HDC đề thi HSG cấp tỉnh THCS môn Toán năm 2013

1
S
Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÀO CAI
K
Ỳ THI CHỌN H
ỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM 2013
HƯ
ỚNG
DẪN CHẤM
Môn: TOÁN
Ngày thi: 28/03/2013
( Hư
ớng dẫn chấm
g
ồm có
05 trang )
Câu
N
ội dung
Đi
ểm
Câu 1
(4 đi
ểm)
a
(2đ)
Ta có:
 
4

2 1 mod5
0,5
4 500
(2 ) 1(mod5) 
0,5
2000
2 1(mod5) 
0,25
2000
2 1 0(mod5)  
0,5
V
ậy:
2000
2 1A  
chia h
ết cho 5.
0,25
b
(2đ)
Xét phương tr
ình
: 2x
2
– 2xy = 5x + y - 3

2x
2
– 5x +3 = 2xy + y


2x
2
– 5x +3 = y ( 2x + 1)
0,25
Suy ra:
2
2 5 3
2 1
x x
y
x
 


 
6
3
2x 1
x  

( vì x

Z nên 2x+1

0)
0,25
Ta có : x

Z


x-3

Z; y là s
ố nguyên nên
6 (2 1)x 

(2x + 1)

Ư
(6)
= {-6 ; -3 ;-2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6 }
0,25
0,25
Mà 2x + 1 là s
ố nguyên lẻ

   
2 1 3; 1;1;3 2; 1;0;1x x       
0,25
V
ới x = 1

y = 0
x = 0

y = 3
x = -1

y = -10
x = -2


y = -7
0,25
0,25
V
ậy: Phương trình có các nghiệm nguyên là
(x;y)
 
(1;0),(0;3),( 1; 10),( 2; 7)    
0,25
Đ
Ề THI CHÍNH
TH
ỨC
2
Câu 2
(6 đi
ểm)
a
(2,5đ)
a) Đi
ều kiện xác định:
0; 1x x 
1 2 2 1 2
:
1
(1 ) 1
x x x x x x x x x
P
x

x x x x
 
      
 
 

 
 
2 1 ( 1)(2 1) ( 1)(2 1)
:
(1 ) (1 )(1 ) (1 )( 1)
2 1 2 1 (2 1)
:
(1 ) 1 1
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
x x x x x
 
    
 
 
     
 
 
 
  
 
 
   

 
0,25
0,25
0,5
0,25
2 1 (2 1)( 1 )
:
(1 ) (1 )( 1)
2 1 (1 )( 1)
.
(1 ) 2 1
1
x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x
x
     

   
   

 
 

0,25
0,25
0,25
b) Ta có:

2
11 6 2 (3 2)x    
(th
ỏa mãn
ĐKXĐ). Giá trị của
bi
ểu thức P là:
2
2
11 6 2 (3 2) 1
9 5 2
3 2
(3 2)
(9 5 2)(3 2) 17 6 2
7 7
P
   

 


  
 
V
ậy P =
17 6 2
7

0,25
0,25

0,25
b
(1,5đ)
Xét phương trình: (n+2)x
2
+2x-n(n+1)(n+3)=0 (1)
- N
ếu n+2=0

n=-2, phương tr
ình (1) có d
ạng:
2x-2=0

x=1 là s
ố hữu tỉ (*)
0,5
- N
ế
u n+2

0

n

-2, ta có:

= 1+n(n+1)(n+2)(n+3)
= 1+(n
2

+3n)(n
2
+3n+2)
= (n
2
+3n)
2
+2(n
2
+3n)+1
= (n
2
+3n+1)
2

0 v
ới mọi n
0,5
V
ới n

Z


= (n
2
+3n+1)
2
là s
ố chính ph

ương, nên phương
trình (1) có nghi
ệm hữu tỉ. (**)
0,25
T
ừ (*) và (**), ph
ương trình (1) luôn có nghiệm hữu tỉ vớ
i m
ọi
n

Z.
0,25
Đ
ặt u = x
3
; v = y
2
( v

0)
0,25
3
Câu 3
(4 đ)
c
(2đ)
H
ệ phương trình đã cho trở thành:
5 3 2 25 15 10 1

4 5 1 12 15 3 5 3 2
u v u v u
u v u v u v
       
  
 
  
      
  
 
1
1
5 1 3 2
1 ( / 0)
u
u
v
v t m v
 

 

 
 
   
 


0,5
0,5

Khi đó:
3
2
1 1
1
1
x x
y
y

   



 
 




H
ệ phươ
ng trình có hai nghi
ệm là
: (-1;1); (-1;-1)
0,5
0,25
a
(2đ)
V

ới
, 0a b 
, ta có
2
1
0
2
a
 
 
 
 
1
0
4
a a   
(1), d
ấu “=” xảy ra
1
4
a 
0,25
2
1
0
2
b
 
 
 

 
1
0
4
b b   
(2), d
ấu “=” xảy ra
1
4
b 
0,25
C
ộng vế với vế của (1) và (2), ta được:
1
( ) ( ) 0
2
a b a b    
1
0
2
a b a b     
(3)
0,25
0,25
Áp d
ụng bất
đẳng thức Cô Si cho hai số dương a và b, ta có:
2 0a b ab  
(4), d
ấu “=” xảy ra

a b 
0,25
Nhân vế với vế của (3) và (4) ta được:
   
 
1
2
2
a b a b ab a b
 
    
 
 
 
 
2
2 2
2
a b
a b a b b a

    
0,25
0,25
V
ậy:
 
 
2
2 2

2
a b
a b a b b a

   
, d
ấu “=” xảy ra
1
4
a b  
0,25
b
(2đ)
a, - Vì (d )
đi qua M
(0; 2), nên ta có a.0 + b.2 = -2

b = -1,
phương tr
ình của đư
ờng thẳng (d) là ax - y = -2

y = ax + 2.
0,25
- Hoành đ
ộ
giao đi
ểm
c
ủa

đường thẳng (d) và Parabol (P)
là
nghi
ệm của phương trình
:
2
ax 2
4
x
 

x
2
- 4ax - 8 = 0 (*)
0,25
4
Ta có
'
= 4a
2
+ 8 = 4(a
2
+2) > 0 v
ới
a
0,25
Vì
' 0 
nên pt(*) có hai nghi
ệm phân biệt, suy ra

đư
ờng
th
ẳng
(d) luôn c
ắt Parbol (P) tại hai điểm phân biệt A và B
.
0,25
b, Vì
đường thẳng (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B,
nên ta có x
A
= 2a - 2
2
2a 

y
A
= a.x
A
+ 2.
x
B
= 2a + 2
2
2a 

y
B
= a.x

B
+ 2.
0,25
Ta có AB
2
= (x
B
- x
A
)
2
+ (y
B
- y
A
)
2
=


2
2
4 2a 
+[a(x
B
-x
A
)]
2
= 16(a

2
+2) + a
2
[16(a
2
+ 2)]= 16
4
+ 48a
2
+ 32

32
D
ấu “=” xảy ra

a = 0.
0,5
V
ậy M
in AB
2
= 32

Min AB = 4
2
khi và ch
ỉ khi a = 0
0,25
Câu 4
(5 đi

ểm)
1
1
2
1
1
O
F
E
H
K
I
N
M
C
B
A
a
(2đ)
Xét đư
ờng tròn (O), ta có:

0
90BAC 
( góc nt ch
ắn nửa
đt)


0

1
90B C  
và
MAN
vuông t
ại A
0,5
Ta có:
AIN
cân t
ại I


2 1
A N 
0,25


2 1
A B
( vì cùng ph
ụ với

C
)
0,5
Suy ra:


1 1

B N
, mà


1 1
A B
( do
AOB
cân tại O)


1 1
A N 
(1)
0,25
Xét
MAN
vuông t
ại A


0
1 1
90M N  
(2)
T
ừ (1) và (2), ta có:


0

1 1
90A M 
. G
ọi
 
F MN OA 
suy ra:

0
AF 90M 
hay
OA MN
t
ại F.
0,5
b)- D
ễ chứng minh


1
M C

T
ứ giác BMNC nội tiếp.
0,5
5
b
(2đ)
- EI là đư
ờng trung bình của


KHA nên EI // KA
Lại có OA

MN (cmt) nên EI

MN
IM=IN

EI là đư
ờng trung trực của MN (1)
0,75
Ta có: EO là đư
ờng trung bình của

KHA

/ /OE AH
mà
( )AH BC gt
, nên
OE BC
. Khi đó OE là trung tr
ực của BC (2)
0,5
T
ừ (1) và (2)
, suy ra E là tâm đư
ờng tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC
0,25

c
(1đ)
Xét

OEB vuông tại O, ta có:
2 2 2
BE OE OB 
( định lý Pi Ta Go)
0,25
Vì OB không
đ
ổi, nên BE lớn nhất

OE l
ớn nhất
, mà
1
2
OE AH
(tính ch
ất
đường trung bình trong tam giác)
0,25
Suy ra: OE lớn nhất

AH lớn nhất

H

O

0,25
Khi đó OA

BC và A là đi
ểm chính giữa của cung BC.
0,25
Câu 5
(1 điểm)
O
P
N'
M'
N
M
I
D
B
C
A
- Kéo dài MP c
ắt CB tại M’. Ta có:


BCD BAD
( 2 góc nt ch
ắn cung

BD
)



(PAM APM AMP 
cân vì MP = MA = MD)
Do đó :


BCD APM
, l
ại có
:


'MPD M PC
( 2 góc đ
ối đỉnh)
Mà :




0
1 ' 90APM MPD V C M PC    
hay
MP CB
t
ại M’
M
ặt khác:
ON CB
(đư

ờng kính qua trung điểm của dây cung)
Suy ra : MP // ON (1)
0,25
0,25
- Kéo dài NP c
ắt AD tại N’.
Ta có:


CBA ADC
(2 góc nt ch
ắn cung

AC
)


(CBA NPB BNP 
cân vì NP = NB = NC)
Do đó :


NPB ADC
, l
ại có:


'NPB N PA
( 2 góc đ
ối đỉnh)

Mà :




0
1 ' 90PAD ADC V PAD N PA    
hay
NP AD
t
ại N’
M
ặt khác:
OM AD
(đư
ờng kính qua trung điểm của dây cung)
Suy ra: NP // OM (2)
0,25
T
ừ (1) và (2), ta có
t
ứ giác PMON là hình bình hành.

OP và MN c
ắt nhau tại t
rung đi
ểm I của mỗi đường, mà O
P c
ố định nên I
c

ố định.
V
ậy:
MN đi qua I c
ố địn
h.
0,25
6