Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa 2013 (Toán lớp 12-THPT)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học: 2012-2013
Môn thi: TOÁN
Lớp 12 THPT
Ngày thi: 15/03/2013
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang, gồm 05 câu.
Câu I (4,0 điểm)
Cho hàm số
2
2
+
=
x
x
y
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ điểm
( 2;2)I −
đến tiếp
tuyến đó là lớn nhất.
Câu II (4,0 điểm)
1. Giải phương trình
3 3

6 3
sin .sin 3 cos .cos3 1
.
tan( ).tan( ) 8
x x x x
x x
π π
+
= −
− +

2. Giải hệ phương trình
( ) ( )
2 1 2 2 1
(1 4 )5 1 2
( , ).
ln 3 ln 3 ,
4
x y x y x y
x y
x y
x y
− − + − +

+ = +

∈

−
= + − +



¡
Câu III (4,0 điểm)
1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
3.x y z+ + =
Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( )
2 .
4 4 4
x y z y z x z x y
xyz
yz zx xy
+ + +
+ + ≥
− − −
2. Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực

3
1
2 0
4 3.2 4 0.
x x x x
x mx
+ +

− + ≤


− − ≤



Câu IV (4,0 điểm)
1. Cho khai triển
( )
15
2 14 2 210
0 1 2 210
1 .x x x a a x a x a x+ + + + = + + + +
Chứng minh rằng:
0 1 2 15
15 15 15 14 15 13 15 0
15.C a C a C a C a− + − − = −
2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm
(1;2).G
Phương
trình đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh AB, AC và chân đường cao hạ từ đỉnh A đến
cạnh BC của tam giác ABC là
( ) ( )
2523
22
=++− yx
. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.
Câu V (4,0 điểm)
1. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB bằng
2a và
·

ABC
bằng 30
0
. Tính thể tích của khối lăng trụ
. ' ' ',ABC A B C
biết khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB và
'CB
bằng
.
2
a
2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1; -2; -3), B(-6; 10; -3). Viết phương trình mặt
phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 15 và khoảng cách từ điểm B
đến mặt phẳng (P) bằng 2.
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Số báo danh
…………………….