đề thi vào chuyên toán Lương Văn Tụy

Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT CHUÊN TOáN


Vòng 2 năm 2008 - 2009

Câu 1 (3,5 điểm):
Cho biểu thức
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
P
x x x x




1. Rút gọn biểu thức
P
.
2. Tìm giá trị của
x
để
1
2
P

.
Câu 2 (3,5 điểm):
Cho hai số thực
,
a b

thoả mãn điều kiện
2
a b
ab





.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
a b
Q
a b



.
Câu 3 (4,0 điểm):
Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Ngời ta nhận thấy rằng,
nếu mỗi ô tô chỉ chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể
phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ô tô và có
bao nhiêu học sinh đi tham quan, biết rằng mỗi ô tô chỉ chở đợc không quá 32 học
sinh.
Câu 4 (5,5 điểm):
Cho hình vuông ABCD. Điểm M di động trên tia đối của tia CD (M không trùng
với C). Đờng thẳng vuông góc với AM tại A cắt đờng thẳng BC tại N.
1. Chứng minh rằng tam giác MAN vuông cân.
2. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng MN. Chứng minh rằng ba điểm D,

B, E thẳng hàng.
3. Xác định vị trí của điểm M sao cho tam giác EAC là tam giác đều.
Câu 5 (3,5 điểm):
1. Cho tam giác có độ dài các cạnh bằng
, ,
a b c
thoả mãn điều kiện
2 2 2
a b c

.
Gọi
, ,
c
p r h
lần lợt là nửa chu vi, độ dài bán kính đờng tròn nội tiếp, độ dài đờng
cao thuộc cạnh
c
của tam giác. Chứng minh rằng
2
5
c
r
h

.
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên (
;
x y
) thoả mãn :

2
(2009 ) 5 0
x y x y

.
3. Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn. Gọi M là điểm di động trên cung BC
không chứa điểm A. Xác định vị trí của điểm M sao cho 2008 MB + 2009 MC đạt giá
trị lớn nhất.

Vòng 1 năm 2009 – 2010

Câu 1 (2 điểm):

Tính giá trị của các biểu thức:
2505)5225( x ,
13
3
13
3



y
,
)( yx
yxyx
yyxx
A 



 .
Câu 2 (2.5 điểm):

Cho phương trình (m + 1)x
2
- 2(m - 1)x + m - 2 = 0 (ẩn x, tham số m).
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn:
4
711
21

xx
.
Câu 3 (1 điểm):

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A
tới bến B, nghỉ 1 giờ 20 phút ở bến B và ngược dòng trở về A. Thời gian kể từ lúc khởi hành
đến khi về đến bến A tất cả là 12 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước,
biết vận tốc riêng của ca nô gấp 4 lần vận tốc dòng nước.

Câu 4 (3.5 diểm):

Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng (d) không đi qua O cắt đường tròn
(O; R) tại hai điểm phân biệt A, B. Điểm M chuyển động trên (d) và nằm ngoài đường tròn
(O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường tròn (O ;R) (N, P là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn, xác định tâm
đường tròn đó.
b) Chứng minh rằng MA.MB = MN
2
.
c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều.
d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.

Câu 5 (1 điểm):

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:
23
54

yx
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B =
y
y
x
x
7
18
6
8 
.

Vòng 2 năm 2009 – 2010

Câu 1 (2 điểm):
Cho biểu thức:
 
2
1
1
1
1
1























x
x
x
x
xx
xP

a) Rút gọn P.
b) Tìm
Nx

sao cho N
P

2
(N là tập hợp các số tự nhiên).
Câu 2 (2 điểm):
a) Giải phương trình: 1123234  xxx
b) Giải hệ phương trình:









12
12
12
2
2
2
xz
zy
yx

Câu 3 (2 điểm):
a) Cho hai phương trình x
2
+ 2mx + mn - 1 = 0 và x
2
- 2nx + m + n = 0 (ẩn x, tham
số m, n). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n ít nhất một trong hai phương trình trên có
nghiệm.
b) Người ta thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số của một số tự nhiên có hai chữ số để
tạo thành một số mới có ba chữ số. Xét tỉ số có tử số là số có ba chữ số (được tạo thành) và
mẫu số là số có hai chữ số ban đầu. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị
nguyên của các tỉ số trên.

Câu 4 (1 điểm):
Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng:
AB

2
+ BC
2
+ CD
2
+ DA
2
= AC
2
+ BD
2
Câu 5 (2 điểm):
Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai
tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O; R) (B, C là hai tiếp điểm). Qua B kẻ đường thẳng song
song với AC, cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai D. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O;
R) tại điểm thứ hai E.
a) Chứng minh rằng tia đối của tia EC là phân giác của góc AEB.
b) Đường thẳng BE cắt AC tại M. Chứng minh rằng MA = MC.

Câu 6 (1 điểm):
Cho các số 2009 số thực dương
1 2 2009
, , ,
a a a
thoả mãn
1 2 2009
1
a a a

. Tính tổng:

1 1 2 1 2 3 2008 2 2 3 2 3 4 2009
3 3 4 3 4 5 2009 1 2009 2009 1 2009 1 2 2007
1 1
1 1
1 1
.
1 1
S
a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a
 
       
  
       





Vòng 1 năm 2010 – 2011


Câu 1 (2,0 điểm):
a) Giải hệ phương trình:
2 0
2 5
x y
x y
 



 

.
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng (d
1
): x – 2y = 0, (d
2
): 2x + y = 5
và (d
3
): mx – y = 1 (m là tham số). Tìm m để ba đường thẳng đồng quy tại một điểm.

Câu 2 (3,0 điểm):

Cho phương trình x
2
+ mx – 2 = 0 (ẩn x, tham số m).
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
cùng nhỏ hơn 1.

Câu 3 (3,0 điểm):

Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm S ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp
tuyến SA, SB tới đường tròn (O; R) (A, B là hai tiếp điểm). Kẻ đường thẳng d đi qua S và

không đi qua tâm O, d cắt đường tròn (O; R) tại M, N (M nằm giữa S và N). Gọi H là giao
điểm của SO và AB, gọi I là trung điểm MN, hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E.
a) Chứng minh rằng: Hai đường thẳng SO, AB vuông góc với nhau và tứ giác IHSE là
tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng: Hai tam giác SAM, SNA đồng dạng với nhau và
AM BM
AN BN
 .
c) Cho SO = R
3
và MN = R. Tính diện tích tam giác EMS theo R.

Câu 4 (1,0 diểm):

Đoạn đường AB dài 160 km, một ô tô đi từ A tới B và một xe máy đi từ B tới A khởi
hành vào cùng một thời điểm. Sau một thời gian hai xe gặp nhau tại điểm C, đoạn đường AC
dài 120 km. Khi đi tới B ô tô liền quay lại ngay và đuổi kịp xe máy tại điểm D. Tính vận tốc
hai xe biết thời gian kể từ khi khởi hành tới lúc hai xe gặp nhau tại điểm D là 4 giờ và vận
tốc hai xe không đổi.

Câu 5 (1,0 điểm):


Cho hai số thực x, y thỏa mãn:
x y

và
2
xy


.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
2 3 2
x xy y
A
x y
 


.





Vòng 2 năm 2010 – 2011

Câu 1 (2,0 điểm):
Cho biểu thức:
b ab b a a b
P a :
a b ab a ab b ab
 
 
 
   
 
 
 

  
 
 
, với a, b > 0 và a ≠ b.
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết a > b và a, b là hai nghiệm của phương trình x
2
– 6x + 1 = 0.

Câu 2 (1,5 điểm):
Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a, b, c ≠ 0 và a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
a) a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
b)
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c 3
a b c b c a c a b 2
  
     


Câu 3 (2,5 điểm):
a) Tìm các bộ ba số thực (x; y; z) thoả mãn phương trình:
x + y + z + 4 =

2 x 2 4 y 3 6 z 5
    

b) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + y = 16. Chứng minh rằng: x
2
+ xy + y
2

192

.
c) Giải hệ phương trình:
2 2
x y x y 4
x xy y 192

   


  


.

Câu 4 (1,0 điểm):
Trong 2009 số tự nhiên từ 1 đến 2009 chọn ra n số bất kỳ đôi một phân biệt (n ≥ 2)
sao cho tổng của chúng chia hết cho 8. Trong các cách chọn thoả mãn yêu cầu trên số n lớn
nhất có thể là bao nhiêu?

Câu 5 (2,0 điểm):

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O), gọi I là giao của hai đường chéo AC
và BD. Dựng các đường kính CC’ và DD’ của đường tròn (O), gọi K là giao của BC’ và
AD’.
a) Dựng điểm E đối xứng với điểm B qua đường thẳng IK. Chứng minh rằng: Tứ
giác AIKE nội tiếp.
b) Chứng minh rằng: Ba điểm O, I, K thẳng hàng.

Câu 6 (1,0 điểm):
Tìm các bộ hai số nguyên dương (x; y) thỏa mãn phương trình:
2 2
x 2y 3xy 2x 4y 3 0
     





Vòng 1 năm 2011 – 2012

Câu 1 (3,0 điểm):
a) Giải hệ phương trình:
2 5
3 1
x y
x y
 


 


b) Giải phương trình: x
2
– 5x + 6 = 0
c) Rút gọn các biểu thức:
A 3 12 12 3 6 48
   ,
14 - 7 15 - 5 1
B = + :
2 -1 3 -1 7 - 5
 
 
 
 


Câu 2 (2,5 điểm):

Cho hàm số y = x
2
có đồ thị (P) và đường thẳng (d): y = 2(m –1)x – m + 3, với m là
tham số.

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x
2
.
b) Chứng minh rằng : Với mọi giá trị của tham số m đồ thị (P) luôn cắt đường thẳng
(d) tại hai điểm phân biệt.
c) Gọi A(x
A

; y
A
), B(x
B
; y
B
) là hai giao điểm của (P) và (d). Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức :
 
A B
E y y


Câu 3 (1,5 diểm):

Hai đội công nhân hợp tác làm một công việc. Nếu hai đội cùng làm công việc đó thì
sau 15 giờ họ hoàn thành công việc. Nếu đội thứ nhất làm một mình trong 3 giờ rồi nghỉ và
đội thứ hai làm tiếp công việc đó 5 giờ nữa thì công việc hoàn thành được 25%. Hỏi nếu hai
đội làm riêng thì mất bao lâu để hoàn thành công việc đó, biết năng xuất làm việc của hai đội
là không đổi.

Câu 4 (3,0 điểm):

Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm S ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp
tuyến SA, SB tới đường tròn (O; R) (A, B là hai tiếp điểm). Điểm I thuộc đoạn AB (I khác A
và B), đường thẳng qua I và vuông góc với OI lần lượt cắt SA, SB thứ tự tại M và N.
a) Chứng minh rằng: Bốn điểm O, I, A, M cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: I là trung điểm của đoạn MN.
c) Xác định vị trí của điểm I trên đoạn AB sao cho tam giác SMN có diện tích lớn
nhất.

Vòng 2 năm 2011 – 2012

Câu 1 (3 điểm):
Cho biểu thức:
x x 4 x 2 x x 5
P :
x x 2 x 2 x 1 x x 2
   
   
  
   
   
     
   

với xR và x ≥ 0, x ≠ 4.
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của x thỏa mãn P = 4.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Câu 2 (3 điểm):

a) Rút gọn A = 5122935 
b) Giải phương trình:
2 2
4x y 4xy 4x 2y 2 x y 2 1
       

c) Giải hệ phương trình:
x 2 y 1
y 2 z 1
z 2 x 1

 


 


 



Câu 3 (1 điểm):
Cho tam giác ABC có

0
BAC 75

, đường cao AH, H thuộc đoạn BC và BH =
3
CH.

Chứng minh rằng: AH = BH. Xác định số đo các góc


ABC,ACB
.

Câu 4 (2 điểm):
Cho nửa đường tròn đường kính AB, tâm O, bán kính R và C là điểm giữa của cung
AB. Trên đoạn OC lấy điểm M, N sao cho OC = 2OM = 3ON; tia AM cắt đường tròn (O; R)
tại điểm thứ hai D; tia BN cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai E; gọi I là giao điểm của
AM và BN.
a) Tính diện tích tam giác IAB theo R.
b) Chứng minh rằng: Góc

DOE
có số đo bằng 90
0
.


Câu 5 (1 điểm):
Cho ba số tự nhiên x, y, z thỏa mãn: x
2
+ y
2
= z
2
. Chứng minh rằng:
xy12


.