ĐỀ THI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC 2015 HAY NHẤT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (331.43 KB, 17 trang )
thi Tt nghip i hc Trn S Tựng
Trang 78
I. PHNG TRèNH LNG GIC
THI I HC
Baứi 1. (H 2002A) Tỡm nghim thuc khong (0;
2
p
) ca phng trỡnh:
xx
xx
x
cos3sin3
5sincos23
12sin2
ổử
+
+=+
ỗữ
+
ốứ
HD: iu kin:
xm
xn
12
7
12
p
p
p
p
ỡ
ạ-+
ù
ớ
ù
ạ+
ợ
. PT
xx
5cos2cos23
=+
x
1
cos
2
=
x
x
3
5
3
p
p
ộ
=
ờ
ờ
ờ
=
ở
.
Baứi 2. (H 2002B) Gii phng trỡnh:
xxxx
2222
sin3cos4sin5cos6
-=-
HD: PT
xxx
cos.sin9.sin20
=
xx
sin2.sin90
=
xk
xk
9
2
p
p
ộ
=
ờ
ờ
ờ
=
ờ
ở
.
Baứi 3. (H 2002D) Tỡm x thuc on [0; 14] nghim ỳng phng trỡnh:
xxx
cos34cos23cos40
-+-=
HD: PT
xx
2
4cos(cos2)0
-=
x
cos0
=
xxxx
357
;;;
2222
pppp
====.
Baứi 4. (H 2002Adb1) Cho phng trỡnh:
xx
a
xx
2sincos1
sin2cos3
++
=
-+
(a l tham s).
1. Gii phng trỡnh khi a
1
3
=
.
2. Tỡm a phng trỡnh cú nghim.
HD: 1)
xk
4
p
p
=-+
2) a
1
2
2
-ÊÊ
(a v PT bc 1 ụiớ vi sinx v cosx)
Baứi 5. (H 2002Adb2) Gii phng trỡnh:
x
xxxxx
2
tancoscossin1tan.tan
2
ổử
+-=+
ỗữ
ốứ
.
HD:
xk
2
p
=
. Chỳ ý: iu kin:
x
x
cos0
cos1
ỡ
ạ
ớ
ạ-
ợ
v
x
x
x
1
1tan.tan
2cos
+=.
Baứi 6. (H 2002Bdb1) Gii phng trỡnh:
(
)
xx
x
x
2
4
4
2sin2sin3
tan1
cos
-
+= .
HD: iu kin: cosx
ạ
0. PT
xxkxk
1252
sin3;
2183183
pppp
==+=+ .
Baứi 7. (H 2002Bdb2) Gii phng trỡnh:
xx
x
xx
44
sincos11
cot2
5sin228sin2
+
=
HD: iu kin: sin2x
ạ
0. PT
xxxk
2
9
cos25cos20
46
p
p
-+==+ .
Baứi 8. (H 2002Ddb1) Gii phng trỡnh:
x
x
2
1
sin
8cos
=
.
HD: iu kin:
x
x
cos0
sin0
ỡ
ạ
ớ
>
ợ
Trn S Tựng thi Tt nghip i hc
Trang 79
PT
xkxkxkxk
357
2;2;2;2
8888
pppp
pppp
=+=+=+=+
Baứi 9. (H 2002Ddb2) Xỏc nh m phng trỡnh:
(
)
xxxxm
44
2sincoscos42sin20
+++-=
(*)
cú ớt nht mt nghim thuc on
0;
2
p
ộự
ờỳ
ởỷ
.
HD: m
10
2
3
-ÊÊ-
.
t t = sin2x. (*) cú nghim thuc
0;
2
p
ộự
ờỳ
ởỷ
ftttm
2
()323
=-=+
cú nghim t
ẻ
[0;1]
Baứi 10. (H 2003A) Gii phng trỡnh:
x
xxx
x
2
cos21
cot1sinsin2
1tan2
-=+-
+
.
HD: iu kin:
xxx
sin0,cos0,tan1
ạạạ
.
PT
xxxxx
2
(cossin)(1sin.cossin)0
+=
xk
4
p
p
=+ .
Baứi 11. (H 2003B) Gii phng trỡnh: xxx
x
2
cottan4sin2
sin2
-+=.
HD: iu kin:
x
x
sin0
cos0
ỡ
ạ
ớ
ạ
ợ
. PT
xx
2
2cos2cos210
=
xk
3
p
p
=+ .
Baứi 12. (H 2003D) Gii phng trỡnh:
xx
x
222
sintancos0
242
p
ổử
=
ỗữ
ốứ
.
HD: iu kin:
x
cos0
ạ
.
PT
xxxx
(1sin)(1cos)(sincos)0
-++=
xk
xk
2
4
pp
p
p
ộ
=+
ờ
=-+
ờ
ở
.
Baứi 13. (H 2003Adb1) Gii phng trỡnh:
(
)
xxx
2
cos2cos2tan12
+-=
.
HD: iu kin: cosx
ạ
0.
PT
xxx
2
(1cos)(2cos5cos2)0
+-+=
xkxk
(21),2
3
p
pp
=+=+
Baứi 14. (H 2003Adb2) Gii phng trỡnh:
(
)
xxxx
3tantan2sin6cos0
-++=
.
HD: iu kin: cosx
ạ
0. PT
xxxxk
22
(1cos2)(3cossin)0
3
p
p
+-==+
Baứi 15. (H 2003Bdb1) Gii phng trỡnh:
xxx
62
3cos48cos2cos30
-++=
.
HD: PT
xxxxkxk
42
cos2(2cos5cos3)0,
42
pp
p
-+-==+=
Baứi 16. (H 2003Bdb2) Gii phng trỡnh:
( )
x
x
x
2
23cos2sin
24
1
2cos1
p
ổử
ỗữ
ốứ
=
-
.
HD: iu kin: x
1
cos
2
ạ
. PT
xxxk
3cossin0(21)
3
p
p
-+==++
Baứi 17. (H 2003Ddb1) Gii phng trỡnh:
(
)
xx
x
xx
2
coscos1
2(1sin)
sincos
-
=+
+
.
HD: iu kin: x
sin0
4
p
ổử
+ạ
ỗữ
ốứ
.
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang 80
PT
Û
xxxkxk
2
(1sin)(1cos)0,2
2
p
ppp
++=Û=-+=+
Baøi 18. (ĐH 2003D–db2) Giải phương trình:
x
xx
x
2cos4
cottan
sin2
=+ .
HD: Điều kiện: sin2x
¹
0. PT
Û
xxxk
2
2cos2cos210
3
p
p
=Û=±+ .
Baøi 19. (ĐH 2004B) Giải phương trình:
xxx
2
5sin23(1sin)tan
-=- .
HD: Điều kiện:
x
cos0
¹
. PT
Û
xx
2
2sin3sin20
+-=
Û
xk
xk
2
6
5
2
6
p
p
p
p
é
=+
ê
ê
ê
=+
ë
.
Baøi 20. (ĐH 2004D) Giải phương trình:
xxxxx
(2cos1)(2sincos)sin2sin
-+=-
.
HD: PT
Û
xxx
(2cos1)(sincos)0
-+=
Û
xk
xk
2
3
4
p
p
p
p
é
=±+
ê
ê
ê
=-+
ë
.
Baøi 21. (ĐH 2004A–db1) Giải phương trình:
(
)
xxxx
33
4sincoscos3sin
+=+ .
HD:
Baøi 22. (ĐH 2004A–db2) Giải phương trình: xx
1sin1cos1
-+-=
.
HD:
Baøi 23. (ĐH 2004B–db1) Giải phương trình: x
xx
11
22cos
4sincos
p
æö
++=
ç÷
èø
.
HD:
Baøi 24. (ĐH 2004B–db2) Giải phương trình:
xxxx
sin4.sin7cos3.cos6
=
.
HD:
Baøi 25. (ĐH 2004D–db1) Giải phương trình:
xxxxxx
2sin.cos2sin2.cossin4.cos
+=
.
HD:
Baøi 26. (ĐH 2004D–db2) Giải phương trình:
xxxx
sinsin23(coscos2)
+=+.
HD:
Baøi 27. (ĐH 2005A) Giải phương trình:
xxx
22
cos3.cos2cos0
-=
.
HD: PT
Û
xx
2
2cos4cos430
+-=
Û
xk
2
p
= .
Baøi 28. (ĐH 2005B) Giải phương trình:
xxxx
1sincossin2cos20
++++=
.
HD: PT
Û
xxx
(sincos)(2cos1)0
++=
Û
xk
xk
4
2
2
3
p
p
p
p
é
=-+
ê
ê
ê
=±+
ë
.
Baøi 29. (ĐH 2005D) Giải phương trình: xxxx
44
3
cossincossin30
442
pp
æöæö
++ =
ç÷ç÷
èøèø
.
HD: PT
Û
xx
2
sin2sin220
+-=
Û
xk
4
p
p
=+ .
Baøi 30. (ĐH 2005A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0;
p
) của phương trình:
x
xx
22
3
4sin3cos212cos
24
p
æö
-=+-
ç÷
èø
.
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 81
HD: PT
Û
xx
cos2cos()
6
p
p
æö
+=-
ç÷
èø
Û
xxx
5175
;;
18186
ppp
===.
Baøi 31. (ĐH 2005A–db2) Giải phương trình: xxx
3
22cos3cossin0
4
p
æö
=
ç÷
èø
.
HD: PT
Û
xxxxxxxx
3322
cossin3cos.sin3cos.sin3cossin0
+++ =
Xét 2 trường hợp:
a) Nếu
x
cos0
=
thì PT
Û
x
xx
3
cos0
sinsin0
ì
=
í
-=
î
Û
xk
2
p
p
=+ .
b) Nếu
x
cos0
¹
thì ta chia 2 vế của PT cho
x
3
cos
.
Khi đó: PT
Û
x
x
cos0
tan1
ì
¹
í
=
î
Û
xk
4
p
p
=+ .
Vậy: PT có nghiệm:
xk
2
p
p
=+ hoặc
xk
4
p
p
=+ .
Baøi 32. (ĐH 2005B–db1) Giải phương trình :
(
)
xxxxx
223
sin.cos2costan12sin0
+-+=
.
HD: Điều kiện:
x
cos0
¹
. PT
Û
xx
2
2sinsin10
+-=
Û
xk
xk
2
6
5
2
6
p
p
p
p
é
=+
ê
ê
ê
=+
ë
.
Baøi 33. (ĐH 2005B–db2) Giải phương trình :
x
xx
x
2
2
cos21
tan3tan
2
cos
p
æö
-
+-=
ç÷
èø
HD: Điều kiện:
x
cos0
¹
. PT
Û
x
3
tan1
=-
Û
xk
4
p
p
=-+
.
Baøi 34. (ĐH 2005D–db1) Giải phương trình:
x
x
x
3sin
tan2
21cos
p
æö
-+=
ç÷
èø+
.
HD: Điều kiện:
x
sin0
¹
. PT
Û
x
2sin1
=
Û
xk
xk
2
6
5
2
6
p
p
p
p
é
=+
ê
ê
ê
=+
ë
.
Baøi 35. (ĐH 2005D–db2) Giải phương trình:
xxxx
sin2cos23sincos20
++ =
.
HD: PT
Û
xxx
(2sin1)(sincos1)0
=
Û
x
x
1
sin
2
2
sin
42
p
é
=
ê
ê
æö
ê
-=
ç÷
ê
èø
ë
Û
xk
xk
xk
xk
2
6
5
2
6
2
2
2
p
p
p
p
p
p
pp
é
=+
ê
ê
ê
=+
ê
ê
=+
ê
ê
=+
ë
.
Baøi 36. (ĐH 2006A) Giải phương trình:
(
)
xxxx
x
66
2cossinsin.cos
0
22sin
+-
=
-
.
HD: Điều kiện: x
2
sin
2
¹ . PT
Û
xx
2
3sin2sin240
+-=
Û
xk
4
p
p
=+ .
Đối chiếu điều kiện, kết luận PT có nghiệm:
xm
5
2
4
p
p
=+ .
Baøi 37. (ĐH 2006B) Giải phương trình:
x
xxx
cotsin1tan.tan4
2
æö
++=
ç÷
èø
.
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang 82
HD: Điều kiện:
x
xx
sin0,cos0,cos0
2
¹¹¹
.
PT
Û
xx
xx
cossin
4
sincos
+=
Û
x
1
sin2
2
=
Û
xk
xk
12
5
12
p
p
p
p
é
=+
ê
ê
ê
=+
ë
.
Baøi 38. (ĐH 2006D) Giải phương trình:
xxx
cos3cos2cos10
+ =
.
HD: PT
Û
xx
2
sin(2cos1)0
+=
Û
xk
xk
2
2
3
p
p
p
é
=
ê
=±+
ê
ë
.
Baøi 39. (ĐH 2006A–db1) Giải phương trình: xxxx
33
232
cos3.cossin3.sin
8
+
-=.
HD: PT
Û
x
2
cos4
2
=
Û
xk
162
pp
=±+ .
Baøi 40. (ĐH 2006A–db2) Giải phương trình: xx
2sin24sin10
6
p
æö
-++=
ç÷
èø
.
HD: PT
Û
(
)
xxx
sin3cossin20
++=
Û
xk
xk
7
2
6
p
p
p
é
=
ê
=+
ê
ë
.
Baøi 41. (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình:
(
)
(
)
xxx
222
2sin1tan232cos10
-+-=
.
HD: Điều kiện:
x
cos20
¹
. PT
Û
(
)
xx
2
cos2tan230
-=
Û
xk
62
pp
=±+ .
Baøi 42. (ĐH 2006B–db2) Giải phương trình:
xxxx
cos2(12cos)(sincos)0
++-=
.
HD: PT
Û
xxxx
(sincos)(cossin1)0
+=
Û
xk
xk
xk
4
2
2
2
p
p
p
p
pp
é
=+
ê
ê
ê
=+
ê
ê
=+
ë
.
Baøi 43. (ĐH 2006D–db1) Giải phương trình:
xxx
332
cossin2sin1
++=
.
HD: PT
Û
xxxx
(cossin)(1cos)(sin1)0
+-+=
Û
xk
xk
xk
4
2
2
2
p
p
p
p
p
é
=-+
ê
ê
=
ê
ê
=-+
ê
ë
.
Baøi 44. (ĐH 2006D–db2) Giải phương trình:
xxxx
32
4sin4sin3sin26cos0
+++=
.
HD: PT
Û
xxx
2
(sin1)(2cos3cos2)0
+-++=
Û
xk
xk
2
2
2
2
3
p
p
p
p
é
=-+
ê
ê
ê
=±+
ë
.
Baøi 45. (ĐH 2007A) Giải phương trình:
(
)
(
)
xxxxx
22
1sincos1cossin1sin2
+++=+
HD: PT
Û
xxxx
(sincos)(1sin)(1cos)0
+ =
Û
xk
xk
xk
4
2
2
2
p
p
p
p
p
é
=-+
ê
ê
ê
=+
ê
ê
=
ë
.
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 83
Baøi 46. (ĐH 2007B) Giải phương trình:
xxx
2
2sin2sin71sin
+-=
.
HD: PT
Û
(
)
xx
cos42sin31)0
-=
Û
xk
xk
xk
84
2
183
52
183
pp
pp
pp
é
=+
ê
ê
ê
=+
ê
ê
=+
ê
ë
.
Baøi 47. (ĐH 2007D) Giải phương trình:
xx
x
2
sincos3cos2
22
æö
++=
ç÷
èø
.
HD: PT
Û
xx
1sin3cos2
++=
Û
x
1
cos
62
p
æö
-=
ç÷
èø
Û
xk
xk
2
2
2
6
p
p
p
p
é
=+
ê
ê
ê
=-+
ë
Baøi 48. (ĐH 2007A–db1) Giải phương trình:
xxx
xx
11
sin2sin2cot2
2sinsin2
+ = .
HD: Điều kiện
x
sin20
¹
. PT
Û
(
)
xxx
2
cos22coscos10
++=
Û
xk
42
pp
=+ .
Baøi 49. (ĐH 2007A–db2) Giải phương trình:
xxxxx
2
2cos23sincos13(sin3cos)
++=+ .
HD: PT
Û
xx
2
2cos3cos0
66
pp
æöæö
=
ç÷ç÷
èøèø
Û
xk
2
3
p
p
=+
.
Baøi 50. (ĐH 2007B–db1) Giải phương trình:
53
sincos2cos
24242
xxx
æöæö
=
ç÷ç÷
èøèø
pp
HD: PT
Û
x
x
3
cos2cos20
24
p
æö
æö
++=
ç÷
ç÷
èø
èø
Û
xk
xk
xk
2
33
2
2
2
pp
p
p
pp
é
=+
ê
ê
ê
=+
ê
ê
=+
ë
.
Baøi 51. (ĐH 2007B–db2) Giải phương trình:
xx
xx
xx
sin2cos2
tancot
cossin
+=
HD: Điều kiện:
x
sin20
¹
. PT
Û
xx
coscos2
=-
Û
xk
2
3
p
p
=±+ .
Baøi 52. (ĐH 2007D–db1) Giải phương trình:
xx
22sincos1
12
p
æö
-=
ç÷
èø
HD: PT
Û
x
5
sin2cossin
121212
ppp
æö
-==
ç÷
èø
Û
xkhayxk
43
pp
pp
=+=+ .
Baøi 53. (ĐH 2007D–db2) Giải phương trình:
xxx
(1–tan)(1sin2)1tan
+=+
.
HD: Điều kiện:
x
cos0
¹
. PT
Û
xxx
(cossin)(cos21)0
+-=
Û
xk
xk
4
p
p
p
é
=-+
ê
ê
=
ë
.
Baøi 54. (ĐH 2008A) Giải phương trình:
x
x
x
117
4sin
sin4
3
sin
2
p
p
æö
+=-
ç÷
èø
æö
-
ç÷
èø
.
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang 84
HD: Điều kiện: xx
3
sin0,sin0
2
p
æö
¹-¹
ç÷
èø
.
PT
Û
xx
xx
1
(sincos)220
sincos
æö
++=
ç÷
èø
Û
xk
xk
xk
4
8
5
8
p
p
p
p
p
p
é
=-+
ê
ê
ê
=-+
ê
ê
=+
ê
ë
Baøi 55. (ĐH 2008B) Giải phương trình:
xxxxxx
3322
sin3cossincos3sincos
-=-
.
HD: PT
(
)
xxx
cos2sin3cos0
+=
Û
xkxk
;
423
ppp
p
=+=-+ .
Baøi 56. (ĐH 2008D) Giải phương trình:
xxxx
2sin(1cos2)sin212cos
++=+
.
HD: PT
Û
xx
(2cos1)(sin21)0
+-=
Û
xkxk
2
2;
34
pp
pp
=±+=+ .
Baøi 57. (ĐH 2008A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0;
p
) của phương trình:
x
xx
22
3
4sin3cos212cos
24
p
æö
-=+-
ç÷
èø
.
HD: PT
Û
xxx
2cos3cos2sin2
-=-
Û
()
xx
cos2cos
6
p
p
æö
+=-
ç÷
èø
Û
xkhayxh
527
2
1836
ppp
p
=+=-+
Do
x
(0;)
p
Î
nên chỉ chọn xxx
5175
;;
18186
ppp
===.
Baøi 58. (ĐH 2008A–db2) Giải phương trình: xxx
3
22cos3cossin0
4
p
æö
=
ç÷
èø
.
HD: PT
Û
xxxxxxxx
3322
cossin3cos.sin3cos.sin3cossin0
+++ =
Xét 2 trường hợp:
a) Nếu
x
cos0
=
thì PT
Û
x
xx
3
cos0
sinsin0
ì
=
í
-=
î
Û
xk
2
p
p
=+ .
b) Nếu
x
cos0
¹
thì ta chia 2 vế của PT cho
x
3
cos
.
Khi đó: PT
Û
x
x
cos0
tan1
ì
¹
í
=
î
Û
xk
4
p
p
=+ .
Vậy: PT có nghiệm:
xk
2
p
p
=+ hoặc
xk
4
p
p
=+ .
Baøi 59. (ĐH 2008B–db1) Giải phương trình:
(
)
xxxxx
223
sincos2costan12sin0
+-+=
.
HD: Điều kiện: cos0
2
xxk
¹Û¹+
p
p
.
PT
Û
xx
2
2sinsin10
+-=
Û
xkxk
5
2;2
66
pp
pp
=+=+ .
Baøi 60. (ĐH 2008B–db2) Giải phương trình:
x
xx
x
2
2
cos21
tan3tan
2
cos
p
æö
-
+-=
ç÷
èø
.
HD: Điều kiện:
x
cos0
¹
. PT
Û
x
3
tan1
=-
Û
xk
4
p
p
=-+
.
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 85
Baøi 61. (ĐH 2008D–db1) Giải phương trình:
x
x
x
3sin
tan2
21cos
p
æö
-+=
ç÷
èø+
.
HD: Điều kiện:
x
sin0
¹
. PT
Û
xx
(cos1)(2sin1)0
+-=
Û
xk
xk
2
6
5
2
6
p
p
p
p
é
=+
ê
ê
ê
=+
ë
.
Baøi 62. (ĐH 2008D–db2) Giải phương trình:
sin2cos23sincos20
xxxx
++ =
HD: PT
Û
xxx
(2sin1)(sincos1)0
=
Û
x
x
1
sin
2
2
sin
42
p
é
=
ê
ê
æö
ê
-=
ç÷
ê
èø
ë
Û
xkxkxkxk
5
2;2;2;2
662
ppp
ppppp
=+=+=+=+ .
Baøi 63. (ĐH 2009A) Giải phương trình:
xx
xx
(12sin)cos
3
(12sin)(1sin)
-
=
+-
.
HD: Điều kiện: xx
1
sin1,sin
2
¹¹-
.
PT
Û
xxxx
cos3sinsin23cos2
-=+
Û
xxcoscos2
36
pp
æöæö
+=-
ç÷ç÷
èøèø
Û
xk
2
183
pp
=-+ .
Baøi 64. (ĐH 2009B) Giải phương trình:
(
)
xxxxxx
3
sincos.sin23cos32cos4sin++=+.
HD: PT
Û
xxx
sin33cos32cos4
+=
Û
xx
cos3cos4
6
p
æö
-=
ç÷
èø
Û
xk
xk
2
6
2
427
p
p
pp
é
=-+
ê
ê
ê
=+
ë
.
Baøi 65. (ĐH 2009D) Giải phương trình:
xxxx
3cos52sin3cos2sin0
=
.
HD: PT
Û
xxx
31
cos5sin5sin
22
-=
Û
xx
sin5sin
3
p
æö
-=
ç÷
èø
Û
xk
xk
183
62
pp
pp
é
=+
ê
ê
ê
=-+
ë
.
Baøi 66. (ĐH 2010A) Giải phương trình:
xxx
x
x
(1sincos2)sin
1
4
cos
1tan
2
p
æö
+++
ç÷
èø
=
+
HD: Điều kiện:
xx
cos0;1tan0
¹+¹
.
PT
Û
xx
sincos20
+=
Û
xkxk
7
2;2
66
pp
pp
=-+=+ .
Baøi 67. (ĐH 2010B) Giải phương trình:
xxxxx
(sin2cos2)cos2cos2sin0
++-=
.
HD: PT
Û
xxx
(sincos2)cos20
++=
Û
xk
42
pp
=+ .
Baøi 68. (ĐH 2010D) Giải phương trình:
xxxx
sin2cos23sincos10
-+ =
.
HD: PT
Û
xxx
(2sin1)(cossin2)0
-++=
Û
xkxk
5
2;2
66
pp
pp
=+=+ .
Baøi 69. (ĐH 2011A)
1.
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang 86
II. TỔ HỢP – XÁC SUẤT
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
Baøi 1. (TN 2002) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau?
ĐS: 2296
Baøi 2. (TN 2003) Giải hệ phương trình cho bởi hệ thức sau:
yyy
xxx
CCC
11
1
::6:5:2
+-
+
=
ĐS:
xy
(8;3)
==
.
Baøi 3. (TN 2004) Giải bất phương trình (với hai ẩn là n, k Î N):
k
n
n
P
nk
2
4
3
60A
()!
+
+
+
£
-
.
ĐS: BPT
Û
kn
nnnk
(5)(4)(1)60
ì
£
í
++-+£
î
+ Xét với n
³
4: BPT vô nghiệm.
+ Xét với n
Î
{0, 1, 2, 3} được các nghiệm (n; k) là: (0; 0), (1; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3).
Baøi 4. (TN 2005) Giải bất phương trình, ẩn n thuộc tập số tự nhiên:
nn
nnn
CCA
12
22
5
2
-
++
+>.
Đ S: n
³
2.
Baøi 5. (TN 2006–kpb) Tìm hệ số của
x
5
trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
x
(1)
+ , nÎN
*
,
biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển trên bằng 1024.
ĐS: C
5
10
252
= .
Baøi 6. (TN 2007–kpb) Giải phương trình:
nnn
CCC
456
1
3
+
+= (trong đó
k
n
C
là số tổ hợp chập k
của n phần tử).
ĐS: n = 6.
Baøi 7. (TN 2007–kpb–lần 2) Giải phương trình:
nnn
CCA
322
323
+= (trong đó
k
n
A
là số chỉnh
hợp chập k của n phần tử,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: n = 6.
Baøi 8. (TN 2008–kpb) Giải bất phương trình:
nnn
nCCA
2433
(5)22
-+£ (trong đó
k
n
A
là số
chỉnh hợp chập k của n phần tử,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: n = 4; n = 5.
Baøi 9. (TN 2008–kpb–lần 2) Tìm hệ số của
x
7
trong khai triển nhị thức Niutơn của
x
10
(21)
- .
ĐS:
C
73
10
2- .
Baøi 10. (TN 2011)
ĐS:
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 87
ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Baøi 1. (ĐH 2002A) Cho khai triển nhị thức:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
nnnnn
xxxxxxxx
nn
nnnn
CCCC
11
1111
011
23223233
22222 222
-
+=++++
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó
nn
CC
31
5
= , số hạng thứ tư bằng 20n.
Tìm n và x.
HD: n = 7; x = 4.
Baøi 2. (ĐH 2002B) Cho đa giác đều
122n
AA A
nội tiếp đường tròn (O; R). Biết rằng số tam
giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm
122n
A,A, ,A
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có
các đỉnh là 4 trong 2n điểm
122n
A,A, ,A
, tìm n.
HD: Số tam giác là:
n
C
3
2
. Số hình chữ nhật là:
n
C
2
. ĐS: n = 8.
Baøi 3. (ĐH 2002D) Tìm số nguyên dương n sao cho:
012nn
nnnn
C2C4C 2C243.
++++=
HD: n = 5.
Baøi 4. (ĐH 2002A–db2) Giả sử n là số nguyên dương và
nn
n
xaaxax
01
(1) +=+++ . Biết
rằng tồn tại số k nguyên dương (1 £ k £ n – 1) sao cho
kkk
aaa
11
2924
-+
== , hãy tính n.
HD:
kkk
nnn
CCC
11
2924
-+
==
Û
n = 10
Baøi 5. (ĐH 2002B–db2) Tìm số n nguyên dương thoả bất phương trình
n
nn
ACn
32
29
-
+£
(trong đó
kk
nn
AC
,
lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử).
HD: n = 3; n = 4
Baøi 6. (ĐH 2002D–db1) Gọi
aaa
1211
,, ,
là các hệ số trong khai triển sau:
xxxaxaxa
1011109
1211
(1)(2) ++=++++ .
Hãy tính hệ số
a
5
.
HD: aCC
54
51010
2672
=+=
Baøi 7. (ĐH 2002D–db2) Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7
học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8
học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn.
HD: CCCC
8543
18131211
()41811
-++=
Baøi 8. (ĐH 2003A) Tìm hệ số của số hạng chứa
x
8
trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
x
x
5
3
1
æö
+
ç÷
èø
, biết rằng:
nn
nn
CCn
1
43
7(3)
+
++
-=+
(trong đó n là số nguyên dương, x > 0,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
HD: C
4
12
495
= .
Baøi 9. (ĐH 2003B) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
S =
n
n
nnnn
CCCC
n
231
012
212121
231
+
++++
+
.
(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
thi Tt nghip i hc Trn S Tựng
Trang 88
HD: S dng khai trin ca
n
x
(1)
+ . Tớnh
n
xdx
2
1
(1)
+
ũ
. S: S =
nn
n
11
32
1
++
-
+
.
Baứi 10. (H 2003D) Vi n l s nguyờn dng, gi
n
a
33
-
l h s ca
n
x
33
-
trong khai trin
thnh a thc ca
nn
xx
2
(1)(2)
++. Tỡm n
n
an
33
26
-
= .
HD: Ta cú:
nnnnn
nnnn
xCxCxCxC
202122224
(1)
+=++++
nnnnnn
nnnn
xCxCxCxC
011222
(2)22 2
+=++++
+ Kim tra n = 1, n = 2: khụng tho iu kin bi toỏn.
+ Vi n
3 thỡ
nnnnn
xxxxx
3323221
==
ị
h s ca
n
x
33
-
trong khai trin
thnh a thc ca
nn
xx
2
(1)(2)
++ l:
nnnnn
aCCCC
30311
33
2 2
-
=+.
T ú:
n
an
33
26
-
=
n = 5.
Baứi 11. (H 2003Adb1) T cỏc ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5 cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn
m mi s cú 6 ch s khỏc nhau v ch s 2 ng cnh ch s 3 ?
HD: 192
Baứi 12. (H 2003Adb2) Cú bao nhiờu s t nhiờn chia ht cho 5 m mi s cú 4 ch s khỏc
nhau ?
HD: 952
Baứi 13. (H 2003Bdb1) T cỏc ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6 cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn,
mi s cú 6 ch s v tho món iu kin: Sỏu ch s ca mi s l khỏc nhau v trong
mi s ú tng ca ba ch s u nh hn tng ca ba ch s cui mt n v ?
HD: 108
Baứi 14. (H 2003Bdb2) T mt t gm 7 hc sinh n v 5 hc sinh nam cn chn ra 6 em
trong ú s hc sinh n phi nh hn 4. Hi cú bao nhiờu cỏch chn nh vy ?
HD: 462
Baứi 15. (H 2003Ddb1) T 9 ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 cú th lp c bao nhiờu s t
nhiờn chn m mi s gm 7 ch s khỏc nhau ?
HD: 90720
Baứi 16. (H 2003Ddb2) Tỡm s t nhiờn n tho món:
nn
nnnnnn
CCCCCC
222333
2100
++=.
(
k
n
C
l s t hp chp k ca n phn t).
HD: n = 4 (Chỳ ý:
( )
knkk
nnn
CCC
2
.
-
= )
Baứi 17. (H 2004A) Tỡm h s ca x
8
trong khai trin thnh a thc ca
xx
28
[1(1)]
+
HD: Khai trin
xx
28
[1(1)]
+ Xỏc nh c aCCCC
3240
88384
16870238
=+=+= .
Baứi 18. (H 2004B) Trong mt mụn hc, thy giỏo cú 30 cõu hi khỏc nhau gm 5 cõu hi
khú, 10 cõu hi trung bỡnh, 15 cõu hi d. T 30 cõu hi ú cú th lp c bao nhiờu
kim tra, mi gm 5 cõu hi khỏc nhau, sao cho trong mi nht thit phi cú 3
loi cõu hi (khú, trung bỡnh, d) v s cõu hi d khụng ớt hn 2 ?
HD: Chia thnh nhiu trng hp. S: CCCCCCCCC
221212311
151051510515105
56875
++=.
Baứi 19. (H 2004D) Tỡm cỏc s hng khụng cha x trong khai trin nh thc Niutn ca
x
x
7
3
4
1
ổử
+
ỗữ
ốứ
vi x > 0.
HD: C
4
7
35
=
.
Baứi 20. (H 2004Adb1) Cho tp A gm n phn t, n 7. Tỡm n, bit rng s tp con gm 7
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 89
phần tử của tập A bằng hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tâọ A.
HD:
Baøi 21. (ĐH 2004A–db2) Cho tập A gồm n phần tử, n > 4. Tìm n, biết rằng trong số các tập
con của A có đúng 16n tập con có số phần tử là số lẻ.
HD:
Baøi 22. (ĐH 2004B–db1) Biết rằng
xaaxax
100100
01100
(2) +=+++ . Chứng minh rằng
aa
23
<
. Với giá trị nào của k thì
kk
aak
1
(099)
+
<££ ?
HD:
Baøi 23. (ĐH 2004B–db2) Giả sử
nn
n
xaaxaxax
2
012
(12) +=++++ . Tìm n và số lớn nhất
trong các số
n
aaaa
012
,,, ,
, biết rằng
n
aaaa
012
729
++++= .
HD:
Baøi 24. (ĐH 2004D–db1) Biết rằng trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
x
x
1
æö
+
ç÷
èø
tổng các hệ
số của hai số hạng đầu tiên bằng 24, tính tổng các hệ số của các số hạng chứa
k
x
với k >
0 và chứng minh rằng tổng này là một số chính phương.
HD:
Baøi 25. (ĐH 2004D–db2) Có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn dồng thời ba điều kiện sau: gồm
đúng 4 chữ số đôi một khác nhau; là số chẵn; nhỏ hơn 2158 ?
HD:
Baøi 26. (ĐH 2005A) Tìm số nguyên dương n sao cho:
nn
nnnnn
CCCCnC
122334221
2121212121
2.23.24.2 (21).22005
+
+++++
-+-+++=
(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
HD: Sử dụng khai triển của
n
x
21
(1)
+
+ . Lấy đạo hàm hai vế, rồi thay x = –2.
ĐS: n = 1002.
Baøi 27. (ĐH 2005B) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi
có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi,
sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
HD: CCCCCC
141414
3122814
207900
= .
Baøi 28. (ĐH 2005D) Tính giá trị của biểu thức
nn
A
M
n
43
1
3A
(1)!
+
+
=
+
, biết rằng:
nnnn
CCCC
2222
1234
22149
++++
+++= (*)
(n là số nguyên dương,
k
n
A
,
k
n
C
lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần
tử).
HD: Từ (*)
Þ
n = 5. Vậy M =
3
4
.
Baøi 29. (ĐH 2005A–db1) Tìm hệ số của
x
7
trong khai triển đa thức
n
x
2
(23)
- , trong đó n là
số nguyên dương thỏa mãn:
1352n1
2n12n12n12n1
CCC C1024
+
++++
++++= (*) (
k
n
C
là số tổ
hợp chập k của n phần tử).
HD: Sử dụng khai triển của
n
x
21
(1)
+
+ . Lần lượt cho x = 1 và x = –1.
Tính được
nn
nnnn
CCCC
135212
21212121
2
+
++++
++++=
Þ
2n = 10.
Suy ra hệ số của
x
7
là C
373
10
3.2
- .
thi Tt nghip i hc Trn S Tựng
Trang 90
Baứi 30. (H 2005Adb2) Tỡm
{
}
k
0,1,2, ,2005
ẻ sao cho
k
2005
C t giỏ tr ln nht. (
k
n
C
l
s t hp chp k ca n phn t)
HD:
k
C
2005
ln nht
kk1
20052005
kk1
20052005
CC
CC
+
-
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
(k
ẻ
N)
k
k
1002
1003
ỡ
ớ
Ê
ợ
khayk
10021003
==
Baứi 31. (H 2005Bdb1) Tỡm s nguyờn n ln hn 1 tha món ng thc:
+-=
22
nnnn
2P6APA12
( P
n
l s hoỏn v ca n phn t v
k
n
A
l s chnh hp chp k ca n phn t).
HD: PT
[
]
nnn
(6!)(1)20
=
n = 3 hay n = 2.
Baứi 32. (H 2005Bdb2) T cỏc ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cú th lp c bao nhiờu s t
nhiờn, mi s gm 6 ch s khỏc nhau v tng cỏc ch s hng chc, hng trm, hng
ngn bng 8.
HD: aaa
345
8
++=
ị
aaa
345
,,{1,2,5}
ẻ hoc aaa
345
,,{1,3,4}
ẻ .
S: 720 + 720 = 1440 (s).
Baứi 33. (H 2005Ddb1) Mt i vn ngh cú 15 ngi gm 10 nam v 5 n. Hi cú bao
nhiờu cỏch lp mt nhúm ng ca gm 8 ngi, bit rng trong nhúm ú phi cú ớt nht 3
n.
HD: CCCCCC
354453
510510510
3690
++= cỏch.
Baứi 34. (H 2005Ddb2) T cỏc ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cú th lp c bao nhiờu s t
nhiờn, mi s gm 5 ch s khỏc nhau v nht thit phi cú 2 ch 1, 5 ?
HD: Thc hin 2 bc:
+ Bc 1: xp 2 s 1, 5 vo 2 trong 5 v trớ, cú: A
2
5
20
=
cỏch.
+ Xp 3 trong 5 s cũn li vo 3 v trớ cũn li, cú: A
3
5
60
=
cỏch.
S: 20.60 = 1200 s.
Baứi 35. (H 2006A) Tỡm h s ca s hng cha
x
26
trong khai trin nh thc Niutn ca
n
x
x
7
4
1
ổử
+
ỗữ
ốứ
, bit rng
n
nnn
CCC
1220
212121
21
+++
+++=-
. (n nguyờn dng, (
k
n
C
l s t
hp chp k ca n phn t).
HD: + T gi thit
ị
n
nnnn
CCCC
01220
21212121
2
++++
++++= (1)
+ Vỡ
knk
nn
CC
21
2121
+-
++
= , "k, 0 Ê k Ê 2n+1 nờn:
( )
nn
nnnnnnn
CCCCCCC
0120221
21212121212121
1
2
+
+++++++
++++=+++ (2)
+ T khai trin ca
n
21
(11)
+
+ suy ra:
nnn
nnn
CCC
01212121
212121
(11)2
+++
+++
+++=+= (3)
+ T (1), (2), (3) suy ra:
n
220
22
=
n = 10.
+ Suy ra h s ca
x
26
l: C
6
10
210
= .
Baứi 36. (H 2006B) Cho tp hp A gm n phn t (n 4). Bit rng s tp con gm 4 phn t
bng 20 ln s tp con gm 2 phn t ca A. Tỡm k ẻ {1, 2, 3, , n} sao cho s tp con
gm k phn t ca A l ln nht.
HD: T gi thit suy ra:
nn
CC
42
20
=
n = 18.
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 91
Do
k
k
C
k
k
C
1
18
18
18
1
1
+
-
=<
+
Û
k
³
9, nên
CCC
91018
181818
>>>
Þ
CCC
129
181818
<<< .
Vậy số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất khi và chỉ khi k = 9.
Baøi 37. (ĐH 2006D) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm
5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm
vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn như vậy ?
HD: Dùng phương pháp loại trừ.
+ Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là: C
4
12
495
= .
+ Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất 1 em là:
CCCCCCCCC
211121112
543543543
270
++=
+ Số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225.
Baøi 38. (ĐH 2006A–db1) Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của xx
2100
()
+ , chứng minh
rằng: CCCC
99100198199
0199100
100100100100
1111
100101 1992000
2222
æöæöæöæö
-+-+=
ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèø
.
(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
HD: Lấy đạo hàm hai vế, cho x
1
2
=-
, rồi nhân hai vế với –1, ta được đpcm.
Baøi 39. (ĐH 2006A–db2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
5 chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó.
HD: Số các số tự nhiên cần tìm là: 96 số. Chia thành nhiều trường hợp.
+ Có 24 số dạng
aaaa
4321
0
; 18 số dạng
aaaa
4321
1
; 18 số dạng
aaaa
4321
2
;
18 số dạng
aaaa
4321
3
; 18 số dạng
aaaa
4321
4
Tổng các chữ số hàng đơn vị là: 18(1 + 2 + 3 + 4) = 180.
Tổng các chữ số hàng chục là: 1800
Tổng các chữ số hàng trăm là: 18000
Tổng các chữ số hàng nghìn là: 180000
+ Có 24 số dạng
aaaa
3210
1 ; 24 số dạng
aaaa
3210
2 ; 24 số dạng
aaaa
3210
3 ;
24 số dạng
aaaa
3210
4
Tổng các chữ số hàng chục nghìn là: 24(1 + 2 + 3 + 4).10000 = 2400000
+ Vậy tổng 96 số là: 180 + 1800 + 18000 + 180000 + 2400000 = 2599980
Baøi 40. (ĐH 2006B–db1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn,
mỗi số có 5 chữ số khác nhau, trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh
nhau ?
HD: Số cách chọn hai trong ba chữ số lẻ đứng cạnh nhau là: A
2
3
6
=
cách. Xem 2 số lẻ
đứng cạnh nhau là một phần tử x. Vậy mỗi số cần lập gồm phần tử x và 3 trong 4 chữ số
chẵn 0, 2, 4, 6. Chia thành nhiều trường hợp.
ĐS: 6(18 + 18 + 24) = 360 số.
Baøi 41. (ĐH 2006B–db2) Cho 2 đường thẳng song song d
1
và d
2
. Trên đường thẳng d
1
có 10
điểm phân biệt, trên đường thẳng d
2
có n điểm phân biệt (n ³ 2). Biết rằng có 2800 tam
giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n.
HD: Số tam giác có 1 đỉnh thuộc d
1
, 2 đỉnh thuộc d
2
là:
n
C
2
10
.
Số tam giác có 1 đỉnh thuộc d
2
, 2 đỉnh thuộc d
1
là:
nC
2
10
.
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang 92
Từ giả thiết:
n
C
2
10
+
nC
2
10
=2800, suy ra n = 20.
Baøi 42. (ĐH 2006D–db1) Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp học thành 3
tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít
nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy ?
HD: Chia thành nhiều trường hợp theo số học sinh nữ.
ĐS:
CCCCCCCCCCCC
372928382829
726419726518726518
++.
Baøi 43. (ĐH 2006D–db2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau và mỗi số lập được đều nhỏ hơn 25000 ?
HD: Chia thành nhiều trường hợp. ĐS: 240 + 48 + 72 = 360 số.
Baøi 44. (ĐH 2007A) Chứng minh rằng:
n
n
nnnn
CCCC
nn
2
13521
2222
111121
246221
-
-
++++=
+
(n là số nguyên dương,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
HD: Ta có:
nnn
nnn
xCCxCx
20122
222
(1) +=+++
nnn
nnn
xCCxCx
20122
222
(1) =-++
Þ
(
)
nnnn
nnn
xxCxCxCx
221332121
222
(1)(1)2
+ =+++
Þ
( )
nn
nn
nnn
xx
dxCxCxCxdx
11
22
1332121
222
00
(1)(1)
2
+
=+++
òò
Þ
n
n
nnnn
CCCC
nn
2
13521
2222
211111
212462
-
-
=++++
+
Baøi 45. (ĐH 2007B) Tìm hệ số của số hạng chứa
x
10
trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
x
(2)
+ , biết
nnnnnn
nnnnn
CCCCC
0112233
3333 (1)2048
-+-++-=
(n là số nguyên dương,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
HD: Ta có:
nnnnnnnn
nnnnn
CCCCC
0112233
3333 (1)(31)2
-+-++-=-=
.
Từ giả thiết suy ra n = 11.
Hệ số của số hạng chứa
x
10
trong khai triển của
x
11
(2)
+ là: C
101
11
.222
=
.
Baøi 46. (ĐH 2007D) Tìm hệ số của
x
5
trong khai triển thành đa thức của:
xxxx
5210
(12)(13)
-++
HD: Hệ số của
x
5
trong khai triển của
xx
5
(12)
- là:
C
44
5
(2)- .
Hệ số của
x
5
trong khai triển của
xx
210
(13)
+ là:
C
33
10
3 .
Hệ số của
x
5
trong khai triển của
xxxx
5210
(12)(13)
-++ là:
C
44
5
(2)- +
C
33
10
3
Baøi 47. (ĐH 2007A–db1) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm 4 chữ
số khác nhau?
HD: Giả sử số cần lập là n =
aaaa
1234
> 2007. Xét hai trường hợp a
4
= 0 và a
4
¹
0.
ĐS: 448 + 1568 = 2016 số.
Baøi 48. (ĐH 2007A–db2) Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho
1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ
n
6
+
điểm đã cho là 439.
HD: Với n
£
2 thì n + 6
£
8. Số tam giác tạo thành không vượt quá
C
3
8
= 56 < 439
(loại). Vậy n
³
3.
Trn S Tựng thi Tt nghip i hc
Trang 93
S tam giỏc to thnh l:
nn
CCC
333
63+
= 439
n = 10.
Baứi 49. (H 2007Bdb1) Tỡm x, y ẻ N tha món h:
23
32
22
66
xy
yx
AC
AC
ỡ
+=
ù
ớ
+=
ù
ợ
.
HD: (x = 4; y = 5).
Baứi 50. (H 2007Bdb2) Tỡm h s ca
x
8
trong khai trin nh thc Niutn ca
n
x
2
(2)
+ ,
bit:
321
849
nnn
ACC
-+=
.
HD: T gi thit tỡm c n = 7. Suy ra h s ca
x
8
l: C
43
7
2280
= .
Baứi 51. (H 2007Ddb1) Chng minh vi mi s n nguyờn dng luụn cú:
(
)
(
)
(
)
0C1C1 C1nnC
1n
n
1n
2n
n
2n
1
n
0
n
=-+-++
-
-
-
-
HD: S dng khai trin ca
n
x
(1)
-
. Ly o hm hai v, ri cho x = 1 ta c pcm.
Baứi 52. (H 2007Ddb2) T cỏc ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cú th lp c bao nhiờu s t
nhiờn chn m mi s gm 4 ch s khỏc nhau.
HD: 120 + 300 = 420 s.
Baứi 53. (H 2008A) Cho khai trin
nn
n
xaaxax
01
(12) +=+++ , trong ú n ẻ N v cỏc h
s
n
aaa
01
,, ,
tho món h thc
n
n
a
a
a
1
0
4096
2
2
+++= . Tỡm s ln nht trong cỏc s
n
aaa
01
,, ,
.
HD: t f(x) =
nn
n
xaaxax
01
(12) +=+++
ị
n
n
n
a
a
af
1
0
1
2
22
2
ổử
+++==
ỗữ
ốứ
.
T gi thit suy ra:
n
24096
=
ị
n = 12.
Vi mi k
ẻ
{0, 1, 2, , 11} ta cú
kkkk
kk
aCaC
11
12112
2,2
++
+
==
Gi s:
kk
k
kk
k
a C
k
k
ak
C
12
11
1
12
2
123
111
2(12)3
2
++
+
+
<<<<
-
.
M k
ẻ
Z
ị
k
Ê
7. Do ú
aaa
018
<<<
.
Tng t,
k
k
a
k
a
1
17
+
>>
. Do ú
aaa
8912
>>>
.
Vy s ln nht trong cỏc s
n
aaa
01
,, ,
l aC
88
812
2126720
== .
Baứi 54. (H 2008B) Chng minh rng
kkk
nnn
n
n
CCC
1
11
1111
2
+
++
ổử
+
+=
ỗữ
ỗữ
+
ốứ
(n, k l cỏc s nguyờn
dng, k
Ê
n,
k
n
C
l s t hp chp k ca n phn t).
HD:
kkk
nnn
nknk
nn
CCC
1
11
111!()!1
2!
+
++
ổử
+-
+===
ỗữ
ỗữ
+
ốứ
.
Baứi 55. (H 2008D) Tỡm s nguyờn dng n tho món h thc
n
nnn
CCC
1321
222
2048
-
+++=
(
k
n
C
l s t hp chp k ca n phn t).
HD: Ta cú:
nnn
nnnn
CCCC
201212
2222
0(11)
-
=-=-+-+
nnnn
nnnn
CCCC
2201212
2222
2(11)
-
=+=++++
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang 94
Þ
nn
nnn
CCC
132121
222
2
+++=.
Từ giả thiết suy ra:
n21
22048
-
=
Û
n = 6.
Baøi 56. (ĐH 2008A–db1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng
ngàn bằng 8.
HD: 720 + 720 = 1440 số.
Baøi 57. (ĐH 2008A–db2) Tìm hệ số của x
7
trong khai triển đa thức
2
(23)
n
x
- , trong đó n là
số nguyên dương thỏa mãn:
n
nnnn
CCCC
13521
21212121
1024
+
++++
++++= (
k
n
C
là số tổ hợp
chập k của n phần tử).
HD: Sử dụng khai triển của
n
x
21
(1)
+
+ . Lần lượt cho x = 1 và x = –1.
Tính được
nn
nnnn
CCCC
135212
21212121
2
+
++++
++++=
Þ
2n = 10.
Suy ra hệ số của
x
7
là C
373
10
3.2
- .
Baøi 58. (ĐH 2008B–db1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3
nữ.
HD: CCCCCC
354453
510510510
3690
++= cách.
Baøi 59. (ĐH 2008B–db2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ 1, 5 ?
HD: Thực hiện 2 bước:
+ Bước 1: xếp 2 số 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí, có: A
2
5
20
=
cách.
+ Xếp 3 trong 5 số còn lại vào 3 vị trí còn lại, có: A
3
5
60
=
cách.
ĐS: 20.60 = 1200 số.
Baøi 60. (ĐH 2008D–db1) Tìm
{
}
k
0,1,2, ,2005
Î sao cho
k
2005
C đạt giá trị lớn nhất. (
k
n
C
là
số tổ hợp chập k của n phần tử)
HD:
k
C
2005
lớn nhất
Û
kk1
20052005
kk1
20052005
CC
CC
+
-
ì
³
ï
í
³
ï
î
(k
Î
N)
Û
k
k
1002
1003
ì
³
í
£
î
Û
khayk
10021003
==
Baøi 61. (ĐH 2008D–db2) Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn đẳng thức:
+-=
22
nnnn
2P6APA12
( P
n
là số hoán vị của n phần tử và
k
n
A
là số chỉnh hợp chập k của n phần tử).
HD: PT
Û
[
]
nnn
(6!)(1)20
=
Û
n = 3 hay n = 2.
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.
