Bài 4. Các phép biến đổi lượng giác Phần 2

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn



III. MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT
1. Hai cung đối nhau: x và –x
 cos(–x) = cosx  sin(–x) = –sinx
 tan(–x) = – tanx  cot(–x) = –cotx
2. Hai cung bù nhau: x và π – x
 sin(π – x) = sinx  cos(π – x) = –cosx
 tan(π – x) = –tanx  cot(π – x) = –cotx
3. Hai cung phụ nhau: x và π/2 – x
 sin(π/2 – x) = cosx  cos(π/2 – x) = sinx
 tan(π/2 – x) = cotx  cot(π/2 – x) = tanx
4. Hai cung hơn nhau π: x và π + x
 sin(π + x) = –sinx  cos(π + x) = –cosx
 tan(π + x) = tanx  cot(π + x) = cotx
5. Hai cung hơn nhau π/2: x và π/2 + x
 sin(π/2 + x) = cosx  cos(π/2 + x) = –sinx
 tan(π/2 + x) = –cotx  cot(π/2 + x) = –tanx



Chú ý: Với k là số nguyên thì ta có:
 sin(x + k2π) = sinx  cos(x + k2π) = cosx
 tan(x + kπ) = tanx  cot(x + kπ) = cotx
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
( ) ( )
π 3π

sin π cos cot 2π tan
2 2
A x x x x
   
= + + − + − + −
   
   

b)
( )
3π 5π
sin .cos 3π .cot
2 2
B x x x
   
= + − +
   
   

c)
(
)
0 0
0 0 0
2sin 2550 .cos 188
1
tan368 2cos638 cos98
C
−
= +

+

Hướng dẫn giải:
a)
( ) ( )
π
3
π
sin
π
cos cot 2
π
tan
2 2
A x x x x
   
= + + − + − + −
   
   


π
sin sin cot tan
π
cot cot 0
2
x x x x x x
 
= − + − + + − = − + =
 

 

b)
( ) ( )
3
π
5
π π π
sin .cos 3
π
.cot sin
π
.cos
π
2
π
.cot 2
π
2 2 2 2
B x x x x x x
       
= + − + = + + − − + +
       
       


π π
sin .cos(
π
).cot cos .( cos ).( tan ) sin cos

2 2
x x x x x x x x
   
= − + − + = − − − = −
   
   

c)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0 0
2sin 2550 .cos 188 2sin 7.360 30 . os 180 8
1 1
7
tan368 2cos638 cos98
tan 360 8
2cos 180 . 8 os 90 8
2
c
C
c

− + − −
= + = +
+
 
+
+ + +
 
 


0 0
0
1 2sin30 .( cos8 ) 1 cos8 2
tan8 2sin8 sin8 tan8 sin8 tan8
− −
= + = + =
−

Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:

01. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – P2

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Ví dụ 2: Chứng minh các đẳng thức sau

a)
11
π 21π 9π 29π 2π
sin sin sin sin 2cos
10 10 10 10 5
         
+ + − + − = −
         
         

b)
(
)
( )
0 0 0 0
2 0
0 0 0 0
sin515 .cos 475 cot222 .cot408
1
cos 25
2
cot415 .cot 505 tan197 .tan73
− +
=
− +

c)
(
)
(

)
0 0 0 0
tan105 tan 285 tan 435 tan 75 0
+ − − − − =

Hướng dẫn giải:
a)
11π 21π 9π 29π
sin sin sin sin
10 10 10 10
A
       
= + + − + − =
       
       

9π 21π 9π 21π
sin 2
π sin sin sin 5π
10 10 10 10
       
= − + + − + − =
       
       

9
π 21π 9π 21π 9π 9π π 2π
sin sin sin sin 2sin 2cos 2cos
10 10 10 10 10 10 2 5
 

= − + − − = − = − − = −
 
 

b)
(
)
( )
0 0 0 0
0 0 0 0
sin515 .cos 475 cot222 .cot 408
cot 415 .cot 505 tan197 .tan73
B
− +
= =
− +

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 2 0 2
0 0 0 0
sin(360 180 25 ).cos( 360 90 25 ) cot(180 42 ).cot
(360 48 )
cot(360 55).cot( 360 90 55) tan(180 17).tan(90 17)
sin 25 .( sin 25 ) cot 42 .cot(90 42 ) sin 25 1 cos 25
cot55 .tan55 tan17 .cot17 2
+ + − − − + + +
= =
+ − − − + + −
− + − − +
= = =

+
0
2

c)

(
)
(
)
0 0 0 0
tan105 tan 285 tan 435 tan 75
C = + − − − −

(
)
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
tan(180 75 ) tan(360 75 ) tan( 360 75 ) tan 75
tan75 tan75 tan75 tan75 0
= − + − − − − − − =
= − − + + =

Ví dụ 3:
Rút g
ọ
n các bi
ể
u th
ứ

c sau:
a)
( )
11
π
11
π
cos 5
π
2sin sin
2 2
A x x x
   
= + − − − +
   
   

b)
( ) ( )
π
3
π
cos cos
π
cos cos 2
π
2 2
B x x x x
   
= − + − + − + −

   
   

c)
3
π
3
π
7
π
7
π
cos sin cos cos
2 2 2 2
C x x x x
       
= − − − + − −
       
       

b)
( )
5
π
11
π
7
π
sin cos 3sin 5
π

tan .tan( )
2 2 2
D x x x x x
     
= − − − − − + − −
     
     

Ví dụ 4:
Rút g
ọ
n các bi
ể
u th
ứ
c sau
( )
3
π π
3
π
cos
π
sin tan cot
2 2 2
A x x x x
     
= − + − − + −
     
     

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0 0
sin 270 2sin 450 cos 900 2sin 720 cos 540
B x x x x x
= − − − + + + − + −

3
π
3
π
7
π
tan .cos sin
2 2 2
π
3
π
cos .tan
2 2
x x x

C
x x
     
− + − −
     
     
=
   
− +
   
   

( ) ( ) ( )
2 2
11
π
3
π
13
π
1 tan 1 cot 3
π
.cos sin 11
π
.cos sin 7
π
2 2 2
D x x x x x x
 
     

 
= + − + − + − − −
     
 
 
     
 

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Ví dụ 5: Cho
4 4
98
3sin 2cos .
81
x x+ = Tính giá tr
ị
bi
ể
u th
ứ
c
4 4
2sin 3cos .
A x x
= +
Ví dụ 6: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
(
)

0 0
0 0 0
cos 20 .sin 70
1
sin160 .cos340 .tan 250
−
=

b
b
)
)


2 2
2 2
2 2
cos sin
sin cos
cot tan
x x
x x
x x
−
=
−

c)
0 0 0 0
0 0
sin( 328 ).sin958 cos( 508 ).cos( 1022 )
1
cot572 tan( 212 )
− − −
− = −
−
d)
2 2 4
2 2 2 2
tan 1 cot 1 tan
.
1 tan cot tan cot
x x x
x x x x
+ +
=
+ +

e)
4 4
6 6
1 cos sin 2
1 sin cos (2
π ) 3
x x
x x
− −

=
− − −

IV. CÔNG THỨC CỘNG

sin( ) sin .cos cos .sin
x y x y x y
± = ±


cos( ) cos .cos sin .sin
x y x y x y
± =
∓


tanx tan
tan( )
1 tanx.tan
y
x y
y
±
± =
∓

Ta xét một số các trường hợp đặc biệt.


Trường hợp 1: Với y = x, ta được công thức góc nhân đôi

 sin2x = 2sinx.cosx
 cos2x = cos
2
x – sin
2
x = 2cos
2
x – 1 = 1 – 2sin
2
x

2
2tan
tan 2
1 tan
x
x
x
=
−

Hệ quả (Công thức hạ bậc 2):
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2

x
x
x
x
−

=



+

=





Trường hợp 2: Với y = 2x, ta được công thức góc nhân ba:
 sin3x = 3sinx – 4sin
3
x
 cos3x = 4cos
3
x – 3cosx

3
2
3tan tan
tan3

1 3tan
x x
x
x
−
=
−

Hệ quả (Công thức hạ bậc 3):
3
2
3sin sin3
sin
4
3cos cos3
cos
4
x x
x
x x
x
−

=



+

=




Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau
a)
π
tan
4
A x
 
= −
 
 
, với
9 3
π
cos ;
π
41 2
x x= − < <
b)
Cho a, b là các góc nh
ọ
n th
ỏ
a mãn:

8 5
sin , tan
17 12

a b= =
Tính:
(
)
(
)
(
)
sin , cos , tan
a b a b a b
− + −

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
2 2
9 81 1600 40
cos sin 1 cos 1 sin
41 1681 1681 41
x x x x= − ⇔ = − = − =
⇒
= ±

Do
3

π
40 sin 40
π
sin 0 sin tan
2 41 cos 9
x
x x x x
x
< < → < → = − → = =
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Từ đó ta được
40
π
1
tan tan
π 31
9
4
tan .
π 40
4 49
1 tan tan 1
4 9
x
A x
x
−
−
 

= − = = =
 
 
+ +

b) Ta có:



8 15
sin a cosa
17 17
= → = ±

Do
a
là góc nh
ọ
n
15 8
cos 0 cos tan .
17 15
a a a⇒ > → = → =



5 5
tan sin cos
12 12
b b b

= ⇔ =

T
ừ

đ
ó ta có
2 2
5
5
sin
sin cos
13
12
12
cos
sin cos 1
13
b
b b
b
b b


= ±

=
 
⇔
 

 
= ±
+ =




Do b là góc nh
ọ
n nên
5
sin
13
sin 0; cos 0
12
cos
13
b
b b
b

=


> > →


=



•
8 12 15 5 21
sin( ) sin cos cos sin . .
17 13 17 13 221
a b a b a b− = − = − =
•
15 12 8 5 140
cos( ) cos cos sin sin . .
17 13 17 13 221
a b a b a b+ = − = − =
•
8 5
tan tan 21
15 12
tan( )
8 5
1 tan tan 220
1 .
15 12
a b
a b
a b
−
−
− = = =
+
+

Ví dụ 2:

Ch
ứ
ng minh các bi
ể
u th
ứ
c sau không ph
ụ
thu
ộ
c vào bi
ế
n
a)
2 2 2
π π
cos cos cos
3 3
A x x x
   
= + + + −
   
   

b)
3 3
3cos cos3 3sin sin3
cos sin
x x x x
B

x x
− +
= +
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Cách 1 :
2 2
2 2 2 2
π π π π π π
cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin
3 3 3 3 3 3
A x x x x x x x x
       
= + + + − = + − + +
       
       
2 2 2 2 2
1 3 3 1 3 3
cos cos sin cos sin cos sin cos sin
4 2 4 4 2 4
x x x x x x x x x
= + − + + + + =

2 2

3 3 3
cos sin
2 2 2
x x
= + =

Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc:
2 2 2
2π 2π
1 cos 2 1 cos 2
π π 1 cos2
3 3
cos cos cos
3 3 2 2 2
x x
x
A x x x
   
+ + + −
   
+
   
   
= + + + − = + + =
   
   

3 1 1 2π 2π 3 1 1 2π
cos2 cos 2 cos 2 cos2 2cos2 .cos
2 2 2 3 3 2 2 2 3

x x x x x
 
     
= + + + + − = + + =
   
 
 
     
 

3 1 2
π
3 1 1 3 3
cos2 cos2 .cos cos2 cos2 .
2 2 3 2 2 2 2 2
x x x x A
= + + = + − = → =

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.
b) Ta có
3 3 3 3 3 3
3cos cos3 3sin sin3 3cos 4cos 3cos 3sin 4sin 3sin
cos sin cos sin
x x x x x x x x x x
B
x x x x
− + − + − +
= + = +

3 3
2 2
cos 3cos sin 3sin
cos sin 6 5
cos sin
x x x x
x x
x x
− + − +
= + = − − + =

Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x.
Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau
a)
(
)
(
)
2 2
2 2
sin sin
tan tan
cos .cos
a b a b
a b
a b
+ −
− =
b)
4 4

1 3
sin cos cos4
4 4
x x x
+ = +

c)
2 2
6 2cos4
cot tan
1 cos4
x
x x
x
+
= +
−

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
sin sin sin .cos sin .cos

tan tan
cos cos cos .cos
a b a b b a
a b
a b a b
−
− = − =

2 2 2 2
(sin cos sin cos )(sin cos sin cos ) sin( )sin( )
cos .cos cos .cos
a b b a a b b a a b a b
a b a b
− + − +
= =

b)
( )
2
4 4 2 2 2 2
1 1 3 1
sin cos sin cos 2(sin cos ) 1 2. sin 2 1 (1 cos4 ) cos4
4 4 4 4
x x x x x x x x x
+ = + − = − = − − = +

c)
2 2 4 4
2 2
2 2 2 2

sin cos sin cos
tan cot
cos sin sin cos
x x x x
x x
x x x x
+
+ = + =

( )
2
2
2 2 2
2
2
1 1 1
4 1 sin 2 4 1 cos4
sin cos 2(sin cos )
6 2cos4
2 4 4
1 1 cos4
sin 2 1 cos4
sin 2
4 2
x x
x x x x
x
x
x x
x

   
− − +
   
+ −
+
   
= = = =
−
−

Ví dụ 4:
Cho tam giác ABC, ch
ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ
c sau:
a)
sin sin .cos sin .cos
A B C C B
= +

b)
tan tan tan tan .tan .tan
A B C A B C
+ + =

H
ướ

ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
sin cos cos sin sin( ) sin(
π
) sinB C B C B C A A
+ = + = − = →
đ
pcm.
b)
sin sin sin
tan tan tan
cos cos cos
A B C
A B C
A B C
+ + = + + =


sin cos cos sin cos cos sin cos cos
cos cos cos
cos (sin cos sin cos ) sin cos cos
cos cos cos
cos sin( ) sin cos cos cos .sin sin cos cos
cos cos cos cos cos cos
sin (cos cos cos )
cos cos

A B C B A C C A B
A B C
C A B B A C A B
A B C
C A B C A B C C C A B
A B C A B C
C C A B
A
+ +
=
+ +
=
+ + +
= =
−
=
[ ]
sin cos( ) cos cos
sin sin sin
tan .tan .tan
cos cos cos cos cos cos cos
C A B A B
C B A
A B C
B C A B C A B C
− + −
= = =

Nhận xét:
Cách giải trên là cách giải tương đối cổ điển, dựa vào phép biến đổi sơ cấp. Ngoài ra chúng ta có thể thực

hiện phép biến đổi theo hương khác nhanh gọn hơn như sau
( ) ( )
tanA tan
π π
tan tan
π
tan
1 tan A.tan
B
A B C A B C A B C C
B
+
+ + = ⇔ + = − → + = − ⇔ = −
−

tan tan tan tan .tan .tan tan tan tan tan .tan .tan
A B C A B C A B C A B C dpcm
⇔ + = − + ⇔ + + = →
V. CÔNG BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau
a)
2 2
π π 2
sin sin sin2
8 8 2
x x x
   
+ − − =

   
   
b)
sin (1 cos2 ) sin 2 .cos
x x x x
+ =

c)
1 2
tan
tan tan 2
x
x x
− = −
d)
1
tan 1 tan
2 cos
x
x
x
 
+ =
 
 

Ví dụ 2:
Rút g
ọ
n các bi

ể
u th
ứ
c sau
π π π π
sin .cos sin .cos
3 4 4 3
A x x x x
       
= − − + − −
       
       

sin 4 .cot 2 cos 4
B x x x
= −

π π π π
cos .cos cos .cos
3 4 6 4
C x x x x
       
= − + − + −
       
       

π 2π
tan tan tan
3 4
D x x x

   
= + + + +
   
   

2
π
1 sin 2sin
4 2
4cos
2
x
x
E
x
 
+ − −
 
 
=
3 3
cos .sin sin .cos
sin 2 .cos2
x x x x
F
x x
−
=
sin 4 .cos2
(1 cos4 )(1 cos2 )

x x
G
x x
=
+ +

2 2
2 2
sin 2 4sin
sin 2 (4sin 4)
x x
H
x x
−
=
+ −

2
2(sin 2 2cos 1)
cos sin cos3 sin3
x x
I
x x x x
+ −
=
− − +

cos sin cos sin
cos sin cos sin
x x x x

J
x x x x
+ −
= −
− +

sin sin3 sin5 sin7
cos cos3 cos5 cos7
x x x x
K
x x x x
+ + +
=
+ + +

1 1 1 1 1 1
π
cos , 0
2 2 2 2 2 2 2
L x x
 
= + + + < <
 
 

Ví dụ 3:
Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
2 2
2 2

tan 2 tan
tan .tan3
1 tan 2 .tan
a a
a a
a a
−
=
−
b)
π π
sin sin 2 sin
4 4
a a a
   
+ − − =
   
   

c)
(
)
(
)
2 2
2 2
sin sin
cos .sin
1 tan .cot
a b a b

a b
a b
− +
= −
−
d)
(
)
(
)
2 2
2 2
cos cos
1 tan .tan
cos .cos
a b a b
a b
a b
− +
= −

e)
4
1 3
4cos 2cos 2 cos4
2 2
x x x
− − =
f)
3 3

sin 4
cos .sin sin .cos
4
x
x x x x− =

Ví dụ 4:
Cho
x a
vôùi a b
a b a b
4 4
sin cos 1
, , 0.
+ = >
+

Chứng minh:
x x
a b a b
8 8
3 3 3
sin cos 1
( )
+ =
+
.
Ví dụ 5:
Chứng minh các đẳng thức sau:
g)

x
x
x
1 cos
2
tan . 1
4 2
sin
2
π
π
π
 
+ +
 
 
 
+ =
 
 
 
+
 
 
h)
x
x
x
1 sin2
tan

4 cos2
π
 
+
+ =
 
 

i)
x x
x
cos
cot
1 sin 4 2
π
 
= −
 
−  
k)
x x
x x
x x
2 2
2 2
tan 2 tan
tan .tan3
1 tan .tan 2
−
=

−

c)
x x x x x
3 3
1
sin .cos cos .sin sin4
4
− =
d)
x x
x x
6 6 2
1
sin cos cos (sin 4)
2 2 4
− = −

f)
x
x x
2
2
1 sin
1
2cot .cos
4 4
π π
−
=

   
+ −
   
   

Ví dụ 6:
Chứng minh các đẳng thức sau:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
a)
x x x x
cot tan 2tan2 4cot 4
− − =
b)
x x
x x
2
1 2sin 2 1 tan2
1 sin4 1 tan2
− +
=
− −

c)
x
x
x x
2
6
6 2

1 3tan
tan 1
cos cos
− = +
d)
x x
x
x x x
1 sin2 cos2
tan4
cos4 sin2 cos2
−
− =
+

e)
x x x x x x
tan6 tan 4 tan2 tan2 .tan4 .tan6
− − =
f)
x
x x x
x
sin7
1 2cos2 2cos4 2cos6
sin
= + + +
g)
x x x x x x
cos5 .cos3 sin7 .sin cos2 .cos4

+ =