Đề thi thử Đại học năm 2013-THPT Lưu hoàng - Ứng hòa - Hà nội
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (197.66 KB, 5 trang )
ĐOÀN TNCS HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG
==================
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán - Khối A – A
1
- B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2, 0 điểm). Cho hàm số y = x
4
– 2x
2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm
phân biệt.
Câu 2 (1, 0 điểm). Giải phương trình:
5
2013
sin)sin2cos3(sin
5
2013
cos)cos2sin3(cos
ππ
xxxxxx −+=−−
Câu 3 (1, 0 điểm). Giải phương trình
13284
2
=++− xxx
(x ∈ R)
Câu 4 (1, 0 điểm). Tính tích phân
dxxxI
∫
−+=
4
3
4
4
sin)2sin22(
π
π
π
Câu 5 (1, 0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ∆SAB
đều và ∆SCD vuông cân tại S. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính theo
a thể tích của khối chóp S.AMCN và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Câu 6 (1, 0 điểm). Cho các số x, y, z thuộc khoảng (0; 1) và thỏa mãn xyz = (1 – x)(1 –
y)(1 – z). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x
2
+ y
2
+ z
2
.
Câu 7a (1, 0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm
I(2; -3), phương trình đường thẳng AB là 3x + 4y – 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình
vuông ABCD, biết hoành độ của A lớn hơn 2.
Câu 8a (1, 0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(4; -4, 3), B(1;
3; -1), C(-2; 0; -1). Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua các điểm A, B, C và cắt hai mặt
phẳng (α): x + y + z + 2 = 0 và (β): x – y – z – 4 = 0 theo hai giao tuyến là hai đường tròn
có bán kính bằng nhau.
Câu 9a (1, 0 điểm). Gọi z
1
, z
2
là các nghiệm phức của phương trình
1
2
1
2
−=
−
−
iz
z
. Tính
giá trị biểu thức P =
)1)(1(
2
2
2
1
zz ++
.
======HẾT======
Thí sinh không được dùng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐOÀN TNCS HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG
==================
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán - Khối A - A
1
- B
I. Hướng dẫn chung
1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng
phần như hướng dẫn quy định.
2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo
không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Ban chấm thi.
3. Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm
tròn thành 1,0 điểm)
II. Đáp án và thang điểm
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x
4
– 2x
2
1. TXĐ: D = R
2. Sự biến thiên:
a.Chiều biến thiên:
+) y’ = 4x
3
– 4x; y’ = 0 ⇔ 4x
3
– 4x = 0 ⇔ x = 0, x = ±1
0.25
+) Xét dấu y’:
Suy ra hàm số nghịch biến trên (-∞; -1) và (0; 1); đồng biến trên (-1; 0) và (1; +∞)
b) Cực trị:
-Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y
CT
= -1, đạt cực đạt tại x = 0, y
CĐ
= 0.
c) Các giới hạn:
+∞=
−∞→
y
x
lim
,
+∞=
+∞→
y
x
lim
0.25
d) Bảng biến thiên: 0.25
3. Đồ thị hàm số:
- Đồ thị hàm số nhận oy làm trục đối xứng:
- Đồ thị hàm số qua hai điểm:
)0;2(−
,
)0;2(
0.25
b) Giả sử đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt A(a; a
4
– 2a
2
) và B(b;
b
4
– 2b
2
) (a ≠ b).
Khi đó y = y’(a)(x – a) + a
4
– 2a
2
và y = y’(b)(x – b) + b
4
– 2b
2
đều là phương trình của
tiếp tuyến d.
0.25
Đồng nhất thức, ta có:
−+−=−+−
=
2424
2)('2)('
)(')('
bbbbyaaaay
byay
=−++
=−++
⇔
0]2)(3)[(
01
22
22
baba
baba
.
0.25
Giải hệ ta được hai nghiệm là (1; -1), (-1; 1) 0.25
Vậy đường thẳng y = -1 là tiếp tuyến cần tìm. 0.25
2
5
2013
sin)sin2cos3(sin
5
2013
cos)cos2sin3(cos
ππ
xxxxxx
−+=−−
0
5
2013
cos
5
2013
2sin
5
2013
3cos =
+−
+−
+⇔
πππ
xxx
0.25
0
5
2013
2sinsin
5
2013
2sin2 =
+−
+−⇔
ππ
xxx
( )
01sin2
5
2013
2sin =+
+⇔ xx
π
0.25
0
5
2013
2sin =
+⇔
π
x
hoặc
01sin2
=+
x
0.25
Phương trình có các họ nghiệm:
210
2013
ππ
kx +−=
,
π
π
2
6
kx +−=
,
π
π
2
6
7
kx +=
0.25
3
Biến đổi:
13284
2
=++− xxx
4
1
32)32(
4
9
64
2
++−+=+−⇔
xxxx
22
2
1
32
2
3
2
−+=
−⇔ xx
⇔
++−=−
−+=−
(2)
(1)
2
1
32
2
3
2
2
1
32
2
3
2
xx
xx
0.5
Giải (1), (2) ta được
4
173 +
=x
,
4
215 −
=x
0.5
4
Tính tích phân
dxxxI
∫
−+=
4
3
4
4
sin)2sin22(
π
π
π
dxxxdxxx
∫∫
−
−=
−
−+=
4
3
4
2
4
3
4
4
sin
4
cos4
4
sin)
2
2cos1(2
π
π
π
π
ππππ
0.5
Đặt
−=
4
cos
π
xt
⇒
dxxdt .
4
sin
−−=
π
1
4
=⇒= tx
π
;
0
4
3
=⇒= tx
π
0.25
Suy ra:
3
4
3
4
4
1
0
3
1
0
2
===
∫
tdttI
0.25
5
Ta có:
)()()( SMNABCDSMNAB
MNAB
SMAB
⊥⇒⊥⇒
⊥
⊥
0.25
Trong mặt phẳng (SMN) kẻ SH ⊥ MN ⇒ SH ⊥ (ABCD)
Ta có
2
3
aSM =
, MN = a,
22
1 a
CDSN ==
Ta có MN
2
= SM
2
+ SN
2
suy ra ∆SMN vuông tại S.
Suy ra:
222
111
SNSMSH
+=
⇒ SH =
4
3a
,
0.25
2
2
1
2
1
aSS
ABCDAMCN
==
.
24
3
.
3
1
3
.
a
SSHV
AMCNAMCNS
==
0.25
Ta có:
)(SCDSM
SNSM
CDSM
⊥⇒
⊥
⊥
. Vì AB // CD ⇒ AB // (SCD) nên d(AB, SC) =
d(AB, (SCD)) = d(M, (SCD)) = SM =
2
3a
0.25
6
Từ giả thiết: xyz = (1 – x)(1 – y)(1 – z) ⇒ xyz = 1 – (x + y + z) + (xy + yz + zx) – xyz
⇒ xy + yz + zx = 2xyz + (x + y + z) - 1
0.25
Mặt khác: x
2
+ y
2
+ z
2
= (x + y + z)
2
– 2(xy + yz + zx) = (x + y + z)
2
- 2(x + y + z) + 2
– 4xyz ≥
3
2
3
.42)(2)(
++
−+++−++
zyx
zyxzyx
0.25
Đặt t = x + y + z, vì x, y, z thuộc (0; 1) nên 0 < t < 3.
Suy ra x
2
+ y
2
+ z
2
≥ t
2
– 2t + 2 -
27
4
3
t
, t ∈ (0; 3).
0.25
Khảo sát hàm số f(t) = t
2
– 2t + 2 -
27
4
3
t
, t ∈ (0; 3) và tìm được giá trị nhỏ nhất là
4
3
khi x = y = z = ½.
0.25
7 Cạnh hình vuông ABCD là a = 2d(I, AB) = 4
Vì ABCD là hình vuông nên IA = IB = a
2
2
=2
2
0.25
Khi đó A, B thuộc đường tròn (C) tâm I(2; -3), bán kính R = 2
2
, có phương trình
là: (x – 2)
2
+ (y + 3)
2
= 8
0.25
Suy ra A, B là giao của AB và (C) có tọa độ là nghiệm của hệ:
=++−
=−+
8)3()2(
0443
22
yx
yx
ta được:
−
5
13
;
5
24
A
,
−
5
1
;
5
8
B
(Vì x
A
> 2 )
0.25
3x+4y-4=0
D
C
B
A
I
Vì I là trung điểm của AC và BD nên
−−
5
17
;
5
4
C
,
−
5
29
;
5
12
D
0.25
9 Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S). Vì (S) đi qua các điểm A, B, C và cắt hai mặt
phẳng (α): x + y + z + 2 = 0 và (β): x – y – z – 4 = 0 theo hai giao tuyến là hai đường
tròn có bán kính bằng nhau nên ta có hệ:
−−−=+++
=+−
=+−
⇔
=
=
=
42
9223
15473
))(,())(,(
cbacba
cba
cba
IdId
ICIA
IBIA
βα
0.25
Giải hệ ta được:
=
=
=
3
0
1
c
b
a
hoặc
−=
−=
=
7/9
7/12
7/19
c
b
a
0.25
Với
=
=
=
3
0
1
c
b
a
, viết được phương trình mặt cầu:
25)3()1(
222
=−++− zyx
0.25
Với
−=
−=
=
7/9
7/12
7/19
c
b
a
, mặt cầu có phương trình:
49
1237
)
7
9
()
7
12
()
7
19
(
222
=++++− zyx
0.25
9
Từ giả thiết:
1
2
1
2
−=
−
−
iz
z
⇔
i
iz
z
=
−
−
2
1
(1) hoặc
i
iz
z
−=
−
−
2
1
(2)
0.25
Từ (1) ta tìm được:
iz
5
4
5
2
1
+=
, từ (2) ta tìm được:
0
2
=z
0.5
Suy ra: P =
)1)(1(
2
2
2
1
zz ++
i
25
16
25
13
+=
0.25
