ĐỀ thi HSG cấp tỉnh THCS môn Toán năm 2013

S
Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÀO CAI
K
Ỳ THI CHỌN H
ỌC SINH GIỎI C
ẤP TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM 2013
Môn: TOÁN
Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 28/03/2013
( Đ
ề thi gồm có
01 trang )
Câu 1 (4 đi
ểm)
a) Cho
2000
2 1A  
.Ch
ứng minh
A chia h
ết cho 5
b) Tìm nghi
ệm nguyên (x;y) của phương trình sau:
2
2 2 5 3x xy x y   
Câu 2 (6 điểm)
2.1. Cho biểu thức
1 1 2 1 2
:

1
1 1
x x x x x x
P
x
x x x x
 
   
 
  
 
 

 
 
 
a) Rút g
ọn biểu thức P.
b) Tìm giá tr
ị của P với
11 6 2x  
2.2. Ch
ứng minh phương trình:
2
( 2) 2 ( 1)( 3) 0n x x n n n     
luôn có nghi
ệm hữu tỉ với
mọi số nguyên n.
2.3. Gi
ải hệ ph

ương trình:
3 2
3 2
5 3 2
4 5 1
x y
x y

  


 


Câu 3 (4 đi
ểm)
3.1. Cho a, b là các s
ố thực dương. Chứng minh rằng:
2
( ) 2 2
2
a b
a b a b b a

   
3.2. Trong m
ặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(0;2); Parabol (P):
2
4
x

y 
và đư
ờng
th
ẳng (d): ax+by=
-2. Bi
ết (d) đi qua điểm M.
a, Ch
ứng minh rằng khi a t
hay đ
ổi thì (d) luôn cắt (P) tại
hai đi
ểm phân biệt
Avà B.
b, Xác đ
ịn
h a đ
ể AB có độ dài ngắn nhất.
Câu 4 (5 đi
ểm)
Cho đư
ờng tròn tâm O,
đường kính BC, A là một điểm thuộc đường tròn.
H là hình
chi
ếu của A trên BC. Vẽ đường tròn tâm I có đường kính AH, cắt AB và AC theo thứ tự
ở M và N.
a) Ch
ứng minh OA vuông g
óc v

ới MN.
b) Vẽ đường kính AOK của đường tròn tâm O. Gọi E là trung điểm của HK. Chứng
minh E là tâm c
ủa
đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC.
c) Cho BC c
ố định. Xác định vị trí của điểm A để bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ
giác BMNC l
ớn nhất.
Câu 5 (1 đi
ểm)
Cho đư
ờng tròn (O) và điểm P cố định ở bên trong đường tròn ( P khác O). Hai dây
AB và CD thay đ
ổi qua P và vuông góc với nhau. M và N lần lượt là trung điểm của AD
và BC. Ch
ứng minh rằng: MN luôn
đi qua một điểm cố định.
…………………………………………H
ết…………………………………….
Đ
Ề THI CHÍNH THỨC