Tai lieu on thi TN THPT nam 2013

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
0


Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ NHỮNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN
I/-MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN LƯU Ý:
A/-KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
1). Các bước khảo sát hàm đa thức (hàm số bậc ba; hàm số trùng phương)
 Tập xác định.
 Tìm
y

.
 Cho
y 0


để tìm các nghiệm
0
x

 Giới hạn
x
lim y


;
x

lim y


.
 Bảng biến thiên.
 Nêu sự đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số.
 Giá trị đặc biệt (có tọa độ điểm uốn khi khảo sát hàm số bậc 3 để chính xác hóa đồ thị).
 Đồ thị và nhận xét.
2). Các bước khảo sát hàm số nhất biến
ax + b
y =
cx + d




c 0,ad bc 0
 

 Tập xác định:
d
D \
c
 
 
 
 
 
 
 

 


 Tìm


2
ad bc
y
cx d




và khẳng định
y

dương hay âm,
d
x
c
 
.
 Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến trên từng khoảng xác định
d d
; , ;
c c
   
 
 

   
 
 
 
 
   
và không có cực trị.
 Giới hạn & tiệm cận ( đứng +ngang):
 Tính
x x
a a
lim y ; lim y
c c
 
 
suy ra
a
y
c

là TCN
 Tính
d d
x x
c c
lim y; lim y
 
   
 
 

   
 
 
 
 
   
suy ra
d
x
c

là TCĐ
 Bảng biến thiên.
 Giá trị đặc biệt (giao điểm với Ox, Oy, …).
 Đồ thị và nhận xét.

 Các dạng đồ thị hàm số:
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
1

 Hàm số bậc 3:
3 2
y = ax + bx + cx + d

( )
a 0

(chỉ nêu 4/6 dạng đồ thị)

 Hàm số trùng phương:
4 2
y = ax +bx + c

( )
a 0










 Hàm số nhất biến :
 

ax + b
y = ad bc 0
cx + d

 






B/-CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình:
f(x) = g(m) (1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát.
+ Đường thẳng d: y = g(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox.
Các bước giải:
Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng phương trình (1) :
x

y

O


I

x

y

O



I

a < 0
a > 0
D
ạng 2:
Hàm s
ố không có cực trị

?

x

y

O



I

x

y

O

I

a < 0

a > 0
D
ạng 1:
Hàm số có 2 cực trị

x

y

O

x

y

O

a < 0
a > 0
D
ạng 2:
Hàm số có 1 cực trị

x

y

O

x

y

O

a < 0
a > 0
D
ạng 1:
Hàm số có 3 cực trị

y
I
x
y

O

D
ạng 2:
Hàm s
ố nghịch biến

Dạng 1: Hàm số đồng biến
x O

I
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang

2

Bước : Lập luận: số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị (C) :y = f(x)
và đường thẳng d: y = g(m).
Bước : Dựa vào đồ thị để kết luận: (Chú ý so sánh g(m) với các giá trị cực trị
CD CT
y ; y
, nếu
đồ thị có tiệm cận ngang thì so sánh với giá trị tiệm cận ngang).
Lưu ý: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương trình có đúng 3 nghiệm, 4
nghiệm…ta chỉ cần chỉ rỏ các trường hợp thỏa đề.

Dạng 2: Viết PTTT của đồ thị hàm số?
 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
y f(x)

tại
0 0 0
M (x ;y ) (C)

.
 Bước 1: Nêu dạng phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
y y f (x )(x x )

  
(*)
 Bước 2: Tìm các thành phần chưa có
0 0 0
x , y , f (x )


thay vào (*).
Rút gọn ta có kết quả
 Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (d) )
Cách 1: Gọi M(x
0
; y
0
)

(C): là tiếp điểm
 Bước 1: Lập luận để có được
0
f (x ) k


 
0
x
(hoành độ tiếp điểm)
 Bước 2: Tìm y
0
và thay vào:
0 0 0
y y f (x )(x x )

  
. ta có kết quả
Cách 2: Gọi

d : y kx b
 

d là tiếp tuyến của
(C)








f x k 1
f x kx b (2)







 


có nghiệm .
Giải (1) tìm x thế vào (2) tìm b
Lưu ý: Cho đường thẳng
: y ax b


 
(hệ số góc của

bằng a)
 Nếu tiếp tuyến // với đường thẳng

thì hệ số góc tiếp tuyến bằng hệ số góc đường thẳng

.
 Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

thì hệ số góc tiếp tuyến là
1
k =
a

,
(a 0)


 Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm
1 1
A(x ;y )
(CTNC)
Phương pháp:
Cách 1: Gọi
0 0
M(x ;y ) (C)

là tiếp điểm.

 Tính
0 0
y , f (x )

theo x
0
.
 Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
0 0 0
y y f (x )(x x )

  
(1)
Vì tiếp tuyến đi qua
1 1
A(x ;x )
nên
1 0 0 1 0
y y f (x )(x x )

  

Từ đó giải phương trình tìm x
0
thay vào (1).
Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k .
 Suy ra phương trình đường thẳng d có dạng:
1 1
y y k(x x )
  

(1)
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
3

 d là tiếp tuyến của (C)










1 1
f x k 1
f x k x x y 2








  



có nghiệm
 Thế k từ (1) vào (2) giải tìm x thế vào (1) tìm k và thay vào phương trình (1)

Dạng 3: Cực trị của hàm số
Điều kiện để hàm số có cực trị:
Vắn tắt: Xét hàm số y = f(x)
 Hàm số đạt cực trị tại x
0
thì
0
f (x ) 0


(ngược lại không luôn đúng)
 Hàm số y = f(x) có: (Dấu hiệu thứ nhất)

0
f (x ) 0


và
f (x)

có đổi dấu khi x qua
0
x
thì hàm số có cực trị tại
0
x

.

0
f (x ) 0


và
f (x)

có đổi dấu từ + >>

khi x qua
0
x
thì hàm số có cực đại tại
0
x
.

0
f (x ) 0


và
f (x)

có đổi dấu từ

>> + khi x qua
0

x
thì hàm số có cực tiểu tại
0
x
.
 Hàm số y = f(x) có:

0
f (x ) 0


và
0
f (x ) 0


thì thì hàm số có cực trị tại
0
x
.

0
f (x ) 0


và
0
f (x ) 0



thì thì hàm số có cực đại tại
0
x
.



0
f (x ) 0


và
0
f (x ) 0


thì thì hàm số có cực tiểu tại
0
x
.
Học sinh chú ý:
 Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:
 Hàm số bậc 3:
3 2
y = ax + bx + cx + d

( )
a 0

 không có cực trị hoặc có 2 cực trị.

 Hàm số bậc 4 dạng:
4 2
y = ax +bx + c

( )
a 0

 có 1 cực trị hoặc 3 cực trị.
 Hàm số nhất biến :
 
ax +b
y = ad bc 0
cx + d
   chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.

Dạng 4: Điều kiện để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định
 Hàm số bậc 3:
3 2
y = ax + bx + cx + d

( )
a 0

đồng biến trên y 0, x

   
 

 Hàm số bậc 3:
3 2

y = ax + bx + cx + d
( )
a 0

nghịch biến trên y 0, x

   
 

 Hàm số:
ax + b
y =
cx + d
đồng biến trên từng khoảng xác định
y 0, x D ad bc 0

      

 Hàm số:
ax + b
y =
cx + d
nghịch biến trên từng khoảng xác định
y 0, x D ad bc 0

      



SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT

Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
4

Dạng 5: Giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1). Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D
 Số M gọi là GTLN của hàm số y = f(x) trên D nếu:
0 0
x D: f(x) M
x D:f(x ) M

  




  


(ký hiệu M là giá trị lớn nhất (GTLN) của f(x) trên D)
 Số m gọi là GTNN của hàm số y = f(x) trên D nếu:
0 0
x D :f(x) m
x D:f (x ) m

  





  


(ký hiệu m là Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f(x) trên D)
2). Cách tìm GTLN-GTNN trên


a;b
.
 Lập bảng biến thiên của hàm số trên


a;b
.
 Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại (cực tiểu) thì giá trị cực đại
(cực tiểu) là GTLN (GTNN) của hàm số trên


a;b
.
3). Cách tìm GTLN-GTNN trên


a;b
.
 Tìm các điểm x
1
,x
2
, , x

n
của f(x) trên


a;b
tại đó
f (x) 0


hoặc
f (x)

không xác
định.
 Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), , f(x
n
), f(b).
 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên

[a,b]
[a,b]
M maxf(x) ; m minf(x)
 


Dạng 6: Biện luận số giao điểm của 2 đường

( ) ( )
C : y = f x
và
( ): ( )

C y = g x

Số giao điểm của hai đường cong
( ) ( )
C : y = f x
và
( ) : ( )

C y = g x
là số nghiệm của phương
trình hoành độ giao điểm
( ) ( )
f x = g x
(1)

II/-MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. Cho hàm số
3
y x 3x 2
  
(C)
a). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b). Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương
3
x 3x 2 m 0

   
.
c). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm


M 2;4
.
d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
1
x
2

.
e). Viết phương trình của (C) tại các điểm có tung độ là 0 .
GIẢI:
a). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
 Tập xác định:
D



 Sự biến thiên
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
5

+ Giới hạn
x
lim y



và
x
lim y

 

+ Bảng biến thiên
2
y' 3x 3
 

y' 0 x 1
   

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng


; 1
 
và


1;

, nghịch biến trên
khoảng



1;1

.
Hàm số đạt cực đại tại
x 1

,
CÑ
y 4

, đạt cực tiểu tại
x 1

,
CT
y 0

.
 Đồ thị
+ Điểm uốn:
y'' 6x


y'' 0 x 0
  

Do y'' đổi dấu khi x đi qua
0

x 0


Tọa độ điểm uốn


U 0;2

+ Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
Giao điểm với Oy:
x 0 y 2
  
:


0;2

Giao điểm với Ox:
   
x 1
y 0 : 1;0 , 2;0
x 2



  

 


Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn


U 0;2
làm tâm đối xứng.
b). Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương
3
x 3x 2 m 0
   
.
Số nghiệm thực của phương trình
3
x 3x 2 m 0
   
bằng số giao điểm của đồ
thị (C) của hàm số
3
y x 3x 2
  
và đừờng thẳng (d):
y m

.
Dựa vào đồ thị ta có:
Với
m 0

hoặc
m 4


, (d) và (C) có một điểm chung, do đó phương trình có
một nghiệm.
Với
m 0

hoặc
m 4

, (d) và (C) có hai điểm chung, do đó phương trình có
hai nghiệm.
Với
0 m 4
 
, (d) và (C) có ba điểm chung, do đó phương trình có ba nghiệm.
c). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm


M 2;4
.


M 2;4
là


y 2 9


.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là

y 9x 14
 
.
d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
1
x
2

.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm Điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ
0
1
x
2

, có tung độ
0
1
y
2

.
x
y’
y
-


-1
1

+


0
0 +
-
+
4
+


-


0
x
y
2
2- 2
- 1
4
O 1

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
6

Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
1 1

;
2 2
 






 
là
1 9
y
2 4
 








 

Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm
1 1
;
2 2
 







 
là
9 13
y x
4 8
   .
e). Viết phương trình của (C) tại các điểm có tung độ là 0 .
Điểm thuộc (C) có tung độ
0
y 0

, có hoành độ
01
x 2
 
hoặc
02
x 1

.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm


2;0


là


y 2 9

 
.
Phương trình của hai tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 0 là
y 9x 18
 
và
y 0

.
Bài 2: Cho hàm số : y = – x
3
+ 3x
2
– 4.
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b). Tìm m để phương trình x
3
– 3x
2
+ m = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
c). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M(1; –2)
GIẢI:
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tư giải)
b). Tìm m để phương trình x

3
– 3x
2
+ m = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Phương trình đã cho tương đương với:
– x
3
+ 3x
2
– 4 = m – 4 (1)
Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C): y = – x
3
+ 3x
2
– 4 và
đường thẳng (d): y = m – 4.
Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại 3
điểm phân biệt.
Dựa vào đồ thị suy ra: –4 < m – 4 < 0 hay: 0 < m < 4
c). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M(1; –2)
Phương trình tiếp tuyến: y = 3x – 5.
Bài 3: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ 1.
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b). Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m :
3 2
m

x 3x 1
2
  

c). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tt vuông góc với đường thẳng
1
y x 2
3
 

GIẢI:
b). Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m :
3 2
m
x 3x 1
2
  
Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y= m/2; nên ta có:
+ Nếu
m
2
> 5 hoặc
m
2
<1 Hay m>10 hoặc m< 2 thì PT (1) có nghiệm duy nhất.
+ Nếu m = 10 hoặc m = 2 thì PT (1) có 2 nghiệm
+ Nếu 2 < m < 10 thì phương trình (1) có 3 nghiệm.
c). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
y x 2

3
 

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = 3x.
Bài 4: Cho hàm số
3
y x 3x
 
, có đồ thị (C).
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b). Xác định m sao cho phương trình
3
x 3x m 1 0
   
có ba nghiệm phân biệt.
c). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
GIẢI:
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
7

b). Xác định m sao cho phương trình
3
x 3x m 1 0
   
có ba nghiệm phân biệt.
Phương trình
3
x 3x 1 m

   
. Do đó số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị
và đường thẳng y=1-m.
Dựa vào đồ thị (C) ta thấy, phương trình có ba nghiệm phân biệt
1 m 3
   

c). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox

3
x 0
x 3x 0 x 3
x 3




   


 



 Diện tích cần tìm là:
 
3 3 3
3 3 3
0 0

3
9
S x 3x dx 2 x 3x dx 2 x 3x dx
2

      
  

Bài 5: Cho hàm số
3 2 2
y x 2mx m x 2
   
(m là tham số) (1)
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
b). Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
GIẢI:
b). Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi và chỉ khi
y (1) 0
m 1
y (1) 0





 








Bài 6: Cho hàm số
3
1 2
y x mx
3 3
  
(1) , (m là tham số ) .
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m=1
2). Tìm tham số m để hàm số (1)
a). Đồng biến trên tập xác định của nó
b). Có cực đại và cực tiểu
c). Đạt cực tiểu tại điểm
0
x 2


ĐS:
2).
a).
ycbt m 0
 
b).
ycbt m 0
 
c).
ycbt m 4

 

Bài 7: Cho hàm số
3 2
1 3
y x x 4
4 2
  
có đồ thị là (C )
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số
b). Dùng đồ thị (C ) ,tìm tham số m để phương trình :
3 2
x 6x m 0
  
có ba nghiệm
phân biệt
HD:
b).
3 2 3 2
1 3 m
x 6x m 0 x x 4 4
4 2 4
        
; ĐS: 0 < m < 32
Bài 8: cho hàm số


3 2
y x m 1 x m
   

(1)
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = – 2
b). Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
c). Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
1 2 3
x , x , x
thoả mãn:
2 2 2
1 2 3
49
x x x
4
  
HD:
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
8

a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = – 2
Khi m = – 2:
3 2
y x 3x 2
  
. (Học sinh tự giải)
b). Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
PTHĐ giao điểm của (C) và trục Ox:







3 2 2
x m 1 x m 0 x 1 x mx m 0
        

ĐS:
m 0 ;m 4
1
m
2

 





 




c). Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
1 2 3
x , x , x
thoả mãn:
2 2 2
1 2 3

49
x x x
4
  
 ý 1:
m 0 ;m 4
1
m
2

 





 




 ý 2:
2 2 2
1 2 3
49
x x x
4
  
2 2
1 2

45
x x
4
  
9 5
m ,m
2 2
   

ĐS:
9 5
m ,m
2 2
 

Bài 9: Cho hàm số
4 2
y x 2x
 
(C)
a). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b). Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
4 2
x 2x m
 

c). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
x 2

.

d). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
y 8

.
e). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 .
GIẢI:
a). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
 Tập xác định:
D



 Sự biến thiên
+ Giới hạn
x
lim y

 

+ Bảng biến thiên
3 2
y 4x 4x 4x(x 1)

   

y 0 x 0

  
và
x 1

 

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng


1;0

và


1;

,
nghịch biến trên các khoảng


; 1
 
và


0;1
.
Hàm số đạt cực đại tại
x 0

,
CÐ

y 0

, đạt cực tiểu tại
x 1
 
,
CT
y 0

.
 Đồ thị
Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy:
x 0 y 0
  
:


0;0

x
y’
y
-


-1 1
+


0 0
+
–
+
-1
+


+


0
0
–
-1
x
y
- 2
2
- 1
- 1
O
1

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
9

+ Giao điểm với Ox:

 
 
x 0
y 0 : 0;0 , 2;0
x 2



  

 


Nhận xét: Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng.
b). Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
4 2
x 2x m
 

Số nghiệm thực của phương trình
4 2
x 2x m
 
bằng số giao điểm của đồ
thị (C) của hàm số
4 2
y x 2x
 
và đường thẳng (d):
y m


.
Dựa vào đồ thị ta có:
Với
m 1

, (d) và (C) không có điểm chung, do đó phương trình vô nghiệm.
Với
m 1
 
hoặc
m 0

, (d) và (C) có hai điểm chung, do đó phương trình có hai nghiệm.

c). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
x 2

.
Tung độ của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
0
x 2

là
0
y 8


Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm



2;8
là


y' 2 24

.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm


2;8
là
y 24x 56
 
.
d). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
y 8

.
Điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ
0
y 8

, có hoành độ
0
x 2
 
.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm và



2;8

lần lượt là


y' 2 24

,


y' 2 24
  
.
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm


2;8
là
y 24x 56
 
và tại điểm


2;8

là
y 24x 40
  

.
e). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 .
Điểm


0 0
M x ;y
thuộc (C) có hệ số góc tiếp tuyến tại M là:


0
y x 24


.
Khi đó, ta có:




3 2
0 0 0 0 0 0
4x 4x 24 0 x 2 4x 8x 12 0 x 2
         

Lúc này tung độ của M là
0
y 8

.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là
y 24x 56
 
.
Bài 10: Tìm điều kiện m để:
a). Hàm số
4 2
y x mx m 5
   
có 3 cực trị
b). Hàm số
3 2 2
y x 3mx (m 1)x 2
    
đạt cực tiểu tại điểm
x 2


HD:
a). Hàm số
4 2
y x mx m 5
   
có 3 cực trị

3 2
y 4x 2mx 2x(2x m)

   

Hàm số có 3 cực trị khi
y 0


có 3 nghiệm phân biệt

phương trình
2
2x m 0
 
có 2 nghiệm phân biệt khác 0

m < 0
Bài 11: Cho hàm số:
2 4
y 2x x
 
.
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b). Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
4 2
x 2x m 0
  
.
HD:
b). Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
4 2
x 2x m 0
  
.

Phương trình:
4 2 2 4
x 2x m 0 m 2x x
    


Số nghiệm của pt trên là số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị (C).
Dựa vào đồ thị (C) ta có:
m 1
m 0






phương trình có 2 nghiệm
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
10

m 0

phương trình có 3 nghiệm
0 m 1
 
phương trình có 4 nghiệm
m 1


phương trình vô nghiệm
Bài 12: Cho hàm số
4 2
1
y x 2x 4
4
  
(C)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) trong các trường hợp:
a). Tiếp tuyến của (C) tại gốc toạ độ
b). Tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng –8
c). Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: y = x + 1
d). Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng Δ:
1
y x 1
15
 

e). Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
4
M 4;
3
 








 
(NC)
HD:
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
a). Tiếp tuyến của (C) tại gốc toạ độ
Tại điểm (0; 0) có tiếp tuyến y = – 3x
b). Tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng –8
Tìm được hai tiếp điểm:
16
1;
3
 







 
;
20
5;
3
 








 

 Tại điểm
16
1;
3
 







 
có tiếp tuyến
8
y 8x
3
 

 Tại điểm
20
5;
3
 








 
có tiếp tuyến
100
y 8x
3
  

c). Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: y = x + 1
Tìm được một tiếp điểm:
2
2;
3
 







 

Tại điểm

2
2;
3
 







 
có tiếp tuyến
8
y x
3
 

d). Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng Δ:
1
y x 1
15
 

Tìm được hai tiếp điểm:


6;18

;

50
2;
3
 







 

Tại điểm


6;18

có tiếp tuyến
y 15x 72
  

Tại điểm
50
2;
3
 








 
có tiếp tuyến
40
y 15x
3
 
e). Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
4
M 4;
3
 







 
(NC)
Tìm được hai tiếp điểm:


6;18

;

50
2;
3
 







 

 Tại điểm
4
4;
3
 







 
có tiếp tuyến
32
y 3x
3

 
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
11

 Tại điểm
4
1;
3
 







 
có tiếp tuyến
4
y
3


Bài 13: Cho hàm số
4 2
y x 2mx m 1
   
(1) , (m là tham số ) .

a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m = 1
b). Tìm tham số m để hàm số có ba cực trị tạo thành một tam giác đều
HD:
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m = 1
Khi m = 1, ta có:
4 2
y x 2x
 
. Học sinh tự giải
b). Tìm tham số m để hàm số có ba cực trị tạo thành một tam giác đều
Ta có:


2
y 4x x m

 
;
2
y 0 x 0;x m

   

Hàm số có ba cực trị khi m > 0
Toạ độ ba điểm cực trị là A(0;m–1) ;


2
B m; m m 1
   

;


2
C m; m m 1
  

Ta luôn có: AB = AC, nên tam giác ABC đều khi
2 2
AB BC


Lúc đó:
4
3
m m 4m 3
m   loại m = 0.
Bài 14: Cho hàm số
2x 1
y
x 1



(C)
a). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
1
x
2


.
c). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ
1
y
2
 
.
d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến k = 4.
e). Tìm m để đường thẳng
 
5
d : y mx 2m
3
   cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .
GIẢI:
a). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
 Tập xác định:


D \ 1
 


 Sự biến thiên:
+ Giới hạn



x 1

lim y

 
 
và


x 1
lim y

 
 

x 1
 
là tiệm cận đứng

x
lim y 2


và
x
lim y 2



y 2
 
là tiệm cận ngang

+ Bảng biến thiên



2
1
y 0, x 1
x 1

    


 Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng


; 1
 
và


1;
 
.
x
y’
y
-


-1
+


2
+
+
+


-


2
x
y
1
2
- 1
- 3
- 2
3
2
1
O
1

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ

Trang
12

Hàm số không có cực trị.
 Đồ thị
+ Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
 Giao điểm với Oy:
x 0 y 1
  
:


0;1

 Giao điểm với Ox:
1 1
y 0 x : ;0
2 2
 


   




 

+ Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm



I 1;2

của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
b). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
1
x
2

.
Điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ
0
1
x
2

, có tung độ
0
4
y
3

.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
1 4
;
2 3
 







 
là
1 4
y'
2 9
 







 

Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm
1 4
;
2 3
 







 
là
4 14
y x
9 9
  .
c). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ
1
y
2
 
.
Điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ
0
1
y
2

, có hoành độ
0
3
x
5

,
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
3 1
;
5 2
 



 




 
là
3 5
y'
5 2
 


 




 
.
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm
3 1
;
5 2
 


 





 
là
5
y x 1
2
 
.
d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến k = 4.
Điểm


0 0
M x ;y
thuộc đồ thị (C), có hệ số góc của tiếp tuyến tại M là


0
y' x 4

.
Khi đó, ta có:


0 01
2
0

1 1 1
4 x 1 x
2 2
x 1
       

hoặc
02
3
x
2
 
.
Tung độ của điểm M là
01
1
y 0
2
 


 




 
hoặc
01
3

y 4
2
 


 




 
.
Vậy có hai tiếp tuyến có phương trình là
y 4x 2
 
và
y 4x 10
 
.
e). Tìm m để đường thẳng
 
5
d : y mx 2m
3
  
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .
Tìm m để đường thẳng
 
5
d : y mx 2m

3
   cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .
Đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình:
2x 1 5
mx 2m
x 1 3

  

(1) có hai nghiệm phân biệt và khác –1.
x 1
 
, (1)

2
1 2
mx m x 2m 0
3 3
 


    




 
(2)
Ta thấy (2) không có nghiệm
x 1


.
Khi đó (2) có 2 nghiệm phân biệt khi:
2
2
1 1
9m 2m 3m 0
9 3

 


     




 

1
m
9
 
.
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
13

Vậy

1
m
9
 
thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
Bài 15: Cho hàm số y
x 3
x 2



có đồ thị (C)
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm
số đã cho tại hai điểm phân biệt.
c). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến // với đường thẳng d:
y = x + 1
HD:
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) (HS tự giải)
b). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm
số đã cho tại hai điểm phân biệt.
Phương trình hoành độ của (C) và đường thẳng
y mx 1
 
:
2
x 3
mx 1 g(x) mx 2mx 1 0, x 1
x 2


       

(1)
Để (C) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt

phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

2
m 0
m m 0
g(1) 0








  







m 0
m 0
m 0 m 1

m 1
m 2m 1 0









    






  




c). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến // với đường thẳng d: y = x + 1
ĐS: Tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y = x – 3.
Bài 16: Cho hàm số: y = f(x) =
2x m
1 x



a). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
b). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 5.
c). Tìm m để hàm số luôn luôn đồng biến trên tập xác định của nó.
HD:
a). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3 (HS tự giải)
b). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 5.
Tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng 5 nên:


0
2
0
5
f (x ) 5 5
1 x

 

 
0 0
0 0
x 0 y 3
x 2 y 7

  


  


. Từ đó có:
Phương trình tiếp tuyến tại: A(0; 3): y = 5x + 3
Phương trình tiếp tuyến tại:
B(2; 7)

: y = 5x – 17
c). Tìm m để hàm số luôn luôn đồng biến trên tập xác định của nó. ĐS: m > 2
Bài 17: Cho hàm số
x m
y
x 1



(G) ,( m là tham số )
1). Tìm tham số m để điểm A(–5;2) thuộc đồ thị (G)
2). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m = 3
3). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) trong các trường hợp
a). Tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng 4
b). Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: y = 4x + 10
c). Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng Δ: y = – x + 1
d). Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(3; 9) (NC)
HD:
1). Tìm tham số m để điểm A(–5;2) thuộc đồ thị (G)
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
14

Tính được m = 3

2). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m = 3.
Khi m = 3, ta có:
x 3
y (C)
x 1



. Học sinh tự khảo sát
3). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
a). Tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng 4
Tìm ra được hai tiếp điểm: (0; – 3), (0; – 3)
 Tại điểm (0; – 3) có tiếp tuyến y = 4x – 3
 Tại điểm (–2; 5) có tiếp tuyến y = 4x + 13
b). Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: y = 4x + 10
Tìm ra được hai tiếp điểm: (0; – 3), (0; – 3)
 Tại điểm (0; – 3) có tiếp tuyến y = 4x – 3
 Tại điểm (–2; 5) có tiếp tuyến y = 4x + 13
c). Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng Δ: y = – x + 1
Tìm ra được hai tiếp điểm: (–3; 3), (1;–1).

 Tại điểm (–3; 3) có tiếp tuyến y = x + 6
 Tại điểm (1;–1) có tiếp tuyến y = x – 2
d). Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(3; 9) (NC)
Tìm ra được hai tiếp điểm: (–3; 3), (1;–1).
 Tại điểm (–3;3) có tiếp tuyến y = x + 6
 Tại điểm (1;–1) có tiếp tuyến y = 4x – 3
Bài 18: Cho hàm số
2
y

2 x


(C)
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b). Tìm toạ độ giao điểm của (C ) và parabol(P):
2
y x 1
 

c). Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt
d). Tìm m để đường thẳng
y x m
 
cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB 2

(NC)
HD:
a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) (HS tự khảo sát)
b). Tìm toạ độ giao điểm của (C ) và parabol(P):
2
y x 1
 

Các giao điểm (0; 1) và (1; 2)
c). Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt
Ta có phương trình:



2
2x m 4 x 2 2m 0
    

2
m 8m
  

ĐS:
m 0
m 8







d). Tìm m để đường thẳng
y x m
 
cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB 2

(NC)
ĐS: m = 1, m = – 5
Bài 19: Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số
1).
4 2
f(x) x 18x 2

  
trên đoạn


1;4


2).
2
x 7x 4
y f(x)
x
 
  trên khoảng
(0; )

;
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
15

3).
2
y f(x) x 9 x
   
.
HD:
1).
4 2

f(x) x 18x 2
  
trên đoạn


1;4


f
‘
(x) =
3
f (x) 4x 36x; f (x) 0
 
   



 


x 0 1;4
x 3 1;4
x 3 1;4 (loai)

  


  



  


Ta có: f(0) = 2; f(3) = –79; f(–1) = –15; f(4) = –30
Vậy
 
1;4
maxf(x) f (0) 2

 
;
 
1;4
minf (x) f (3) 79

  

2).
2
x 7x 4
y f(x)
x
 
 
trên khoảng
(0; )

;
Ta có

4
y x 7
x
  
.
Trên khoảng
(0; )

, ta có:
2
2 2
4 x 4
y 1
x x


   ;
2
y 0 x 4 0 x 2

     

Bảng biến thiên





Dựa vào bảng biến thiên, ta có:


(0; )
min f(x) f(2) 3

 
;
 Không tồn tại giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng
(0; )

.
3).
2
y f(x) x 9 x
   
.
Tập xác định
D [ 3;3]
 

Ta có
2
2 2
x 9 x x
y 1
9 x 9 x
 

  
 

2 2

2
y 0
3
9 x x
9 x x
x
x ( 3;3)
2
x [0;3)
x ( 3;3)








 
 

  
   
  
  
 

 

 






3
f( 3) 3, f(3) 3, f 3 2
2
 


    




 

Do đó
DD
3
maxf (x) f 3 2, minf(x) f( 3)
2
 


   





 


III/-MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP THÊM:
 Khảo sát hàm số & các bài toán liên quan
Bài 1: Cho hàm số: y =
1
3
x
3
– 2x
2
+ mx – 2
x
'
y

y





0
–

2

+

0



3


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
16

1). Xác định m để:
a). Hàm số đồng biến trên

.
b). Hàm số có cực trị.
c). Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
d). Hàm số có hai điểm cực trị dương.
2). Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3 (C
3
), khi m = 4 (C
4
), khi m = 6 (C
6
).
Bài 2: Cho hàm số y = – x
3
+ 3x

2
– 3mx – 3m – 4 (C
m
)
1). Xác định m để:
a). Hàm số nghịch biến trên R.
b). Phương trình: x
3
– 3x
2
+ 3mx + 3m + 4 = 0 có ba nghiệm phân biệt
2). Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 (C
0
), khi m = 1 (C
1
), khi m = 2 (C
2
).
3). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
0
) và trục hoành.
4). Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y =
3 2
x 3x 4
  
trên đoạn


1;1


.
Bài 3: Cho hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ mx + m – 2 (C
m
).
a). Tìm m để đồ thị hàm số (C
m
) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
b). Tìm m để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu ở hai phía đối với trục tung.
c). Khảo sát hàm số khi m = 4 (C
4
).
d). Gọi A là giao điểm của (C
4
) với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến của (C
4
) tại A.
e). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
4
) và (d).
Bài 4: Cho hàm số: y = – x
4
+ 2mx
2
– 2m + 1 (C
m
)

a). Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
b). KSHS khi m = 5 (C
5
), khi m = 0 (C
0
)
c). Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi (C
5
) và trục hoành.
d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C
5
) tại tiếp điểm có hoành độ x = 2.
Bài 5: Cho hàm số: y =
(m 1)x m 3
mx 2
  

, m là tham số
a). Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó?
b). Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó?
c). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2 (C
2
), khi m = –1 (C
-1
)
d). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
2
) các trục Ox, Oy và đường thẳng x = 2
e). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) quanh ox.
f). Tìm trên (C

2
) những điểm có tọa độ nguyên.
Bài 6: Cho hàm số: y =
mx 1
2x m



a). Chứng minh rằng

m hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b). Xác định m để đường tiệm cận đứng của nó đi qua điểm
A(1; 2)
.
c). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 (C).
Bài 7: Cho hàm số y =
2 2
x 2kx k 1
x k
  

(CTNC)
a). Chứng minh rằng hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu và tổng các giá trị cực trị
của chúng bằng 0.
b). Xác định k để hàm số đạt cực đại tại x = 2.
c). Xác định k để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1; 2)
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
17

d). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi k = 1 (C)
). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(3,0).
f). Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi (C) đường tiệm cận xiên của (C) và hai
đường thẳng x = 2, x = 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng (H) quay quanh trục ox.
g). Tìm điểm trên (C) có tọa độ nguyên
Bài 8: Cho hàm số: y =
2
x x m
1 x
 

(CTNC)
a). Xác định m sao cho hàm số có cực trị.
b). Xác định m sao cho hàm số có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau.
c). Xác định m sao cho hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó?
d). Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
e). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –3 (C), khi m = –1
f). Chứng minh đường thẳng (d): y = x-t luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N.
g). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục tọa độ.
h). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục tọa độ.
 Bài toán tìm GTLN-GTNN trên đoạn:
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
3 2
1
y x 2x 3x 5
3
   
trên đoạn
3

;5
2
 
 
 
 

ĐS:
3
;5
2
min y 5
 
 
 
 


Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
2x 3
y
x 1



trên đoạn


2;0


ĐS:
 


2;0
2;0
1
min y 3; maxy
3


 

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y x 4 x
  
:
ĐS:
[ 2;2] [ 2;2]
min y 2; max y 2 2


  

Bài 4: . Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y x 2lnx
 

trên
2
1
;e
e
 
 
 
 

ĐS:
2
2
4
1
1
;e
;e
e
e
min y 1; max y e 4
 
 
   
 
 
 
 
  

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2x
f(x) x e
 
trên đoạn
[ 1;0]


ĐS:


1;0
1
maxf(x) ln 2
2

 
;


2
1;0
min f(x) 1 e


  

Bài 6:. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x) sin2x x
 

trên
;
2 2
 
 
 

 
 

ĐS:
;
;
2 2
2 2
min f (x) , max f(x)
2 2
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
  

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT

Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
18

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số


f x 4sinx 2cos2x
 
trên đoạn
0;
2

 
 
 
 
.
ĐS:
0;
0;
2
2
minf(x) 2, maxf(x) 2 2


 
 
   
 

 
 
 
 

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = sin
4
x – 4sin
2
x +5
ĐS:




0;1
0;1
minf(t) 2, maxf(t) 5
 

HD: Đặt t = sin
2
x thì
0 t 1
 
. Xét hàm f(t) = t
2
– 4t + 5.
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) =
2

x 4x 4
x 1
 

trên khoảng
( ;1)

.
ĐS:
( ;1)
max f(x) f(0) 4

 

Bài 10 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
x
y
x 2


trên


2;4


ĐS:
( 2;4]
2
max y

3



Bài 11: Tìm a và b để cho hàm số
2
2
x ax b
y
x 1
 


đạt GTLN bằng 5 và GTNN bằng
1

.
Bài 12 : Cho hàm số y = ln(1 + x). Chứng minh rằng:
y
e (1 xy ) 1

 
.
Bài 13 : Cho hàm số y = x.sinx. Chứng minh rằng:
xy 2(y sin x) xy 0
 
   
.
Bài 14: Cho hàm số
2

x
2
y x.e


. Chứng minh rằng,
2
xy (1 x )y

 

Bài 15: Cho hàm số
2x x
y e e 3x
  
. Tìm x để
y 0



ĐS:
x 0


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
19


Chuyên đề 2: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
PHẦN I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
I/-LŨY THƯA VÀ CĂN THỨC
Các định nghĩa Các tính chất


n
n
a a.a a
thöøa soá


(n , n 1, a )


  
 

m n m n
a .a a






1
a a


a


0
a 1


a 0
 



m

m n
n
a
a
a





n
n
1
a
a




(n , n 1, a \ 0 )


  
 



m n n m m.n
(a ) (a ) a
 


m
n
m
n
a a


(a 0; m, n , n 2)

  




n n n
(a.b) a .b




m
n
m
n
m
n
1 1

a
a
a

  
n
n
n
a a
b
b
 

 
 



II/-HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
1). Hàm số mũ: y = a
x
( a > 0, a ≠ 1 )
 Tập xác định :
D



 Tập giá trị :
T




( Vì:
x
a 0, x
  

)
 Tính đơn điệu:
+ a > 1 : Hàm số đồng biến:
1 2
x x
1 2
x x a a
  
+ 0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến:
1 2
x x
1 2
x x a a
  
2). Hàm số lôgarít: y = log
a
x
a). lôgarít

ÐN
M
a
log N M a N (0 a 1, N 0)

     

a
log N
có nghĩa khi
a 0
a 1
N 0










b). Các tính chất :


a
log 1 0


a
log a 1




M
a
log a M


a
log N
a N



a 1 2 a 1 a 2
log (N .N ) log N log N
 

1
a a 1 a 2
2
N
log log N log N
N
 
 
 
 


a a
log N .log N


   Đặc biệt:
2
a a
log N 2.log N

c). Công thức đổi cơ số :

a a b
log N log b.log N


a
b
a
log N
log N
log b


Hệ quả:

a
b
1
log b
log a


a
a

log N log N





SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
20

d). Hàm số lôgarít: y = log
a
x ( a > 0, a ≠ 1 )
 Tập xác định:
D




 Tập giá trị
T



 Tính đơn điệu:
+ a > 1 : hàm số
a
y log x


đồng biến:
1 2 a 1 a 2
x x 0 log x log x
   

+ 0 < a < 1 : hàm số
a
y log x

nghịch biến
1 2 a 1 a 2
x x 0 log x log x
   

Một số điểm cần lưu ý:
Mũ Lôgarít
0 a 1
 

M N
a a M N
  

0 a 1
 
;
M, N 0


a a

log M log N M N
  

a 1


M N
a a M N
  

a 1


a a
log M log N M N
  

0 a 1
 

M N
a a M N
  

0 a 1
 

a a
log M log N M N
  

e). Đạo hàm số mũ, lôgarít
Hàm số sơ cấp Hàm hợp

2
1 1
x
x

 
 
 
 

1
(x )' .x

  
 

2
1 u
u
u


 
 
 

 

1
(u )' .u .u

  

 


 
1
x
2 x

 
 
n
n
n 1
1
x
n x


 
 
u
u
2 u





 
n
n
n 1
u
u
n u





x x
(e )' e


x x
(a )' a lna


u u
(e )' u .e



u x

(a )' u .a .lna




 
1
ln x (x 0)
x

 

 
a
1
log x ' (x 0)
x.lna
 


 
u
ln u (u 0)
u


 

 
a

u
log u (u 0)
u.lna


 


1
(ln x) (x 0)
x

 

a
1
(log x) (x 0)
xlna

 

u
(ln u) (u 0)
u


 

a
u

(log u) (u 0)
u.lna


 


III/-PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1). PHƯƠNG TRÌNH MŨ
a). Phương trình mũ cơ bản:
Với:
a 0,a 1,b 0
  
ta có:
x b
a b
x a




b). Một số phương pháp giải phương trình mũ:
Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số:
Với:
a 0,a 1
 
:
f (x) g(x)
a a
f(x) g(x)





Phương pháp 2: Lôgarit hoá:
a 0,a 1,b 0
  
:


f (x) g(x)
a
a b f (x) g(x). log b
  

Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ
Thông thường biến đổi PT (nếu cần) sau đó đặt ẩn phụ
f (x)
t a

, nhớ điều kiện
t 0


2). PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
a). Phương trình lôgarit cơ bản:

b
a
a 0,a 1:log x b x a

    


a
b
f(x) 0
a 0,a 1:log f(x) b
f(x) a




   






b). Một số phương pháp giải phương trình lôgarit:
Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số:
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
21

a a
f(x) g(x)
a 0,a 1:log f (x) log g(x)
f(x) 0 hay :g(x) 0





   


 



(Thông thường chọn hàm số đơn giản hơn để đặt điều kiện dương)
Phương pháp 2: Phương pháp mũ hóa:
a
g(x)
f(x) 0
a 0,a 1:log f (x) g(x)
f(x) a




   






Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ
Thông thường biến đổi PT (nếu cần) sau đó đặt
a
t log f(x)


Nếu f(x) xác định thì không cần đặt điều kiện cho t (
t


)

III/-PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1). Bất phương trình mũ cơ bản:
a > 1

0 < a < 1

a
b 0 : x log b
 

a
b 0 : x log b
 

x
a b


b 0 :

BPT có nghiệm


x


x
a b


b 0 :

BPT có nghiệm


x


a
b 0 : x log b
 

a
b 0 : x log b
 

x
a b



b 0 :

BPT vô nghiệm
x
a b


b 0 :

BPT vô nghiệm

2). Bất phương trình logarit:
a > 1

0 < a < 1



a
log f x b




b
f x a




a
log f x b















b
f x a
f x 0





a
log f x b















b
f x a
f x 0





a
log f x b




b
f x a




3). Một số phép biến đổi cần thiết:
a). Bất phương trình mũ:
( ) ( )
f x g x
a a


 Nếu
a > 1
:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a < a f x g x



 Nếu
0 < a < 1
:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
 


b). Bất phương trình lôgarit:




a a
log f x log g x


 Nếu
a > 1
:
   













a a
f x g x
log f x log g x
f x 0






 Nếu
0 < a <1
:
   













a a
f x g x
log f x log g x
g x 0





PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG.
 BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
BÀI 1. Giải phương trình
x x 1 x 2 x x 1
2 2 2 5 2.5
  
   
.
GIẢI:
Ta có:
x x 1 x 2 x x 1
2 2 2 5 2.5
  
   
x x x 2 x x
1
2 2 .2 2 .2 5 2.5 .
5
    
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
22

 
x
x x x x
5

2
2 7 5
1 2 4 .2 1 .5 7.2 .5 5 x log 5
5 5 2
   
 
 
          
 
 
 
 
   

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là
5
2
x log 5

.
BÀI 2. Giải phương trình
2
x 2
x x 2
1
3
9

 
 








 
.
GIẢI:
Ta có
2
x 2
x x 2
1
3
9

 
 







 




2
x 2
x x 2 2
3 3

  
 
2
x x 2 2x 4
3 3
   
 

2
x x 2 2x 4
    


2
x x 6 0
   
x 2
x 3





 


.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
x 2, x 3
  
.
BÀI 3. Giải phương trình
x x
25 30.5 125 0
  
.
GIẢI:
Phương trình đã cho tương đương:



2
x x
5 30.5 125 0
  
.
Đặt
x
t 5

, điều kiện
t 0

.
Khi đó phương trình trở thành:

2
t 30t 125 0
  
t 5
t 25







(nhận)
+ Với
x
t 5 5 5 x 1
    
.
+ Với
x x 2
t 25 5 25 5 5 x 2
      
.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
x 1, x 2
 
.
BÀI 4. Giải phương trình
x 2 x

3 3 10
 
 
.
GIẢI:
Ta có
x 2 x
3 3 10
 
 
x
x
1
9.3 10
3
  
Đặt
x
t 3

, điều kiện
t 0

.
Khi đó phương trình trở thành:
1
9t 10
t
 
2

9t 10t 1 0
   
t 1
1
t
9



 




(nhận)
 Với
x
t 1 3 1 x 0
    
.
 Với
x 2
1
t 3 3 x 2
9

     
.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
x 0, x 2

 
.
BÀI 5. Giải phương trình
x x x
3.9 7.6 6.4 0
  
.
GIẢI:
Phương trình đã cho tương đương:
2x x
3 3
3. 7. 6 0
2 2
   
 
 
  
 
 
 
 
   
.
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
23

Đặt
x

3
t
2
 







 
, điều kiện
t 0

.
Khi đó phương trình trở thành:
2
3t 7t 6 0
  



2
t
3
t 3 loaïi

 





 


 Với
x x 1
2 3 2 3 3
t x 1
3 2 3 2 2

     
  
  
       
  
  
  
  
     
.
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là
x 1

.
BÀI 6. Giải phương trình
2
x 4 x 2
5 7

 

.
GIẢI:
Ta có:
2 2
x 4 x 2 x 4 x 2
5 5
5 7 log 5 log 7
   
  

      
2
5 5
x 4 x 2 log 7 x 2 x 2 x 2 log 7 0
         

 
 
5
5
x 2
x 2 x 2 log 7 0
x 2 log 7



     


 

.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
5
x 2, x 2 log 7
  
.
BÀI 7. Giải phương trình
x
3 11 x
 
.
GIẢI:
Ta có
x 2

là nghiệm của phương trình cho.
Mặt khác, hàm số
x
y 3

luôn đồng biến trên

, hàm số
y 11 x
 
luôn nghịch biến trên


nên
x 2

là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
x 2

.
BÀI 8. Giải phương trình
 
x x
1 1
3x 11 . 3x 10 0
4 2
   
 
 
    
 
 
 
 
   
.
GIẢI:
Đặt
x
1
t
2

 







 
, điều kiện
t 0

.
Khi đó phương trình đã cho trở thành:


2
t 3x 11 t 3x 10 0
    
t 1
t 3x 10





 


 Với

x
1
t 1 1 x 0
2
 


    




 
.
 Với
x
1
t 3x 10 3x 10
2
 


    




 
(*).
Ta có

x 2

thỏa mãn phương trình (*) nên là nghiệm của phương trình (*).
Mà hàm số
x
1
y
2
 







 
luôn nghịch biến trên

, hàm số
y 3x 10
 
luôn đồng biến trên

. Do
đó
x 2

là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là

x 0, x 2
  
.


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH THUÂN Tài liệu ôn thi TNTHPT
Tài liệu lưu hành nội bộ
Trang
24


 BÀI TẬP CÓ ĐÁP SỐ
BÀI 1: Giải phương trình:
a).
2
x 1
x 6x 2
1
25
5

 
 








 
ĐS:
1
x 5;x
2
 

b).
x 1 x x x 1
5 10 .2 .5
  

ĐS:
x 2


BÀI 2: Giải bất phương trình:
a).
2x 1 x
2 17.2 8 0

  
ĐS:


S 1;3
 

b).





x x
4 15 4 15 8
   
ĐS:




S ; 1 1;
   


BÀI 4: Giải các phương trình sau:
a).
x 1 x x 1
5 6.5 3.5 52
 
  
b).
x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2
3 3 3 9.5 5 5
    
    

c).
x x 1
3 .2 72



d).
2 2 2
x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 7
4 4 4 1
     
  

BÀI 2: Giải phương trình:
a).






ln x 3 ln x 1 ln 3x 7
    
ĐS:
x 5


b).




4 2 2 4
log log x log log x 2

 
ĐS:
x 16


BÀI 3: Giải bất phương trình và hệ phương trình sau:
a).




3 1
3
2log x 2 log 2x 19 0
   
ĐS:


S 2;3
 

b).
8 8 8
8
8
8
log (xy) 3log x.log y
log xx
4log
y log y








 




ĐS:


1
8;2 2 , ; 2
2
 






 

BÀI TẬP:
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1).

x x 1 x 2
3 3 3 351
 
  
2).
x 1 x 2 x 2 x 3
2 2 3 3
   
  

3).
x x 1
7.5 2.5 11

 
4).
x 2x 2x x
14.7 4.3 19.3 7
  

Bài 2. Giải các phương trình sau:
1).


2
x x
6x 10
0,2 5



 2).
2
x x 5 2x 3
3 2
2 3
  
   
 
 

 
 
 
 
   

3).




4x 1 2x 3
3 2 2 3 2 2
 
  
4).


2
x x

x 1
9. 3 81




Bài 3. Giải các phương trình sau:
1).
2x 2x
9 3 6 0
  
2).
x x 1
2 4 1

 

3)
x x
25 5 12 0
  
4).
2x 8 x 5
3 4.3 27 0
 
  

Bài 4. Giải các phương trình sau:
1).
x x x

10.25 29.10 10.4 0
  
2).
x x x
5.36 3.16 2.81
 

3).
x x x
25 3.15 2.9 0
  
4).
x x x
4.9 12 3.16
 

Bài 5. Giải các phương trình sau:
1).
x 1 x 3
5 5 26
  
 
2).
x 1 2 x
7
2 2
2
 
 