Đề thi chọn HSG lớp 8 năm học 12-13

Thi học sinh giỏi cấp cơ sở năm học 2009-2010 (7)
Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1:
a/ Cho x, y, z khác không thoả mãn xy + yz + zx= 0 và x + y +z= -1
Tính giá trị biểu thức M=
xy zx yz
z y x
+ +
b/ Cho x, y là các số hữu tỷ khác không thoả mãn
5 5 3 3
2x y x y+ =
.
Chứng minh H =
1
1
xy

là bình phơng của một số hữu tỷ.
Bài 2: a/Tìm a, b để G(x)= x
2010
+ x
3
+ax
2
+ x + b chia hết cho đa thức H(x)= x
2
+ x +1
b/ Tìm x, y thoả mãn
2 2
2 2
1 1

4x y
x y
+ =
Bài 3: a/ Cm biểu thức sau luôn dơng với mọi giá trị của x, y M=
2 2
5 2 6 18 50x y xy x y+ + +
b/Giải phơng trình
( )
( )
( )
3 3
3
2 2
4 7 10 7 6x x x x = +
Bài 4: Cho

ABC
có AB <AC, vẽ trung tuyến AM và phân giác BE cắt nhau tại N. Qua E vẽ đờng
thẳng song song với AM cắt BC và BA tại K và H.
a/ Chứng minh KE + KH = 2AM b/ Chứng minh
1 =
NB BC
NE BA
c/ Phân giác AD của
ABC
cắt BE tai I, gọi G là trọng tâm
ABC
.
Chứng minh nếu AB+ AC= 2BC thì IG//BC.
Thi học sinh giỏi cấp cơ sở năm học 2009-2010

Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1:
a/ Cho x, y, z khác không thoả mãn xy + yz + zx=0 và x + y +z = - 1
Tính giá trị biểu thức M=
xy zx yz
z y x
+ +
b/ Cho x, y là các số hữu tỷ khác không thoả mãn
5 5 3 3
2x y x y+ =
.
Chứng minh H =
1
1
xy

là bình phơng của một số hữu tỷ.
Bài 2: a/Tìm a, b để G(x)= x
2010
+ x
3
+ax
2
+ x + b chia hết cho đa thức H(x)= x
2
+ x +1
b/ Tìm x, y thoả mãn
2 2
2 2
1 1

4x y
x y
+ =
Bài 3: a/ Cm biểu thức sau luôn dơng với mọi giá trị của x, y M=
2 2
5 2 6 18 50x y xy x y+ + +
b/Giải phơng trình
( )
( )
( )
3 3
3
2 2
4 7 10 7 6x x x x = +
Bài 4: Cho

ABC
có AB <AC, vẽ trung tuyến AM và phân giác BE cắt nhau tại N. Qua E vẽ đờng
thẳng song song với AM cắt BC và BA tại K và H.
a/ Chứng minh KE + KH = 2AM b/ Chứng minh
1 =
NB BC
NE BA
c/ Phân giác AD của
ABC
cắt BE tai I, gọi G là trọng tâm
ABC
.
Chứng minh nếu AB + AC= 2BC thì IG//BC.
Thi học sinh giỏi cấp cơ sở năm học 2009-2010 (7)

H ớng dẫn chấm Toán lớp 8
Bài 1: (2,5 điểm) Câu a=1,5 đ ; câu b=1 đ
a/ Vì x, y, z khác không thoả mãn xy + yz + zx=0


1 1 1
0
x y z
+ + =
(0,25 đ)
Nên M=
xy zx yz
z y x
+ +
= xyz
2 2 2
1 1 1
x y z

+ +
ữ

(0,25 đ)
=
( )
2
1 1 1 2
xyz x y z
x y z xyz

+ + + +

ữ



(0,5 đ)
=xyz
2 2
0 ( 1) . 2xyz
xyz xyz

= =


(0,5 đ)
b/ Cho x, y là các số hữu tỷ khác không thoả mãn
5 5 3 3
2x y x y+ =
nên ta có
5 5 5 5 2
3 3 6 6
( )
1 1
2 4
x y x y
x y x y
+ +
= =

(0,25 đ)
vậy H =
1
1
xy

=
( )
2
2
5 5
5 5
6 6 3 3
1

4 2
x y
x y
x y xy x y
+


= =
ữ

là bình phơng của một số hữu tỷ
Bài 2: (2 điểm) mỗi câu 1 điểm
a/Ta có G(x)= x
2010
+ x

3
+ ax
2
+ x + b= (x
2010
- 1)+(x
3
- 1)+ ax
2
+ x + b+ 2
Vì x
2010
- 1 = (x- 1) (x
2
+ x +1)Q(x) và x
3
- 1=(x- 1) (x
2
+ x + 1) chia hết cho x
2
+ x + 1
nên để G(x) chia hết cho đa thức H(x)= x
2
+ x + 1
Thì ax
2
+ x + b+ 2 chia hết cho đa thức H(x)= x
2
+ x +1 (0,25 đ)
Ta có ax

2
+ x + b+ 2 chia cho H(x)=x
2
+ x + 1 đợc thơng là a và d (1- a)x+ b+ 2- a
Vậy để ax
2
+ x + b chia hết cho H(x)=x
2
+ x +1 thi (1- a)x+ b+ 2- a= 0 với mọi x
Nên 1- a= 0 và b+ 2- a= 0
1a
=
và b= -1 (0,5 đ)
b/ Ta có
2 2
2 2
1 1
4x y
x y
+ =
2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
( 2 ) ( 2 ) 0 0x y x y
x y x y


+ + + = + =

ữ
ữ


(0,5 đ)
nên ta có
2
2
2
2
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
x
y

x
x
x
y
x
x
x
x
y
y
y
y
y
y
x
y

=



=




=

=


=
ữ

=

=






=
=





=
=

ữ

=




=



=



(0,5 đ)
Bài 3: (2,5 điểm) Câu a =1 đ; câu b =1,5 đ
a/ Chứng minh biểu thức sau luôn dơng với mọi giá trị của x, y
Ta có M=
2 2
5 2 6 18 50x y xy x y+ + +
=
2 2 2
2 6 6 9 4 12 9 32x xy x y y y y + + + + + +
(0,25 đ)
=
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 3 3 2 3 32x x y y y

+ + +

(0,5 đ)
=
( ) ( )
2 2
2 2 3 32 0x y y + + + >
với mọi giá trị của x, y vì (0,25 đ)
b/Ta có
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
3 3 3
3 3 3
2 2 2
4 7 10 7 6 7 6 7 10 4 0x x x x x x x x = + + + + =
(0,25 đ)
đặt x
2
-7x+6=a ; 7x-10=b ; 4-x
2
=c ta có a+b+c=0 và a
3
+ b
3
+c
3
=0
Ta chứng minh đợc a
3

+ b
3
+c
3
=3abc nên ta có 3abc=0 nên a=0 hoặc b=0; c=0 (0,5 đ)
xét các khả năng ta tìm đợc x=1 ; x=6 ; x=
10
; 2
7
x =
(0,75 đ)
Bài 4: (3 điểm) mỗi câu đúng cho 1 điểm
a/vì KH//AM nên ta có
; 2 2
KE KC KC KH BK KE KH
KE KH AM
AM MC MB AM MB AM MA
= = = + = = + =
b/ Trên tia AM lấy F sao cho MA=MF ta có tứ giác ACFB là hình bình hành nên BF
=P
AC.
Nên ta có
NB BF AC
NE AE AE
= =
. Ta có BE là phân giác nên ta có
1
BC EC NB BC
BA EA NE BA
= = =

Hoặc chứng minh cách khác: Ta có
NB MB MC AC
NE MK MK AE
= = =
;
1
BC EC NB BC
BA EA NE BA
= = =
c/ Ta tính đợc BD=
2 2
BC AB BC AB AB
AB AC BC
ì ì
= =
+
( vì AB+AC=2BC ). Ta có BI là phân giác nên ta
có
1
2
2
BA
ID BD
IA BA BA
= = =
. Vì G là trọng tâm

ABC
nên
1

//
2
GM ID GM
IG BC
GA IA GA
= =
MÔN : TOáN 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Kì THI HọC SINH GIỏI LớP 8
Năm học: 2011 - 2012
Đề CHíNH THứC: (Đề này gồm có 1 trang).
Bài 1:(2,0 điểm)
1. Tìm hai số tự nhiên
,a b
sao cho
128a b+ =
và ƯCLN(a,b)=16.
2. Tìm số nguyên tố
p
sao cho
10; 14p p+ +
cũng là nguyên tố.
Bài 2:(2,0 điểm)
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a.
2 2 2
6. 12 54z 6 +x xy y
b.
20
1x x+ +
2. Cho đa thức bậc 3 ,

3 2
( ) . .
= + + +
f x x a x b x c
. Xác định các hệ số
, ,a b c
biết rằng
( )f x
chia hết cho
2x
,
( )f x
chia cho
2
1x
thì d
2x
.
Bài 3: (2,0 điểm)
1. Cho biểu thức
3 2 2
3 2 2
8 2 4 1 3. 2
. : .
2 8 4 2 1
x x x x x x
P
x x x x x x

+ + +

=
ữ
+ + + + +

tìm
x
để
0>p
.
2. Cho
, 0 1a b v a b> + =
, chứng minh rằng
4 4
1
8
+
a b
Bài 4: (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB=8cm, AD=6cm kẻ
BH AC, H AC
, gọi M,
N, E, F lần lợc là trung điểm của AD, BC, AH và BH.
a. Tính diện tích của tứ giác ABHD. b. Chứng minh
CF EB
.
c. Trên tia đối của tia
DC
uuur
lấy điểm P, đờng thẳng PM cắt AC tại Q. C/ m
ã
ã

QNM MNP=
.
Đề CHíNH THứC: (Đề này gồm có 1 trang).
Bài 1:(2,0 điểm)
3. Tìm hai số tự nhiên
,a b
sao cho
128a b+ =
và ƯCLN(a,b)=16.
4. Tìm số nguyên tố
p
sao cho
10; 14p p+ +
cũng là nguyên tố.
Bài 2:(2,0 điểm)
3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a.
2 2 2
6. 12 54z 6 +x xy y
b.
20
1x x+ +
4. Cho đa thức bậc 3 ,
3 2
( ) . .
= + + +
f x x a x b x c
. Xác định các hệ số
, ,a b c
biết rằng
( )f x

chia hết cho
2x
,
( )f x
chia cho
2
1x
thì d
2x
.
Bài 3: (2,0 điểm)
3. Cho biểu thức
3 2 2
3 2 2
8 2 4 1 3. 2
. : .
2 8 4 2 1
x x x x x x
P
x x x x x x

+ + +
=
ữ
+ + + + +

tìm
x
để
0>p

.
4. Cho
, 0 1a b v a b> + =
, chứng minh rằng
4 4
1
8
+
a b
Bài 4: (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB=8cm, AD=6cm kẻ
BH AC, H AC
, gọi M,
N, E, F lần lợc là trung điểm của AD, BC, AH và BH.
a. Tính diện tích của tứ giác ABHD. b. Chứng minh
CF EB
.
c. Trên tia đối của tia
DC
uuur
lấy điểm P, đờng thẳng PM cắt AC tại Q. C/ m
ã
ã
QNM MNP=
.
HƯớNG DẫN VắN TắT ĐáP áN Và BIểU ĐIểM MÔN TOáN HSG LớP 8
Bài 1. (2.0đ)
1. (1.0đ) giả sử
<
a b
;

1 1
,a b N
, ƯC
( ) { }
1 1
; 1a b =
để
1 1
16a 16a v b b= =
0.25đ
Thay vào
128a b
+ =
ta đợc
1 1
8a b+ =
0.25đ
Suy ra
1 1
1; 7a b= =
hoặc
1 1
3; 5a b= =
0.25đ
Vậy
16; 112a b= =
hoặc
48; 80a b= =

0.25đ

2.(1,0đ) nếu
2p =
(p nguyên tố)
10 12p + =
không ngtố (loại)
Nếu
3p =
(nguyên tố)
10 13; 14 17p P + = + =
nguyên tố
0.25đ
Nếu
3;p k N>
suy ra p có dạng
3 1; 3 2p k p k= + = +
Khi
3 1 14 3 15 3( 5)p k p k k= + + = + = +
chia hết cho 3 (loại)
Khi
3 2 10 3 12 3( 5)p k p k k= + + = + = +
chia hết cho 3 (loại)
0.5đ
Vậy p=3
0.25đ
Bài 2. ( 2.0đ)
1.(1.0đ) a.
2 2 2
6. 12 54z 6 6( 3z)( 3z)x xy y x y x y + = = +

0.5đ

b.
20 20 2 2 2 2 9 6 3
1 1 ( 1) ( 1)( 1)( 1) 1x x x x x x x x x x x x x

+ + = + + + = = + + + + + +


0.5đ
2.(1.0đ) vì
( ) ( 2)f x x N
nên
(2) 0 8 4a 2 0(1)f b c= + + + =
0.25đ
( )f x
chia cho
2
1x
d
2x
nên
2
( ) 2 ( 1)f x x x N
(1) 2 0 1f a b c = + + =
(2)
( 1) 2 0 1f a b c + = + =
(3)
0.25đ
Từ (1); (2) và (3) suy ra
10 10
; 1

3 3
a b v c

= = =
; Kết luận đúng 0.5đ
Bài 3

. (2.0đ)
1. 1.(1.0đ)
3 2 2
3 2 2 2
8 2 4 1 3. 2 4( 1)
. : .
2 8 4 2 1 1
x x x x x x x
P
x x x x x x x x

+ + + +
= = =
ữ
+ + + + + + +

(ĐK
2x
)
0.5đ
Nhận xét
2
2

1 3
1 0
2 4
x x x

+ + = + +
ữ

với mọi x
Đề p >0
4( 1) 0 1x x + > <
; Kết luận đúng.
1 2x v x<
0.5đ
2. (1.0đ) áp dụng bất đẳng thức AM-GM hai lần
( )
( )
2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
1
2 2
2 2
b
a b a b
a
aab a b a b b
+
+ ++ +
0.5đ

( )
2
2
2 2
4 4 4 4 4 4
1
1
2
2 2 8
a b
b ba ba a

ữ
+

+ + +
0.5đ
Bài 4

. (4.0đ)
Vễ hình đúng
0.5đ
a. (1.25đ) chứng minh đợc
ABH

CAB

0,25đ
Tính đợc
24 32

;
5 5
= =BH cm AH cm

0,25đ
kẻ
DK AC,K AC
Chứng minh đợc
DK BH=
0.25đ
Tính đợc
2
ABHD ABH ADH
1 1 24 32 768
S S S AH.BH DK.AH AH.BH . (cm )
2 2 5 5 25
= + = + = = =
Kết luận đúng
0.5đ
b. (0.75đ) Chứng minh đợc
EF BC

Chỉ ra đợc F là trực tâm của
BEC

Kết luận đợc
CF BE


0.75đ

c. (1.5đ) gọi O là giao điểm của MN và AC; qua O kẻ đờng thẳng song song với BC cắt QN
tại I.
Chỉ ra đợc Vì MO song song với PC nên
QM QO
PM OC
=
0.25đ
Tơng tự IO song song với NC nên
QO QI
OC IN
=
0.25đ
Nêu đợc
QM QI
PM IN
=
suy ra MI song song với PN 0.25đ
Chỉ ra đợc
ã
ã
NMI MNP=
(so le trong)
0.25đ
Chứng minh đợc
MIN
cân tại I; suy ra
ã
ã
NMI INM=
0.25đ

Kết luận đợc
ã
ã
QNM MNP=
0.25đ
Nếu học sinh giải theo cách khác, lập luận đúng thì vẫn cho điểm tối đa của phần đó.
Điểm số đợc làm tròn theo quy định
(h×nh vÏ)