Tìm hiểu và tóm lược nội dung trong tài liệu xử lý ảnh số

Tìm hiểu và tóm lược nội dung trong
tài liệu xử lý ảnh số


Xử lý ảnh số

Mục Lục
Nội dung

Trang

Chương 7: Tổng quan ……………………2.
7.1: Nền ……..……………………….....3.
7.1.2:Những hình chóp ảnh ……………...3.
7.1.3:Mã hóa dải con …………………. ...8.
7.1.4: Sự biến đổi sương mù …………….12.
7.4: Sự biến đổi sóng nhanh …………….14.
7.5: Sự biến đổi sóng nhỏ theo thời gian…21.

2/28


Xử lý ảnh số

Chương 7
Các sóng nhỏ và sự xử lý đa độ phân giải
Tổng quan
Mặc dầu biến đổi furie đã thành cơ sở chính của biến đổi –nền tảng của xử lí ảnh từ
cuối thập kỉ 1950, thêm một sự biến đổi gần đây ,được gọi là biến đổi sóng nhỏ ,đang
phát triển nó ,thậm chí dễ dàng hơn để nén ,truyền ,phân tích nhiều hình ảnh .Khơng
giống như biến đổi furie,các đặc trưng cơ bản của nó là các hình sin ,biến đổi sóng lăn

tăn được dựa trên các sóng nhỏ ,gọi là các sóng nhỏ ở tần số và giới hạn thời gian
khác nhau .Điều này cho phép chúng cung cấp một điểm nhạc tương đương cho ảnh
,cho thấy không chỉ sự lưu ý như thế nào (hay các tần số ) để chạy ngoài ra cũng vào
lúc bật chúng .Thường các biến đổi furie mặt khác chỉ cung cấp các ghi chú hay thông
tin tần số ; thông tin thời gian bị mất trong xử lý sự biến đổi .
Vào năm 1987, các sóng nhỏ đầu tiên được thấy đã trở thành cơ sở của một sự
tác động mạnh tới phương pháp mới báo hiệu sự xử lí và phân tích gọi là thuyết đa độ
phân giải (Mallat [1987]) .Thuyết đa độ phân giải kết hợp chặt chẽ và hợp nhất các kĩ
thuật từ các quy tắc khác nhau ,bao gồm mã hóa phân dải từ xử lý tín hiệu ,sự lọc
gương cầu phương từ nhận dạng tiếng nói số ,và xử lý ảnh có hình chóp . Trong khi tên
của nó hàm ý, thuyết đa độ phân giải có liên quan với sự trình bày và sự phân tích của
những tín hiệu (hay những ảnh) tại nhiều độ phân giải . Sự kêu gọi của một phương
pháp như vậy là hiển nhiên- những đặc tính mà có lẽ chưa được bảo vệ tại một
phương pháp có thể dễ dàng để nhận ra tại phương pháp khác. Mặc dầu cộng đồng
tạo ảnh theo sự phân tích đa độ phân giải thì hạn chế cho đến cuối những năm 1980,
bây giờ khó giữ vững với số giấy tờ, luận đề, và những sách cống hiến cho đề tài.
Trong chương này ,chúng ta khảo sát sự biến đổi trên nền sóng lăn tăn từ một
quan điểm đa độ phân giải . Mặc dầu chúng có thể có mặt trong những cách khác,
phương pháp này đơn giản hóa cả tốn học lẫn những sự giải thích vật lý. Chúng ta
bắt đầu với một tổng quan của kỹ thuật tạo ảnh mà gây ảnh hưởng sự trình bày rõ ràng
của thuyết đa độ phân giải . Mục tiêu của chúng ta sẽ giới thiệu những khái niệm cơ
bản của thuyết bên trong văn cảnh của xử lý ảnh và đồng thời cung cấp một hồ sơ tóm
tắt viễn cảnh lịch sử về phương pháp và ứng dụng của nó .Phần chủ yếu của chương
được tập trung vào sự phát triển của đa độ phân giải- một bộ dụng cụ nền tảng cho sự
trình bày và xử lý của những ảnh. Để chứng minh sự hữu dụng của bộ công cụ ,
những ví dụ sắp xếp từ sự mã hóa ảnh đến loại bỏ tạp nhiễu và sự nhận dạng cạnh
được cung cấp. Trong chương tiếp theo, những lằn sóng lăn tăn sẽ được sử dụng cho
sự nén ảnh, một ứng dụng mà trong cái đó chúng có nhận được sự chú ý đáng kể.

3/28

Xử lý ảnh số

7.1 Nền
Khi chúng ta quan sát những ảnh, nói chung chúng ta nhìn thấy những vùng của
kết cấu tương tự và mức xám được nối mà kết hợp với các đối tượng của lớp. Nếu
những đối tượng thì nhỏ trong kích thước hay nhỏ trong sự tương phản, chúng ta bình
thường khảo sát chúng tại những độ phân giải cao; nếu chúng lớn trong kích thước
hay cao trong sự tương phản, một sự nhìn thơ là mọi thứ mà được yêu cầu. Nếu
những đối tượng cả nhỏ lẫn lớn hay những đối tượng tương phản thấp và cao có mặt
đồng thời, có thể thật ích lợi để nghiên cứu chúng tại vài sự phân giải . Điều này, tất
nhiên, là động lực cơ bản cho sự xử lý đa độ phân giải.
Từ một quan điểm toán học, những ảnh là những mảng hai chiều của những giá trị
cường độ với việc thay đổi cục bộ các số liệu thống kê mà kết quả từ những sự kết
hợp khác nhau của những đặc tính bất ngờ giống những mép và tương phản những
vùng đồng nhất. Như minh họa trong hình 7.1—một ảnh mà sẽ được khảo sát nhiều
lần trong phần dư của mục -thống kê thứ tự thậm chí đầu tiên thay đổi một cách đáng
kể từ bộ phận của một ảnh này sang ảnh khác. Chúng không tn theo mơ hình
thống kê đơn giản qua tồn bộ ảnh.

7.1.1

Những hình chóp ảnh

Một tác động mạnh , mà cấu trúc đơn giản dựa trên các khái niệm để đại diện
cho những ảnh tại nhiều độ phân giải là hình chóp ảnh (Burt và Adelson [ 1983]) Bản
chính-phát minh ra cho sự nhìn và những ứng dụng nén ảnh bằng máy, một ảnh
hình chóp là một tập hợp của việc giảm bớt độ phân giải những ảnh được sắp xếp
trong hình dạng của một hình chóp. Như có thể được nhìn thấy trong hình. 7.2 (a),Đáy

của hình chóp chứa một sự trình bày độ phân giải cao của ảnh được xử lý; đỉnh chứa
một sự xấp xỉ độ phân giải thấp. Như bạn chun lên hình chóp, cả hai kích thước và
độ phân giải giảm bớt .Từ mức cơ sở J là kích thước 2 J × 2J hay N × N , nơi mà
J = log 2 N ,mức trung gian j là kích thước 2 j × 2 j tại nơi mà 0≤j≤J. Hồn tồn ở những
hình chóp gồm có các mức phân giải từ 2J × 2J tới 2 0 × 2 0 ,nhưng đa số những hình
chóp bị chặt cụt tới P+1 mức ,ở tại j = J − P,..., J − 2, J −1, J và 1 ≤ P ≤ J . Nghĩa là
,chúng ta bình thường giới hạn chính tới P giảm bớt những xấp xỉ độ phân giải của
ảnh nguyên bản 1×1 hay xấp xỉ điểm đơn của ảnh 512 × 512 ,chẳng hạn ,của giá trị
nhỏ .Tổng số phần tử bằng mức chóp P +1 với P>0 là :

Hình 7.2(b) cho thấy rằng một hệ thống đơn giản cho vẽ những hình chóp ảnh .
Mức j −1 xấp xỉ đầu ra được dùng để tạo ra những hình chóp xấp xỉ .

Hình 7.2
4/28


Xử lý ảnh số
(a) Một cấu trúc ảnh có hình chóp
(b) Khối hệ thống sơ đồ tạo ra nó

Mà chứa đựng một hoặc nhiều sự xấp xỉ của ảnh nguyên bản. Cả hai ảnh nguyên
bản, mà tại đáy của hình chóp, và giá trị P của nó giảm xấp xỉ độ phân giải có thể
được truy nhậpvàthaotáctrựctiếp.Dự đốn số dư mức jđược hiển thị ra ở hình. 7.2 ( b)
Được dùng để xây dựng cho số dư dự đoán những hình chóp. Những hình chóp này
chứa đựng xấp xỉ độ phân giải-thấp của ảnh nguyên bản tại mức
J - P Và Thông tin cho việc xây dựng xấp xỉ độ phân giải - cao P tại những mức
khác. Thông tin tại mức j là sự khác nhau giữa mức xấp xỉ j của hình chóp xấp xỉ tương
ứng và ước lượng sự xấp xỉ đó được dựa vào số dư mức J -- 1 dự đốn. Sự khác nhau
này có thể mã hóa- và bởi vậy lưu giữ và truyền- hiệu quả hơn sự xấp xỉ.

Như sơ đồ khối của hình. 7.2 ( b) gợi ý, Sự xấp xỉ và sự dự đốn dư những hình
chóp được tính tốn trong một kiểu cách lặp đi lặp lại. Một mức hình chóp P + 1 được
xây dựng bằng việc thực hiện những thao tác trong sơ đồ khối P lần. Trong thời gian
lặp đi lặp lại hay chuyển qua đầu tiên, j = - J và bản chính 2J × 2J ảnh được áp dụng
như mức J nhập vào ảnh. Cái này đưa ra xấp xỉ mức J - 1 và những kết quả mức J
dự đoán dư. Cho những sự chuyển qua j = J - 1, J 2,... , J - P + 1 (theo thứ tự đó), sự
lặp đi lặp lại trước đây là mức j - 1 đầu ra xấp xỉ được sử dụng như đầu vào. Mỗi sự
chuyển qua được bao gồm ba bước tuần tự:
1. Tính tốn xấp xỉ độ phân giải được giảm của ảnh đầu
vào. Điều này làm bằng việc lọc đầu vào và lấy mẫu xuống
( thí dụ, sự lấy mẫu) kết quả đã được lọc bởi một hệ số của 2
.Các thao tác lọc đa dạng có thể được sử dụng, bao gồm sự
lấy trung bình khu lân cận, mà đưa ra một hình chóp trung
gian , lọc tần thấp Gauxơ (xem mục 4.2.4), mà đưa ra một
5/28


Xử lý ảnh số
hình chóp Gauxơ, hay khơng lọc nào dẫn đến một hình chóp
lấy mẫu. Chất lượng xấp xỉ được tạo ra, gán cho mức xấp xỉ j
- 1 trong hình 7.2(b),là một chức năng của bộ lọc được
chọn.Khơng có bộ lọc, sai số lấy mẫu có thể trở nên rất rõ thấy
ở các mức trên của hình chóp, như những điểm được lấy mẫu
có thể khơng thể hiện tốt những vùng từ đó chúng được lấy.
2. Lấy mẫu lên đầu ra lại của bước trước bởi một
hệ số của 2- Và lọc kết quả. Cái này tạo ra một ảnh dự đoán
với cùng độ phân giải như đầu vào. Bằng việc chèn thêm
những cường độ giữa những điểm của đầu ra bước 1,cái lọc
phép nội suy xác định như thế nào đúng đắn sự dự đoán xấp
xỉ đầu vào tới bước 1. Nếu cái lọc phép nội suy bị bỏ sót, sự

dự đốn là một phiên bản lấy mẫu lên của đầu ra bước 1 và
những hiệu ứng trở ngại sự tái tạo của bản sao điểm có thể
trở nên rõ ràng.
3. Tính tốn sự khác nhau giữa sự dự đoán của bước 2 và đầu vào tới
bước 1. Sự khác nhau này, gán cho mức j Số dư dự đốn, có thể được sử
dụng sau để xây dựng lại dần dần từng nấc ảnh nguyên bản(xem Ví dụ 7.1).
Theo sự thiếu của sai số lượng tử hóa, một hình chóp dư dự đốn thường
phát sinh tương ứng hình chóp xấp xỉ, bao gồm ảnh ngun bản, khơng có lỗi.
Thực hiện thủ tục này P lần đưa ra hai mật thiết Liên quan Mức xấp xỉ P +
1và những hình chóp dư dự đốn. Mức j - 1 xấp xỉ những đầu ra được sử
dụng để ở hình chóp xấp xỉ; mức j dự đốn dư đầu ra đầu ra đặt trong
những hình chóp dư dự đốn. Nếu một hình chóp dư dự đốn khơng được
cần ,các bước 2 và 3 ,cùng với lấy mẫu lên , phép lọc nội suy ,và bộ cộng ở
hình . 7.2 ( b)có thể bị bỏ sót.
Hình 7.3 cho thấy một sự xấp xỉ và số dư dự đốn khả dĩ hình chóp cho
trường hợp của hình 7.1. Hình chóp xấp xỉ trong hình 7.3 (a) Một hình chóp
Gauxơ. Sự lọc được thực hiện trong miền không gian sử dụng một tần thấp
5 x5 Khúc cuộn chủ yếu Gauxơ của kiểu được miêu tả trong hình 4.9(c) của
Mục4.2.4.
Như có thể nhìn thấy, Hình chóp kết quả chứa đựng độ phân giải ảnh gốc 512
x 512 (tại đáy của nó) và ba xấp xỉ độ phân giải thấp ( Của độ phân giải 256
X 256,128 X 128, và 64 x 64). Điều đó, P = 3 và hình chóp đã được chặt cụt tới
bốn mức-mức 9,8, 7, và 6 ở ngồi mức có thể 1092 (512)+ 1 hay 10 mức.
Ghi nhớ sự giảm chi tiết mà có độ phân giải thấp hơn của hình chóp . Mức 6
(thí dụ, 64 x 64) xấp xỉ thích hợp để định vị những bậc trèo cửa sổ, chẳng hạn,
nhưng không phải cho những thân cây của kết quả tìm kiếm cây ráy thơm.
Tổng quan, một hình chóp thấp hơn- những mức độ phân giải có thể được sử
dụng để phân tích các cấu trúc lớn hay văn cảnh tồn bộ ảnh ; những ảnh có
độ phân giải cao thích hợp cho phân tích những đặc trưng đối tượng riêng
biệt .Như thế đối với chiến lược phân tích chính xác đặc biệt hữu ích trong sự

nhận dạng.

Hình 7.3
6/28


Xử lý ảnh số
Hai ảnh hình chóp và các thống kê chúng :
(a) Một hình chóp (xấp xỉ ) Gauxơ
(b) Một Laplacian (số dư dự đốn )hình chóp

Hình chóp Laplacian trong hình 7.3 ( b) chứa những số dư dự đốn cần
để tính tốn bản sao Gauxơ của nó ở 7.3 (a). Để xây dựng hình chóp
Gauxơ ,chúng ta bắt đầu với mức 6 của hình chóp Laplacian 64 X 64 ảnh xấp
xỉ,dự đốn mức 7 của hình chóp Gauxơ 128 X 128 xấp xỉ độ phân giải ( bởi
lấy mẫu lên và lọc), và thêm mức 7 của Laplacian số dư dự đốn. Q trình
này được sử dụng lặp lại liên tiếp tính tốn những ảnh xấp xỉ cho đến ảnh gốc
512 X 512 được tạo ra. Ghi nhớ đầu tiên- thống kê thứ tự của sự dự đoán số
dư mơ tả trong hình chóp Laplacian là cao có đỉnh gần điểm thấp nhất. Không
giống những bản sao Gauxơ của chúng, những ảnh nàyđược nén bằng việc
gán những bit ít hơn tới những giá trị có thể cao hơn ( xem những mã độ dài
biến đổi của mục 8.1.1). Cuối cùng, chúng ta ghi nhớ những số dư dự đốn
trong hình. 7.3 ( b) Được chia tỉ lệ để làm cho sự dự đoán những độ sai lệch
nhỏ hơn có thể xác định được ; biểu đồ dư dự đoán, tuy nhiên, được dựa trên
cơ sở những số dư được chia tỉ lệ trước, với mức 128 tương ứng với sai số
điểm thấp nhất.

7.1.2

Mã hóa dải con

7/28


Xử lý ảnh số

Kỹ thuật tạo ảnh quan trọng khác với những liên kết tới sự phân tích đa độ phân
giải là mã hóa dải con . Trong sự mã hóa dải con, một ảnh được phân hủy vào trong
tập hợp của những thành phần hạn chế , được gọi là những dải, mà có thể được ráp
lại để xây dựng lại ảnh ngun bản khơng có lỗi. Trước đấy được phát triển cho tiếng
nói và ảnh nén , mỗi dải con được tạo ra bởi sự lọc thông dải đầu vào. Từ dải thông
của kết quả những dải con nhỏ hơn ảnh gốc, những dải có thể là lấy mẫu xuống mà
khơng có mất mát thơng tin. Xây dựng lại ảnh gốc được hoàn thành bằng lấy mẫu lên ,
lọc, và tổng những dải con riêng lẻ. Hình 7.4 (a) Cho thấy những thành phần thiết yếu
của mã hóa dải con có hai dải và hệ thống giải mã. Đầu vào của hệ thống là một
chiều,dải bị giới hạn riêng rẽ -tín hiệu thời gian x (n) cho n = 0, 1, 2,...; chuỗi đầu ra,
được thành lập qua sự phân tích của x (n) vào trong y0(n) và y1(n) qua sự phân
tích lọc h0(n) và h1(n), và sự kết hợp kế tiếp qua sự tổng hợp lọc g0(n) và g1(n).Ghi nhớ
cái lọc đó h0 (n) và h1 (n) là những bộ lọc nửa dải số lý tưởng chuyển những đặc
trưng, Ho và H1, được hiển thị trong hình 7.4 ( b). Lọc H0 là một cái lọc tần thấp mà
đầu ra của nó xấp xỉ x(n); lọc H1 là một cái lọc tần cao mà có đầu ra là một phần tần
số cao hay chi tiết của x (n). Tất cả sự lọc thực hiện trong miền thời gian bằng cách
chập mỗi cái lọc được nhập vào với sự đáp lại xung lực của nó-sự đáp lại của nó tới
một biên độ đơn vị hàm ẩn, δ(n) . Chúng ta muốn chọn h1 (n), h0 (n), g0(n) và g1(n).
(hay, xen kẽ, Ho , H1 G0 Và G1)Vì vậy điều đó đầu vào có thể được xây dựng lại hồn
hảo. Điều đó, Vì thế

Hình 7.4
(a) Một dãy lọc hai dải cho mã hóa dải con một chiều và sự giải mã
(b) Phạm vi của nó chia ra từng phần các thuộc tính.

Z - Sự biến đổi, một sự khái quát của sự biến đổi Fourier
8/28


Xử lý ảnh số
riêng biệt là công cụ lý tưởng để nghiên cứu thời gian riêng
biệt , lấy mẫu- những hệ thống dữ liệu giống cái trong hình
7.4 (a). Z - Sự biến đổi của chuỗi x(n)cho n=0, 1, 2... . là

Ở đây z là một biến phức. [Nếu e ω thay thế cho z,
ví dụ (7.1-1) thành biến đổi Fourier riêng biệt của x (n)].
Sự quan tâm của chúng ta trong Z - Những thân cây biến
đổi từ sự dễ dàng mà nó xử lý lấy mẫu đánh giá những sự
thay đổi. Lấy mẫu xuống bằng hệ số của 2 trong miền thời
gian tương ứng tới thao tác miền Z đơn giản

Nơi mũi tên đôi chỉ ra mà những biểu thức trên bên
trái và phải hình thành một cặp biến đổi Z . Trong cách
tương tự, lấy mẫu lên lần nữa bởi hệ số của 2
được xác định bởi cặp biến đổi:

Nếu chuỗi x(n) được lấy mẫu xuống và lấy mẫu lên
sau này để sinh ra i(n), các ví dụ (7.1-2) Và (7.1-3) kết
hợp để sinh ra :

Ở đây
là chuỗi kết quả được lấy mẫu lên và lấy mẫu xuống . Thuật
ngữ X (- z) trong phương trình này là Z - sự biến đổi của một biệt hiệu hay phiên bản
được vận dụng của chuỗi x (n). Sự biến đổi Z đảo ngược của nó là:

Với lời giới thiệu ngắn gọn này tới biến đổi Z cho rằng
lần nữa mã hóa dải con và hệ thống giải mã của hình 7.4
( a). Theo ví dụ . (7.1-4), chúdujcta có thể biểu thị đầu ra
của hệ thống như

Ở đây,cho thấy đầu ra của lọc h0 (n) trong hình 7.4(a)được xác định bằng cặp biến
đổi :

Như với những sự biến đổi Fourier, khúc cuộn thời gian (hay không gian)
9/28


Xử lý ảnh số
Miền tương đương tới sự nhân miền z. Những thuật ngữ được sắp xếp lại ở ví
dụ (7.1-6),khi đó chúng ta có:

ở đây thành phần thứ 2- tác dụng thực tế mà nó chứa sự phụ thuộc - z đại diện
cho đặt biệt danh mà được giới thiệu bởi quá trình xử lý lấy mẫu lên ,lấy mẫu xuống
Cho sự xây dựng lại khơng thốt được lỗi của đầu vào,
đó, chúng ta áp đặt những điều kiện sau đây :

và

Do

Phương trình (7.1-9) loại trừ đặt biệt danh bằng việc bắt buộc thuật ngữ thứ
hai của ví dụ. (7.1-8) tới 0; ví dụ (7.1-10) Loại trừ sự biến dạng biên độ bằng
việc giảm bớt thuật ngữ đầu tiên tới X (z). Cả hai có thể được sáp nhập vào
biểu thức ma trận đơn:

ở đây ma trận điều biến phân tích

là :

Giả định
khơng đơn lẻ (thí dụ ,nó có một bên trái chung và nghịch đảo bên
phải ) chúng ta có thể đổi chỗ ví dụ (7.1-11) và bên trái nhân lên bằng nghịch đảo
để có:

Ở đây
biểu thị xác định về
.
Phương trình (7.1-9) đến (7.1-13) bộc lộ vài đặc tính quan trọng riêng biệt của
những dãy lọc được xây dựng lại hồn hảo .Ma trân ví dụ (7.1-13) ,ví dụ nói
một hàm của

,trong khi

là một hàm của

Các lọc phân tích và tổng hợp được vận dụng qua . Lờ
đi
sự
trì
hỗn,
giả
sử
cho
a=
2,

và lấy biến đổi nghịch đảo Z của ví dụ (7.1-13), Ví dụ,
Chúng ta có:
10/28

là


Xử lý ảnh số

Nếu a=2 các biểu thức kết quả bị đảo ngược :

Thay thế từ ví dụ (7.1-13) chúng ta được:

Từ

sinh ra

có thể được xác định như:

Do đó ,

và ví dụ (7.1-10) thành :

Lấy biến đổi nghịch đảo Z ,chúng ta thấy rằng :

Như thường lệ ,hàm xung lực δ(n) là 1 nếu n=0 và khác 0 .Từ những thuật ngữ chỉ số
lẻ hủy bỏ ,bổ sung đơn giản sinh ra:

Bằng việc bắt đầu qua ví dụ(7.1-9) và (7.1-10) biểu thị như một hàm của G 0 và H1
chúng ta cũng có thể thấy :

Và
Kết hợp với ví dụ (7.1-19) , thiết lập nhiều ví dụ tổng quát hơn :

Chúng chuyển bước ở xa song trực giao và đòi hỏi :

Lấy biến đổi nghịch đảo Z của những mục thích hợp từ cột 3 trong bảng 7.1 , chúng ta
có :

11/28


Xử lý ảnh số

Ở đây , h0, h1 ,g0 ,g1 là những đáp tuyến xung lực của các lọc trực chuẩn được xác
định .Những ví dụ bao gồm lọc Smith và Barnwell

Bảng 7.1
Những họ lọc được xây dựng lại hoản hảo :

Hình 7.5
Hai chiều ,dãy 4 dải lọc cho mã hóa dải con ảnh

Hình 7.6 cho thấy rằng những đáp tuyến xung lực của bốn 8- trực chuẩn các bộ lọc

12/28


Xử lý ảnh số

7.1.3

Sự biến đổi sương mù

Sự tạo ảnh thứ ba và cuối cùng- thao tác liên quan với những liên kết
tới sự phân tích đa độ phân giải mà chúng ta sẽ quan sát là sự biến đổi
Sương mù ( Sương mù [ 1910]). Bên trong văn cảnh của chương này,
những thân cây quan trọng của nó từ thực tế mà những chức năng cơ sở
của nó già nhất và đơn giản nhất được biết là những lằn sóng lăn tăn trực
chuẩn. Chúng sẽ được dùng trong số các ví dụ trong các mục sau.

13/28


Xử lý ảnh số
Hình 7.7
4 dải tách ra của trường hợp trong hình 7.1 dùng hệ thống mã dải con của
hình 7.5

Biến đổi sương mù chính nó là cả sự phân ra và cùng với ma trận và có thể được nén
trong lớp ma trận :

Hàm biến đổi sương cơ bản là:

Và

14/28


Xử lý ảnh số

7.4 Sự biến đổi sóng nhanh
Biến đổi sóng nhanh là sự thực hiện có hiệu quả phép biến đổi sóng rời rạc (DWT) mà
khai thác mối liên hệ giữa các hệ số của DWT tại các phạm vi kề nhau .Phép biến đổi
này cũng được gọi là thuật tốn herringbone của Mallat (Mallat [1989a,b]) ,biến đổi
sóng nhanh (FWT)giống 2 dải lược đồ mã hóa dải con của phần 7.1.2.
Xem lại phương trình làm mịn nhiều độ phân giải:

Chia tỷ lệ x /2 ,biến đổi theo hệ số k và cho m=2k+n .được:

Lưu ý rằng vecto co giãn hφ,có thể được coi như các “quyền số ” được sử dụng để mở
rộng
như tổng của tỷ lệ j+1 các hàm co giãn .Trình tự các hoạt động
tương tự -bắt đầu với công thức (7.2-28)— đưa ra một kết quả tương tự cho
đó là:

Nơi vecto co giãn hφ(n) trong cơng thức (7.4-2) được thay thế bởi sóng

hΨ(n)

trong cơng thức (7.4-3) .
Bây giờ xem xét các ví dụ(7.3-5) và (7.3-6) của phần 7.2.2 .Chúng định nghĩa sự
biến đổi sóng rời rạc .Thay thế ví dụ (7.2-19)-phương trình định nghĩa sóng vào ví dụ
(7.3-6) .chúng ta có:

Sau khi thay thế

ở bên phải của cơng thức (7.4-3) trở thành :

Sự hốn đổi tổng và thuật ngữ số nguyên và sắp xếp lại các số hạng sau đó được:

15/28


Xử lý ảnh số
ở đó các con số được đặt trong dấu ngoặc đơn là đồng nhất đối với công thứ (7.3-5)
với

Để xem kết quả này ,thay thế công thức (7.2-10) vào công thức

(7.3-5) và cho jo là j+1.Cho nên chúng ta có thể viết :

Và lưu ý rằng các hệ số chi tiết DWT với tỉ lệ j là một hàm các hệ số xấp xỉ DWT với tỉ
lệ j+1 .Nhận ra rằng các công thức (7.4-2)và (7.3-5) khi điểm bắt đầu của một đạo hàm
tương tự gồm các hệ số xấp xỉ DWT ,chúng ta tìm thấy sự tương tự là:

Các phương trình (7.4-7)và (7.4-8) bộc lộ mối liên hệ đáng chú ý giữa các hệ số DWT
của các tỉ lệ gần kề .So sánh những kết quả này với công thức (7.1-7),chúng ta thấy
rằng cả

và

,tỉ lệ xấp xỉ j và các hệ số chi tiết có thể được tính

bằng cách chập
,các hệ số tỉ lệ j+1 với tỉ lệ thời gian được đảo
ngược ,và các vecto sóng hφ(-n)và hΨ(-n) và mẫu con các kết quả .Hình 7.15 giảm các
thao tác này tới mẫu biểu đồ khối .Lưu ý rằng nó giống với phần phân tích của 2 dải
lược đồ mã hóa dải convà hệ thống giải mã của hình 7.4 với

và

.Cho nên chúng ta có thể viết :

Và

ở
đó phép cuộn được ước tính với n=2k cho k≥0.Sự ước tính cuộn này là khơng âm
,ngay cả chỉ là tương đương để lọc và lấy mẫu xuống 2.
Để kết luận sự khai triển của FWT ,chúng ta chỉ đơn giản nhận xét rằng dãy bộ lọc
trong hình 7.15 có thể được lặp để tạo ra nhiều nấc cấu trúc để tính các hệ số DWT
với 2

Hình 7.15 .
một dãy
phân tích FWT

16/28


Xử lý ảnh số

Hay nhiểu tỉ lệ kế tiếp .Cho ví dụ ,hình 7.16(a ) chỉ ra 2 tầng dãy bộ lọc để tạo ra các
hệ số với 2 tỉ lệ cao nhất của sự biến đổi . Lưu ý rằng các hệ số tỉ lệ cao nhất được
lấy để thành mẫu của hàm riêng của chính nó.Đó là,
nơi mà j với tỉ
lệ cao nhất .Để phù hợp với phần 7.2.2 f(x) Є Vj, nơi Vj là phạm vi không gian mà
f(x)thường trú .Dãy bộ lọc đầu tiên trong hình 7.16(a) tách chức năng gốc vào một tần
thấp,phần tử xấp xỉ ,mà tương ứng với các hệ số tỉ lệ

và một tần cao

,thành phần chi tiết ,tương ứng với các hệ số
.Đây là biểu đồ minh họa
hình 7.16(b) ,nơi mà phạm vi không gian Vj được tách thành không gian con sóng nhỏ
và khơng gian con phạm vi
.Hình ảnh của chức năng ban đầu được tách
ra làm 2 nửa dải thành phần . Dãy bộ lọc thứ 2 trong hình 7.16(a) tách hình ảnh và
khơng gian con

nửa dải thấp hơn ,thành ¼ dải khơng gian con

,,

và

với các hệ số DWT tương ứng
và
,một cách tách biệt.
Hai tầng dãy bộ lọc của hình 7.16 dễ dàng mở rộng tỉ lệ của bất kì số nào .Dãy bộ
lọc thứ 3 ,cho ví dụ ,sẽ hoạt động trên hệ số
thành 2/8 dải không gian con

và

,tách không gian phạm vi
.Thông thường ,chúng ta chọn

mẫu của f(x) và tận dụng các ngân hàng lọc P (hình 7.15) để tạo ra P- tỉ lệ FWT tại
các miền

.Miền cao nhất (ví dụ J-1) các hệ số được tính đầu
tiên ; miền thấp nhất (ví dụ J - P) được tính sau cùng .Nếu hàm f(x ) được thử trên các
tỉ lệ Nyquist ,như trường hợp bình thường ,các mẫu của nó là các hệ số tỉ lệ xấp xỉ ít tại
mẫu phân tích và có thể sử dụng như là khởi đầu hệ số tỉ lệ độ phân giải cao nhập vào
.Trong các phát biểu khác ,khơng có sóng nhỏ hay các hệ số chi tiết cần thiết ở phạm
vi lấy mẫu .
Các hàm tỉ lệ độ phân giải cao nhất hoạt động như “hàm delta ” trong ví dụ (7.3-5)
và (7.3-6) ,cho phép f(n )sử dụng như tỉ lệ xấp xỉ j hay các hệ số nhập vào đầu 2 dải
bộ lọc .
17/28


Xử lý ảnh số
Để minh họa những khái niệm này ,hãy xem xét các hàm riêng biệt f(n)={ 1,4,-3,0}
từ ví dụ 7.8.Như trong ví dụ đó ,chúng ta sẽ tính lại sự chuyển đổi căn bản trên tỉ lệ
Haar và các hàm sóng nhỏ .Tại điểm này ,dù đến đâu ,chúng ta không sẽ không sử
dụng trực tiếp các hàm cơ sở ,như đã thực hiện trong thuật DWT của ví dụ 7.8,nhưng
với tỉ lệ tương ứng và các vecto sóng nhỏ từ ví dụ 7.5 và 7.6:

Và

Đây là các hàm được sử dụng để xây dựng các dãy bộ lọc FWT ;chúng cung cấp các
hệ số bộ lọc .Kể từ khi thuật DWT được tính trong ví dụ 7.8 gồm các phần tử
,chúng ta sẽ tính tương ứng 2 miền FWT với
miền J={0,1} .Đó là ,J=2 (có
mẫu) và P=2 (chúng ta đang làm việc với các
miền J-1 =2-1=1 và J-P=2-2=0 theo thứ tự đó ).Sự chuyển đổi sẽ được tính bằng cách
dùng 2 tầng dãybộ lọc của hình 7.16(a).Hình 7.17 cho thấy rằng các dãy kết quả ấy
bằng sự chập và lấy mẫu FWT quy định .

Lưu ý rằng hàm f(n)chính nó là gần đúng hay tỉ lệ được nhập vào dãy bộ lọc cực tả
.Để tính các hệ số
xuất hiện ở cuối các nhánh của hình trên của hình
7.17,cho ví dụ ,Đầu tiên chúng ta chập f(n) với hΨ(-n) như giải thích trong phần 4.6.3
.Điều này địi hỏi phải lật một hàm gốc ,trượt nó qua cái khác và tính tổng kết quả của 2
hàm .Cho dãy {1,4,-3,0} và
,kết quả này
Ở đó, số hạng thứ 2 tương ứng với chỉ số k=2n=0.(trong hình 7.17 gạch dưới các giá
trị đại diện ,các chỉ số âm ,ví dụ n<0).Khi lấy mẫu xuống bằng vị trí các chỉ số chẵn
được lập ,chúng ta nhận được
thể thay phiên dùng ví dụ (7.4-9) để tính :
18/28

cho k={0,1} .Chúng ta có


Xử lý ảnh số

Ở đây, chúng ta thay thế 2k cho n bằng việc lặp và chia l như một biến hình thức của
sự lặp (ví dụ đổi chỗ 2 dãy có liên quan đến 1 dãy khác ).Chỉ có 2 số hạng trong tổng
được khai triển bởi vì chỉ có 2 giá trị khơng bằng 0 ở thời gian đảo ngược vecto sóng
nhỏ hΨ(- n) .Thay thế k=0 ,chúng ta tìm ra

; với k=1 ,chúng ta nhận

được
Do đó ,lọc và lấy mẫu xuống tương ứng là
mà
thỏa mãn kết quả ban đầu .
Với sự mong đợi có thể , sự chuyển đổi nghịch đảo có hiệu quả như nhau ,cho

việc xây dựng lại f(x) từ tỉ lệ xấp xỉ DWT/FWT và các hệ số chi tiết

và
-1

cũng có thể được tính .Được gọi là biến đổi nghịch đảo sóng nhanh (FWT )
,nó dùng tỉ lệ và các vecto sóng được dùng trong biến đổi trước ,cùng với các hệ số chi
tiết và các mức xấp xỉ ,để tạo ra các hệ số xấp xỉ cấp j+1.Cần lưu ý là tương tự giữa
các dãy phân tích FWT trong hình 7.15 và 2 dải phân tích dải con của hình 7.4(a),
chúng ta có thể trực tiếp đưa ra định đề , dãy bộ lọc tổng hợp FWT cần thiết . Hình 7.18
chi tiết cấu trúc của nó mà giống phần tổng hợp của 2 dải mã hóa dải con và hệ thống
giải mã trong hình 7.4(a).Phương trình (7.1-23)của phần 7.1.2 định nghĩa các bộ lọc
tổng hợp có liên quan .

Như đã lưu ý ở đó ,việc xây dựng lại hồn chỉnh (cho 2 dải hay các bộ lọc dẫu bình
thường ) địi hỏi
cho i={0,1}.Đó là ,các bộ lọc phân tích và tổng hợp
phải nghịch đảo thời gian phiên bản của một bộ lọc khác .Kể từ bộ lọc phân tích
FWT (xem hình 7.15) có

và

,bộ lọc phân tích

FWT -1 qui định là
và
.Nó nên được
ghi nhớ ,tuy nhiên ,điều đó cũng có thể sử dụng phân tích song trực giao và các bộ
lọc tổng hợp ,mà khơng có đủ thời gian đảo ngược phiên bản của một bộ lọc
khác .Phân tích song trực giao và tổng hợp các bộ lọc giao với sự điều chỉnh qua ví

dụ (7.1-14) và (7.1-15) .
19/28


Xử lý ảnh số
Dãy bộ lọc FWT

-1

trong hình 7.18 thi hành tính tốn

up

Nơi mà W biểu thị lấy mẫu lên 2 (ví dụ ,chèn 0 giữa các phần tử của W ) do đó
nó là 2 lần chiều dài ban đầu của nó .Các hệ số lấy mẫu lên được lọc bằng cách
chập với hφ(n) và hΨ(n) và cộng thêm vào để tạo ra một tỉ lệ xấp xỉ cao hơn .Trong
thực chất ,tỉ lệ xấp xỉ hơn của f(x),với cách giải và chi tiết lớn hơn được tạo ra .Như
với thuật FWT trước ,ngân hàng bộ lọc nghịch đảo có thể được lặp lại như hiển thị
trong hình 7.19 nơi 2 phạm vi cấu trúc để tính 2 phạm vi cuối cùng của việc dựng
lại thuật FWT -1 được mơ tả .Q trình kết hợp hệ số này có thể được mở rộng tới
vài tỉ lệ và bảo đảm việc xây dựng lại hàm f(x ) chính xác .

Sự tính tốn biến đổi nghịch đảo sóng nhỏ nhanh phản chiếu bản đối chiếu
trước của nó .Hình 7.20 mơ tả q trình với trình tự được xem xét trong ví dụ
7.10 .Để bắt đầu tính ,xấp xỉ mức 0 và các hệ số chi tiết được lấy mẫu lên để sinh ra
{1,0}và {4,0} lần lượt .Chập các bộ lọc
được kết quả là

và

và
,mà khi thêm vào cho ra

.Như vậy ,xấp xỉ mức 1 của hình 7.20 mà phù hợp với
xấp xỉ được tính trong hình 7.17 ,được xây dựng lại .Tiếp tục theo cách này ,f(n)
được thiết lập ở bên phải dãy bộ lọc thứ 2 được tạo ra .

20/28


Xử lý ảnh số

Chúng ta kết thúc sự thảo luận về biến đổi sóng nhỏ nhanh bằng cách chú ý một số
sự khác nhau giữa FWT và FFT – đầu tiên đang là số phức tạp của chúng .Số các
j
phép tốn học được phức tạp hóa trong việc tính FWT của chiều dài M=2 trình tự
được đặt trên O(M) .Đó là ,số thay đổi ,bổ sung và nhân điểm (dùng các dãy bộ
lọc ) tuyến tính với sự chú ý tới chiều dài của chuỗi .Điều này so sánh một cách
thuận lợi với thuật giải FFT ,mà phụ thuộc O(M log M).
Sự khác nhau thứ 2 liên quan tới các hàm biến đổi cơ bản .Trong khi các hàm furie
cơ bản (ví dụ các hình sin ) bảo đảm sự tồn tại của FFT ,sự tồn tại của FWT phụ
thuộc nhờ vào hàm tỉ lệ sẵn có cho các sóng nhỏ đang được dùng ,như trực giao
(hay song trực giao ) của hàm tỉ lệ và các sóng nhỏ tương ứng .Do đó ,người Mê hi
cơ đội sóng ở ví dụ (7.3-12) mà khơng có hàm tỉ lệ cùng đơi ,khơng thể sử dụng
theo ước tính ở FWT .Trong những lệnh khác ,chúng ta không thể đặt 1 dãy bộ lọc
giống như là hình 7.15 thay thế cho người Mê hi cơ đội sóng ,nó khơng thỏa mãn
các giả định cơ bản của phương pháp FWT .
Cuối cùng ,chúng ta chú ý rằng mặc dù thời gian và hiệu suất thường được
xem như các vùng khác nhau mà các hàm miêu tả ,chúng được liên kết một cách
chặt chẽ .Khi bạn thử phân tích một hàm đồng thời cùng thời gian và hiệu suất ,bạn

thực hiện với bài toán sau :nếu bạn muốn thơng tin chính xác về thời gian ,bạn phải
đưa lên vài tính chất gần đúng về tần số ,và ngược lại .Đây là nguyên lý bất định
Heisenberg được áp dụng để sử lý thông tin .Để minh họa nguyên lý đồ họa ,mỗi
hàm cơ bản được sử dụng trong các đại diện của hàm được xem dưới dạng biểu đồ
như là ô xếp cạnh nhau bằng một tần số thời gian .Xếp kề cũng được gọi là ô
Heisenberg hay hộp Heisenberg ,nơi hiển thị hoạt động của hàm cơ bản được tăng
cường .Các hàm cơ bản mà giao nhau tiêu biểu cho các ô không chồng chéo nhau .

21/28


Xử lý ảnh số

Hình 7.21 hiển thị tần số thời gian xếp kề với (a) một hàm delta(ví dụ phạm vi thời
gian qui ước)cơ sở ,(b) hình sin FFT cơ sở ,và (c) một FWT cơ sở .Lưu ý rằng,
vùng thời gian chuẩn cơ sở xác định thời điểm khi các trường hợp xảy ra nhưng
không cung cấp tần số thơng tin .Một hình sin cơ sở ,mặt khác xác định các tần số
mà có mặt trong các sự kiện xảy ra qua thời kì dài nhưng khơng cung cấp thời gian
quyết định .Tần số và thời gian quyết định sự biến thiên các ô FWT ,nhưng phạm vi
của mỗi ô là giống nhau .Đó là mỗi ô thể hiện một phần bằng nhau của tần số thời
gian phẳng .Ở tần số thấp ,các ơ ngắn hơn (ví dụ ,có sự chuyển tần số tốt hơn hay
sự nhập nhằng ít hơn về tần số ) nhưng là rộng hơn (mà tương ứng sự chuyển thời
gian kém hơn hay sự nhập nhằng về thời gian nhiều hơn ).Ở tần số cao ,bề ngang
của ô nhỏ hơn (cho nên sự chuyển thời gian được cải thiện ) và bề dọc lớn hơn
(mà có nghĩa là sự chuyển tần số kém hơn .Điều khác nhau căn bản giữa FFT và
FWT được ghi trong sự giới thiệu về chương và là rất quan trọng trong phân tích
các hàm khơng đổi tần số của nó thay đổi theo thời gian .

7.5 Biến đổi sóng nhỏ theo thời gian .
Các phép biến đổi một chiều của các phần trước được mở rộng một cách dễ dàng

thành các hàm hai chiều giống như ảnh .Trong 2 chiều ,một hàm phạm vi 2 chiều
,φ(x,y) ,và ba sóng 2 chiều ,
và
được qui định .Mỗi cái là
tích số của một hoạt động phạm vi một chiều φ và sóng nhỏ tương ứng Ψ.Ngồi ra
các tích số mà đưa ra kết quả một chiều như φ(x)Ψ(x),bốn tích số cịn lại đưa ra
hàm tỉ lệ có thể phân ra

Và có thể phân ra ,các sóng có hướng

22/28


Xử lý ảnh số
Các sóng này đo sự biến thiên hoạt động –cường độ hay sự thay đổi mức xám
H
cho ảnh –dọc theo các chiều khác nhau :cường độ giới hạn Ψ dọc theo các cột (ví
V

D

dụ lề ngang ), Ψ phản ứng lại sự biến thiên dọc theo các hàng (như lề dọc ) ,và Ψ
tương ứng với sự biến thiên dọc theo các đường chéo .Sự định hướng thường là
kết qủa hiển nhiên của hệ quả tách ra được áp đặt bằng cơng thức (7.5-2) đến (7.54),nó khơng tăng sự phức tạp tính tốn của biến đổi hai chiều được thảo luận trong
phần này .
Căn cứ vào phạm vi hai chiều có thể tách rời được và các hàm sóng ,sự mở
rộng của một chiều DWT thành hai chiều là không phức tạp .Trước tiên chúng ta
định nghĩa các hàm cơ sở đã được chuyển đổi và phân chia :

Khi chỉ số I được xác định là các sóng có hướng trong cơng thức (7.5-2) đến (7.54).Hơn là số mũ ,i là chỉ số trên mà gán cho các giá trị H,V,D .Hàm biến đổi sóng rời

rạc f(x,y) của cỡ M x N thì khi ấy

Như trong trường hợp một chiều ,bắt đầu tỉ lệ jo tùy ý và các hệ số
xác định phép xấp xỉ của f(x,y) với tỉ lệ jo .Các hệ số
làm tăng
đường nằm ngang ,đường dọc ,đường chéo với các tỉ lệ j≥jo .Chúng ta thường cho

jo=0 và chọn N=M=2J để mà j=0,1,2,…, J-1 và m,n=0,1,2,…2J-1.Cho

và
thuộc các ví dụ (7.5-7) và (7.5-8),f(x,y) thu được qua biến đổi nghịch đảo sóng rời
rạc

Giống như phép biến đổi sóng rời rạc một chiều ,DWT hai chiều có thể được
thi hiện bằng cách dùng các bộ lọc số và lấy mẫu xuống .Bằng việc phân ra chia tỉ
lệ 2 chiều và các hàm sóng ,chúng ta chỉ lấy một chiều FWT các hàng của f(x,y)
sinh ra một chiều FWT các cột kết quả .Hình 7.22 (a) hiển thị quá trình trong lớp
biểu đồ khối .Lưu ý rằng , như bản sao một chiều của nó trong hình 7.15 ,hai chiều
FWT cùng bộ lọc các hệ số xấp xỉ j+1 để xây dựng tỉ lệ xấp xỉ j và các hệ số chi
tiết .Trong trường hợp hai chiều ,tuy nhiên chúng ta nhận được 3 tập hợp các hệ số
chi tiết –các chi tiết ngang ,dọc ,chéo .
Các dãy bộ lọc tỉ lệ đơn ở hình 7.22(a) có
thể lặp đi lặp lại (bằng cách đánh các xấp xỉ đầu ra để nhập vào dãy bộ lọc khác )
để đưa ra một tỉ lệ biển đổi P mà miền j=J-1 ,J-2 ,…,J-P .Như trong trường hợp một
23/28


Xử lý ảnh số
chiều ,ảnh f(x,y)được dùng như là
nhập vào .Chập các hàng của nó với

hφ(-n)và hΨ(-n) và lấy mẫu các cột của nó xuống ,chúng ta nhận được hai ảnh con
sự của sự chuyển ngang được giảm bằng một thừa số của 2 .Bước chuyển cao hay
thành phần chi tiết mô tả độ cao của ảnh –tần số thông tin với hướng dọc ;bước
chuyển thấp,số lượng thành phần chứa tần số thấp của nó ,thơng tin ở điểm cao
nhất .Cả các ảnh con được lọc sau đó ở cột khác và được lấy mẫu để sinh ra 4/4 –
kích cỡ các ảnh con đầu ra -

và

Những ảnh con này mà hiển thị ở giữa của hình 7.22(b) ,bên trong các tích số
của f(x,y) và sự chia tỉ lệ hai chiều và các hàm sóng trong cơng thức (7.5-1) cho đến
(7.5-4) được sinh ra bằng cách lấy mẫu xuống 2 trong mỗi chiều .Lặp lại quá trình
lọc 2 lần đem lại 2 tỉ lệ phân tích tới bên phải hình 7.22(b)
Hình 7.22(c) hiển thị dãybộ lọc tổng hợp mà trái với qui trình được mơ tả ở
trên .Như sự trơng đợi ,việc xây dựng lại thuật toán giống trường hợp một chiều .Tại
24/28


Xử lý ảnh số
mỗi phép lặp ,4 tỉ lệ xấp xỉ j và các ảnh con chi tiết được lấy mẫu lên và chập với
các bộ lọc 2 chiều –một hoạt động trên các cột ảnh con và các hàng khác của nó
.Các kết quả bổ sung mang lại tỉ lệ xấp xỉ j+1 ,và quá trình được lặp lại cho đến khi
ảnh gốc được khôi phục .
Xem xét FWT hai chiều hiển thị trong hình 7.23.Ở đây,chúng ta thấy trình tự bộ
lọc phân tích cơ sở 128x128 máy tính - tạo ra ảnh trong hình 7.23(a).Để tạo ra các
kết quả này dãy bộ lọc hai chiều của hình 7.22(a) và cùng với sự xây dựng lại các
bộ lọc ở hình 7.24(a) và (b) đã sử dụng .Các hình 7.23(b), (c),và (d) kết quả của sự
phân tích .Ở sự phân tích đầu tiên hình 7.23(b),ảnh gốc –một loạt xung hình sin trên
nền đen –là dãy bộ lọc nhập vào ; trong tất cả sự phân tích xảy ra sau đó ,số lượng
ảnh Wφ – một ảnh con từ góc trên bên trái của sự phân tích trước –được nhập

vào .

25/28