tiểu luận xử lý ảnh số wavelets và quá trình đa phân giải

Tiểu luận xử lý ảnh số: wavelets và quá trình đa phân giải.
Sự duyệt trước.
Trong chương này chúng ta khảo sát biến đổi wavelets cơ sở từ một quan điểm về
đa phân giải. Mặc dù chúng có thể được trình bày dưới nhiều cách, đơn giản nhất nó là cả
việc thực hiện phép toán và làm sang tỏ về mặc tính chất vật lý. Chúng ta bắt đầu bằng
một mô tả chung của kỹ thuật xử lý ảnh rằng tác dụng của việc trình bày rõ ràng của
nguyên lý đa phân giải. Mục tiêu của chúng ta là giới thiệu về khái niệm nguyên lý cơ
bản của đa phân giải trong phạm vi của quá trình xử lý ảnh và đồng thời cung cấp một
bản tóm tắt tiến độ diễn biến của hệ thống và những ứng dụng của nó. Phần lớn nội dung
của chương này là nói về sự phát triển của bộ công cụ đa phân giải cho quá trình biểu
diễn và xử lý hình ảnh. Để giải thích cho tính chất có ích của bộ công cụ này, ví dụ phép
đo khoản cách từ bức ảnh mã hóa đến việc triệt nhiễu và nhận dạng cạnh được cung cấp.
Trong chương tới, wavelaets sẻ được sử dụng cho nén ảnh, một ứng dụng đáng được chú
ý mà chúng ta có được.
Kiến thức nền.
Khi chúng ta nhìn những bức ảnh, thông thường chúng ta trông thấy sự kết nối các
miền của việc dệt các vật giống nhau và các mức xám này được biên dịch từ các đối
tượng. Nếu các đối tượng này có kích thước nhỏ và độ tương phản thấp, chúng ta thường
xem xét chúng ở những mức phân giải cao. Nếu đối tượng là cả nhỏ hoặc lớn, có độ phân
giải cao hay thấp là hiện tại đồng thời xảy ra, nó có thể là thuận lợi cho việc nghiên cứu
của chúng ta ở một số mức phân giải. Điều này, là sự thúc đẩy cơ bản cho qua trình xử lý
đa phân giải.
Từ một điểm nhìn toán học, bức ảnh là một mảng 2 chiều của giá trị cường độ với
tính thống kê cục bộ hay thay đổi điều này là kết quả từ những tổ hợp khác nhau của các
đặc trưng bất ngờ và các miền tương phản đồng nhất.
Hình 7.1 Một bức ảnh tự nhiên và những biến thiên histogram của nó.
7.1.1 Tháp ảnh:
Một cách có hiệu lực, nhưng một cấu trúc đơn giản cho việc biểu diễn ảnh tại
nhiều hơn một độ phân giải là hình tháp ảnh. Phát minh đầu tiền cho máy nhìn và những
ứng dụng nén ảnh, một bức ảnh đa mức hình tháp là sự tập hợp của việc sắp xếp giảm
dần độ phân giải các bức ảnh như một hình tháp. Ở nền của hình tháp là một biểu diễn

mức phân giải cao của bức ảnh được tạo thành, tiếp tục là các mức phân giải thấp hơn.
Khi càng lên cao của hình tháp thì cả kích thước và độ phân giải đều giảm. Ở nền J là có
kích thước 2
J
x 2
J
hoặc NxN, trong đó N=log
2
N, các mức j ở giữa là 2
j
x 2
j
, trong đó
0<j<J. Ở đỉnh của hình tháp là J+1 mức phân giải từ 2
J
x2
J
đến 2
0
x2
0
, nhưng quan trọng
hình tháp là bị cắt cụt cho P+1 mức, khi j=J-P,… ,J-2,J-1,J và 1<P<J. Điều này là, chúng
ta thường giới hạn chính bản thân chúng cho thu gọn P độ phân giải xấp xỉ của bức ảnh
ban đầu; một 1x1 hoặc một pixel xấp xỉ của 512x512 ảnh. Tổng số của các yếu tố trong
một tháp P+1 mức với P>0 là
Ví dụ về một cấu trúc bức ảnh hình tháp và hệ thống xử lý tách các mức.
Hình 7.2 cấu trúc tháp ảnh và hệ thống sơ đồ khối cho việc tạo ra nó.
Cả bức ảnh ban đầu, cái tại vị trí gốc của tháp, và cả độ phân giải xấp xỉ được
giảm của nó có thể được xử lý và được vận dụng trực tiếp bằng tay. Mức dự đoán thặng

dư ở ngõ ra j là được sử dụng để xây dựng mức thặng dư dự đoán của tháp. Những tháp
chứa một độ phân giải thấp của bức ảnh ban đầu tại mức J-P và thông tin cho việc xây
dựng của độ phân giải cao P tại các mức khác. Thông tin tại mức j là khác nhau giữa mức
xấp xỉ j của tháp xấp xỉ tương ứng và một ước lượng của việc xấp xỉ nền trên dự đoán
mức j-1. Sự khác nhau có thể mã hóa và sử dụng cho việc lưu trữ và truyền tải nhiều hiệu
quả hơn là xấp xỉ.
Lượng xấp xỉ và dự đoán thặng dư tháp là tính được trong các cách lặp lại. một mức
hình tháp P+1 là được xây dựng từ việc thực hiện tính toán trong biểu đồ khối P lần.
Trong suốt lần đầu lặp lại hoặc vượt qua , j=J và bức ảnh ban đầu 2
J
x2
J
là được sử dụng
tại bức ảnh đầu vào J. Kết quả này là việc xấp xỉ mức J-1 và kết quả dự đoán thặng dư
mức J. Cho đi qua j=J-1, J-2, …, J-P+1, sự lặp lại trước mức j-1 xấp xỉ ngõ ra được sử
dụng ở ngõ vào. Mỗi khi cho qua là gồm có 3 bước:
1. Tính toán mức phân giải thặng dư xấp xỉ của bác ảnh ngõ vào.
7.1.2 Mã hóa hăng con:
Một kỹ thuật xử lý ảnh quan trọng khác với ràng buộc cho phân tích đa phân giải
là mã hóa băng con. Trong mã hóa băng con, 1 bức ảnh được phân tích thành 1 tập của
các băng giới hạn thành phần, gọi là băng con, những cái có thể được tập hợp để xây
dựng lại bức ảnh ban đầu mà không bị lỗi. Ban đầu nó được phát triển cho xử lý âm
thanh và nén ảnh, mỗi băng con là một nguồn bởi bộ lọc thông dải tín hiệu vào. Do vậy
băng thông của băng con tạo thành nhỏ hơn bức ảnh ban đầu, băng con có thể giảm được
mẫu mà không mất thông tin. Việc tái tạo bức ảnh ban đầu là trọn vẹn bởi upsampling,
lọc và tổng của các băng con riêng lẽ.
Một biểu diễn của một mã hóa băng con 2 băng và hệ thống giải mã.
Hình 7.4 một băng lọc hai băng cho mã hóa và giải mã băng con và thông số phổ của nó.
Ngõ vào của hệ thống là một chiều, giới hạn băng, tín hiệu thời gian rời rạc x(n)
cho n=0, 1, 2, 3, …; chuỗi ngõ ra, X(n), là mẫu in trong suốt quá trình phân tích của x(n)

thành y
0
(n) và y
1
(n) với bộ lọc phân tích h
0
(n) và h
1
(n), và quá trình tái tổ hợp sau đó với
bộ lọc tổng hợp cái mà với các thông số ngược lại với H
0
và H
1
. Bộ lọc H
0
là lọc thông
thấp cái mà ngõ ra là xấp xỉ của x(n) , bộ lọc H
1
là lọc thông cao cái mà ngõ ra là tần số
cao hay chi tiết của x(n). Tất cả quá trình lọc thực hiện trong miền thời gian bởi sự quấn
các ngõ vào của mỗi bộ lọc với đáp ứng xung của nó đáp ứng của nó cho một hàm xung
đơn vị xi(n) chúng ta mong muốn sẻ chọn được h
0
(n),h
1
(n),g
0
(n),g
1
(n) sao cho ngõ vào có

thể được tái cấu trúc hoàn thiện, có nghĩa là x(n)=X(n).
Biến đổi Z, một tổng quát của biến đổi F rời rạc, là một ý tưởng cho quá trình học
thời gian rời rạc, biến đổi Z của chuỗi x(n) với n=0,1,2, là
Trong đó z là biến phức. Sự quan tâm của chúng ta trong họ biến đổi Z từ dể với việc xử
lý tốc độ mãu thay đổi. downsampling bởi một chỉ số của 2 trong miền thời gian tương
ứng phép toán đơn trong miền Z
Trong đó dấu tương đương cho thấy sự biển hiện ở bên trái và phải từ 1 biến đổi Z. trong
cách tương tự, upsampling bởi chỉ số 2 được định nghĩa
Nếu chuỗi x(n) là downsampling và theo sao upsampling cho ra X(n)
Trong đó là kết quả chuỗi downsampling-upsampling biến
đổi Z ngược:
Với sự giới thiệu vắn tắt biến đổi Z, quay lại với mã hóa băng con và hệ thống giải mã
ngõ ra của hệ thống là:
Trong đó, ví dụ, ngõ ra của bộ lọc h
0
(n) là định nghĩa bởi cặp biến đổi:
Với biến đổi F, phép nhân chập trong miền thời gian là tương đương với phép
nhân trong miền Z.
Đó là thành phần thứ 2, bởi công dụng của sự kiện có chứa z là độc lập-tượng
trưng cho sai số lấy mẫu cái mà được giới thiệu bởi quá trình downsampling-upsampling
Cho là ko có lỗi trong tái cấu trúc lại tín hiệu ngõ vào, chúng ta có đáp ứng:
Cả hai có thể được sáp nhập thành 1 matran
phân tích thành phần của matran H
m
(z) là:
Chúng ta có thể chuyển vị và đảo:
Khi đó det(H
m
(z)) được định nghĩa của H
m

(z)
Bộ lọc phân tích và tổng hợp là sự điều biến chéo. Có nghĩa là các bộ lọc đối lập
theo đường chéo trong khối xử lý. Cho bộ lọc đáp ứng xung tuyến tính, định nghĩa của
matran hệ số là chỉ là trễ.
Nếu a=-2 kết quả nhận được là:
Vì vậy, các bộ lọc tổng hợp là điều biến chéo của bộ lọc phân tích bắt đầu nhận
được.
Khi det(H)= - det(H) tạo ra G
1
(z)H
1
(z) có thể được định nghĩa tương tự như:
Do vậy, và:
Nói về biến đổi Z ngược, chúng ta thấy rằng:
Trong đó, như thường lệ, hàm xung xi(n)=1 nếu n=0 và bằng 0 nếu n khác. Vậy
các chỉ số lẽ bị triệt tiêu.
Chúng ta có thể thấy rằng:
Bảng các họ bộ lọc tái cấu trúc và mã hóa băng con anh với 2 chiều 4 băng lọc
7.1.3 Biến đổi Haar:
Thứ ba và cũng là phép toán liên quan tới hình ảnh cuối cùng với quan hệ cho
phân tích đa phân giải cái mà chúng ta thấy là biến đồi Haar. Đây là một họ quan trọng từ
việc chính các hàm cơ bản là cũ nhất và đơn giản nhất được biết đến wavelets trực chuẩn.
Biến đổi Haar chính nó là cả có thể phân tích và cân đối và có thể biểu diễn trong dạng
matran:
T=HFH
Trong đó F là một matran ảnh NxN, H là một matran biến đổi NxN, và T là kết
quả của biến đổi NxN. Cho biến đổi Haar, matran biến đổi Haar chứa hàm Haar cơ bản,
h
k
(z). chúng được định nghĩa là lien tục, z thuộc khoản đóng [0,1] với k = 0,1,2,…,N-1;

trong đó 0<p<n-1, q=0 hoặc 1 cho p=0, và 1<q<2
p
cho p khác. Khi đó hàm Haar cơ bản
là:
Hàng thứ I của matran biến đổi NxN chứa các giá trị h
i
(z) cho z=0/N, 1/N, 2/N,
…,(N-1)/N. Nếu N=4, cho ví dụ, k,q và p nhận các giá trị
Và matran biến đổi H
4
là:
Trong ví dụ tuong tự, matran biến đổi 2x2 là:
Chính những hàm cơ bản được định nghĩa chỉ đề cập 2 bộ lọc FIR cái mà sẻ làm
thỏa mãn mẫu đầu tiên QMF của bộ lọc được định rõ trong hàng 1 cột 1 của table. Các hệ
số của bộ lọc phân tích QMF tương ứng, h
0
(n) và h
1
(n) là các giá trị của hàng đầu tiên và
thứ nhì của matran H
2
.
Ví dụ: hình 7.8 cho thấy nền đa phân giải sử dụng hàm Haar cơ bản. khác với cấu trúc
hình tháp ở hình 7.3 sự biểu diễn này, được gọi là biến đổi wavelets rời rạc và được giải
thích ở chương sau, chứa những số lượng pixel như bức ảnh ban đầu.
1. Thống kê cục bộ của nó là hằng số tương đối và dể dàng mô hình hóa.
2. Một số giá trị của nó là 0. Trường hợp này được gọi là nén ảnh.
3. Cả phân giải thô và mịn xấp xỉ của bức ảnh gốc có thể trích từ nó.
Trong ứng dụng cơ sở dữ liệu, các đặc tính của chúng được tạo ra dể dàng cho xử dụng
và xử lý ở chất lượng thấp của bức ảnh trong suốt quá trình nghiên cứu và sau này.

Cuối cùng chúng ta chú ý rằng hình 7.8 chứa một sự gần giống nhau cho cả mã hóa băng
con và tháp Laplacian. ở kết quả trước, những bức ảnh đc chiw nhỏ ở hình 7.8 gọi là tỉ lệ
tạo ra cấu trúc cơ bản của chúng. Bức ảnh xấp xỉ ở hình 7.8 là của kích thước 64x64,
128x128, 256x256. 512x512 là tái cấu trúc của bức ảnh ban đầu.
7.2 Khai triển đa phân giải:
Phần trước giới thiệu 3 kỹ thuật dung cho xử lý ảnh nó là rất quan trọng trong việc
phát triển một thuật toán gọi là phân tích đa phân giải MRA. Trong MRA, hàm xác định
tỷ lệ được dung để tạo ra một chuỗi của xấp xỉ của một hàm hoặc ảnh. Một sự khác biệt
bởi thừa số của 2 từ xấp xỉ hàng xóm gầ nhất. những hàm, được gọi là ưavelets, là được
sử dụng để mã hóa sự khác nhau trong thông tin giữa các xấp xỉ liền kề.
7.2.1 Chuỗi khai triển:
Một tín hiệu hay hàm f(x) có thể thường được phân tích tốt nhất là tổ hợp tuyến
tính của hàm khai triển
Trong đó k là chỉ số nguyên của tổng hữu hạn hay vô hạn, a
k
là các giá trị thực của
các hệ số khai triển, và phikx được gọi là hàm cơ bản, và đặt khai triển được gọi
là cơ bản cho lớp của hàm cái mà có thể được làm rõ. Hàm có thể là rỏ từ hàm không
gian cái mà được định nghĩa là:
Nói rằng f(x) thuộc V nghĩa là f(x) là khoản đóng của và có thể được viết
như trên.
Cho bất kỳ hàm ko gian V và khai triển tương ứng , đó là được đặt của 2
hàm , giải thích rằng có thể sử dụng để tính toán hệ số a
k
cho bất kỳ f(x) thuộc V.
Những hệ số này được tính toán bởi kết quả tính tích phân bên trong của và hàm
f(x). nó là:
Trong đó * được định nghĩa là toán tử lien hợp. tùy thuộc vào sự trực giao của
khai triển 1 kết quả tính toán của 3 có thể xảy ra từ Problem 7.10 là 3 trường hợp sử dụng
vector trong không gian 2 chiều Euclidean.

Case 1: nếu hàm khai triển từ một hàm trực giao cơ bản cho V, nghĩa là:
Là cơ bản và nó là đối ngẫu tương đương. Nghĩa là = và
Trong đó a
k
được tính như các sản phẩm nội bộ của hàm cơ bản và f(x)
Case 2: nếu hàm khai triển là không trực giao nhưng là trực giao với V, thì
Và hàm cơ sở và cả chúng được gọi là song trực giao. A
k
được tính và song trực giao cơ
bản và cả chính nó là
Case 3: nếu khai triển là một cơ bản cho V, nhưng đóng gói khai triển định nghĩa như
biểu thức 7.2-1, nó là một mở rộng với ở đó là nhiều hơn 1 được đặt của a
k
cho bất jyf
f(x) thuộc V. Hàm khai triển và cả đối ngẫu của chúng được gọi là overcomplete hay
thừa.
Cho A>0, B< vô cùng, và tất cả f(x) thuộc V. chia kết quả này bởi định chuẩn vuông của
f(x), chúng ta thấy rằng khung A và B là sản phẩm nội bộ bình thường của các hệ số khai
triển và hàm. Kết quả tương tự như là 7.2-2 và có thể được dùng để tìm các hệ số khai
triểnn cho khung. Nếu A=B, khai triển được gọi là khung kín và có thể được biểu diễn:
7.2.2 Hàm tỉ lệ:
Bây giờ xem xét cho việc thiết lập của hàm khai triển bao gồm của số nguyên lần
dịch và tỉ lệ nhị phân của thực, hàm nguyên vuông là, thiết lập khi
Với mọi j,k thuộc Z và thuộc L
2
(R). khi đó, k được định nghĩa là vị trí của
trong trục x, j được định nghĩa với, bảng hoặc tỉ mỉ trong trục x và 2
j/2
điều khiển độ cao của biên độ. Bởi vì hình thù của thay đổi với j, được gọi là
hàm tỉ lệ. bởi việc chọn khôn ngoan có thể tạo ra khoản cách ngắn L

2
(R), thiết lập
tất cả đo được, hàm nguyên vuông.
Nếu chúng ta giới hạn j trong biểu thức 7.2-10 cho một giá trị rõ ràng, cho j=j
0
kết
quả của khai triển được thiết lập. là thiết lập con của . Nó sẻ không
thuộc L
2
(R), nhưng một không gian con trong nó. Sử dụng những chú giải ở bài trước,
chúng ta định nghĩa không gian con là:
Điều này là, V
j0
là nội bộ của vượt quá k. Nếu f(x) thuộc V
j0
, nó có thể
được viết là:
Nhiều nguồn hơn, chúng ta giải thích nội bộ subspace vượt quá k cho bất kỳ j như:
Chúng ta xem xét trong ví dụ, việc tăng j đê tăng kích thước của V
j
, nhận thấy hàm
với lượng biến nhỏ hay thông số hữu hạn được khai báo trong subspace. Điều này là kết
quả của các sự kiện như, tăng j, được sử dụng cho giải thích hàm subspace trở
thành mỏng và riêng rẽ bởi thay đổi nhỏ trong x
EX 7.4
Xem như đơn vị cao và rộng là theo hàm tỉ lệ Haar
Hình 7.9a,b cho thấy 4 của nhiều hàm khai triển có thể được tạo ra bằng việc thay
thế hình dạng xung hàm tỉ lệ trong biểu thức (7.2-10). Chú ý rằng khi j=1, là đối lập với
j=0, kết quả của hàm khai triển là thu hẹp và đóng lại cùng lúc.
Hình 7.9e cho thấy thành phần của subspace V

1
. Hàm này không có lien quan với
V
0
bởi vì hàm khai triển V
0
trong hình 7.9a và b là quá thô để biểu diến cho nó. Hàm
phân giải cao giống như những thứ thấy trong 7.9c và d là cần tìm. Chúng có thể được sử
dụng, như trong e, để biểu diễn cho hàm bởi 3giới hạn khai triển:
Kết thúc ví dụ này, hình 7.9f minh họa sự phân tích của như là một tổng
của hàm khai triển V
1
. Trong một kiểu tương tự, bất kỳ hàm khai triển nào cũng có thể
được phân tích sử dụng:
Vì vậy, nếu f(x) là một bộ phận của V
0
, nó cũng là một bộ phận của V
1
. Điều này
có được là vì tất cả các hàm khai triển V
0
nào cũng đề là bộ phận của V
1
. Chúng ta viết
rằng V
0
là subspace của V
1
, hay V
0

con V
1
.
Hàm tỉ lệ đơn giản trong ví dụ trước là tuân theo 4 điều kiện cơ bản của phân tích
đa phân giải:
Điều kiện MRA 1: Hàm tỉ lệ phải trực giao để nó là một số nguyên.
Điều này rất dể dàng nhận thấy trong trường hợp của hàm Haar, cho đến khi nó có
một giá trị của 1, nó là số nguyên là 0, vì vậy sản phẩm của 2 là 0. Hàm tỉ lệ Haar là được
nói có chấp nhận sự thỏa thuận, điều này có nghĩa là 0 ở bất kỳ đâu bên ngoài khoản hữu
hạn được gọi là chấp nhận. trong trường hợp này nó chấp nhận là 1, nó là 0 ở bên ngoài
nữa khoản mở [0,1). Nó nên được chú thích rằng điều kiện cho trực giao số nguyên trở
thành khó thỏa mãn như chấp nhận của hàm tỉ lệ trở thành lớn hơn 1.
Điều kiện MRA2: Nội bộ của subspace bởi hàm tỉ lệ ở tỉ số thấp là được đặt vào ngay
bên trong chúng tại tỉ số cao.
Có thể thấy trong hình 7.10, subspace đang chứa hàm phân giải cao mặc dù nó
cũng chứa tất cả các hàm phân giải thấp.
Hơn nữa subspace thỏa mãn điều kiện trục giác rằng nếu f(x) thuộc V
1
, thì f(2x)
thuộc V
j+1
. Điều này có nghiã là hàm tỉ lệ Haar gặp yêu cầu này nên không nhận được
chứng tở rằng bất kỳ hàm nào với 1 đáp ứng tự động là điều kiện. Nó là trái như một bài
tập cho việc đọc để nhìn thấy rằng hàm đơn bằng nhau
là không có một hàm tỉ lệ nào cụ thể cho phân tích đa
phân giải.
Điều kiện MRA3: Chỉ có một hàm cái mà chung cho tất cả V
1
là f(x)=0.
Nếu chúng ta xem xét hàm khai triển thô, chỉ có 1 hàm tương ứng là hàm không

mang thông tin, nó là
Điều kiện MRA4: Bất kỳ một hàm nào cũng có thể tương ứng với độ chính xác tùy ý.
Mặc dù nó không thể xáy ra cho khai triển một f(x) đặc biệt tại một độ phân giải
thô tùy ý, như trường hợp cho hàm trong hình 7.9e tất cả kết quả đo được, hàm khả tích
vuông có thể biểu diễn trong một vô hạn như j dần ra vô cùng.
Ngoài những điều kiện đó, hàm khai triển của subspace V
j
có thể rõ ràng như một
tổng độ lớn của hàm khai triển của subspace V
j+1

Trong đó chỉ số của tổng là thay đổi đến n. Thay thế cho từ biểu thức
7.2-10 và thay đổi biến a
n
cho , cái này trở thành
Khi cả j và k có thể được đặt là 0 cho
Hệ số trong kết quả trên được gọi là hệ số hàm tỉ lệ, được nói đến như là
vector tỉ lệ. Những ký hiệu đan xen h(n) và h
0
(n) là thường được sử dụng trong tài liệu,
nhưng chúng ta mong muốn tránh sự nhầm lẫn với những thảo luận ở trước của bộ lọc
phân tích băng con. Biểu thức 7.2-18 là cơ sở cho kỹ thuật phân tích đa phân giải và được
gọi là phương trình của việc lọc, phương trình MRA, hoặc phương trình giãn nở. Nó là
trạng thái của hàm khai triển của bất kỳ subspace nào có thể được xây dựng từ 2 mức
phân giải copy của chính chúng, đó là từ hàm khai triển của không gian phân giải cao tiếp
theo. Việc chọn của 1 subspace tham khảo, V
0
là tùy ý.
EX 7.5: Các hệ số hàm khai triển tỉ lệ cho hàm Haar của biểu thức 7.2-14 là
hàng đầu tiên của matran H

2
trong biểu thức 7.1-18, vậy
Phân tích này là minh họa sinh động cho trong hình 7.9f, trong đó dấu
ngoặc vuông của biểu thức trước là biểu diễn cho và . Tổng của 2 hàm
đơn giản tạo ra
7.2.3 Hàm wavelet:
Cho một hàm tỉ lệ thỏa mãn điều kiện MRA của phần trước, chúng ta định nghĩa
một hàm wavelet rằng, cùng với đối số nguyên của chính nó và tỉ số nhị phân, bên
trong những khác nhau giữa bất kỳ 2 subspace tỉ lệ liền kề V
j
và V
j+1
. Vị trí là được minh
họa sống động trong hình 7.11, chúng ta định nghĩa cái thiết lập của wavelets:
Cho mọi k thuộc Z rằng nội bộ của không gian W
j
trong hình, như với hàm tỉ lệ, chúng ta
viết
Và chú ý rằng nếu f(x) thuộc W
j
.
Tỉ lệ và hàm wavelet subspace trong hình 7.11 được tính bởi:
Trong đó là hợp của không gian. Phần bù trực giao của V
j
trong V
j+1
là W
j
và tất cả các
thành phần của V

j
là trực giao với thành phần của vW
j
, vậy
Cho mọi j,k,l thuộc Z
Bây giờ chúng ta có thể biểu diễn không gian của tất cả các kích thước, hàm nguyên
vuông như:
Hoặc
Hoặc
Cái này loại trừ hàm tỉ lệ và tương ứng với một hàm của chỉ wavelets. Chú ý rằng nếu
f(x) là thành phần của V
1
nhưng không phải của V
0
và khai triển sử dụng biểu thức 7.2-24
chứa một xấp xỉ của f(x) sử dụng hàm tỉ lệ V
0
, wavelets từ vW
0
có thể được mã hóa khác
nhau giữa xấp xỉ này với hàm thực tế. biểu thức 7.2-24 tới 7.2-26 có thể tổng quát hóa là:
Trong đó j
0
là một tỉ lệ bắt đầu.
Khi không gian wavelet thuộc về nội bộ không gian bởi hàm tỉ lệ phân giải cao tiếp theo,
bất kỳ hàm wavelet, tương tự hàm tỉ lệ của chính nó được tính ở biểu thức 7.2-18, có thể
được biểu diễn như tổng trọng lượng của phép dịch, hàm tỉ lệ phân giải gấp đôi. Điều này
chúng ta có thể viết
Trong đó được gọi là hệ số hàm wavelet và là vector wavelet. Sử dụng điều này
cho nội bộ wavelets là không gian trực giao trong hình 7.11, và chuyển đổi wavelet

nguyên là trực giao, nó có thể được chỉ ra rằng là được lien kết với .
chú ý rằng tương tự của kết quả này và biểu thức 7.1-23, mối qua hệ bao quát đáp ứng
xung của mã hóa băng con trực giao và bộ lọc giải mã.
EX 7.6: trong ví dụ trước, vector tỉ lệ Haar được định nghĩa như
sử dụng biểu thức 7.2-29, tương ứng vector wavelet là
và . Chú ý rằng những hệ số tương ứng cho hàng thứ 2
của matran H
2
trong biểu thức 7.1-28. Thay những giá trị trong biểu thức 7.2-28, chúng ta
đặt với biểu đồ được cho trong hình 7.12a. vậy hàm wavelet
Haar là
Sử dụng với biểu thức 7.2-19 chúng ta có thể đưa ra mở rộng của tỉ lệ và wavelets Haar
dịch. Cả 2 wavelets và là biểu đồ trong hình 7.12b và c. Chú ý rằng
wavelet cho không gian W
1
là hẹp hơn cho W
0
, nó có thể được sử dụng để
biểu diễn chi tiết mịn hơn.
Hình 7.12d cho thấy hàm của subspace V
1
là không nằm trong subspace V
0
. Hàm này đã
được biểu diễn trong một ví dụ đơn giản. mặc dù hàm không thể tương ứng chính xác
trong V
0
biểu thức 7.2-22 cho thấy rằng nó có thể được khai triển sử dụng hàm khai triển
V
0

và W
0
. Kết quả của khai triển là:
Khi
Và
Trong đó, f
a
(x) là một xấp xỉ của f(x) sử dụng hàm tỉ lệ V
0
, trong khi f
d
(x) là khác f(x) –
f
a
(x) như một tổng của wavelets W
0
. Hai khai triển, cái được cho trong hình 7.12e và f,
chia f(x) trong một cách giống nhau để một bộ lọc thông thấp và một bộ lọc thông cao.
Những tần số thấp của f(x) là được giữ trong f
a
(x) nó là giá trị của f(x) trong mỗi số
nguyên lần khoản cách trong khi chi tiết tần số cao được mã hóa trong f
d
(x).
7.3 Biến đổi wavelet một chiều:
Chúng ta có thể chính thức định nghĩa một số lien quan chặt chẽ với biến đổi wavelet:
việc mở rộng chuỗi khai triển wavelet, biến đổi wavelet rời rạc, biến đổi wavelet lien tục.
Tương ứng với chúng trong miền Fourier là khai triển chuỗi Fourier biến đổi Fourier rời
rạc và tích phân biến đổi Fourier
7.3.1 Khai triển chuỗi wavelet:

Chúng ta bắt đầu bằng việc định nghĩa chuỗi khai triển wavelet của hàm f(x) thuộc L
2
(R)
liên quan tới wavelet và hàm tỉ lệ . Tương úng với biểu thức 7.2-27 chúng ta
có thể viết
Trong đó j
0
là tỉ số khởi đầu tùy ý và và là được gán lại cho từ biểu thức
7.2-12 và 7.2-21. thường được gọi là xấp xỉ hoặc hệ số tỉ lệ, là xem như là
chi tiết của các hệ số wavelet. Điều này là bởi vì tổng đầu tiên trong biểu thức 7.3-1 sử
dụng hàm tỉ lệ cho việc cung cấp một xấp xỉ của f(x) tại tỉ lệ j
0
. Với mỗi tỉ lệ phân giải
cao j>j
0
trong tổng thứ 2, hàm phân giải hữu hạn là tổng của wavelets là được cộng cho
xấp xỉ cung cấp cho việc tăng số chi tiết. Nếu hàm khai triển từ một trực giao cơ sở hoặc
khung kín, điều này thường là một trường hợp, hệ số khai triển là được tính bởi biểu thức
7.2-5 và 7.2-9 như:
Và:
Nếu hàm khai triển là thành phần của một trực giao 2 chiều, trong những biểu
thức sẻ được thay thế bởi hàm đối ngẫu của chúng.
EX7.7: Cho hàm đơn như trên hình 7.13a

Sử dụng wavelets Haar và tỉ số đầu j
0
=0. Biểu thức 7.3-2 và 7.3-3 có thể được sử dụng
để tính cho các hệ số khai triển:
Thay những giá trị trong biểu thức 7.3-1 chúng ta nhận được chuỗi khai triển wavelet
Số hạng đầu tiên trong khai triển này dùng c

0
(0) để đưa ra một subspace V
0
xấp xỉ của
hàm được khai triển. xấp xỉ này là được cho thấy trong hình 7.13b và giá trị trung bình
của hàm trực giao. Số hạng thứ 2 sử dụng d
0
(0) để làm mịn xấp xỉ bởi việc cộng các mức
của chi tiết từ subspace W
0
. Việc cọng chi tiết và kết quả V
1
là được biểu diễn trong hình
7.13c và d tương ứng. Mức khác của chi tiết là được cộng bởi cấc hệ số subspace W
1
d
1
(0) và d
1
(1). Việc cộng chi tiết này được biểu diễn trong hình 7.13e và kết quả xấp xỉ V
2
là ở 7.13f. Chú ý rằng khai triển là bắt đầu cho hàm trực giao giống nhau. Tại tỉ lệ cao
được cộng, xấp xỉ trở thành miêu tả chính xác của hàm.
7.3.2 biến đổi wavelet rời rạc:
Giống như khai triển chuỗi F, chuỗi khai triển wavelet của mục trước là hàm của
biến liên tục trong một chuỗi của các hệ số nếu hàm được khai triển là một chuỗi của các
số, như các mẫu của hàm liên tục f(x), kết quả các hệ số được gọi là biến đổi wavelet rời
rạc (DWT) của f(x). Cho trường hợp, chuỗi khai triển định nghĩa trong biểu thức 7.3-1
đến 7.3-3 trở thành biến đổi DWT
Với j>j

0
và
Trong đó là các hàm của biến rời rạc x= 0,1,2,…,M-1. Cho
ví dụ, cho một số x
0
, , và x = 0,1,2,…,M-1. Bình thường,
chúng ta đặt j
0
= 0 và chọn M là một lũy thừa của 2, vì vậy lấy tổng là thực hiện vượt quá
x=0,1,2,…, M-1; j=0,1,2,…, J-1, và k=0,1,2,…, 2
j
-1. Cho wavelets Haar, tỉ lệ riêng và
hàm wavelet đang làm việc trong biến đổi tương ứng cho những hàng của matran biến
đổi Haar MxM của mục 7.13. Chính biến đổi là được bao gồm của M hệ số, tỉ lệ nhỏ nhất
là 0, và lớn nhất là J-1. Chú ý rằng sợ suy luận trong mục 7.3.1 và minh họa trong ví dụ
7.6, các hệ số được định nghĩa trong biểu thức 7.3-5 và 7.3-6 là thường được gọi là xấp xỉ
của các hệ số chi tiết
và trong biểu thức 7.3.5 và 7.3.7 tương ứng với và của
chuỗi khai triển wavelet trong mục trước. chú ý rằng tích hợp trong chuỗi khai triểncos
thể được tính bằng phép tính tổng và hệ số chuẩn hóa . Nhớ lại DFT trong mục
4.2.1 có thể được cộng cho cả trước và biểu thức đảo. hệ số này có thể được chứa luân
phiên nhau vào trong phía trước hoặc nghịch đảo như 1/M. Cuối cùng, nên nhớ rằng biểu
thức 7.3-5 tới 7.3-7 là căn cứ cho trực giao nền và những khung kín. Với trực giao nền 2
chiều, số hạng và trong biểu thức 7.3-5 và 7.3-6 được thay thế với đối ngẫu của
chúng và tương ứng.
EX7.8: tính một biến đổi wavelet rời rạc một chiều:
Để minh họa việc sử dụng của biểu thức 7.3-5 tới 7.3-7. Cho hàm rời rạc của 4 điểm:
f(0)=1; f(1)=4; f(2)=-3 và f(3)=0. Trong khi M=4, J=2 và với j
0
= 0, tổng được biểu diễn

vượt quá x= 0,1,2,3; j=0,1 và k=0 với j=0 hoặc k=0 với j=1. Chúng ta sẻ sử dụng hàm tỉ
lệ và wavelet Haar và giả sử rằng 4 mẫu của f(x) là được phân bổ tràn của hàm cơ sở, ở
đây là 1. Thay thế với 4 mẫu vào trong biểu thức 7.3-5 chúng ta tìm đươc:
Bởi vì cho x= 0,1,2,3. Chú ý rằng chúng ta sử dụng khoản cách nẫu giống
nhau của hàm tỉ lệ Haar cho j=0 và k=0. Các giá trị tương ứng cho hàng đầu tiền của
matran biến đổi Haar H
4
của mục 7.1.3. Tiếp tục thực hiện với biểu thức 7.3-6 và tương
tự với khoản cách mẫu của , với tương ứng cho hàng 2,3 và 4 của H
4
ta nhận được:
Như vậy, biến đổi wavelet rời rạc của hàm 4 mẫu đơn sử dụng hàm tỉ kệ và wavelet Haar
là , trong đó các hệ số biến đổi được sắp xếp trong thứ tự chúng
được tính toán.
Biểu thức 7.3-7 tái cấu trúc hàm trực giao từ chính biến đổi của nó. Nhắc lại trong suốt
các chỉ số của chính nó, chúng ta được:
Như trong trường hợp trước, khoản cách mẫu đều nhau của hàm wavelet và tỉ lệ là
được sử dụng trong tính toán của nghịch đảo.
4 điểm DWT trong ví dụ trước là minh họa của 2 tỉ lệ phân tích của f(x) điều này là,
j={0,1}. Dữ kiện cơ bản này là của tỉ lệ bắt đầu j
0
là 0, nhưng các tỉ lệ bắt đầu khác là có
thể. Nó là bỏ đi như bài tập cho tính toán biến đổi tỉ số đơn
, đó là kết quả khi bắt đầu tỉ lệ là 1. Vì vậy biểu thức
7.3-5 và 7.3-6 định nghĩa là họ hàng của biến đổi khác trong tỉ lệ bắt đầu j
0
.
7.3.3 Biến đổi wavelet lien tục:
Một cách tự nhiên mở rộng của biến đổi wavelet rời rạc là biến đổi wavelet lien
tục (CWT), trong những biến đổi này một hàm lien tục với một hàm dư thừa cao của 2

biến liên tục là sự tịnh tiến và tỉ lệ. Kết quả biến đổi là dể dàng cho việc giải thích và tính
toán giá trị trong phân tích thời gian – tần số. Mặc dù sự quan tâm của chúng ta là trong
các bức ảnh rời rạc, nó được bao phủ ở đây cho tính tổng quát.
Biến đổi wavelet lien tục của một hàm liên tục, bình phương khả tích f(x), tương đối cho
một wavelet giá trị thời gian thực là:
Trong đó:
Và s và là được gọi là các thông số tỉ lệ và tịnh tiến, tương ứng. Cho có
thể được sử dụng cho biến đổi wavelet liên tục ngược:
Trong đó
Và là biến đổi Fourier của . Biểu thức 7.3-8 tới 7.3-11 định nghĩa một biến đổi
thuận nghịch như tiêu chuẩn có thể chấp nhận được, là thỏa mãn (Grossman and
Morlet 1984). Trong một trường hợp quan trọng, điều này đơn giản nghĩa rằng
và khi đủ nhanh để làm cho .
Biểu thức trước là nhắc lại của bản sao rời rạc của chúng biểu thức 7.2-19, 7.3-1, 7.3-3,
7.3-6, 7.3-7. Những điểm tương tự nên được chú ý:
1. Thông số tịnh tiến liên tục, , lấy không gian của thông số tịnh tiến nguyên, k.
2. Thông số tỉ lệ liên tục,s, là ngược lại có họ hàng với thông số tỉ lệ nhị phân, 2
j
.
Điều này là bởi vì s xuất hiện trong mẫu số của trong biểu thức 7.3-9.
Vì vậy, wavelets được sử dụng trong biến đổi liên tục là bị nén hay bị giảm trong
bề rộng khi 0<s<1 và mở rộng hoặc giãn ra khi s>1.tỉ lệ wavelet và khái niệm
nguyên thủy của chúng của tần số là có liên quan một cách trái ngược nhau.