ĐỀ THI THỬ VÀ ĐÁP ÁN TRƯỜNG THPT KIM THÀNH II LẦN 2

Trờng THPT kim thành ii
đề chính thức
Đề thi thử đại học năm 2013 lần iI
Mụn : Toỏn, khi A- A
1
- B
(Thi gian 180 khụng k phỏt )
PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7im)
Cõu I. (2.0 im)
Cho hm s
( ) ( )
4 2
2 1 1 1y x m x m= + + +
, vi m l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) khi m=0.
2. Xỏc nh m hm s (1) cú ba im cc tr , ng thi cỏc im cc tr ca th to thnh mt tam
giỏc cú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip bng 1.
Cõu II (2 im):
1. Gii phng trỡnh :
5 3
2 os sin cos cot
2 2
x x
c x x+ =
2. Gii phng trỡnh:
( )
2
9 18 25 2 6 2 1 12 4x x x x x+ + + = +

Cõu III:(1im) Tớnh tớch phõn: I =
( )

3
2
0
t anx
cos 2
dx
x

+

Cõu IV: (1 im) Cho hỡnh hp ng ABCD.ABCD cú cỏc cnh
2 , 3 ,AA'AB a AD a a= = =
v gúc
ã
0
30BAD =
. Gi M, N ln lt l trung im ca cỏc cnh AD v AB. Tớnh th tớch khi chúp A.BDMN.
Cõu V: (1 im) Cho
,x y R
v x>1, y>0. Tỡm giỏ tr nh nht ca
( )
3 3 2 2
2
1
x y y x y
P
x y
+ + +
=

PHN RIấNG (3 im) Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn(phn A hoc phn B)
A. Theo chng trỡnh chun
Cõu VIa: (2 im)
1. Trong mt phng vi h trc ta Oxy cho hỡnh thoi ABCD vi A(1;0), ng chộo BD cú phng
trỡnh: x-y+1=0. Tỡm ta cỏc nh B, C, D. Bit
4 2BD =
.
2. Trong khụng gian Oxyz, cho ng thng (d) :
1 2
1
x t
y t
z
=


= +


=

v im A(-1 ;2 ;3). Vit phng trỡnh mt
phng (P) cha ng thng (d) sao cho khong cỏch t im A n mt phng (P) bng 3.
Cõu VIIa:(1 im)Trong cỏc s phc z tha món iu kin
3 3 2z i =
. Tỡm s phc z cú mụun nh nht.
B. Theo chng trỡnh Nõng cao
Cõu VIb: (2 im)
1. Trong h ta Oxy. Vit phng trỡnh ng trũn i qua im A(1;2) cú bỏn kớnh bng 1 ng thi tip
xỳc vi ng thng d cú phng trỡnh: 3x-4y-1=0.

2. Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho hai ng thng d v d chộo nhau v vuụng gúc vi
nhau, AB l on vuụng gúc chung ca d v d. im M(2;-2;1) thuc d, im N(-2;0;1) thuc d v
AM+BN=AB. Vit phng trỡnh mt cu cú tõm thuc mp(P): 2x+2y+z-3=0 v tip xỳc vi hai ng thng
trờn ln lt ti M, N bit hỡnh chiu vuụng gúc ca tõm mt cu trờn AB l im H(0;1;2).
Cõu VIIb: (1 im) Trong khai trin
4
1
n
x x
x

+
ữ

. Cho bit hiu s gia h s ca s hng th 3 v s hng th
2 l 2. Tỡm n?
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm .
H v tờn SBD
Trờng THPT kim thành ii
đề chính thức
Đáp án Đề thi thử đại học năm 2013 lần iI
Mụn : Toỏn, khi A- A
1
- B
(Thi gian 180 khụng k phỏt )
PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7im)
CU NI DUNG THANG
IM
Cõu I
(2.0)

1.
(1.0)
Khi m=0 hm s tr thnh:
4 2
2 1y x x= +
TX: D=R
0.25
Chiu bin thiờn
( )
4 2
lim 2 1
x
x x
+
+ = +

( )
4 2
lim 2 1
x
x x

+ = +

( )
3 2
0
' 4 4 0 4 1 0
1
x

y x x x x
x
=

= = =

=

0.25
Bng bin thiờn
x -

-1 0 1 +

y - 0 + 0 - 0 +
y +

1 +


0 0
Hm s ng bin trờn
( 1;0)
v
(1; )+
Hm s nghch bin trờn
( ; 1)
v
(0;1)
Hm s cú : y

C
=1 ti x=0, hm s t cc tiu ti y
C
=0 ti x=1 v x=-1.
0.25
V th
Nhn xột : th nhn trc Oy l i xng
0.25
2
2.(1.0đ)
( )
( )
3 2
' 4 4 1 4 1y x m x x x m= − + = − −
2
0
' 0
1
x
y
x m
=

= ⇔

= +

Để hàm số có ba điểm cực trị ta có điều kiện : m+1>0<=>m>-1
0.25
Tọa độ các điểm cực trị là : A(0 ; m+1)

B
( )
2
1;m m m− + − −
, C
( )
2
1;m m m+ − −
Vậy
∆
ABC là tam giác cân tại A
0.25
Gọi I là trung điểm BC:
( )
2
0;I m m− −
( ) ( ) ( )
2 4
1 , 2 1, 1 1AI m BC m AB m m= + = + = + + +
uur uuur uuur
Diện tích
∆
ABC là:
( )
2
1
. 1 1
2
ABC
S AI BC m m= = + +

(đvdt)(1)
0.25
Đồng thời diện tích
∆
ABC bằng:
( ) ( )
4
1 1 2 1
. .
4 4
ABC
m m m
AB BC AC
S
R
 
+ + + +
 
= =
(2)
Từ (1), (2) ta có :
( ) ( )
( )
4
2
1 1 2 1
1 1
4
m m m
m m

 
+ + + +
 
= + +

( )
( )
( )
0
3 5
2
3 5
2
m tm
m l
m tm

=


− −

⇒ =


− +

=



Vậy
3 5
0;
2
m m
− +
= =
0.25
Câu
II(2.0đ)
1.
(1.0đ)
5 3
2 os sinx cos cot
2 2
x x
c x+ =
Đk:
3 2
sin 0 ,
2 3
x k
x k Z
π
≠ ⇔ ≠ ∈

3
cos cos
5
2

2 os sinx
3
2
sin
2
x
x
x
c
x
+ =
5 3 3 3
2 os sin sin xsin cos cos 0
2 2 2 2
x x x x
c x⇒ + − =
0.25
0,25
5 3 5
2 os sin os 0
2 2 2
x x x
c c⇔ − =
0.25
3
5
os 0
2
3 2
sin

2 2
x
c
x

=


⇔

=


2
5 5
4
,
6 3
4
2 3
x k
x k k Z
x k
π π
π π
π π

= +




⇔ = + ∈



= +


(tmđk)
0,25
II-2
(1
điểm)
( )
2
9 18 25 2 6 2 1 12 4x x x x x+ + + − − = +
(1)
Đk:
3 1x
− ≤ ≤
0,25
Ta có:
( )
( ) ( )
12 4 2 2 6 4 1 2 2 6 2 1 2 6 2 1x x x x x x x+ = + − − = + − − + + − 
 
PT(1) ⇔
( )
(
)

2
2 6 2 1 9 18 25 2 2 6 4 1 0x x x x x x+ − − + + − + − − =

( )
( )
( )
2
2 6 2 1 1
9 18 25 2 2 6 2 1 2
x x
x x x x

+ = −

⇔

+ + = + + −


Giải (1)
( )
1
3
x tm⇔ = −
0,25
Từ (2)
( )
2
9 18 25 2 2 6 2 1x x x x+ + = + + −

2 2
9 26 15 16 2 4 6x x x x⇒ + − = − − +
(3)
Đặt:
2
2 2 4 6t x x= − − +
Từ (3)=>
2 2
8 10 9 0t t x x+ − − − =

1
9
t x
t x
= +

⇔

= − −

0,25
Khi
2
1 2 2 4 6 1t x x x x= + ⇒ − − + = +

2
1

9 18 23 0
9 288

( )
9
x
x x
x tm
≥ −

⇔

+ − =

− +
⇔ =
Khi
2
1 2 2 4 6 9t x x x x= + ⇔ − − + = − −
với
3 1x− ≤ ≤
Phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm:
9 288
9
x
− +
=
hoặc
1
3
x = −
.

0,25
Câu
III.
(1.0đ)
I =
( ) ( )
3 3
2 2
0 0
t anx sinx
cos 2 cos cos 2
dx dx
x x x
π π
=
+ +
∫ ∫

0.25
Đăt
cost x=
sin xdx dt⇒ = −
Khi x=0=>t=1
x=
3
π
=>t=
1
2
0.25

4
=>
( )
( ) ( )
1 1
2
1 1
2 2
1 1 1
4 4 2 2 2
2
dt
I dt
t t t
t t
 
= = − −
 
+ +
+
 
∫ ∫
0.25
I =
( )
1
1
2
1 1 1 1 5 1
ln ln 2 ln

4 4 2 2 4 3 30
t t
t
 
− + + = −
 ÷
 ÷
+
 
0.25
Câu
IV.
(1.0đ)
Gọi
I DM BN= ∩
Xét ba mặt phẳng (BDI), (ADMA’) và
(ABNA’) có ba giao tuyến đồng quy=>
AA 'I DM BN
= ∩ ∩
0.25
Diện tích
∆
ABD là:
2
0
1 1 1 3
. sin 30 3 .2 .
2 2 2 2
ABD
a

S AD AB a a= = =
(đvdt)
Thể tích khối chóp I.ABD là:

2
3
1 1 3
2
3 3 2
IABD ABD
a
V S AI a a= = =
(đvtt)
0.25
Ta có:
'
'. . 1
. . 8
IA MN
IABD
V
IA IM IN
V IA IB ID
= =

3
' .
' .
1 7 7
8 8 8

IABD A MN ABD
A MN ABD IABD
IABD
V V
a
V V
V
−
⇒ = ⇒ = =
(đvtt)
Đồng thời:
3 3
' . . '
7 1 3 5
.
8 6 2 8
ABDMN A MN ABD A A MN
a a a
V V V a a= − = − =
(đvtt)
0.25
0.25
Câu V.
(1.0đ)
Ta có:
( )
( ) ( )
( )
3 2
3 2

3 3 2 2
1 1
2
1 1
x y x y
x y y x y
P
x y x y
 
+ + − + +
+ + − +
 
= =
− −
Đặt y+1=t, điều kiện: t>1
( )
( ) ( )
3 3 2 2
1 1
x t x t
P
x t
+ − +
==
− −
0.25
5
M
N
B

C
B'
C '
A
D
D '
A'
I
Đặt: a=x+t, điều kiện a>2
Đồng thời:
( )
2
2
2 2
4
4
a
x t a xt a xt+ = ⇒ ≤ ⇔ ≤
( )
( ) ( )
( )
3 3 2 2
3 2
3 2
1 1 1
x t x t
a a xt a
P
x t xt a
+ − +

− − −
=> = =
− − − +
( )
2
3 2
2
2
3 2
4
2
1
4
a
a a a
a
P
a
a
a
− − −
⇒ ≥ =
−
− +
0.25
Xét hàm số:
( ) ( )
( )
( )
2 2

2
0
4
; ' ; ' 0
4
2
2
a
a a a
f a f a f a
a
a
a
=

−
= = = ⇔

=
−
−

Bảng biến thiên:
a 2 4 +
∞
f(a) - 0 +
+
∞
+
∞

f(a)
8
0.25
Do đó:
( )
( )
2;
minf 8MinP a
+∞
= =
Dấu “=” khi
2
4 1
x t x
a y
= =
 
⇔
 
= =
 
0.25
PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần(phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu
VIa.
(2.0đ)
1.
(1.0đ)
Gọi

( ) ( )
; 1 , ; 1
B B C C
B x x C x x+ +
đk:
B C
x x≠
Gọi I là trung điểm của BD=> I là hình chiếu của điểm A trên BD
=> tọa độ điểm I (0;1)
0.25
Vì I là trung điểm của AC
=> tọa độ điểm C(-1;2)
0.25
Vì
2
2 2 2 2 2 2
B B
IB x x= ⇒ = ⇔ = ±
=> tọa độ điểm B(2 ;3) hoặc B(-2 ;-1)
0.25
Vậy tọa độ các đỉnh B(2;3), C(-1;2), D(-2;-1) hoặc B(-2;-1), C(-1;2), D(2;3) 0.25
2.
(1.0đ)
Đường thẳng (d) đi qua điểm M(0;-1;1) và có vectơ chỉ phương
( )
1;2;0u =
r
. Gọi
( )
, ,n a b c=

r
là vectơ pháp tuyến của (P) với
2 2 2
0a b c+ + ≠
. Do (P) chứa (d) nên:

. 0 2 0 2u n a b a b= ⇔ + = ⇔ = −
r r
(1)
Phương trình (P) có dạng:

( ) ( ) ( )
0 1 1 0 ax 0a x b y c z by cz b c− + + + − = ⇔ + + + − =
(2)
0,25
6
( )
( )
2 2
2 2 2
3 2
, 3 3 5 2 3 5
a b c
d A P b c b c
a b c
− + +
= ⇔ = ⇔ + = +
+ +
(vì a=-2b)
0,25

( )
2
2 2
4 4 0 2 0 2b bc c b c c b− + = ⇔ − = ⇔ =
0,25
Do
0b ≠
nên thay (1), (3) vào (2) ta được phương trình:

2 2 0 2 2 1 0bx by bz b x y z− + + − = ⇔ − − + =
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
2 2 1 0x y z− − + =
0,25
Câu
VIIa
(1.0đ)
Đặt z=x+yi (
,x y R∈
). Khi đó
( ) ( )
2 2
3 3 2 3 3 2 3 3 2z i x yi i x y− − = ⇔ + − − = ⇔ − + − =
(1)
0.25
Từ hệ thức (1) => các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức đã cho nằm trên
đường tròn (C) tâm I(3 ;3) bán kính R=
2
.
Đường thẳng OI có phương trình :

3
3
x t
y t
=


=

0.25
Giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn (C) là : M(2 ;2), N(4 ;4) 0.25
Số phức thỏa mãn điều kiện có môđun nhỏ nhất là : z=2+2i. 0.25
B. Theo chương nâng cao
Câu
VIb.
(2.0đ)
1.
(1.0đ)
Gọi tâm đường tròn (C) là I(a;b). Do (C) có bán kính bằng 1, tiếp xúc với d và điểm A
thuộc (C) nên ta có hệ phương trình:
0.25
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 2 1
1 2 1
3 4 6
3 4 1 5
3 4 4

a b
a b
a b
a b
a b

− + − =

− + − =


⇔
 
= +

− − =
 


= −


0.25
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
2
334 4 216

75
3 4 6
3 4 6
46 216
( )
4 3 3 6 9
25 12 36 0
25
3 4 4
3 4 4
334 4 216
25 92 76 0
75
4 7 3 6 9
46 216
25
a
a b
a b
vn
b
b b
b b
a b
a b
a
b b
b b
b



+
=





 = +

 = +



+





=

+ + −

− + =


  



⇔ ⇔ ⇔



= −
= −
  
−




=






− + =

− + − =







−



=




0.25
Vậy phương trình tròn cần tìm là:

2 2
334 4 216 46 216
1
75 25
x y
   
+ +
− + − =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Hoặc
2 2
334 4 216 46 216
1
75 25
x y
   
− −
− + − =

 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
0.25
2.
(1.0 đ)
Gọi tâm mặt cầu cần tìm là I. Ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
IM AM AH IH
AM BN AH BH
IN BN BH IH

+ = +

=> − = −

+ = +


AM BN AH HB
⇒ − = −
0.25
7
AM AH
⇒ =
(do AM+BN=AB)
IM IH IN
⇒ = =

Vậy mặt cầu cần tìm đi qua 3 điểm M, N, H. Gọi mặt cầu có tâm I(a,b,c) ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2
2 2 1 2 1
2 2 1 1 2
2 2 3 0
a b c a b c
a b c a y z
a b c

− + + + − = + + + −


− + + + − = + − + −


+ + − =


2
3
7
a
b
c
=



⇔ =


= −

0.5
Vậy mặt cầu (S) có tâm I(2;3;-7), bán kính
89R =
có phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 7 89x y z− + − + + =
0.25
Câu
VIIb
(1.0đ)
Ta có :
3 11
2
4
0
1
n
n k
n
k
n
k

x x C x
x
−
=
 
+ =
 ÷
 
∑
0.25
Hệ số của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 2 là :
2 1
,
n n
C C
0.25
Theo giả thiết :
2 1
2
n n
C C− =
0.25
=> n=4 0.25
Chú ý: Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm
từng phần như đáp án quy định.
8