:
3y x
= − +
và tiếp xúc với đồ
thị (C).
Bài 10 Định tham số m để hàm số y =
3 2
1
( 6) 1
3
x mx m x
+ + + −
có cực đại và cực tiểu.
Kết quả: m < - 2 hay m > 3
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 14

Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
Bài 11 Tìm tham số m để hsố y =
2
2
1
x mx
mx
+ −
−
có cực trị.
Kết quả: - 1 < m < 1
Bài 12 Tìm tham số m để hàm số y = 2x
3
– 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x
1
, x
2

và khi đó x
2
– x
1
không phụ thuộc tham số m.
Kết quả : ∀m và x
2
– x
1
= 1

Bài 13 Xác định tham số m để hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử
M
1
(x
1
;y
1
), M
2
(x
2
;y
2
) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Chứng minh rằng :
1 2
1 2 1 2
( )( 1)
y y
x x x x
−
− −
= 2.
Kết quả : m < 1
Bài 14 Cho hàm số:
4 2

2y x x
= −
a) Khảo sát sự biến thiên ,và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Định
m
để phương trình:
4 2
2 log 1 0x x m
− + − =
có 4 nghiệm phân biệt
Bài 15 Cho hàm số:
3 2
2 3 1y x x= - -
, đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Tìm toạ độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng d:
1y x= -
c) Dùng đồ thị (C) biện luận theo
m
số nghiệm của phương trình:
3 2
2 3 0x x m- - =

d) Biện luận theo a số giao điểm của ( C) và đường thẳng d
1
có phương trình:
1y ax= -
.
B ài 16 Cho các đường: y = x
2

– 2x + 2, y = x
2
+ 4x + 5 và y = 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường trên.
Bài 17: Cho hàm số :
3 2
3 2y x x
= − + −
, đồ thị ( C )
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Viết phương trình tíếp tuyến
∆
với (C ) tại điểm A( 0 , - 2)
c) d là đường thẳng qua K( 1,0) có hệ số góc m . Tìm giá trị m để đường thẳng d cắt (C ) tại 3
điểm phân biệt .
Bài18 Cho hàm số:
3
1
y
x
=
+
có đồ thị là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) trục Ox và hai đường thẳng
0, 2x x= =
.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục tung.
Bài 19 Cho hàm số:
4 2

2 1y x x= − +
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm cực đại của (C) .
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
Bài 20 Cho hàm số :
2 2
(1 ) 6y x
= − −
, đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
4 2
2 0m x x
− + =
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết nó song song với đường thẳng
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 15
Chuyên đề 3
Chuyên đề 3
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ
VÀ HÀM SỐ LÔGARÍT
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
d:
24 10y x
= +
Ⓐ HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:
◙ Hàm số lũy thừa:
● Tính chất của lũy thừa:
▪ Về cơ số; khi xét lũy thừa
a
α

:
+
:
α
Î ¥

a
α
xác định  a 
¡
.
+
:
α
-
Î ¢

a
α
xác định khi a ≠ 0
+
\ :
α
Î ¡ ¢

a
α
xác định khi a > 0.
▪ Tính chất: Với a, b > 0; m,n 
¡

:
∗
; *
m
m n m n m n
n
a
a a a a
a
+ -
= =
.
∗
( )
.
n
m m n
a a=
; ∗
( )
. .
m
m m
a b a b=
∗
m
m
m
a a
b

b
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø
.
▪
( 0; , ; 0)
m
n
m
n
a a a m n n= > >Î ¢
▪
2k
x
xác định khi
0x ³
(k 
¥
)
▪
2 1k
x
+

xác định x 
¡
(k 
¥
)
▪ Đạo hàm
( )
/
1
. ( 0, )x x x
α α
α α
-
= > Î ¡
;
( )
/
1 /
. . ( 0, )u u u u
α α
α α
-
= > Î ¡
( )
/
1
1
( , 2, 0 , 0 )
.
khi n ch½n khi n lÎ

n
n
n
x n n x x
n x
-
= >γ ¹¥
;
( )
/
/
1
( , 2, 0 , 0 )
.
khi n ch½n khi n lÎ
n
n
n
u
u n n u u
n u
-
= >γ ¹¥
◙ Hàm số mũ:
▪ Hàm số mũ y = a
x
(a > 0, a ≠ 1) có tập xác định là
¡
; tập
giá trị là

*
+
¡
(tức là a
x
> 0, x 
¡
− chú ý tính chất nà
y để đặt điều kiện của ẩn phụ sau này); liên tục trên
¡
.
▪ Đạo hàm
( )
/
ln
x x
a a a=
(a > 0, a ≠ 1)
▪ Khi a > 1 hàm số y = a
x
đồng biến trên
¡
.
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 16
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = a
x
nghịch biến trên
¡
.

▪ a
0
= 1
∀
a
≠
0 , a
1
= a.
▪ Khi a > 1:
lim
x
x
a
+ ¥®
= + ¥
;
lim 0
x
x
a
- ¥®
=
.
▪ Khi 0 < a < 1:
lim 0
x
x
a
+ ¥®

=
;
lim
x
x
a
- ¥®
= + ¥
.
▪ Với a > b > 0 ta có: a
x
> b
x

⇔
x > 0 và a
x
< b
x

⇔
x < 0.
(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và
0 1a< <
để nhớ các tính chất)
◙ Hàm số logarit:
 Chú ý: Khi xét
log
a
x

phải chú ý điều kiện
0; 1 0.vµa a x> >¹
Trong phần này, ta giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa (có thể yêu cầu học sinh nêu
các điều kiện để các biểu thức có nghĩa như: Mẫu khác 0, cơ số a, b thỏa 0 < a,b ≠ 1, đối số của logarit
phải dương).
▪ Cho 0 < a
≠
1 , x > 0: log
a
x = y ⇔ a
y
= x.
▪ Với 0 < a
≠
1 ta có:
log
a
n
a n=
( n > 0 );
log
m
a
a m=
(
∀
m
∈

¡

); log
a
1 = 0;
log 1
a
a =
.
▪ log
a
(x
1
.x
2
) = log
a
x
1
+ log
a
x
2
;
1
2
log
a
x
x
= log
a

x
1

-
log
a
x
2
( x
1
; x
2
> 0 ).
▪ log
a
x
α

= α.log
a
x (x > 0) và
1
log .log
a
a
x x
α
α
=
(x > 0, α ≠ 0).

▪ Đổi cơ số:
log
log
log
b
a
b
x
x
a
=
hay log
a
x = log
a
b.log
b
x
▪ log
a
b =
1
log
b
a
và
log .log 1
a b
b a =
.

▪ Hàm số y = log
a
x xác định và liên tục trên (0 ;+ ∞ ).
▪ Đạo hàm
( )
/
1
log
.ln
a
x
x a
=
▪ Khi a > 1 hàm số y = log
a
x đồng biến trên ( 0 ; + ∞ ).
▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = log
a
x nghịch biến trên ( 0; + ∞ ).
▪ Nếu a > 1:
lim log ; lim log
a a
x x
x x
+ ¥ - ¥® ®
= + ¥ =- ¥

▪ Nếu 0 < a < 1:
lim log ; lim log
a a

x x
x x
+ ¥ - ¥® ®
=- ¥ = + ¥
.
(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và 0 < a < 1 để nhớ các tính chất )
▪ Chú ý đến các công thức:
log
(0 1; 0)
a
b
b a a b= < >¹
và
log (0 1)
b
a
b a a= < ¹
◙ Phương trình, bất phương trình mũ:
▪ Phương trình a
x
= b có nghiệm ⇔ b > 0.
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 17
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
▪ a
f(x)
= a
g(x)
⇔ f(x) = g(x) (0 < a ≠ 1)
▪ Nếu a > 1 thì: a
f(x)

> a
g(x)

⇔
f(x) > g(x).
▪ Nếu 0 < a < 1 thì: a
f(x)
> a
g(x)

⇔
f(x) < g(x).
▪ a
f(x)
= b
⇔
f(x) = log
a
b.
▪ a
f(x)
< b (với b > 0) ⇔
( ) log
a
f x b<
nếu a > 1;
( ) log
a
f x b>
nếu 0 < a < 1.

▪ a
f(x)
> b ⇔
0
( )
0
( ) log 1; ( ) log 0 1.khi khi
a a
b
f x R
b
f x b a f x b a
é
ì
£
ï
ï
ê
í
ê
ï
Î
ï
î
ê
ê
ì
>
ï
ê

ï
í
ê
ï
> > < < <
ê
ï
î
ë

◙ Phương trình, bất phương trình logarit:
▪ Trước hết ta cần đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
log
a
b có nghĩa ⇔ 0 < a ≠ 1 và b > 0
▪
log log
n
m
a
a
m
b b
n
=
( b > 0 ; 0 < a ≠ 1 ) .
▪ log
a
b
2k

= 2k.log
a
|b| với k ∈  .
▪ log
a
f(x) = log
a
g(x) ⇔ f(x) = g(x).
▪ log
a
f(x) ≥ log
a
g(x) ⇔
( ) ( ) 1
( ) ( ) 0 1
khi
khi
f x g x a
f x g x a
ì
>³
ï
ï
í
ï
< <£
ï
î

▪

( ) ( )
( ) 0 , ( ) 1.
log ( ) log ( )
( ) ( )
g x g x
g x g x
f x h x
f x h x
ì
> ¹
ï
ï
= Û
í
ï
=
ï
î
Ⓐ. HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP:
▪ Cho học sinh nắm các bước giải như:
+ Yêu cầu học sinh phân tích đề bài xem giả thiết và kết luận là gì? có liên quan đến các công
thức nào về hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit…xem bài toán thuộc dạng chứng minh, tính
toán, giải phương trình hay bất phương trình.
+ Hướng dẫn học sinh xây dựng chương trình giải.
+ Cho học sinh lên bảng thực hiện chương trình giải từ đó yêu cầu các học sinh khác nghiên
cứu lời giải để học sinh nắm chắc kiến thức, khắc phục các sai sót vì chương này các công thức có dạng
gần giống nhau nên học sinh hay áp dụng sai và mắc nhiều sai lầm.
▪ Phân loại các dạng toán cũng như các cách giải; cụ thể:
● Loại tính toán:
▪ Ví dụ 1: Tính

25
log 15
theo a khi biết
3
log 15 a=
.
 Hướng dẫn học sinh phân tích:

( ) ( )
2
25 5 5 5
5
1 1
log 15 log 3.5 log 3 log 5 log 3 1
2 2
= = + = +
3 3 3 3 3
log 15 log 3.5 log 3 log 5 1 log 5 a= = + = + =
 Mà
3
5
1
log 5
log 3
=
vậy
3
log 5
là cầu nối giữa hai số cần tính.
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 18

Ti Liu ễn Thi Tt Nghip V Luyn Thi i Hc
Hng dn hc sinh xõy dng chng trỡnh gii: Tớnh
3
log 5
theo a sau ú thay vo tớnh
25
log 15
.
Vớ d 2: Khụng dựng mỏy tớnh hóy so sỏnh hai s
2,5
12
1
2
2
và
-
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
a v cựng mt c s ( bi ny l 2) sau ú da vo tớnh n iu ca hm s m so
sỏnh.
2,5
2,5
1
2

2
-
ổử
ữ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
m
2,5 12- > -
nờn
2,5
12
1
2
2
-
ổử
ữ
ỗ
<
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Loi chng minh:

Vớ d 1: Chng minh
4 2 3 4 2 3 2x = + - - =
Cỏch 1: Phõn tớch (d thy x > 0)
2
2 4x x= =
do trong biu thc cha cn bc
hai nờn ta s bỡnh phng hai v; nu cha cn bc ba thỡ cú th lp phng.
Yờu cu hc sinh bỡnh phng ri rỳt gn kt qu cn tỡm.
Cỏch 2: Phõn tớch cho hc sinh thy rng
4 2 3. 4 2 3 4 2+ - = =
Cú th tớnh
4 2 3 4 2 3và+ -
bng cỏch xem chỳng l hai nghim ca h
2
2
x y
xy
ỡ
- =
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ

3 1
3 1
x

y
ỡ
ù
= +
ù
ớ
ù
= -
ù
ợ

T ú ta phõn tớch
2
4 2 3 3 2 3 1 ( 3 1)+ = + + = +
cũn
4 2 3-
tớnh tng t. T ú
ta chng minh c bi toỏn.
Vớ d 2: Cho cỏc s dng a, b, c trong ú c 1. Chng minh
log log
c c
b a
a b=
p dng tớnh cht
log log
m m
x y x y= =
nờn ta ly logarit c s m dng khỏc 1 v trỏi
v chng minh nú bng logarit c s m ca v phi.

( ) ( )
log log
log log .log log .log log
c c
b a
c c c c c c
a b a a b b= = =
Nờn
log log
c c
b a
a b=
.
Loi gii phng trỡnh m v lụgarit:
Nờu cỏc phng phỏp gii nh:
Phng phỏp a v cựng mt c s: gii phng trỡnh, bt phng trỡnh m, lụgarit ta
bin i chỳng v dng:
( ) ( )
, , log ( ) , log ( )
u x u x
a a
a b a b u x b u x b= > = >
Phng phỏp lụgarit húa: lm cho n khụng nm s m ta cú th lụgarit theo cựng mt
c s c hai v ca mt phng trỡnh, bt phng trỡnh (Chỳ ý khi lụgarit hai v mt bt phng trỡnh cn
so sỏnh c s vi s 1 cú du bt ng thc ỳng)
GV: Vừ Vn Nghip Trang 19
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
 Phương pháp đặt ẩn phụ: Khi biến đổi phương trình, bất phương trình về dạng
( )
( )

u x
f a b=
,
( )
( )

u x
f a b³
để đơn giản trong thao tác ta đặt
( )u x
t a=
chú ý đặt điều kiện cho
tham số t.
 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số: Phương pháp này dựa vào tính đồng biến,
nghịch biến và đồ thị của hàm số.
 Chú ý là phải nhận xét xem trong bài toán có bao nhiêu cơ số. Phải lưu ý học sinh trước khi giải
phương trình phải tìm điều kiện xác định.
Vdụ: + Phương trình 2
x + 3
= 5
x
có thể đưa về một cơ số bằng cách biến đổi
3
2
2 5 8 1
5
x
x x+
æö
÷

ç
= =Û
÷
ç
÷
ç
è ø
.
+
( ) ( ) ( )
( )
1
2 3 2 3 4 2 3 4
2 3
x x x
x
- + + = - + =Û
-
từ đó đặt ẩn phụ t =
( )
2 3
x
-
+ Phương trình
3 4 5
x x x
+ =
chứa ba cơ số không thể rút gọn cơ số nên phải dùng tính
đơn điệu của hàm số để giải.
+ Phương trình

1 1
2.4 9 6
x x x+ +
+ =
có thể biến đổi thành
8.4 9 6.6
x x x
+ =
nhận xét rằng 4 = 2
2
, 9 = 3
2
và 6 = 2.3 nên PT trở thành
( ) ( )
2 2
8 2 3 6.2 .3
x x x x
+ =
chia hai vế cho
2 .3
x x
sẽ đưa pt về một cơ số.
 Nếu không nhận xét được mà nghĩ đến dùng tính đơn điệu thì không thể giải được.
+ Giải phương trình
2
2 1
2
log 2log (3 4)x x=- +
 Nhận xét
1

1
2
2
-
=
nên sau khi đặt điều kiện nghiệm đưa pt về cùng cơ số 2 để giải.
 Trong bài này cần chú ý cho học sinh phép biến đổi
2
2 2
log 2logx x=
chỉ đúng khi x > 0;
nên phải sử dụng đúng công thức
2
2 2
log 2log | |x x=
để giải bài này mới tìm được đúng nghiệm.
● Loại giải bất phương trình mũ và lôgarit:
Cũng phân tích cơ số, đặt điều kiện như dạng phương trình mũ và lôgarit nhưng bắt buộc phải so
sánh cơ số với 1 để sử dụng đúng các công thức:
▪ Nếu a > 1 thì: a
f(x)
> a
g(x)

⇔
f(x) > g(x).
▪ Nếu 0 < a < 1 thì: a
f(x)
> a
g(x)

⇔
f(x) < g(x).
▪ Nếu
1: log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
a f x g x f x g x> > >Û
▪ Nếu
0 1: log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
a f x g x f x g x< < > <Û
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 20
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
 Ví dụ: + Giải bất phương trình:
2 3 7 3 1 (1)
6 2 .3
x x x+ + -
<
.
Gợi ý để học sinh phân tích đề: Mũ là một nhị thức bậc nhất → đưa về số mũ là x sau đó biến
đổi cơ số.
 (1) 
( )
( )
3
2 7
3 2 7
3 3
3
6 2

6 . 6 2 .2 .
3
2.3 3.6
x
x
x
x
æ ö
÷
ç
÷
< <Û
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

4
2 2
3 3
x
æö æö
÷ ÷
ç ç
<
÷ ÷
ç ç
÷ ÷

ç ç
è ø è ø

 x > 4 (Chú ý cho học sinh là cơ số nhỏ hơn 1).
+ Giải bất phương trình:
4
1 3
log 0
1
x
x
æ ö
+
÷
ç
³
÷
ç
÷
ç
è ø
-
.
HDẫn cho học sinh phân tích đề:
Đây là BPT lôgarit có cơ số lớn hơn 1 → Đặt điều kiện nghiệm sau đó áp dụng công thức
1: log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
a f x g x f x g x> > >Û
với chú ý
4

0 log 1=
và khi giải BPT
1 3
1
1
x
x
+
³
-

cần biến đổi về
1 3
1 0
1
x
x
+
- ³
-
sau đó quy đồng và xét dấu hoặc dùng phương pháp khoảng.
+ Có thể biến đổi trực tiếp

2
2
0,8 0,8
1 2 5
log ( 1) log (2 5)
2 5 0
x x x

x x x
x
ì
ï
+ + > +
ï
+ + < + Û
í
ï
+ >
ï
î
.
Ⓐ. MỘT SỐ BÀI TẬP
1) Tính giá trị của biểu thức
1 1
( 1) ( 1)A a b
- -
= + + +
khi

( ) ( )
1 1
2 3 2 3µa v b
- -
= + = -
2) Biết
27 8 2
log 5 , log 7 , log 3a b c= = =
. Tính

6
log 35
theo a, b, c.
3) Tính
2 3 4 2000
1 1 1 1

log log log log
A
x x x x
= + + + +
với x = 2000!
4) Rút gọn biểu thức
4
2 4
: ( 0)B x x x x
π π
= >
.
5) Vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
2
x
y =
b)
2
logy x=
c)
1
2

x
y
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø
d)
1
2
logy x=
6) Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến?
a)
3
3 2
x
y
æ ö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø

+
; b)
2
x
y
e
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø
; c)
1
3
3 2
x
x
y
-
æ ö
÷
ç
=
÷
ç
÷

ç
è ø
-
.
7) Chứng minh rằng
( )
3
3 3 3 3
2 4 2 2 4 2 2 2
a a b b b a a b+ + + = +
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 21
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
8) Chứng minh
1
log
1 1 1 1
log log log log
abcd
a b c d
x
x x x x
=
+ + +
với a, b, c, d, x, abcd dương
khác 1.
9) Không dùng máy tính hãy chứng minh đẳng thức
3 3
7 5 2 7 5 2 2+ + - =
.
10) Không dùng máy tính hãy so sánh các cặp số sau:

a)
( ) ( )
6
log 3 1 log 2 1íiv
π π
- -
.
b)
2 5
log 3 log 3íiv
.
c)
5 8
7 11
7 3
log log
9 4
íiv
.
d)
4 5
log 5 log 6íiv
11) Giải các phương trình sau:
a)
5
3 7
x-
=
, b)
|3 4| 2 2

3 9
x x- -
=
c)
( )
3
4 log
1
3
3
x- +
=
d)
1 2 1
4.9 3. 2
x x- +
=

e)
2
2
3
2 .3
2
x x x-
=
f)
( ) ( )
10
5 10

3 3 84
x x-
+ =
.
g)
2 2 2
2 1 2 1 2
25 9 34.15
x x x x x x- + - + -
+ =
h)
( ) ( )
5(7 2) 6 5(7 2 7
x x
- + + =
i)
( ) ( )
5 1
5
log 1 log 2 0x x- - + =
j)
( ) ( )
9 3
log 8 log 26 2x x+ - + =-
k)
log 5 4 log 1 2 log0,18x x- + + = +
l)
3 9 27
11
log log log

2
x x x+ + =
. m)
( )
2
3 3
2log ( 2) log 4 0x x- + - =
n)
2
2 1
2
2
log 3log log 2x x x+ + =
o)
2 2
3 log log 4 0x x- =

12) Giải các bất phương trình sau:
a)
9
2 1
log
1 2
x
x
>
+
. b)
2 2
2log ( 1) log (5 ) 1x x- > - +

.
c)
3
4 2
log log 2x x- >
. d)
1 4
5
log log 1x x+ ³
e)
6.9 13.6 6.4 0
x x x
- + £
.
A. NGUYÊN HÀM
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 22
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Chuyên đề 4 :
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
Nguyên hàm :
Định nghĩa
Hàm số
( )
F x
gọi là nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trên
K
nếu

( ) ( )
;F x f x x K
′
= ∀ ∈
.
Định lý :
Nếu
( )
F x
là nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trên
K
thì mọi hàm số có dạng
( )
F x C+
cũng là nguyên
hàm của
( )
f x
trên
K
và chỉ những hàm số có dạng
( )
F x C
+
mới là nguyên hàm của
( )
f x

trên
K
.
Ta gọi
( )
F x C+
là họ nguyên hàm của
( )
f x
trên
K
và ký hiệu là
( )
f x dx
∫
.
Vậy :
( ) ( )
f x dx F x C= +
∫
.
Tính chất :
Tính chất 1 :
( ) ( ) ( )
0kf x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
Tính chất 2 :
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx± = ±

 
 
∫ ∫ ∫
Nguyên hàm của những hàm số thường gặp :
( )
, ; 0m n m∈ ≠¡
dx x C
= +
∫
kdx kx C
= +
∫
( )
1
1
1
x
x
α
α
α
α
+
= ≠ −
+
∫
( )
( )
( )
1

1
1
1
mx n
mx n dx C
m
α
α
α
α
+
+
+ = + ≠ −
+
∫
ln
dx
x C
x
= +
∫
1
ln
dx
mx n C
mx n m
= + +
+
∫
x x

e dx e C= +
∫
1
mx n mx n
e dx e C
m
+ +
= +
∫
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫
1
ln
mx n
mx n
a
a dx C
m a
+
+
= +
∫
sin cos
= − +

∫
xdx x C
( ) ( )
1
sin cos
+ = − + +
∫
mx n dx mx n C
m
cos sin
= +
∫
xdx x C
( ) ( )
1
cos sin
+ = + +
∫
mx n dx mx n C
m
2
tan
cos
dx
x C
x
= +
∫
( )
( )

2
1
tan
cos
dx
mx n C
mx n m
= + +
+
∫
2
cot
sin
dx
x C
x
= − +
∫
( )
( )
2
1
cot
sin
dx
mx n C
mx n m
= − + +
+
∫

Chú ý : Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa, ta phải biến đổi hàm số này
thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản đã biết hoặc có thể tìm được nguyên hàm.
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 23
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số :
Định lý :
Nếu
( ) ( )
f u du F u C
= +
∫
và
( )
u u x=
là hàm số có đạo hàm liên tục thì :
( ) ( ) ( )
f u x u x dx F u x C
′
= +   
   
∫
.
Các dạng nguyên hàm tính bằng phương pháp đổi biến số thường gặp :
Dạng nguyên hàm cần tìm Cách đặt biến số
( )
sin cosf x xdx
∫
sin sint x t m x n
= ∨ = +
( )

cos sinf x xdx
∫
cos cost x t m x n
= ∨ = +
( )
1
lnf x dx
x
∫
ln lnt x t m x n
= ∨ = +
( )
2
1
tan
cos
f x dx
x
∫
tan tant x t m x n
= ∨ = +
( )
2
1
cot
sin
f x dx
x
∫
cot cott x t m x n

= ∨ = +
( )
1k k
f x x dx
−
∫
k k
t x t mx m
= ∨ = +
( )
x x
f e e dx
∫
x x
t e t me n
= ∨ = +
Chú ý : Nếu hàm số dưới dấu nguyên hàm có chứa dấu căn
( )
n
thì thường ta đặt :
n
t =
Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.
Công thức :
udv uv vdu= −
∫ ∫
Các dạng nguyên hàm tính bằng phương pháp từng phần thường gặp :
Dạng 1 :
( ) ( )
p x q x dx

∫
(trong đó
( )
p x
là hs đa thức;
( )
q x
là hàm số
( )
sin x
α
hoặc
( )
cos x
α
hoặc
( )
x
e
α
)
Trong trường hợp này ta đặt :
( )
( )
u p x
dv q x dx
=


=



Dạng 2 :
( ) ( )
p x q x dx
∫
(trong đó
( )
p x
là hs đa thức;
( )
q x
là hàm số logarit)
Trong trường hợp này ta đặt :
( )
( )
u q x
dv p x dx
=


=


GV: Võ Văn Nghiệp Trang 24
Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp Và Luyện Thi Đại Học
Bài tập :
Bài 1 : Chứng minh rằng hàm số
( )
( )

2
1
x
F x e x
= +
là nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2
1
x
f x e x
= +
.
Bài 2 : Chứng minh rằng hàm số
( )
ln 3F x x x x= − +
là nguyên hàm của hàm số
( )
lnf x x=
.
Bài 3 : Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
cos 2 3tanf x x x
= −
.
Bài 4 : Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )

2
1 2x
f x
x
+
=
thỏa mãn điều kiện
( )
1 3F
− =
.
Bài 5 :
Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
cos 3sinf x x x
= −
thỏa mãn điều kiện
( )
0F
π
=
.
Bài 6 : Tính :
2
2
x x dx
x

 
+
 ÷
 
∫
;
( )
3 2sin cosx xdx
+
∫
;
2
1
3
x
x
e dx
e
 
−
 ÷
 
∫
;
2
cos sin 2
cos
x x
dx
x

−
∫
Bài 7 : Tính :
3
cos sinx xdx
∫
;
cos
3sin 5
xdx
x
+
∫
;
3
sin
cos
xdx
x
∫
;
3sin
cos
x
e xdx
∫
;
2
2tan 1
cos

x
dx
x
+
∫
;
( )
4
2
cot 1
sin
x
dx
x
+
∫
;
3
x
x
e dx
e
+
∫
ln
dx
x x
∫
;
4

ln x
dx
x
∫
;
( )
3
ln 2x
dx
x
+
∫
;
2 1x dx
+
∫

2
3
2 1
x dx
x
+
∫
;
2
1x xdx
+
∫
;

2
3
xdx
x
+
∫
.
2 cosx xdx
∫
;
( )
3
x
x e dx
+
∫
;
( )
4 1 sinx xdx
+
∫
;
2
3 lnx xdx
∫
;
( )
2
3 2 lnx x xdx
+

∫
( )
ln 1x dx
+
∫
;
( )
1
x
e xdx
+
∫
;
B. TÍCH PHÂN
Tích phân :
Định nghĩa :
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = − 
 
∫
GV: Võ Văn Nghiệp Trang 25