bài tập hinh 11 - c3

Bài tập ôn đường thẳng vuông góc mặt phẳng
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh
bên SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a.
1. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
2. Tính diện tích các mặt bên của hình chóp.
3. Chứng minh trung tuyến AM của tam giác SAD vuông góc với mp(SAD).
4. Tính cosin của góc tạo bởi cạnh bên SC và mặt đáy.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và
SA ⊥ (ABCD). Gọi AH là đường cao của tam giác SAB.
1. Chứng minh các mặt bên là các tam giác vuông.
2. Chứng minh AH ⊥ (SBC), BD ⊥ (SAC)
3. Chứng minh SO ⊥ BD.
4. Tính góc giữa SB và mp(SAD)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a,
·
0
60BAD =
SO ⊥ (ABCD) và SO =
3
4
a
. Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.
1. Chứng minh BC ⊥ (SOF)
2. Tìm hình chiếu H của O lên mp(SBC). Tính độ dài OH.
3. Gọi (α) là mp qua AD và vuông góc với SF. Xác định thiết diện của (α) và hình
chóp, thiết diện là hình gì ?
4. Tính diện tích thiết diện này theo a.

2/ Từ O kẻ OH ⊥ SF ⇒ OH ⊥ BC (BC ⊥ (SOF) ⊃ OH), ⇒ OH ⊥ (SBC) . Vậy H là
hình chiếu của O lên (SBC).
Trong ∆vuông SOF có :

2 2 2 2 2 2
1 1 1 16 16 64
9 3 3OH SO OF a a a
= + = + =
⇒ OH =
3
8
a
3/ Vì OF ⊥ BC, BC // AD nên OF ⊥ AD tại I
Cmt OH ⊥ OF mà (α) ⊥ OF nên (α) // OH
Trong ∆SIF kẻ IK ⊥ SF tại K (hay IK // OH)
Hơn nữa (α ) chứa AD // BC nên (α) cắt (SBC) theo giao tuyến qua K và song song với
BC là MN
1/ ABCD là hình thoi cạnh a nên ∆BAD là
tam giác cân và có
·
0
60BAD =
, do đó ∆BAD
đều ⇒ BD = AD = AB = a.
cũng do ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD
⇒ ∆OBC vuông tại O với
2
a
OB =
và OE là
trung tuyến ứng với cạnh huyền BC = a
⇒
2
a

OE =
, suy ra OB = OE = BE =
2
a

⇒ ∆OBE đều nên OF trung tuyến vừa đường
cao hay OF ⊥ BC và BC ⊥ SO
Với OF =
3 3
2 2 4
a a
=
(SO ⊥ (ABCD)) . Vậy BC ⊥ (SOF)
Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) là hình thang ADNM
4/ cmt BC ⊥ (SOF) , AD // BC nên AD ⊥ (SIF) ⇒ IK là chiều cao của hình thang
ADNM và dễ thấy OH là ĐTB nên KI = 2OH =
3
4
a
+ Tính MN ta cần tính tỉ số
SK
SF
+ Trong ∆vuông SOF tính được SF =
3
2
a
+ Trong ∆vuông SKI tính được SK =
3
4
a

⇒
1
2 2
SK a
MN
SF
= ⇒ =
Vậy diện tích S
ADNM
=
2
1 3 9
( )
2 2 4 16
a a a
a + =