CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ GIỚI HẠN CỦA MOON.VN

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!






1. Qui tắc cộng:
Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án
A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong
phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
2. Qui tắc nhân:
Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện
và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.

Baøi 1:
a) Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn
lấy 1 bông hoa?
b) Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau?
ĐS: a) 18. b) 15.
Baøi 2:
Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu vàng. Hỏi người
đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu:
a) Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
b) Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng?
ĐS: a) 35. b) 29.
Baøi 3:
Hội đồng quản trị của một xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Từ hộ đồng quản trị đó,
người ta muốn lập ra một ban thường trực gồm 3 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban thường trực sao
cho trong đó phải có ít nhất một người nam.

ĐS: 161.
Baøi 4:
Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y) biết rằng:
a)
,
x A y A
∈ ∈
b)
{ , }
x y A
⊂
c)
, 6
x A y A vaø x y
∈ ∈ + =
.
ĐS: a) 25. b) 20. c) 5 cặp.
Baøi 5:
Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 1. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự
(x; y), biết rằng:
, ,
x A y A x y
∈ ∈ >
.
ĐS:
( 1)
.
2
n n
−

Baøi 6:
00. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược
lại thì giá trị của nó không thay đổi).
ĐS: Số cần tìm có dạng:
abcba

⇒
có 9.10.10 = 900 (số)
Baøi 7:
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:
a) gồm 6 chữ số.
b) gồm 6 chữ số khác nhau.
c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.
ĐS: a) 6
6
b) 6! c) 3.5! = 360
Baøi 8:
a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?
c) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?
d) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?
e) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?
ĐS: a) 3125. b) 168. c) 20 d) 900. e) 180000.
Baøi 9:
Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số:

a) Gồm 2 chữ số? b) Gồm 2 chữ số khác nhau? c) Số lẻ gồm 2 chữ số?
d) Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau? e) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại?
f) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5?
ĐS: a) 25. b) 20. c) 15 d) 8. e) 120. f) 24.
Baøi 10:
Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số:
a) Khác nhau?
b) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300?
c) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?
d) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn?
e) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ?
ĐS: a) 100. b) 60. c) 36 d) 52. e) 48.
Baøi 11:
a) Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400?
b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300 ,
500).
ĐS: a) 35. b) 24.

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!





1. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
Một số phức z là một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thỏa mãn i
2
= –1.
Trong đó:

i là đơn vị ảo.
a được gọi là phần thực của số phức
b được gọi là phần ảo của số phức
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức kí hiệu là C.


 Chú ý:
♦ Số phức z là số thực nếu b = 0, khi đó z = a.
♦ Số phức z là số ảo (hay số thuần ảo) nếu a = 0, khi đó z = bi.
♦ Hai số phức z = a + bi và
' ' '
z a b i
= +
nế
u
'
'
a a
b b
=


=


♦ Với i là đơn vị ảo ta có:
(
)
2
2 3 2 4 2 5 4

1; . ; 1; .
i i i i i i i i i i i
= − = = − = = = =

T
ừ

đ
ó suy ra
4 4 1 4 2 4 3
0
+ + +
+ + + =
n n n n
i i i i
Ví dụ:
Tính t
ổ
ng
2 3 2012
1 .
= + + + + +
S i i i i

Ví dụ 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau
a)
z = 2 + 3i
b)
z = 4i
c)

z = –1
d)

z 2 2i
= −

e)
z
=
(1 + i)
2
– (1 – i)
2

f)
z
=
(11 – 6i) – (2 – 4i)
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Theo
đị
nh ngh
ĩ
a s

ố
ph
ứ
c ta có
a)
z = 2 + 3i
⇒
a = 2; b = 3
b)
z = 4i
⇒
a = 0; b = 4
c)
z = –1
⇒
a = –1; b = 0
d)
2 2 2; 2
z i a b
= − ⇒ = = −

e) Để
tìm ph
ầ
n th
ự
c, ph
ầ
n
ả

o ta c
ầ
n bi
ế
n
đổ
i s
ố
ph
ứ
c
đ
ã cho v
ề
d
ạ
ng rút g
ọ
n.
Ta có
( ) ( )
(
)
(
)
( )
2 2
2 2
1 1 1 2 1 2 2 2 4 0; 4
i i i i i i i i i a b

+ − − = + + − − + = − − = ⇒ = =
, (do i
2
= –1 )
f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) = 9 – 2i ⇒ a = 9; b = –2.
Ví dụ 2. Tìm các số thực x và y, biết:
a) (2x +1) + (3y – 2)i = (x + 2) + (y + 4)i
b)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 3 1 2 1
x y i x y x i
− + + = + − +

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta bi
ế
t r

ằ
ng hai s
ố
ph
ứ
c z = a + bi và
' ' '
z a b i
= +
n
ế
u
'
'
a a
b b
=


=


a)
Ta có
2 1 2 1
3 2 4 2
x x x
y y y
+ = + =
 

⇒
 
− = + =
 

b)
Ta có
( )
3
1 3
4 1
2
1 2 1
2 2
5
x x y
x y
x
y x
x y
y

− = +

+ =
=

 
⇔ ⇒
  

+ = − +
+ = −




= −


Ví dụ 3. Cho
(
)
(
)
= + + −
3 2 4
z a b i
. Tìm các số a, b để:
a)
z là s
ố
th
ự
c
b)
z là s
ố
thu
ầ
n

ả
o
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
z là s
ố
th
ự
c khi b – 4 = 0, hay b = 4.
b)
z là s
ố
thu
ẩ
n
ả
o khi 3a + 2 = 0, hay a = –2/3
Tài liệu bài giảng:

01. MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Bài tập áp dụng:

Bài 1. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức:
1.
z 3 5i
= − +
2.
z 2i
= −

3. z = 12 4. z = 0
5. z = (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i). 6. z = (1 + i)
2
– (1 – i)
2

7. z = (2 + i)
3
– (3 – i)
3
. 8. z = (3 – 5i) + (2 + 4i)
9. z = (11 – 6i) – (2 – 4i) 10. z = (2 + i) – (1 + 4i)
Bài 2. Cho
(
)
(
)
z 2a 1 3b 5 i
= − + + v
ớ
i
a,b R

∈
. Tìm các s
ố
a, b
để
:
1.
z là s
ố
th
ự
c
2.
z là s
ố
thu
ầ
n
ả
o
Bài 3.
Tìm các s
ố
th
ự
c x và y, bi
ế
t:
1.
(

)
(
)
2x 1 5i 4 3y 2 i
+ + = − + −

2.
(
)
( )
x 2 4i 3 y 1 i
− − = − +

2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC
Cho s
ố
ph
ứ
c
z
=
a
+
bi

(
)
, ∈
a b R

đượ
c bi
ể
u di
ễ
n b
ở
i
đ
i
ể
m M(a; b) (hay M(z)) trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy (hay còn
g
ọ
i là
mặt phẳng phức
)
Trong
đ
ó:
- Tr
ụ

c hoành Ox (tr
ụ
c th
ự
c) bi
ể
u di
ễ
n ph
ầ
n th
ự
c a.
- Tr
ụ
c tung Oy (tr
ụ
c
ả
o) bi
ể
u di
ễ
n ph
ầ
n
ả
o b.
Ví dụ.
Cho các s

ố
ph
ứ
c 2 + 3i; 3; –i; –1 + 2i có các
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n l
ầ
n l
ượ
t là A, B, C, D
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ABCD là m
ộ
t hình bình hành
b)
Tâm I c
ủ
a hình bình hành ABCD bi
ể
u di

ễ
n s
ố
ph
ứ
c nào?
3. MODULE CỦA SỐ PHỨC
Khái niệm:

Cho s
ố
ph
ứ
c z = a + bi, module c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c z kí hi
ệ
u là |z| và
đượ
c tính theo bi
ể
u th
ứ
c:
2 2
= +

z a b

Ví dụ:
Tính module c
ủ
a các s
ố
ph
ứ
c sau
1.
z = 1 + 3i
2.
z = 2i
3.

z 3 i
= −

4.

( ) ( )
2 2
z 2 i 1 2i
= + + +

H
ướ
ng d
ẫ

n gi
ả
i:
Áp d
ụ
ng công th
ứ
c
2 2
z a b
= + ta có
1.

z 1 3i z 1 9 10
= +
⇒
= + =

2.

z 2i z 4 2
=
⇒
= =

3.

z 3 i z 3 1 2
= −
⇒

= + =

4.

( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
2 2
2 2
z 2 i 1 2i 4 2i i 1 4i 4i 3 2i 4i 3 6i z 6
= + + + = + + + + + = + + − = ⇒ =

4. SỐ PHỨC LIÊN HỢP
Khái niệm:
Cho s
ố
ph
ứ
c z = a + bi, s
ố
ph
ứ
c liên h
ợ
p c
ủ
a s

ố
ph
ứ
c z kí hi
ệ
u là
z
và
đượ
c tính theo bi
ể
u th
ứ
c:
= −
z a bi



Chú ý:
+ Các
đ
i
ể
m
M
(
a
;
b

) và
M’
(
a
; –
b
) bi
ể
u di
ễ
n các s
ố
ph
ứ
c
z
và
z

đố
i x
ứ
ng nhau qua tr
ụ
c
Ox
.
+ Các s
ố
ph

ứ
c
z
và
z
có module b
ằ
ng nhau:
2 2
= = +
z z a b

Ví dụ:
Vi
ế
t các s
ố
ph
ứ
c liên h
ợ
p c
ủ
a m
ỗ
i s
ố
ph
ứ
c sau và tính module c

ủ
a chúng
1.
z = 2 – 5i
2.
z = 7i
3.
z = 6 + i
4.
z 3 2i
= −

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Hướng dẫn giải:
Áp dụng
z a bi
= −
, ta được :
1.
z 2 5i z 2 5i z 4 25 29
= − ⇒ = + ⇒ = + =

2.
z 7i z 7i z 49 7
= ⇒ = − ⇒ = =

3.
z 6 i z 6 i z 36 1 37
= + ⇒ = − ⇒ = + =

4.
z 3 2i z 3 2i z 3 4 7
= − ⇒ = + ⇒ = + =

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tính
z z', z z', z.z'
+ −
vớ
i
1)
z 5 2i , z' 4 3i
= + = +
2)
z 2 3i , z' 6 4i
= − = +

3)
z 4 7i , z' 2 5i
= − − = −
4)
z 1 i 3, z' 3 2i
= + = − +

Bài 2.
Th
ự
c hi
ệ

n các phép tính sau :
1)
( )
2
1 i
−
2)
( )
2
2 3i
+

3)
( )
3
1 i 3i
+ +
4)
( )
2010
1 i+

Bài 3.
Vi
ế
t các s
ố
ph
ứ
c sau d

ạ
ng
đạ
i s
ố
:
1)
( )( )
1
z
1 i 4 3i
=
+ −
2)
5 6i
z
4 3i
− +
=
+

3)
7 2i
z
8 6i
 
−
=
 
−

 
4)
3 4i
z
4 i
−
=
−

5)
1
z
2 3i
=
−
6)
1
z
1 3
i
2 2
=
−

7)
3 2i
z
i
−
= 8)

2 i
z
5i
+
=
9)
4i
z
1 i
=
−
10)
1 2i 12i
z
12i 1 2i
+
= +
+

11)
(2 i)(12i) (2i)(1 2i)
z
2i 2 i
+ +
= +
+

Bài 4. Cho
1 3
z i

2 2
= − + . Hãy tính:
( )
3
2 2
1
, z, z , z ,1 z z
z
+ +
.

Bài 5.
Tính modun, tìm s
ố
ph
ứ
c liên h
ợ
p c
ủ
a m
ỗ
i s
ố
ph
ứ
c sau:
1)
1
z

2 3i
=
+

2)
4 5i
z
i
+
=


3)
4 3i
z
2 i
−
=
−
4)
1 2i
z
2 i
−
=
+

5)
z (2 i)( 3 2i)(5 4i)
= − − + −

6)
( )( )
1
z
1 2i 3 i
=
+ −

7)
( )( )
2 3i
z
4 i 2 2i
+
=
+ −

8)
5 5i 20
z
3 4i 4 3i
+
= +
− +

9)
3 7i 5 8i
z
2 3i 2 3i
+ −

= +
+ −

10)
3 2i (2 i)(4 3i)
z
2 i
+ + − −
=
+

11)
(3 2i)(4 3i)
z 5 4i
1 2i
− +
= + −
−
12)
( ) ( )
2
3 2i 1 i
z
1 i
− −
=
+

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!

13)
(
)
(
)
( )
3 2i 1 3i
z 2 i
1 3i
+ −
= + −
+

14)
( ) ( )
( ) ( )
2 3
3 2
1 2i 1 i
z
3 2i 2 i
+ − −
=
+ − +

15)
7
7
1 1
z i

2i i
 
= −
 
 
16)
( ) ( )( )
33
10
1 i 1
z 1 i 2 3i 2 3i
1 i i
+
 
= + − + + − +
 
−
 

17)
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 20
z 1 1 i 1 i 1 i 1 i
= + + + + + + + + +
18)
8 8
1 i 1 i
z
1 i 1 i
+ −

   
= +
   
− +
   


Bài 6.
Cho các s
ố
ph
ứ
c z
1
= 1 + 2i, z
2
= –2 + 3i, z
3
= 1 – i. Hãy tính và sau
đ
ó tìm ph
ầ
n th
ự
c, ph
ầ
n
ả
o, mô
đ

un, s
ố
ph
ứ
c
đố
i và s
ố
ph
ứ
c liên h
ợ
p c
ủ
a m
ỗ
i s
ố
ph
ứ
c sau:
1)
1 2 3
z z z z
= + +
2)
1 2 2 3 3 1
z z z z z z z
= + +

3)
1 2 3
z z z z
=
4)
2 2 2
1 2 3
z z z z
= + +

5)
3
1 2
2 3 1
z
z z
z
z z z
= + +
6)
2 2
1 2
2 2
2 3
z z
z
z z
+
=
+

Bài 7.
Tính
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
z z , z z , z .z , z 2z , 2z z
+ − − +
, bi
ế
t:
1)
1 2
z 5 6i, z 1 2i
= − + = −

2)
1 2
z 3 2i, z 4 3i
= + = −

3)
1 2
1 1 1
z i, z i
2 3 2
= − + = − +



Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!

5. CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC
5.1 Phép cộng, trừ hai số phức
♦ Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i
Khi đó số phức w = z + z’ được tính bởi : w = (a + a’) + (b + b’)i
♦ Tương tự, số phức u = z – z’ được tính bởi : u = (a – a’) + (b – b’)i


Chú ý:
Phép cộng hai số phức có đầy đủ tính chất như phép cộng hai số thực là tính giao hoán, kết hợp.
♦ Tính chất kết hợp :
(
)
(
)
' " ' " ' "
z z z z z z z,z ,z
+ + = + + ∀ ∈
ℂ

♦
Tính ch
ấ
t giao hoán :
' ' '
z z z z z,z

+ = + ∀ ∈
ℂ

♦ Cộng với 0 :
z 0 0 z z z
+ = + = ∀ ∈
ℂ

♦ Với mỗi số phức
z a bi (a,b )
= + ∈
ℝ
, nếu kí hiệu số phức
a bi
− −
là –z thì ta có
z ( z) ( z) z 0
+ − = − + =

Số
–z
đượ
c g
ọ
i là s
ố

đố
i c
ủ

a s
ố
ph
ứ
c z
Ví dụ.

Thực hiện phép cộng, trừ các số phức sau
1.
z = 2+ 3i ; z
’
= 5 – 2i
2.
z = –5 + 2i ; z
’
= 3i
3.
z = 2 – 3i ; z
’
= 2 – i
Hướng dẫn giải:
Áp d
ụ
ng công th
ứ
c
' ' '
z z (a a ) (b b )i
+ = + + +
;

' ' '
z z (a a ) (b b )i
− = − + −
, ta có
1.
'
z z (2 5) (3 2)i 7 i
+ = + + − = +
;
'
z z (2 5) (3 2)i 3 5i
− = − + + = − +

2.
'
z z 5 (3 2)i 5 5i
+ = − + + = − +
;
'
z z 5 (2 3)i 5 i
− = − + − = − −

3.
'
z z (2 2) (3 1)i 4 4i
+ = + − + = −
;
'
z z (2 2) ( 3 1)i 2i
− = − + − + = −

5.2 Phép nhân hai số phức
♦ Cho hai s
ố
ph
ứ
c z = a + bi và z’ = a’ + b’i
Khi
đ
ó s
ố
ph
ứ
c w = z.z
’

đượ
c tính b
ằ
ng công th
ứ
c :
w = aa
’
– bb
’
+ (ab
’
+ a
’

b)i


 Nhận xét :
V
ớ
i m
ọ
i s
ố
th
ự
c k và m
ọ
i s
ố
ph
ứ
c a + bi
(a,b )
∈
ℝ
, ta có
k(a + bi) = (k + 0i)(a + bi) = ka + kbi
0z = 0
v
ớ
i m
ọ
i s

ố
ph
ứ
c z


 Chú ý:
Phép nhân các s
ố
ph
ứ
c có
đầ
y
đủ
tính ch
ấ
t nh
ư
phép nhân các s
ố
th
ự
c
♦
Tính ch
ấ
t giao hoán :
' ' '
z.z z .z, z,z

= ∀ ∈
ℂ

♦
Tính ch
ấ
t k
ế
t h
ợ
p :
' " ' " ' "
(zz )z z(z z ), z,z ,z
= ∀ ∈
ℂ

♦
Nhân v
ớ
i 1 :
1.z z.1 z, z
= = ∀ ∈
ℂ

♦
Tính ch
ấ
t phân ph
ố
i c

ủ
a phép nhân v
ớ
i phép c
ộ
ng
(
)
' " ' " ' "
z z z zz zz , z,z ,z
+ = + ∀ ∈
ℂ

Ví dụ.

Phân tích ra thừa số số phức các biểu thức sau
1.
a
2
+ 1
2.
2a
2
+ 3

3.
4a
2
+ 9b
2

4.
3a
2
+ 5b
2

Hướng dẫn giải:
S
ử
d
ụ
ng i
2
= –1 ta
đượ
c
1.
2 2 2
a 1 a i (a i)(a i)
+ = − = − +

2.
2 2 2 2 2
4a 9b 4a 9b i (2a 3bi)(2a 3bi)
+ = − = − +

3.
(
)

(
)
2 2 2
2a 3 2a 3i a 2 3i a 2 3i
+ = − = − +

Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:

01. MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
4.
(
)
(
)
2 2 2 2 2
3a 5b 3a 5b i 3a 5bi 3a 5bi
+ = − = + −

5.3 Phép chia cho số phức khác 0
♦ Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số
1
2
1

z z
z
−
=

♦ Thương
'
z
z
của phép chia số phức z
’
cho số phức z khác 0 là tích của z
’
với số phức nghịch đảo của z, tức là
'
' 1
z
z z
z
−
=

Vậy
(
)
(
)
( )
' '
' '

2
2 2
a bi a b i
z z z
z
a b
z
− +
= =
+
v
ớ
i
z 0
≠



 Nhận xét :

• V
ớ
i z
≠
0, ta có
1 1
1
1.z z
z
− −

= =

• Th
ươ
ng
'
z
z
là s
ố
ph
ứ
c w sao cho zw = z
’
. Có th
ể
nói phép chia cho s
ố
ph
ứ
c khác 0 là phép toán ng
ượ
c c
ủ
a phép
nhân
• Thực chất của phép chia hai số phức là nhân cả tử số và mẫu số với biểu thức phức liên hợp của mẫu số.
Ví dụ.

Thực hiện phép chia các số phức sau

1.
( )( )
1
z
1 i 4 3i
=
+ −
2.
5 6i
z
4 3i
− +
=
+

3.
7 2i
z
8 6i
 
−
=
 
−
 
4.
3 4i
z
4 i
−

=
−

Hướng dẫn giải:
1.
( )( )
2 2
1 1 7 7 7 1
1 4 3 7 (7 )(7 ) 7 50 50
i i
z i
i i i i i i
− −
= = = = = −
+ − + + − −

2.
2 2
5 6 ( 5 6 )(4 3 ) 2 39 2 39
4 3 (4 3 )(4 3 ) 4 3 25 25
i i i i
z i
i i i
− + − + − − + −
= = = = +
+ + − +

3. Tính
2 2
7 2 (7 2 )(8 6 ) 68 26 17 13

8 6 (8 6 )(8 6 ) 8 6 25 50
i i i i
z i
i i i
− − + +
′
= = = = +
− − + +

Vậy
7 2 17 13 17 13
8 6 25 50 25 50
i
z z i i
i
 
−
′
= = = + = −
 
−
 



 Nhận xét :
Ta cũng có thể giải câu này theo cách khác như sau (sử dụng tính chất của số phức):
2 2
7 2 7 2 7 2 (7 2 )(8 6 ) 17 13
8 6 8 6 8 6 25 50

8 6
i i i i i
z i
i i
i
 
− − + + −
= = = = = −
 
− + +
−
 

4.
2
3 4 (3 4 )(4 ) 16 13 16 13
4 (4 )(4 ) 4 1 17 17
i i i i
z i
i i i
− − + −
= = = = −
− − + +

6. CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC
♦ Cho số phức z = x + yi , ba tính chất sau của số phức được xếp vào 1 nhóm:
Tính chất 1: Số phức z là số thực
z z
⇔ =

Chứng minh:
Ta có :
z z x yi x yi y 0 z x
= ⇔ + = − ⇔ = ⇒ =
. Vậy z là số thực.
Tính chất 2: Số phức z là số ảo
z z
⇔ = −

Chứng minh:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Ta có :
x yi 0
z z x yi x z yi
= − ⇔ + = − + ⇔ = ⇒ =
. Vậy z là số ảo.
Tính chất 3: Cho số phức z có số phức liên hợp
z
và module là |
z
|. Khi đó:
2
zz z
=

Chứng minh:
( )
2 2 2 2 2
2

2
2
2 2 2 2
( )( )zz x yi x yi x y i x y
zz z
z x y x y

= + − = − = +

→ =

= + = +



♦ Cho 2 số phức z
1
= x
1
+ y
1
i ; z
2
= x
2
+ y
2
i, ba tính chất tiếp theo được xếp vào nhóm liên hợp:
Tính chất 4:
1 2 1 2

z z z z
+ = +

Chứng minh:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
z z x x y y i x x y y i
z z z z
z z x y i x y i x x y y i

+ = + + + = + − +

→ + = +

+ = − + − = + − +



Tính chất 5:
1 2 1 2
z z z .z
=

Chứng minh:
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1
1 2 1 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
. ( )( ) ( ) ( )
z z x y i x y i x x y y x y x y i x x y y x y x y i
z z z z
z z x y i x y i x x y y x y x y i

= + + = − + + = − − +

→ =

= − − = − − +



Tính chất 6:
1 1
2
2
z z
z
z
 
=
 
 

Chứng minh:
1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
( ) ( )
( )( )
( )( )
z x y i x x y y x y x y i x x y y x y x y
i
z x y i x y x y x y
z
z
z x y i x y i x y i x x y y x y x y
i
x y i x y i x y i x y x y
z

     
+ + − − + −

= = = +
     
+ + + +

     
→

− − + + −


= = = +

− − + + +

1
2
2
z
z
 
=
 
 



 Nhận xét :

Ngoài cách ch
ứ
ng minh c
ổ

đ
i
ể
n trên thì ta có th
ể
s

ử
d
ụ
ng ngay m
ộ
t “thành qu
ả
”
đ
ã ch
ứ
ng minh
đượ
c là tính ch
ấ
t s
ố
5.
Th
ậ
t v
ậ
y,
đặ
t
1
1 2
2
.
z

z z z z
z
= ⇒ =

Theo tính chất 5 ta có:
1
1 2 2
2
. .
z
z z z z z z
z
= = ⇒ =
, hay
1 1
2
2
z z
z
z
 
=
 
 
.
♦ Cho 2 số phức z
1
= x
1
+ y

1
i ; z
2
= x
2
+ y
2
i, ba tính chất tiếp theo được xếp vào nhóm module:
Tính chất 7:
1 2 1 2
z z z z
=

Chứng minh:
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (1)
z z x y i x y i x x y y x y x y i
z z x x y y x y x y x x x y x y y y
= + + = − + +
⇒ = − + + = + + +

2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
. ( ) ( ) ( ) ( ) , (2)
z z x y x y x x x y x y y y
= + + = + + +
T

ừ
(1) và (2) ta có (
đ
pcm)
Tính chất 8:
1
1
2 2
z
z
z z
=
Chứng minh:
( )
( )( )
( )
1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2 2 2 2
2 2
1 1 2 2
1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1
22 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2

2 2
( )( ) ( ) ( )
( )( )
(1)
z x y i x y i x y i x x y y x y x y i
z x y i x y i x y i x y
x y x y
z x x y y x y x y x y
z x y x y
x y
x y
+ + − + + −
= = =
+ + − +
 
+ +
 
+ − +
 
⇒ = + = =
 
 
+ +
+
 
+
 

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!



 Nhận xét :
Tương tự như nhận xét đã nêu ở tính chất 6, ta đặt
1
1 2
2
.
z
z z z z
z
= ⇒ =

Theo tính chất 7 ta có:
1
1 2 2
2
. .
z
z z z z z z
z
= = ⇒ = , hay
1
1
2 2
z
z
z z
= .
Tính chất 9:

1 2 1 2
z z z z
+ ≤ +

Chứng minh:
( )
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2
2
2 2 2 2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2
2
1 2 2 1
( ) ( )
( ) ( ) 2 ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 0
z z z z x x y y x y x y
x x y y x x x y x y x y
x x y y x x x y x y y y
x y x y
+ ≤ + ⇔ + + + ≤ + + +
⇔ + + + ≤ + + + + + +
⇔ + ≤ + + +
⇔ − ≥

Ví dụ 1.
Th

ự
c hi
ệ
n các phép tính sau :
a.
7 2
8 6
i
z
i
 
−
=
 
−
 
b.
(1 )(3 2 )
z i i
= + −
c.
(2 3 ) (1 )
z i i
= + + −


d.
1
1
i

z
i
+
=
−
e.
(5 )(2 3 )
z i i
= + −

Hướng dẫn giải:
a.

2 2
7 2 7 2 7 2 (7 2 )(8 6 ) 17 13
8 6 8 6 8 6 25 50
8 6
i i i i i
z i
i i
i
 
− − + + −
= = = = = −
 
− + +
−
 

b.

2 2 2 2
(1 )(3 2 ) 1 3 2 1 1 . 3 2 26
z i i i i
= + − = + − = + + =

c.
(2 3 ) (1 ) 2 3 1 2 3 1 3 2
z i i i i i i i
= + + − = + + − = − + + = −

d.
1
1 1 1
1
1 1
1 1
i
i
z
i i
+
+ +
= = = =
− −
+

e.
(5 )(2 3 ) 5 .2 3 (5 )(2 3 ) 13 13
z i i i i i i i
= + − = + − = − + = +

Ví dụ 2.
Tính module c
ủ
a các s
ố
ph
ứ
c sau
a.
z(1 2i) 1 3i
+ = − +

b.
z
3 2i
1 3i
= +
− +

c.
( )
z
1 2i 5 6i
2 3i
− + = −
+
d.
2 i 1 3i
z

1 i 2 i
+ − +
=
− +

Hướng dẫn giải:
Áp dụng các lớp tính chất liên quan đến module ta có:
a.
10
z(1 2i) 1 3i z(1 2i) 1 3i z .1 2i 10 z 2
5
+ = − +
⇒
+ = − + ⇔ + =
⇒
= =
b.
z
z z
3 2i 3 2i 13 z 13. 10 130
1 3i 1 3i 1 3i
= +
⇒
= + ⇔ =
⇒
= =
− + − + − +

c.
( )

z
z z z
1 2i 5 6i 6 4i 6 4i 52 2 13 z 26
2 3i 2 3i 2 3i 2 3i
− + = − ⇔ = −
⇒
= − ⇔ = =
⇒
=
+ + + +

d.
1 3i
2 i 1 3i 2 i 1 3i 2 i 5 10 2 5
z z . z . z z
1 i 2 i 1 i 2 i 1 i 2 i 5
2 5
− +
+ − + + − + +
=
⇒
= ⇔ = ⇔ =
⇒
=
− + − + − +

Ví dụ 3. Tìm số phức z biết
( ) ( )
3
2 2 1

z z i i
+ = − −
(1)
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Gi
ả
s
ử

z a bi
= +

z a bi
⇒ = −

(1)
3 2 2 3
2( ) (2 3.2 3.2 )(1 )
a bi a bi i i i i
⇔ + + − = + + + −

2 2 (8 12 6 )(1 ) (11 2)(1 )
a bi a bi i i i i i
⇔ + + − = + − − − = + −

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
2
3 11 11 2 2 13 9
a bi i i i i
⇔ − = − + − = +

13
3 13
13
9
3
9
3
9
a
a
z i
b
b

=
=


⇔ ⇔ ⇒ = −
 
− =



= −


Ví dụ 4.
Cho

1 2
2 3 , 1
z i z i
= + = +
. Tính
1 2
3
z z
+ ;
1 2
2
z z
z
+
;
3
1 2
3
z z
+

Hướng dẫn giải:
+)

1 2
3 2 3 3 3 5 6
z z i i i
+ = + + + = +

⇒
2 2
1 2
3 5 6 61
z z
+ = + =

+)
(
)
(
)
1 2
2
2
3 4 1
3 4 7
1 1 2
i i
z z
i i
z i i
+ −
+
+ +

= = =
+ −
⇒
1 2
2
49 1 5 2
4 4 2
z z
z
+
= + =

+)
3 2 3
1 2
3 8 36 54 27 3 3 49 6
z z i i i i i
+ = + + + − − = − +

⇒
3
1 2
3 2437
z z+ =
Ví dụ 5.
Tìm s
ố
ph
ứ
c z bi

ế
t:
( ) ( )
2
3 3 2 2 (1)
z z i i+ = − +
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Gi
ả
s
ử
z = a + bi, ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
2
(1) 3 3 9 12 4 2 5 12 . 2
a bi a bi i i i i i
⇔ − + + = − + + = − +

2
4 2 10 24 5 12 22 19
a bi i i i i
⇔ + = − + − = −
11 19
;
12 2
a b
−
⇔ = = . Vậy
11 19
2 2
z i
= −
Ví dụ 6. Tìm phần ảo của z biết:
( ) ( )
3
3 2 2 (1)
z z i i+ = + −
Hướng dẫn giải:
Giả sử z = a + bi
(
)
(
)
(
)
(

)
2 3
(1) 3 3 8 12 6 2 2 11 . 2
a bi a bi i i i i i i
⇔ + + − = + + + − = + −


2
4 2 4 2 22 11 20 15
a bi i i i i
⇔ − = − + − = +
15
; 10
4
a b
⇔ = = −
.
Vậy phần ảo của z bằng -10
Ví dụ 7. Tìm môđun của z biết
( )
2
(1 2) 1
2 (1)
2
i i
z z
i
− +
+ =
−

Hướng dẫn giải:
(1) 2 2
a bi a bi
⇔ + + − =
(
)
2
2
(1 2) 1 2
2 2 2
2 2
i i i
i i
i i
− + +
−
=
− −



4 2 2 4 2 2
;
15 5
a b
− − −
⇔ = =

32 4 16 2 144 72 144 2 225 128 2

225 15
z
+ − + + + +
⇒ = =
Ví dụ 8.

(A +A
1
năm 2012)
Cho s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn
5( )
2 (1)
1
z i
i
z
+
= −
+

Tính mô
đ
un c
ủ

a s
ố
ph
ứ
c
2
1
z z
ω
= + +
.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Gi
ả
s
ử
z = a + bi
(
)
2
(2 2 2) 2
(4 2 2) 4 2 2
3
4 5

i i
i
a bi
i
+ +
+ + −
⇔ − = =
−
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
5( )
(1) 2
1
a bi i
i
a bi
− +
⇔ = −
+ +


2
5 5 ( 1) 2 2 2
3 2 (5 5 2 1) 0
a i b a bi ai bi i
a b i b b a
⇔ − − = + + − − −
⇔ − − − − − + + =

3 2 0 1
1
3 4 0 1
a b a
z i
b a b
− − = =
 
⇔ ⇒ ⇒ = +
 
+ − = =
 


1 1 1 2 1 2 3 4 9 13
i i i
ω ω
= + + + + − = + ⇒ = + =
Ví dụ 9. (D - 2012)
Cho s
ố
ph
ứ
c
z
th
ỏ
a mãn:
2(1 2 )
(2 ) 7 8 (1)

1
i
i z i
i
+
+ + = +
+

Tìm mô
đ
un c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c
1
z i
ω
= + +

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Gi

ả
s
ử

z a bi
= +

2(1 2 )
(1) (2 )( ) 7 8
1
i
i a bi i
i
+
⇔ + + + = +
+


2
2
2(1 2 )(1 )
2 2 7 8
1
i i
a bi ai bi i
i
+ −
⇔ + + + + = +
+

2
2 2 1 2 2 7 8
a bi ai bi i i i i
⇔ + + − + − + − = +

2 3 7 3
2 1 8 2
a b a
b a b
− + = =
 
⇔ ⇔
 
+ + = =
 

Do
đ
ó
3 2 1 4 3
i i i
ω
= + + + = +
16 9 5
ω
⇒ = + =
.
Ví dụ 10. (A - 2011)
Tìm t

ấ
t c
ả
các s
ố
ph
ứ
c z, bi
ế
t
2
2
(1)
z z z= +
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:

(
)
2 2 2 2 2 2 2 2
(1) 2
a bi a b a bi a b i abi a b a bi
⇔ + = + + − ⇔ + + = + + −

2
2
1 1
;
2 2
2 0
2 2 0 0; 0
2 0
1 1
;
2 2
a b
b a
b a bi abi b a
b ab
a b

= − =



+ =
⇔ + − − = ⇔ ⇔ = =


+ =


− −
= =




V
ậ
y
1 1 1 1
0; ;
2 2 2 2
z z i z i
− −
= = + = −

Ví dụ 11. (A - 2011)
Tính mô
đ
un c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c z bi
ế
t
(2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2 (1)
z i z i i
− + + + − = −
H
ướ

ng d
ẫ
n gi
ả
i:

(1) (2 2 1))(1 ) ( 1)(1 ) 2 2
a bi i a bi i i
⇔ + − + + − + − = −


2 2
2 2 2 2 1 1 2 2
a ai bi bi i a ai bi bi i i
⇔ + + + − − + − − + + − = −


3 3 2 2 2
a ba ai bi i i
⇔ − + + − = −


1
3 3 2
3
2 2 1
3
a
a b
a b

b

=

− =


⇔ ⇔
 
+ − = − −


=


Suy ra
1 1 2
9 9 3
z = + = .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau :
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
1.
z (2 5i)(3 i)
= − +
2.
(
)
1 i z 3 2i 4z

+ + = −

3.
1
z
(3i 4)(2 i)
=
+ −
4.
3i 7
z
10 i
−
=
+

5.
z(2 3i) 4 5i
+ = +
6.
(1 2i)z ( 1 3i)(2 i)
+ = − + +

7.
(
)
(
)
1 3i z 4 3i 7 5i
− + + = −

8.
3 7i 5 8i
z
2 3i 2 3i
+ −
= +
+ −

9.
z (1 2i)(2 4i)
= + −
10.
3 4i
z
2 i
−
=
−

11.
7 i
z
2 i
+
=
−
12.
z (2 i)( 3 2i)(5 4i)
= − − + −

13.
5 5i 20
z
3 4i 4 3i
+
= +
− +
14.
(3 2i)(4 3i)
z 5 4i
1 2i
− +
= + −
−

15.
( )( )
2 3i
z
4 i 2 2i
+
=
+ −

Bài 2. Tìm số phức z biết
a)
3
( 2 )
1 2
i

z
i
−
=
+
b)
. 3( ) 1 4
z z z z i
+ − = −
c)
1
1 2
z i
−
= −

Bài 3.
Tính mô-
đ
un c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c z bi
ế
t
a)

2
1 (2 3 )
2
i i z
i
z
z
− −
= + −

b)
Cho s
ố
ph
ứ
c
3
3
1 2
1 2 (1 )
4 3 (1 ) ; .
1
i i
z i i z
i
+ − −
= − + − =
+
Tính mô-
đ

un c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c
1 2
.
z z z
=

c)
Cho s
ố
ph
ứ
c
(
)
3
1 3
.
1
i
z
i
−
=
−

Tín mô-
đ
un c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c
.
z iz
+

Bài 4:
Tìm ph
ầ
n th
ự
c và ph
ầ
n
ả
o c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c
2012 2012

( 1 3 ) (1 3 )
z i i= − + + +

Bài 5:
Cho s
ố
ph
ứ
c
2013 2012
1 .
z i i
+ = + Tìm
'
z
bi
ế
t
'
z z iz
= +

Bài 6. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:
a)
2
2
z z
=
b)
2

2
1 0
z z
− + =

c)
2
0
z z
+ =
d)
2
( )
1
z i
i
z
+
=
+

Bài 7.
Tìm s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn các h
ệ

th
ứ
c sau:
a)
( )
4 6
1 2 2
z z i z z
i
i i
+ −
− = +
+ −
b)
( )(1 ) ( )(2 3 ) 4
z z i z z i i
+ + + − + = −

c)
2
2 0
z z
+ =
d)
2
0
z i z
+ =

Bài 8.

Tìm s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn các h
ệ
th
ứ
c sau:
a)
2
2
8
z
z z
z
−
+ =
b) 3 1
z i iz
− = −
và
9
z
z
−
là số thuần ảo.
c)

2
1
( 1)(1 )
1
z
z z i
i
−
= + + +
−
d)
1 3
z z
− = +
và
2
2
2
z z
+ =

Bài 9. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
a)
2
2 2
z
z iz


=


+ =


b)
2
2 0
z zz
+ − =

c)
4 (1 3 ) 25 21
z i z i
+ + = +
d)
2
35
2 4 5
8
z z z+ − =
Bài 10. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:
a)
4
2
2 ( 5)
z z z
= −
b)

3 3 10
2 3 109
z z
z i

+ + − =


+ =


c)
2
1 0
iz z
+ + =

Bài 11.
Tìm s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn
(1 3 )
i z
−
là s
ố

th
ự
c và
2 5 1
z i
− + =
.
Bài 12.
Tìm s
ố
ph
ứ
c z bi
ế
t:
37(1 )
( 2 )( 1 6 )
1
10
i z
z z i
i
−
− − −
=
+
.

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!

Ví dụ 1: Tìm hệ số của
4
x
trong khai triển Niutơn của biểu thức
2 10
(1 2 3 )
P x x
= + +

Lời giải:
Ta có
10 10
2 10 2
10 10
0 0 0
(1 2 3 ) (2 3 ) ( 2 3 )
k
k k k i k i i k i
k
k k i
P x x C x x C C x
− +
= = =
= + + = + =
∑ ∑ ∑

Theo gi
ả
thi
ế
t ta có
4
0 1 2
0 10
4 3 2
,
k i
i i i
i k
k k k
i k N
+ =

= = =
  

≤ ≤ ≤ ⇔ ∨ ∨
   
= = =
  

∈


V

ậ
y h
ệ
s
ố
c
ủ
a
4
x
là:
4 4 3 1 2 2 2 2
10 10 3 10 2
2 2 3 3 8085
C C C C C+ + = .
Ví dụ 2: Cho khai triển
( )
0
n
n
k n k k
n
k
a b C a b
−
=
+ =
∑
.
Quy ước số hạng thứ i của khai triển là số hạng ứng với

1
k i
= −

Hãy tìm các giá trị
c
ủ
a x bi
ế
t r
ằ
ng s
ố
h
ạ
ng th
ứ
6 trong khai tri
ể
n
8
1
1
3
1
log 3 1
log 9 7
2
5
2

2 2
x
x
 
 
 
−
−
− +
+
+
 
 
 
 
là 224.
L
ờ
i gi
ả
i:
Ta có
( )
( )
( )
1
3
1
2
2

1
1 1
log 3 1
log 9 7 1 1
5
3 5
2 9 7 ,2 3 1
x
x
x x
−
−
− +
−
+ − −
= + = +

S
ố
h
ạ
ng th
ứ
6 c
ủ
a khai tri
ể
n
ứ
ng v

ớ
i k = 5 là
( ) ( ) ( )( )
3 5
1 1
1
5 1 1 1 1
3 5
8
9 7 . 3 1 56 9 7 3 1
x x x x
C
− −
− − − −
   
+ + = + +
   
   

Treo gi
ả
thi
ế
t ta có
( )( )
1
1
1 1
1
1

9 7
56 9 7 3 1 224 4
2
3 1
x
x x
x
x
x
−
−
− −
−
=

+
+ + = ⇔ = ⇔

=
+


Ví dụ 3:

Cho khai triển:
( )
(
)
2
10

2 2 14
1 2 14
1 2 1
o
x x x a a x a x a x
+ + + = + + + +
. Hãy tìm giá trị của
6
a
.
L
ờ
i gi
ả
i:
Ta có
4
3
)12(
4
1
1
22
++=++ xxx nên
( )
10121422
10
)21(
16
9

)21(
8
3
)21(
16
1
)1(21 xxxxxx +++++=+++
Trong khai tri
ể
n
(
)
14
21 x+ h
ệ
s
ố
c
ủ
a
6
x là:
6
14
6
2 C ; Trong khai tri
ể
n
(
)

12
21 x+ h
ệ
s
ố
c
ủ
a
6
x là:
6
12
6
2 C

Trong khai tri
ể
n
(
)
10
21 x+ h
ệ
s
ố
c
ủ
a
6
x là:

6
10
6
2 C
V
ậ
y h
ệ
s
ố
.417482
16
9
2
8
3
2
16
1
6
10
66
12
66
14
6
6
=++= CCCa

Ví dụ 4:

Cho khai tri
ể
n
đ
a th
ứ
c:
( )
2013
2 2013
1 2 2013
1 2
o
x a a x a x a x
− = + + + +
.
Tính t
ổ
ng:
0 1 2 2013
2 3 2014S a a a a= + + + +

L
ờ
i gi
ả
i:
Ta có:
( )
2013 2 2013

0 1 2 2014
(1 2 ) 2 3 2014 .
x x a a x a x a x
′
− = + + + +
2013 1012 2 2013
0 1 2 2013
(1 2 ) 4026 (1 2 ) 2 3 2014
x x x a a x a x a x
⇔ − − − = + + + + (*).

Nh
ậ
n th
ấ
y:
( )
k k
k k
a x a x
= −
do
đ
ó thay
1
x
= −
vào cả hai vế của (*) ta có:
2213
0 1 2 2013

2 3 2014 1343.3
S a a a a= + + + + =

01. NHỊ THỨC NIU-TƠN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Ví dụ 5: Tìm hệ số của
7
x
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
n
x
x






−
2
2
, biết rằng n là số nguyên
dương thỏa mãn
323
1
24
nnn
ACC =+

+
.
Lời giải:
Ta có
3),2)(1()1(
6
)1(()1(
.424
323
1
≥−−=−+
−
+
⇔=+
+
nnnnnn
nnn
ACC
nnn


2 2 2
2( 1) 3( 1) 3( 3 2), 3 12 11 0, 3 11.
n n n n n n n n n
⇔ − + − = − + ≥ ⇔ − + = ≥ ⇔ =

Khi
đ
ó )2.(
2

.)(
2
11
0
322
11
11
0
112
11
11
2
∑∑
=
−
=
−
−=






−=







−
k
kkk
k
k
kk
xC
x
xC
x
x
S
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
7
x
là s
ố
h
ạ
ng
ứ
ng v
ớ
i

k
th
ỏ
a mãn
.57322
=
⇔
=
−
kk
Suy ra h
ệ
s
ố
c
ủ
a
7
x trong khai tri
ể
n là
.14784)2.(
55
11
−=−C
Ví dụ 6: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn:
1
4 3
7( 3)
n n

n n
C C n
+
+ +
− = +
.
Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển:
5
3
2
( )
n
P x x
x
 
= +
 
 
v
ớ
i
0
x
>

L
ờ

i gi
ả
i:
Ta có
1
4 3
7( 3) ( 4)( 3)( 2) ( 3)( 2)( 1) 42( 3)
n n
n n
C C n n n n n n n n
+
+ +
− = + ⇔ + + + − + + + = +

2 2
5 6 14( 3) 9 36 0
n n n n n
⇔ + + = + ⇔ − − =
12.
n
⇒
=

V
ớ
i n = 12 ta có nh
ị
th
ứ
c:

12
5(12 ) 60 11
12 12
5 3
2 2
12 12
3
0 0
2
2 2
k k
k k k k k
k k
x C x x C x
x
− −
−
= =
 
+ = =
 
 
∑ ∑

H
ệ
s
ố
ch
ứ

a
8
x
th
ỏ
a mãn
0 12
4
60 11
8
2
k
k
k
≤ ≤


⇔ =

−
=


. Hê s
ố
c
ủ
a
8
x

là
4 4
12
2 7920.
C
=

Ví dụ 7:
Cho bi
ế
t h
ệ
s
ố
c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng th
ứ
t
ư
c
ủ
a khai tri
ể
n
2

5
1
2 .
n
x
x x
 
+
 
 
b
ằ
ng 70 . Hãy tìm s
ố
h
ạ
ng không
ch
ứ
a x trong khai tri
ể
n
đ
ó.
L
ờ
i gi
ả
i:
Ta có

16
2
2 2 2
5
5
0
1 6
.2 . .2 .
5
2
n
k
n
n
k n k k k k
n n
k
k
x C x x C x
x x
−
− − −
=
−
 
+ =
 
 
∑ ∑

Suy ra h
ệ
s
ố
c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng th
ứ
t
ư
là:
3 3
.2
n
C
−

T
ừ

đ
ó có
:
3 3
.2 70 ( 1)( 2) 560 16
n

C n n n n
−
= ⇔ − − = ⇒ =

Khi
đ
ó s
ố
h
ạ
ng không ch
ứ
a x trong khai tri
ể
n
ứ
ng v
ớ
i giá tr
ị
k tho
ả
mãn:
16
2.16 0 10
5
k
k
− = ⇔ =

V
ậ
y s
ố
h
ạ
ng không ch
ứ
a x là:

10 10
16
1001
.2
128
C
−
=


BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a x
7

trong khai tri
ể
n nh
ị
th
ứ
c
4
3
1
2
n
x
x
 
+
 
 
, (
0
x
≠
). Bi
ế
t r
ằ
ng n là s
ố
t
ự

nhiên th
ỏ
a
mãn
2 2
2 112
n n
C A n+ + =
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Bài 2: Tìm hệ số của
4
x
trong khai triển biểu thức
3
2
n
x
x
 
−
 
 
, biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức
6 2
4
454
n
n n
C nA

−
−
+ = .
Bài 3: Tìm hệ số của
9
x
trong khai triển:
(
)
2
*
1 3 ;
n
x n− ∈
ℕ
, biết
2 3
2 14 1
3
n n
C C n
+ =
.
Bài 4:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ

a
4
x
trong khai tri
ể
n thành
đ
a th
ứ
c c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:
2 10
(1 4 )
x x
+ + .
Bài 5:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a
6
x

trong khai tri
ể
n thành
đ
a th
ứ
c c
ủ
a
( ) ( )
5 7
2
( ) 2 1 3 3 1 2
P x x x x x
= − − +
Bài 6:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a x
5
trong khai tri
ể
n bi
ể
u th
ứ

c
( ) ( )
2
2
1 2 1 3
n n
P x x x x
= − + +
, bi
ế
t r
ằ
ng
2 1
1
5
n
n n
A C
−
+
− =
.
Bài 7:
Khai tri
ể
n và rút g
ọ
n
đ

a th
ứ
c:
( ) ( ) ( )
9 10 14
( ) 1 1 1
P x x x x
= + + + + + + thành d
ạ
ng
2 14
0 1 2 14
( )
P x a a x a x a x
= + + + + . Hãy xác
đị
nh h
ệ
s
ố
a
9

Bài 8:
Cho
đ
a th
ứ
c
( ) ( ) ( ) ( )

2 3 20
( ) 1 2 1 3 1 20 1
P x x x x x
= + + + + + + + + . Khai tri
ể
n P(x) thành
đ
a th
ứ
c ta
đượ
c d
ạ
ng d
ạ
ng:
2 20
0 1 2 20
( )
P x a a x a x a x
= + + + + . Tìm h
ệ
s
ố
a
15
?
Bài 9:
Khai tri
ể

n
đ
a th
ứ
c thành d
ạ
ng:
( )
80
2 80
0 1 2 80
( ) 2
P x x a a x a x a x
= − = + + + + Tìm h
ệ
s
ố
a
78
?
Bài 10:
Khai tri
ể
n
( )
50
2 50
0 1 2 50
( ) 3
P x x a a x a x a x

= + = + + + +
a.
Tính h
ệ
s
ố
a
46
?
b.
Tính t
ổ
ng S = a
0
+ a
1
+ a
2
+ … a
50

Bài 11:
Trong khai tri
ể
n c
ủ
a nh
ị
th
ứ

c
21
3
3
a b
b a
 
+
 
 
 
, tìm các s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a a, b v
ớ
i lu
ỹ
th
ừ
a gi
ố
ng
nhau?
Bài 12:
a)
Trong khai tri

ể
n
4
1
 
+
 
 
n
x x
x
cho bi
ế
t hi
ệ
u s
ố
gi
ữ
a h
ệ
s
ố
c
ủ
a h
ạ
ng t
ử
th

ứ
ba và th
ứ
hai là 44. Tìm n.
b)
Cho bi
ế
t trong khai tri
ể
n
2
1
n
x
x
 
+
 
 
, t
ổ
ng các h
ệ
s
ố
c
ủ
a các h
ạ
ng t

ử
th
ứ
nh
ấ
t, th
ứ
hai, th
ứ
ba là 46.
Tìm h
ạ
ng t
ử
không ch
ứ
a x.
c)
Cho bi
ế
t t
ổ
ng c
ủ
a 3 h
ệ
s
ố
c
ủ

a 3 s
ố
h
ạ
ng
đầ
u tiên trong khai tri
ể
n
2
2
3
n
x
 
−
 
 
là 97. Tìm h
ạ
ng t
ử
c
ủ
a
khai tri
ể
n ch
ứ
a x

4
.
Bài 13:
Cho khai tri
ể
n
0 1 1
1 1 1
( 1)
3 3
3
n
n n n n
n n n
n
x C x C x C
−
 
− = − + −
 
 
. Bi
ế
t h
ệ
s
ố
c
ủ
a s

ố
h
ạ
ng th
ứ
ba trong
khai tri
ể
n là 5. Tìm s
ố
h
ạ
ng chính gi
ữ
a?
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Bài 14: Cho khai triển
( )
3 0 3
2 2
2 2

n n
n
n
n n
x C x C
x x
   

+ = + +
   
   
. Biết tổng ba hệ số đầu là 33. Tìm hệ số
của số hạng chứa x
2
.
Bài 15: Trong khai triển nhị thức
28
3
15
n
x x x
−
 
+
 
 
 
hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào
x
biết rằng
n
là số
nguyên dương thỏa mãn
1 2
79
n n n
n n n
C C C

− −
+ + =


Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!





Ví dụ 1: Tìm số nguyên dương n sao cho thoả mãn
2
0 1 2
2 2 2 121

2 3 1 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
+ + + + =
+ +

Lời giải:
Xét khai triển
0 1 2 2
(1 )
n n n

n n n n
x C C x C x C x
+ = + + + +
Lấy tích phân 2 vế cận từ 0 đến 2, ta được:
1 2 3 1
0 1 3
3 1 2 2 2
2
1 2 3 1
n n
n
n n n n
C C C C
n n
+ +
−
= + + + +
+ +

⇔
2 1 1
0 1 2 1
2 2 2 3 1 121 3 1
3 243 4
2 3 1 2( 1) 1 2( 1)
n n n
n n
n n n n
C C C C n
n n n n

+ +
+
− −
+ + + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
+ + + +

Vậy n = 4.

Ví dụ 2: Chứng minh:
0 1 2 1
2 3 ( 1) ( 2)2
n n
n n n n
C C C n C n
−
+ + + + + = + , với n nguyên dương.
Lời giải:
Ta có :
0 1 2 2 3 3
(1 ) (1)
n n n
n n n n n
x x xC xC x xC x xC x C x+ = + + + + +
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được:
1 0 1 2 2
(1 ) (1 ) 2 3 ( 1) (2)
n n n n
n n n n
x nx x C C C x n C x
−

+ + + = + + + + +
Thay x = 1 vào (2) ta được điểu cần chứng minh.

Ví dụ 3: Tính tổng S =
0 1 2 2010 2011
2011 2011 2011 2011 2011
1 1 1 1 1

3 4 5 2013 2014
C C C C C− + − + −
L
ờ
i gi
ả
i:
Ta có
2011 0 1 2 2 2010 2010 2011 2011
2011 2011 2011 2011 2011
(1 )
x C C x C x C x C x
− = − + − + −

Suy ra
2 2011 0 2 1 3 2 4 2010 2012 2011 2013
2011 2011 2011 2011 2011
(1 )
x x C x C x C x C x C x
− = − + − + −

1

2 2011
0
(1 )
x x dx
−
∫
=
( )
1
0 2 1 3 2 4 2010 2012 2011 2013
2011 2011 2011 2011 2011
0

C x C x C x C x C x dx
− + − + −
∫

=
1
0 3 1 4 2 5 2010 2013 2011 2014
2011 2011 2011 2011 2011
0
1 1 1 1 1

3 4 5 2013 2014
C x C x C x C x C x
 
− + − + −
 
 

=
0 1 2 2010 2011
2011 2011 2011 2011 2011
1 1 1 1 1

3 4 5 2013 2014
C C C C C− + − + −

Vậy
1
2 2011
0
(1 )
S x x dx
= −
∫
.
Đặt t = 1 – x
⇒
dt = – dx . Với x = 0 thì t = 1; với x = 1 thì t = 0
0
2 2011
1
(1 ) ( )
S t t dt
= − −
∫
=
1

2 2011
0
( 2 1)
t t t dt
− +
∫
=
1
2013 2012 2011
0
( 2 )
t t t dt
− +
∫

=
1
2014 2013 2012
0
2
2014 2013 2012
t t t
 
− +
 
 
=
1 2 1
2014 2013 2012
− +

=
1
2013.2014.1006


Ví dụ 4: Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng :
2 3 1 1
0 1 2
2 2 2 3 1
2
2 3 1 1
n n
n
n n n n
C C C C
n n
+ +
−
+ + + + =
+ +

Lời giải:
Xét khai triển
( )
0
1
n
n
k k
n

k
x C x
=
+ =
∑
(1)
01. NHỊ THỨC NIU-TƠN – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Lấy tích phân hai vế của (1) ta có:
2 2
1 1
0 0
0 0
2 2
(1 )
(1 )
0 0
1 1
n k
n n
n k k k
n n
k k
x x
x dx C x C
n k
+ +
= =

+
+ = ⇔ =
+ +
∑ ∑
∫ ∫

Từ đó dẫn tới :
2 3 1 1
0 1 2
2 2 2 3 1
2
2 3 1 1
n n
n
n n n n
C C C C
n n
+ +
−
+ + + + =
+ +


Ví dụ 5: Tìm số nguyên dương n thoả mãn
0 1 2 3
1 1 1 1 1023
2 3 4 1 10
n
n n n n n
C C C C C

n
+ + + + + =
+
⋯
L
ờ
i gi
ả
i:
Xét khai tri
ể
n
( ) ( )
( )
1 1
0 1 2 2 0 1 2 2
0 0
1 1
n n
n n n n
n n n n n n n n
x C C x C x C x x dx C C x C x C x dx
+ = + + + + ⇒ + = + + + +
∫ ∫
⋯ ⋯
( )
1
1
1
0 1 2 2 3 1

0
0
1
1 1 1
1 2 3 1
n
n n
n n n n
x
C x C x C x C x
n n
+
+
+
 
⇒ = + + + +
 
+ +
 
⋯
1
0 1 2 3
2 1 1 1 1 1 1023
1 2 3 4 1 1
n
n
n n n n n
C C C C C
n n n
+

−
⇒
= + + + + + =
+ + +
⋯
1 1 10
2 1 1023 2 1024 2 1 10 9
n n
n n
+ +
⇒ − = ⇔ = = ⇔ + = ⇔ =


Ví dụ 6: Tính tổng:
2 1 2 2 2 3 2 2010 2 2011
2011 2011 2011 2011 2011
1 2 3 2010 2011S C C C C C= + + + + +
Lời giải:
Ta có
( )
2011
0 1 2 2 3 3 2011 2011
2011 2011 2011 2011 2011
1
x C C x C x C x C x
+ = + + + + +⋯ (1)
L
ấ
y
đạ

o hàm hai v
ế
(1) ta
đượ
c:
( )
2010
1 2 2 3 2010 2011
2011 2011 2011 2011
2011 1 2 3 2011x C xC x C x C+ = + + + +⋯
nhân hai v
ế
v
ớ
i x ta
đượ
c:
( )
2010
1 2 2 3 3 2011 2011
2011 2011 2011 2011
2011 1 2 3 2011x x xC x C x C x C+ = + + + +⋯ (2)
L
ấ
y
đạ
o hàm hai v
ế
(2) ta
đượ

c
( ) ( )
(
)
2010 2019
1 2 2 2 2 3 2 2010 2011
2011 2011 2011 2011
2011 1 2010 1 2 3 2011x x x C xC x C x C+ + + = + + + +⋯ (3)
Thay x = 1 vào ta
đượ
c
(
)
2010 2009 2 1 2 2 2 3 2 2011
2011 2011 2011 2011
2011 2 2010.2 1 C 2 C 3 C 2011 C+ = + + +
V
ậ
y
2009
2011.2012.2
S =


Ví dụ 7:
Tìm h
ệ
s
ố
c

ủ
a s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a x
2
trong khai tri
ể
n nh
ị
th
ứ
c Niut
ơ
n c
ủ
a
1
4
2
n
x
x
+
 
 
 

bi
ế
t r
ằ
ng n là s
ố

nguyên d
ươ
ng th
ỏ
a mãn:
(
)
1 2 3 1
2 3 1 64
n n
n n n n n
C C C n C nC n
−
+ + + + − + =
⋯

L
ờ
i gi
ả
i:
Xét khai tri
ể

n
( )
0 1 2 2 1 1
1
n
n n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
− −
+ = + + + + +
L
ấ
y
đạ
o hàm hai v
ế
ta có
( ) ( )
1
1 2 1 2 1
1 2 1
n
n n n n
n n n n
n x C C x n C x nC x
−
− − −
+ = + + + − +
Thay x = 1 suy ra
(

)
1 2 3 1 1
2 3 1 2
n n n
n n n n n
C C C n C nC n
− −
+ + + + − + =
⋯

1 1
64 2 64 2 7
n n
n n
− −
⇔ = ⇔ = ⇔ =

( )
7
7
7
7
4 4
0
1 1
2 2
k
k
k
k

x C x
x x
−
=
   
+ =
   
   
∑

S
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
2
x
có h
ệ
s
ố
là
7
1
2
k
k
C v

ớ
i k tho
ả
mãn
7
2 2
2 4
k k
k
−
− = ⇔ =

Suy ra h
ệ
s
ố
ch
ứ
a
2
x
là
2
7
1 21
4 4
C =
Ví dụ 8:
Tìm h
ệ

s
ố
c
ủ
a
20
x
trong khai tri
ể
n
5
3
2
n
x
x
 
+
 
 
bi
ế
t r
ằ
ng:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
0 1 2
1 1 1 1
( 1)

2 3 1 13
n n
n n n n
C C C C
n
− + + − =
+
+

Lời giải:
Ta có
1
1 1
1
0 0
0
(1 ) 1
(1 ) (1 ) (1 )
1 1
n
n n
x
x dx x d x
n n
+
−
− = − − − = − =
+ +
∫ ∫

Mặt khác,
0 1 2 2
(1 ) ( 1)
n n n n
n n n n
x C C x C x C x
− = − + − + −
1
0 1 2 2 0 1 2
0
1 1 1 1
( ( 1) ) ( 1)
2 3 1 13
n n n n n
n n n n n n n n
C C x C x C x dx C C C C
n
⇒ − + − + − = − + + + − =
+
∫

1 13 12
n n
⇒ + = ⇒ =

Khi
đ
ó ta có
( )
12

12
12 12
5 5 5 12 8 36
12 12
3 3 3
0 0
2 2 2
. .2 .
k
n
k
k k k k
k k
x x C x C x
x x x
−
− −
= =
     
+ = + = =
     
     
∑ ∑

S
ố
h
ạ
ng ch
ứ

a
20
x

ứ
ng v
ớ
i
k
tho
ả
mãn:
0 20
7
8 36 20
k
k
k
≤ ≤

⇔ =

− =


⇒
H
ệ
s
ố

c
ủ
a
20
x
là:
7 5
12
.2 25344
C =
Ví dụ 9:
Cho
đẳ
ng th
ứ
c
1 2 3 2 1 2 8
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
n n n n n
n n n n n
C C C C C
+ + + −
+ + + + +
+ + + + + = −
.
Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển
(

)
3 4
1
n
x x x
− + − .
Lời giải:
Đặt
1 2 3 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n n n n
n n n n n
S C C C C C
+ + + −
+ + + + +
= + + + + +
Ta có
(
)
2 1 0 1 2 1 1 2 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
(1 1)
n n n n n n n
n n n n n n n n n
C C C C C C C C C
+ − + + +
+ + + + + + + + +
+ = + + + + + + + + + +
(

)
(
)
2 1 0 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2
n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n
C C C C C C C C C C
+ + − + + + + −
+ + + + + + + + + +
⇒ = + + + + + + + + + + +
2 1 2 2 8
2 2 2 2 1 2 2 4
n n n
S S n
+
⇒ = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
.
(
)
( )
(
)
4
4
4
3 4 3 3
1 (1 ) (1 ) 1 1
n

x x x x x x x x
 
⇒ − + − = − + − = − +
 

(
)
(
)
0 1 2 2 3 3 4 4 0 1 3 2 6 3 9 4 12
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
C C x C x C x C x C C x C x C x C x
= − + − + + + + + .
Ta có hệ số của x
10
là:
1 3 4 2
4 4 4 4
. . 10
C C C C
− + = −

Ví dụ 10: Tìm hệ số của số hạng chứa x
2
trong khai triển nhị thức Niutơn của
4
1
2
n
x

x
 
+
 
 
, bi
ế
t r
ằ
ng n
là s
ố
nguyên d
ươ
ng th
ỏ
a mãn:
2 3 1
0 1 2
2 2 2 6560
2
2 3 1 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
+
+ + + + =
+ +

⋯

L
ờ
i gi
ả
i:
Ta có
( )
2 2
0 1 2 2
0 0
(1 )
n n n
n n n n
I x dx C C x C x C x dx
= + = + + + +
∫ ∫
⋯

2
2 3 1
0 1 2 2 3 1 0 1 2
0
1 1 1 2 2 2
2
2 3 1 2 3 1
n
n n n
n n n n n n n n

C x C x C x C x I C C C C
n n
+
+
 
= + + + +
⇒
= + + + +
 
+ +
 
⋯ ⋯
(1)
M
ặ
t khác
1
2
1
0
1 3 1
(1 )
1 1
n
n
I x
n n
+
+
−

= + =
+ +
(2)
T
ừ
(1) và (2) ta có
2 3 1 1
0 1 2
2 2 2 3 1
2
2 3 1 1
n n
n
n n n n
C C C C
n n
+ +
−
+ + + + =
+ +
⋯
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Theo bài ra thì
1
1
3 1 6560
3 6561 7
1 1
n

n
n
n n
+
+
−
= ⇔ = ⇒ =
+ +

Ta có khai tri
ể
n
( )
7
14 3
7 7
7
4
7 7
4 4
0 0
1 1 1
22 2
k
k
k
k k
k
x C x C x
x x

−
−
   
+ = =
   
   
∑ ∑

S
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
x
2

ứ
ng v
ớ
i
k
th
ỏ
a mãn
14 3
2 2
4
k

k
−
= ⇔ =
V
ậ
y h
ệ
s
ố
c
ầ
n tìm là
2
7
2
1 21
4
2
C =

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Niutơn của
7
4
1
n
x
x

 
+
 
 
, biết rằng
1 2 20
2 1 2 1 2 1
2 1
n
n n n
C C C
+ + +
+ + + = −

Bài 2: Tìm hệ số của x
4
trong khai triển biểu thức
(
)
2
1 3
n
A x x
= − − thành đa thức. Trong đó n là số
nguyên dương thỏa mãn
(
)
2 2 2 2 2
2 3 4 1
2 3

n n
C C C C A
+
+ + + + =
Bài 3: Tìm hệ số của x
6
trong khai triển
( )
7
2
1 1
x x
 
+ +
 
thành đa thức.
Bài 4: Tìm hệ số của x
8
trong khai triển
( )
8
2
1 1
x x
 
+ −
 
thành đa thức.
Bài 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x
4

khi khai triển (1 + 2x + 3x
2
)
10
.
Bài 6: Tìm hệ số chứa x
10
khi khai triển P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)
2
+ 3(1 + x)
3
+ + 15(1 + x)
15
.
Bài 7: Tìm hệ số của x
5
trong khai triển thành đa thức của P(x) = x(1 – 2x)
5
+ x
2
(1 + 3x)
10

Bài 8: Tìm hệ số của số hạng chứa
3
1
x
khi khai triển
7
3

2
1
( ) 1 2P x x
x
 
= − +
 
 
 

Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!




DẠNG 1. BÀI TỐN ĐẾM NGƯỜI, VẬT
Bài 1: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh
trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:
1. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau.
2. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.
Lời giải:
1. Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp:
A B A B A B B A B A B A

B A B A B A A B A B A B
Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các em vào 6 chỗ.
Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ.
Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách
2. Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi.

Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất trường A: có 6 cách chọn học
sinh trường B.
Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học
sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn, v.v…
Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 2
6
.6!.6! = 33177600 cách.
Bài 2: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra khơng có đủ cả 3 màu?
Lời giải:
Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là:
4
15
C
= 1365.
Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là:
* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có
2 1 1
4 5 6
C C C
= 180
* 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có
1 2 1
4 5 6
C C C
= 240
* 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng: có
1 1 2
4 5 6
C C C

= 300
Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720
Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 = 645.
Bài 3: Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau.
1. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn ln ở cạnh nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?
Lời giải:
1.
* Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! = 24 cách.
* Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách.
Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài.
2.
* Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải. Số cách xếp cho 2 số chẵn là 2! cách. Số cách
xếp cho 3 số lẻ là: 3! cách.
Vậy có 2.6 = 12 cách.
* Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ ở bên trái.
Vậy: có 12 + 12 = 24 cách.
Bài 4:
Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng.
1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?
2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?
CÁC DẠNG TỐN ĐẾM TRỌNG TÂM – P1

Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Lời giải:
Số có 6 chữ số khác nhau có dạng:
abcdef
với a ≠ 0

1. Vì số tạo thành là số lẻ nên f ∈ {1, 3, 5}.
Do đó: f có 3 cách chọn
a có 4 cách chọn (trừ 0 và f)
b có 4 cách chọn (trừ a và f)
c có 3 cách chọn (trừ a, b, f)
d có 2 cách chọn (trừ a, b, c, f)
e có 1 cách chọn (trừ a, b, c, d, f)
Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số
2. Vì số tạo thành là số chẵn nên f ∈ {0, 2, 4}.
* Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) là một hoán vò của (1,2,3,4,5). Do đó có 5! số
* Khi f ∈ {2, 4} thì:
f có 2 cách chọn
a có 4 cách chọn
b có 4 cách chọn
c có 3 cách chọn
d có 2 cách chọn
e có 1 cách chọn
Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số.
Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn.
Bài 5: Một thầy giáo có 12 cuốn sách đơi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn
sách Hoạ. Ơng muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
1. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao
nhiêu cách tặng?
2. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải:
1. Số cách tặng là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự.
Vậy số cách tặng là
6
9

A
= 60480
2. Nhận xét: không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách.
Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là:
6
12
A
= 665280
Số cách chọn sao cho không còn sách Văn là:
5
6
A .7
= 5040
Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc là:
4 2
6 8
A .A
= 20160
Số cách chọn sao cho không còn sách Hoạ là:
3 3
6 9
A .A
= 60480
Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600
Bài 6: Có 5 nhà tốn học nam, 3 nhà tốn học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đồn cơng tác 3 người cần có cả
nam và nữ, cần có cả nhà tốn học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách?
Lời giải:
Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là:
1 1 1
5 3 4

C .C .C
= 5.3.4 = 60
Số cách chọn 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lí nam là:
1 2
3 4
C .C
= 18
Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là:
2 1
3 4
C .C
= 12
Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn
Bài 7: Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao
cho:
1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.
Lời giải:
1. Chọn 2 nam và 3 nữ: có
2 3
10 10
C .C
= 5400 cách.
2. Có ít nhất 2 nam và 1 nữ, có các kiểu chọn sau:
* 2 nam và 3 nữ: có 5400 cách
Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
* 3 nam và 2 nữ: có
3 2
10 10

C .C
= 5400 cách
* 4 nam và 1 nữ: có
4 1
10 10
C .C
= 2100 cách
Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách.
Bài 8: Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đơi một khác nhau.
1. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ.
2. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.
Lời giải:
1. Có:
2
5
C
cách chọn ra 2 viện bi đỏ.

4
13
C
cách chọn ra 4 viên bi còn lại.
Vậy có:
2
5
C
.
4
13
C

= 7150 cách chọn
2. Có các trường hợp xảy ra:
* 3 xanh, 3 đỏ, 0 vàng → có
3 3
9 5
C .C
cách
* 2 xanh, 2 đỏ, 2 vàng → có
2 2 2
9 5 4
C .C .C
cách
* 1 xanh, 1 đỏ, 4 vàng → có
1 1 4
9 5 4
C .C .C
cách
Vậy có tất cả:
3 3
9 5
C .C
+
2 2 2
9 5 4
C .C .C
+
1 1 4
9 5 4
C .C .C
= 3045 cách.

Bài 9: Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các
thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu khơng nằm liền nhau.
Lời giải:
Có 2 khả năng:
1. Các thẻ trắng ở vò trí lẻ, các thẻ đen ở vò trí chẵn → có 5!5! cách
2. Các thẻ trắng ở vò trí chẵn, các thẻ đen ở vò trí lẻ → có 5!5! cách
Vậy tất cả có: 5!5! + 5!5! cách.
Bài 10: Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở
địa điểm B, còn 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân cơng?
Lời giải:
Có tất cả:
= =
3 2 4 2 2 4
9 6 9 5 9 7
C .C C .C C .C
= 1260 cách
Bài 11: Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội
sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp.
Lời giải:
Có 2 khả năng:
* 1 cán bộ lớp và 2 học sinh thường: có
1 2
2 18
C .C

* 2 cán bộ lớp và 1 học sinh thường: có
2 1
2 18
C .C

Vậy số chọn là:
1 2
2 18
C .C
+
2 1
2 18
C .C
= 324 cách.
Bài 12: Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ơ trống. Hỏi:
1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?
Lời giải:
1. Trước hết xếp 3 viên bi đỏ vào 7 ô trống. Do các viên bi đỏ khác nhau nên số cách xếp là
3
7
A
.
Sau đó xếp 3 viên bi xanh vào 4 ô còn lại. Do các viên bi xanh giống nhau nên số cách xếp là
3
4
C
.
Vậy số cách xếp khác nhau là:
3
7
A
.
3
4

C
= 840 cách.
2. Trước hết ta cần chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau và xanh đứng cạnh nhau chỉ có 6 cách
xếp.
Sau đó, do các viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vò các viên bi đỏ với nhau. Số các hoán vò là 3!
Vậy số cách xếp khác nhau để các viên bi đỏ đứng cạnh nhau và các viên bi xanh đứng cạnh
nhau là: 6.3! = 36 cách.
Bài 13
: Cho A là một hợp có 20 phần tử.
1. Có bao nhiêu tập hợp con của A?
2. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn?
Lời giải: