Đề + đáp án học sinh giỏi toán 7

.
2222
d
dcba
c
dcba
b
dcba
a
dcba
+++
=
+++
=
+++
=
+++
2005.1980
1

)25.(
1

27.2
1
26.1
1
2005.25
1

)1980.(

1

1982.2
1
1981.1
1
++
+
+++=
++
+
+++=
mm
B
nn
A
Phòng giáo dục và đào tạo
Huyện vĩnh lộc
đề thi học sinh giỏi - năm học 2012-2013
Môn toán - lớp 7
Thời gian làm bài : 150 phút( không kể thời gian giao đề)
Bài 1( 4.0 điểm):
a) Cho biểu thức :
babaM += 2
. Tính giá trị của M với
5,1=a
; b = - 0,75.
b) Xác định dấu của c, biết rằng
bca
3

2
trái dấu với
235
3 cba
.
Bài 2( 4.0 điểm):
a) Tìm các số x, y, z biết rằng:
53
;
43
zyyx
==
và 2x 3y + z = 6.
b) Cho dãy tỉ số bằng nhau :
Tính giá trị của biểu thức M, với
.
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
+
+
+
+
+

+
+
+
+
+
+
=
Bài 3( 3.0 điểm): Cho hàm số y = f(x) = 2 x
2
.
a) Hãy tính : f(0) ; f(
2
1

)
b) Chứng minh : f(x 1) = f(1 x)
Bài 4( 4.0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng trung tuyến AM. Qua A kẻ đờng
thẳng d vuông góc với AM. Qua M kẻ các đờng thẳng vuông góc với AB và AC, chúng
cắt d theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng:
a) BD // CE.
b) DE = BD + CE.
Bài 5( 3.0 điểm): Tìm tỉ số của A và B, biết rằng:

Trong đó A có 25 số hạng và B có 1980 số hạng.
Bài 6( 2.0 điểm): Cho tam giác ABC cân. Trên cạnh đáy BC lấy điểm D sao cho:
CD = 2 BD. Chứng minh rằng:
DACDAB

2
1

<
.
Hết
Híng dÉn chÊm To¸n l¬p 7
Câu HD chấm Điểm
Câu
1
(4,0đ)
a.(2.5đ) Ta có:
5,15,1 =⇒= aa
hoặc
5,1−=a
Với a = 1,5 và b = -0,75 thì
babaM
−+=
2
= 1,5 + 2.1,5.(- 0,75) = 0
Với a = - 1,5 và b = - 0,75 thì
babaM −+= 2
=
2
3
b. (1.5đ) Do
bca
3
2
và
235
3 cba−

trái dấu nên :
0; 0; 0a b c≠ ≠ ≠
bca
3
2
.(
235
3 cba−
) < 0.
8 4 3 8 4 3
6 0 0a b c a b c⇔ − < ⇔ >
3
0 0c c⇔ > ⇔ >
( vì a
8
b
4
> 0 với mọi
0; 0a b≠ ≠
)
Vậy c > 0 tức là mang dấu dương.
0.5đ
1.0đ
1.0đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
Câu
2

(4,0
đ)
a( 2.0đ).
vì
;
3 4 9 12 3 5 12 20
x y x y y z y z
= ⇒ = = ⇒ =
2 3
9 12 20 18 36 20
x y z x y z
⇒ = = ⇒ = =
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3
2
6
203618
32
2036
3
18
2
==
+−
+−
===
zyxzyx
Suy ra x = 27; y = 36; z = 60.
b.(2đ) Từ giả thiết suy ra
d

dcba
c
dcba
b
dcba
a
dcba
d
dcba
c
dcba
b
dcba
a
dcba
+++
=
+++
=
+++
=
+++
⇒
−
+++
=−
+++
=−
+++
=−

+++
1
2
1
2
1
2
1
2
* Nếu a + b + c + d = 0 thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a);
c + d = - ( a + b); d + a = - ( b + c)
Khi đó M = (- 1) + (- 1) +(- 1) +(- 1) = - 4
* Nếu a + b + c + d
≠
0 thì
dcba
1111
===
nên a = b = c = d
Khi đó M = 1 + 1 + 1 +1 = 4
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.5đ

d
H
D
B
M
C
E
A
Câu
3.
(3,0
đ)
a.(2.0đ) f(0) = 2 – 0
2
= 2;
f(
2
1
−
) = 2 –
2
)
2
1
(−
=
4
7
b.(1.0đ) f(x – 1) = 2 – ( x – 1 )
2

; f(1 – x ) = 2 – ( 1 – x )
2
do (x – 1) và (1 – x) là hai số đối nhau nên bình phương bằng nhau.
Vậy 2 – ( x – 1 )
2
= 2 – ( 1 – x )
2
hay f(x – 1) = f(1 – x).
1.0đ
1.0đ
0.25
đ
0.25
đ
0.5đ
Câu
4
(4,0
đ)
a. (2,5đ) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền của tam giác vuông: MA = MB.
Gọi H là giao điểm của MD và AB.
Tam giác cân AMB có MH đường cao ứng với đáy
nên là đường trung trực, suy ra : DA = DB.
Chứng minh được
) ( cccMADMBD ∆=∆

suy ra góc MBD = góc MAD = 90
0
;

do đó
BCDB ⊥
Tương tự ta có :
BCEC
⊥
Vậy BD // CE (vì cùng vuông góc với BC), đpcm.
b. (1,5đ) Theo câu a, DB = DA.
Tương tự, EC = EA.
Suy ra DE = DA + AE = BD + CE.
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Câu
5
(3,0
đ)
Ta có :
)
25
11
(
25
1
)25(

1
)
1980
11
(
1980
1
)1980(
1
mmmm
nnnn
+
−=
+
+
−=
+
Áp dụng tính A và B ta được:
1 1 1 1 1 1 1
( )
1980 1 1981 2 1982 25 2005
1 1 1 1 1 1 1
[( ) ( )]
1980 1 2 25 1981 1982 2005
1 1 1 1 1 1 1
( )
25 1 26 2 27 1980 2005
1 1 1 1 1 1 1
[( ) ( )]
25 1 2 1980 26 27 2005

1 1 1 1 1 1
[( ) (
25 1 2 25 1981 1982
A
B
= − + − + + −
= + + + − + + +
= − + − + + −
= + + + − + + +
= + + + − + +
1
)]
2005
+
Vậy
396
5
25
1
:
1980
1
==
B
A
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ

0.5đ
0.5đ
0.5đ
3
2
1
1
M
E
D
B
C
A
Câu
6
(2,0
đ)
Gọi M là trung điểm của DC. Trên tia đối của tia MA
lấy điểm E sao cho ME = MA.
Ta có hai tam giác AMC và EMD bằng nhau
Vì MD = MC, MA = ME,
·
·
AMC EMD=
.
Nên DE = AC, và góc
µ
·
3
A DEM=

.
Mặt khác ,
¶
µ
1
D B>
( theo tính chất góc ngoài tam giác)
mà
µ
µ
B C=
( vì tam giác ABC cân, đáy BC)
nên
¶
µ
1
D C>
suy ra AC > AD.
Từ đó DE > DA, suy ra
¶
·
2
A DEM>
,hay
¶
µ
2 3
A A>
.
Vì

µ
µ
3 1
A A=
( do
ABD ACM∆ = ∆
)
nên góc
¶
µ
µ
µ
2 3 1 3
A A A A+ > +
hay
µ
¶
µ
1 2 3
2A A A< +
Suy ra
·
·
1
.
2
BAD CAD<
0.25đ
0.25đ
0.25đ

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Chú ý :
1. Học sinh làm cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa.
2. Bài hình không vẽ hình, hoặc vẽ sai thì không chấm điểm.