10 bai toan dien tich luyen hsg lop 5

Giải 10 bài toán diện tich luyên HSG lớp 5
I Giới thiệu
Chơng trinh Toán tiểu học, HS mới chỉ làm quen với hình học qua hình tam giac,
hình vuông, hình thoi, hình tròn; nhng đã gặp nhiều đề thi liên quan đến diện tich.
Tài liệu này giới thiệu 12 đề thi từ dễ đến khó mà khi giải có tính diện tích hình
tròn, hình vuông. Trong đó đã su tầm 1 số đề thi HSG toán của nhiều nớc trong
Khu vực Đông nam á (Singapor, indonesia, hồng kong ) . Đây là
những đề toán hay, có hình biến hóa, liên quan với nhau.
Các đề toán dạng này chỉ cần nắm chắc công thức và biết suy luận thì giải không
khó lắm.
II bài toán
Bài 1a.
Hình vuông ABCD là có chu vi = 20 cm. Hỡnh trũn
Tõm O cha va khớt (Ni tip) trong hỡnh vuụng; Phn
Tụ mu l phn cũn li ca hỡnh vuụng (Hỡnh 1a)
Tính diện tích phần tô màu trong hình vuông đó.
Giải : Dựa vào hình vẽ, ta thấy: AB = 20:4 = 5 (Cm)
Din hỡnh vuụng S1= AB xAB = 5 x 5 = 25 ( Cm
2
)
ng kính hình tròn (d) bằng cạnh của hình vuông: d = AB = 5 (Cm)
r = 2,5 cm diện tích hình tròn là :
S 2 = 2,5 x2.5 x 3,14 = 19,62(cm
2
).
Vy Diện tích phần tô màu l
S = S1 - S2 = 25 19,62 = 5,38 ( cm
2
.) S
Bài 1b. ABCD là hình vuông

có chu vi là 20 cm (Hình 1b). T 4 nh A,B,C,D ly
lm tõm v 4 cung trũn cú bỏn kớnh r = ẵ cnh AB
Tính diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD.
Hớng giải
Dễ dàng chứng tỏ đợc rằng diện tích 4 hình quạt trong
hình vuông = diện tích 1 hình tròn r = 1/2 AB diện tích phần đã tô màu của
hình 1b = diện tích phần đã tô màu của 1a = 5,38 ( cm
2
.)
1
Hỡnh 1a
Hỡnh 1b

Bài 2a. Cho ABCD là hình vuông có cạnh là 10cm.
Tính diện tích hình chiếc lá (phần tô màu) có trong
hình vuông. Biết hình chiếc lá tạo bởi một phần t
hình tròn tâm A, bán kính AB và một phần t hình tròn
tâm C, bán kính CB.
Phân tích : Diện tích hình chiếc lá bằng diện tích
hình vuông ABCD trừ đi diện tích hình (1) và (2).
Giải : Diện tích một phần t hình tròn tâm C, bán kính
CB là : 10 x 10 x 3,14 : 4 = 78,5 (cm
2
).

Hình 2
Diện tích hình (1) là : 10 x 10 78,5 = 21,5 (cm
2
).
Tơng tự ta tính đợc diện tích hình (2) là 21,5 (cm

2
).
Diện tích hình chiếc lá là : 10 x 10 (21,5 + 21,5) = 57 (cm
2
). ĐS
hình vuông trừ đi tổng diện tích các hình (1), (2), (3) và (4). Theo bài toán , ta có :
Diện tích hình (1) và (2) là : 14 x 14 7 x 7 x 3,14 = 42,14 (cm
2
).
Diện tích hình (3) và (4) là : 14 x 14 7 x 7 x 3,14 = 42,14 (cm
2
).
Diện tích miền đợc tô màu là : 14 x 14 (42,14 + 42,14) = 111,72 (cm
2
) ĐS.
Bài 4. Tính diện tích phần tô màu ở hình 4 bên. Biết đ-
ờng chéo Ac của hình vuông ABCD là 10cm.
Phân tích : Diện tích phần tô màu bằng diện tích hình
tròn có bán kính bằng 1/2 đờng chéo của hình vuông trừ
đi diện tích hình vuông.
Giải : Diện tích hình vuông ABCD là :
10 x 5 = 50 (cm
2
).
Diện tích hình tròn là : 5 x 5 x 3,14 = 78,5 (cm
2
).
Hình 4
Bài 3. Trong hình 3, hình vuông có cạnh dài 14cm.
Trên mỗi cạnh có dựng một nửa hình tròn bán kính

7cm với tâm là trung điểm của cạnh đó. Tìm diện tích
miền đợc tô trên hình đó.
(Đề thi Olympic toán Đông Nam á, năm 2003)
Phân tích : Diện tích miền đợc tô màu bằng diện tích
Hình 3
2

Diện tích phần tô màu là : 78,5 50 = 28,5 (cm
2
). ĐS
Bài 5. Hình 5 các hình (I), (II) và (III) là ba
nửa hình tròn bán kính khác nhau. Biết rằng
tỉ lệ các đờng kính của (I), (II) và (III) là 3 :
4 : 5 và diện tích của hình (III) là 24cm
2
.
Tìm tổng diện tích của hình (I) và (II).
(Thi toán quốc tế Tiểu học - Hồng Kông)
Phân tích : Tỉ lệ các đờng kính của (I),
Hình 5 (I; II;III; IV)
hình (III) là d thì độ dài đờng kính của hình (I) và (II) lần lợt là
5
3
x d và
5
4
x d.
Giải :Diện tích hình (I) là : (
5
3

x d) x (
5
3
x d) x 3,14 : 8 =
25
9
x d x d x 3,14 : 8 (cm
2
).
Diện tích hình (II) là : (
5
4
x d) x (
5
4
x d) x 3,14 : 8 =
25
16
x d x d x 3,14 : 8 (cm
2
).
Diện tích hình (III) là : d x d x 3,14 : 8 = 24 (cm
2
).
Tổng diện tích của hình (I) và (II) là :
25
9
x d x d x 3,14 : 8 +
25
16

x d x d x 3,14 : 8 = d x d x 3,14 : 8 = 24 (cm
2
). ĐS
Bài 6. Tính tổng diện tích hai hình trăng khuyết (phần
tô màu) ở hình 6 bên. Biết cạnh AC dài 3cm, cạnh AB
dài 4cm và cạnh BC dài 5cm. Tam giác ABC có góc A là
góc vuông.
Phân tích : Tổng diện tích hai hình trăng khuyết bằng
Hình 6
tổng diện tích tam giác ABC,
2
1
diện tích hình tròn đờng kính AB,
2
1
diện tích hình
tròn đờng kính AC trừ đi diện tích
2
1
hình tròn đờng kính CB.
3
(I)
(II)
(III)

Giải : Diện tích
2
1
hình tròn đờng kính CB là : 5 x 5 x 3,14 : 4 : 2 = 9,8125
(cm

2
).
Diện tích tam giác ABC là : 3 x 4 : 2 = 6 (cm
2
).
Diện tích
2
1
hình tròn đờng kính AB là : 4 x 4 x 3,14 : 4 : 2 = 6,28 (cm
2
).
Diện tích
2
1
hình tròn đờng kính AC là : 3 x 3 x 3,14 : 4 : 2 = 3,5325 (cm
2
).
Tổng diện tích hai hình trăng khuyết là : (6 + 6,28 + 3,5325) 9,8125 = 6 (cm
2
).
Bài 7. Trong hình vẽ bên, AC là đờng kính của đờng
tròn tâm O. Tam giác ACB là tam giác cân (AC = CB) có
góc C là góc vuông. D là điểm trên AB. Cung CD là một
phần của đờng tròn tâm B. Biết AC = 10cm. Hãy tìm
diện tích phần tô màu.
(Thi toán quốc tế Tiểu học - Hồng Kông)
Phân tích : Diện tích phần tô màu bằng diện tích hình
Hình 7
tròn đờng kính AC trừ đi diện tích phần trắng nằm trong hình tròn. Diện tích phần
trắng nằm trong hình tròn bằng diện tích tam giác ABC trừ đi diện tích cung CD.

Giải : Diện tích hình tròn đờng kính AC là : 10 x 10 x 3,14 : 4 = 78,5 (cm
2
).
Diện tích tam giác ABC là : 10 x 10 : 2 = 50 (cm
2
).
Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại góc C nên diện tích cung CD bằng
8
1

diện tích hình tròn tâm B bán kính BC và bằng : 10 x 10 x 3,14 : 8 = 39,25 (cm
2
).
Diện tích phần trắng nằm trong hình tròn là : 50 39,25 = 10,75 (cm
2
).
Diện tích phần tô màu là : 78,5 10,75 = 67,75 (cm
2
). ĐS
Bài 8. Hình 8 bên cho ta 4 hình vuông cạnh 10cm.
Hình tô đậm giới hạn bởi các
4
1
đờng tròn.
Tính diện tích phần tô màu.
(Đề thi Olympic toán Singapore, năm 1997)
Phân tích : Diện tích phần tô màu bằng diện tích
4
1
hình

Hình 8
hình tròn có bán kính bằng cạnh của hình vuông lớn trừ đi diện tích các hình (1),
(2) và (3). Dựa vào hình vẽ ta thấy tổng diện tích hình (2) và hình (3) bằng diện tích
hình (1) và bằng diện tích hình vuông cạnh 10cm.
Giải : Cạnh hình vuông lớn là : 10 + 10 = 20 (cm)
4
1
2
3

Diện tích
4
1
hình hình tròn có bán kính bằng cạnh của hình vuông lớn là :
20 x 20 x 3,14 : 4 = 314 (cm
2
).
Diện tích các hình (1), (2) và (3) là : 10 x 10 x 2 = 200 (cm
2
).
Diện tích phần tô màu là : 314 200 = 114 (cm
2
).
Bài 9. Hình 9 bên đợc tạo bằng cách vẽ các nửa hình
tròn bên trong các hình vuông. Bán kính của ba loại nửa
hình tròn tơng ứng là 4cm, 2cm và 1cm.
Hỏi tổng diện tích phần tô màu bằng bao nhiêu xăng-
ti-mét vuông ?
(Thi toán quốc tế Tiểu học ở Hồng Kông)

Phân tích : Tổng diện tích phần tô màu chính là tổng
diện tích các hình (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9),
(10), (11) và (12). Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích các
Hình 9
hình (5) và (6) ; (7) và (8) ; (9) và (10) ; (11) và (12) đều bằng nhau và đều bằng
diện tích một nửa hình tròn có bán kính là 2cm. Suy ra tổng diện tích các hình (5),
(6), (7), (8), (9), (10), (11) và (12) bằng hai lần diện tích hình tròn có bán kính là
2cm.
Giải : Vì bán kính của ba loại nửa hình tròn tơng ứng là 4cm, 2cm và 1cm nên
cạnh hình vuông lớn là 4 x 2 = 8 (cm).
Diện tích hình vuông lớn là : 8 x 8 = 64 (cm
2
).
Diện tích hình tròn có bán kính bằng 4cm là : 4 x 4 x 3,14 = 50,24 (cm
2
).
Diện tích các hình (1), (2), (3) và (4) là : 64 50,24 = 13,76 (cm
2
).
Diện tích các hình (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11) và (12) là :
2 x (2 x 2 x 3,14) = 25,12 (cm
2
).
Tổng diện tích phần tô màu là : 13,76 + 25,12 = 38,88 (cm
2
). ĐS
Bài 10. Trong các hình dới đây, diện tích của mỗi hình vuông lớn là 1cm
2
. Diện
tích của hình vuông nhỏ hơn trong hình thứ hai bằng

4
1
diện tích hình vuông lớn
hơn. Diện tích của hình vuông nhỏ nhất trong hình thứ ba bằng
4
1
diện tích hình
vuông lớn thứ hai, cứ tiếp tục nh vậy. Hãy tìm diện tích của hình tròn đợc tô đậm
trong hình vuông thứ năm.
S1 S2 S3
5


(Thi toán quốc tế Tiểu học ở In-đô-nê-xi-a, năm 2004)
Giải : Theo đầu bài ta có :
S1 hình tròn đợc tô đậm trong hình thứ nhất là : 1 x 3,14 : 4 =
4
1
x 3,14 (cm
2
).
S2 hình tròn đợc tô đậm trong hình thứ hai là :
4
1
x 3,14 : 4 =
16
1
x 3,14 (cm
2
).

S3 hình tròn đợc tô đậm trong hình thứ ba là :
16
1
x 3,14 : 4 =
64
1
x 3,14 (cm
2
).
S4 hình tròn đợc tô đậm trong hình thứ t là :
64
1
x 3,14 : 4 =
256
1
x 3,14 (cm
2
).
S5 hình tròn đợc tô đậm trong hình năm là :
256
1
x 3,14 : 4 =
1024
1
x 3,14 (cm
2
).
6