de thi va dap an HSG bang B khanh hoa 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2012 – 2013
 
Môn thi : TOÁN – THPT (Bảng B)
Ngày thi : 15/3/2013
(Thời gian : 180 phút – không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (3,00 điểm)
Cho hàm số
2
2
2
x x
y
x
+ −
=
−
.Tìm 2 điểm trên 2 nhánh của đồ thị mà tiếp tuyến tại 2
điểm đó song song với nhau và có khoảng cách lớn nhất .
Bài 2: (2,5 điểm)
Giải phương trình sin3x = cosx.cos2x(tan
2
x + tan2x).
Bài 3: (3,0 điểm)
Tính tích phân
2
2 2 2
2 2
2
ln( 1 ) 4ln( 1 ) 2

(4 )
x x x x x
I dx
x
−
+ − + + − +
=
+
∫
Bài 4: (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (E):
2 2
1
16 1
x y
+ =
và (P): y =
2
3 3 9
4 2 4
x x
+ −
.Chứng minh
rằng (E) cắt (P) 4 điểm nằm trên một đường tròn .

Bài 5:(3,0 điểm )
Giải bất phương trình
2
12 8
2 4 2 2

16 9
x
x x
x
−
< + − −
+
Bài 6:( 3,0 điểm )
Cho hình chóp S.ABCD , ABCD là hình bình hành .Gọi K là trung điểm SC .Mặt
phẳng qua AK cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại M,N .Gọi V
1
, V lần lượt là thể tích của khối
chóp S.AMKN và S.ABCD .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tỉ số
1
V
V
Bài 7: (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình
2
2 2
2
5
4
( )(2 2 2 3) 6ln
4
3 1 0
y y
x y x xy y
x x
x y xy


 
+ +

 ÷
− + + − =

 ÷
 + +
 

− − =


 HẾT 
- Đề thi có 01 trang;
- Giám thị không giải thích gì thêm.
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN GIẢI :
Bài 1: +Để ý : M( x; y) ∈(C) thì M'(x' = 4-x; y' = 10- y) ∈(C) và tiếp tuyến tại M và M' có
hệ số góc bằng nhau nên // nhau , M và M' đxứng nhau qua I(2;5)
+ Khoảng cách giũa 2 t
2
: d =
2
| ( ' ) ( ' ) |
1
a x x y y
a
− − −

+
với a = 1-
2
4
( 2)x −
,
thì d =
2
2
16
16
2( 2) 8
( 2)
x
x
− + −
−
≤
16
4 8 8−
; x = 2±
8
Bài 2: (2,5 điểm)
Giải phương trình sin3x = cosx.cos2x(tan
2
x + tan2x).Chia 2 vế cho cos
3
x
+ T a có :
Bài 3: (3,0 điểm)

Tính tích phân
2 2
2
2 2 2
2 0
ln( 1 ) 1
4
4 (4 )
x x
I dx
x x
−
+ −
= +
+ +
∫ ∫
Đặt : I
1
=
2
2
2
2
ln( 1 )
4
x x
x
−
+ −
+

∫
Đặt t = - x và I
2
=
2
2 2
0
1
4
(4 )
dx
x+
∫
Đặt : x = 2tant
Bài 4: (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (E):
2 2
1
16 1
x y
+ =
và (P): y =
2
3 3 9
4 2 4
x x
+ −
.Chứng minh
rằng (E) cắt (P) 4 điểm nằm trên một đường tròn .
+Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ phương trình :

2 2
2
1
16 1
3 3 9
4 2 4
x y
y x x

+ =




= + −


.Từ đây chứng minh được
phương trình : f(x) =
2
2
3 3 9
1 0
16 4 2 4
x
x x+ + − − =
có 4 nghiệm bằng phương pháp dựa tính liên tục
của hàm số : f(a)f(b) < 0 . Hoặc (P) có đỉnh nằm ngoài (E) và cắt Ox tại 2 điểm nằm trong
(-a;a) .a và -a là hai hoành độ 2 đỉnh của ( E).
+ Chuyển hệ thành :

2 2
2
1
16 1
5 15 15 45
4 16 10 16
x y
y x x

+ =




= + −


cộng theo vế : x
2
+ y
2
+
15 5 45
1 0
10 4 16
x y+ − − =
là
phương trình của đường tròn (đpcm)
Bài 5:(3,0 điểm )
Giải bất phương trình

2
2
12 8
2 4 2 2 (3 2)( 2 4 2 2 16 9 ) 0
16 9
x
x x x x x x
x
−
< + − − ⇔ − + + − − + <
+
M
N
I
K
O
D
A
B
C
S

2
(3 2)[ 16 9 ( 2 4 2 2 )]> 0x x x x− + − + + −
Hay
2 2
(3 2)(9 8 32 16 8 2 ) 0x x x x− + − − − >
⇔
2
(3 2)( 2 8 2 ) 0x x x− − − >

⇔
2
2
3
x− ≤ ≤
hoặc
4 2
2
3
x< ≤
Bài 6:( 3,0 điểm )
Cho hình chóp S.ABCD , ABCD là hình bình hành .Gọi K là trung điểm SC .Mặt
phẳng qua AK cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại M,N .Gọi V
1
, V lần lượt là thể tích của khối
chóp S.AMKN và S.ABCD .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tỉ số
1
V
V
+
.
2
.
3
SIM
SBO
S
SI SM SM
S SO SB SB
= =

và
2.
2
.
3
SIN
SBO
S
SI SN SN
S SO SD SD
= =

⇒
1
. ( )
3
SMN
SBD
S
SM SN SM SN
S SB SD SB SD
= = +

+ Mà :
1
1
( )
4
V SM SN
V SB SD

= +
+ Đặt :
;
SB SD
x y
SM SN
= =
+ Ta có :
1 1 1 1
( )
3xy x y
= +

⇒
x + y = 3
+ Xét hàm số : f(x) =
3
4 (3 )x x−
và 1 ≤ x ≤ 2 đi đến KQ:
1
1 3
3 8
V
V
≤ ≤
Bài 7: (3,0 điểm)
hệ phương trình
⇔
3 2 3 2
5

2 3 6ln( 4 ) 2 3 6ln( 4 )
3 1 0
x x x x y y y y
x y xy

− + + + = − + + +


− − =


+ Xét hàm số : f(t) =
3 2
2 3 6ln( 4 )t t t t− + + +
trên R .
+ f '(x) = 6.t
2
-3 + 6.
2
1
4t +
Đặt : u =
2
4t +
≥ 2 , ta có :
g(u) = 6(u
2
- 4) +
6
u

-3 trên [ 2 ; +∞) , g'(u) = 12u -
2
6
u
=
3
6
(2 1)u
u
−
> 0 , ∀u≥2
g(u) ĐB /[2; +∞) , mà g(2) = 0 nên g(u) ≥ 0 , ∀u≥2.Hay f'(x) ≥ 0, ∀t
⇒
f(x) đồng biến trên R
x = y
⇒
x
6
- 3x
2
- 1 = 0
⇔
x
6
= 3x
2
+ 1 ≥ 1; ta có : x
2

= 2.cos∝ từ đó giải , vì x

2
thuộc [ 1;2]
chọn ∝ ∈ ( 0 ; π/2),Tìm được nghiệm :( ±
2cos ; 2cos
9 9
π π
±
)