DE THI THU DH THPT TAM DAO-VP

TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO
ĐỀ KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LẦN 4
NĂM 2012 – 2013
Môn: Toán – Khối A – Lớp 12
Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề.
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm)
Câu I ( 2,0 điểm): Cho hàm số
2 4

1
x
y
x
−
=
+
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1; -1).
Câu II (2,0 điểm):
1. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 3
4 0
2011( ) 12
x xy y x y
x xy y x y

− + − + − =



+ + + − =


2. Giải phương trình:
8
1
3
tan
6
tan
3coscos3sin.sin
33
−=






+






−
+
ππ
xx

xxxx
Câu III (1,0 điểm): Tính tích phân:
2
1
ln
ln
1 ln
e
x
I x dx
x x
 
= +
 ÷
+
 
∫
Câu IV (1,0 điểm): Cho hai hình chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Hai đỉnh
S và S’ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy lần lượt là trung điểm H
của AD và trung điểm K của BC. Tính thể tích phần chung của hai hình chóp, biết rằng SH = S’K = h.
Câu V(1,0 điểm): Cho x, y, z là những số dương thoả mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
9 9 9 9 9 9
6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6
x y y z z x
P
x x y y y y z z z z x x
+ + +
= + +
+ + + + + +
PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

A. Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:
2 2
4 3 4 0x y x+ + − =
. Tia Oy cắt (C)
tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d có phương trình
2 3
2 (t R)
4 2
x t
y t
z t
= +


= − ∈


= +

. Tìm trên d những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là nhỏ nhất.
Câu VII.a (1,0 điểm): Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
iziz
−+=−+
351
.Tìm số phức z có môđun nhỏ
nhất.
B. Theo chương trình nâng cao.

Câu VI.b (2,0 điểm):
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường chéo BD:
x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
2. Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng:

2 1 0 3 3 0
( ) ; ( ')
1 0 2 1 0
x y x y z
x y z x y
+ + = + − + =
 
∆ ∆
 
− + − = − + =
 
. Chứng minh rằng hai đường thẳng (
∆
) và (
'∆
) cắt nhau.
Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của các góc tạo bởi (
∆
) và (
'∆
).
Câu VII.b (1,0 điểm): Giải hệ phương trình:
2 2 2
3 3 3
log 3 log log

log 12 log log
x y y x
x x y y
+ = +


+ = +

.
Hết
Họ và tên thí sinh: ……………………… ……Số báo danh: …………… ……
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO
HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LÀN 4
NĂM 2012 – 2013
Môn: Toán – Khối A – Lớp 12
Câu
I.1
1.0 đ
Đáp án Điểm
TXĐ: D = R\{-1}
Chiều biến thiên:
2
6
' 0 x D
( 1)
y
x
= > ∀ ∈
+

=> hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
( ; 1)−∞ −
và
( 1; )− +∞
, hàm số không có cực trị
0.25
Giới hạn:
1 1
lim 2, lim , lim
x
x x
y y y
− +
→±∞
→− →−
= = +∞ = −∞

=> Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x= -1, tiệm cận ngang y = 2
0.25
BBT
x -
∞
-1 +
∞
y’ + +
y

+
∞
2

2 -
∞
0.25
+ Đồ thị (C):
0.25
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm
( )
2;0
, trục tung tại điểm (0;-4)
f(x)=(2x-4)/(x+1)
f(x)=2
x(t)=-1 , y(t)=t
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng

Câu
II.1
1.0 đ
Đáp án Điểm
Gọi 2 điểm cần tìm là A, B có
6 6
;2 ; ;2 ; , 1
1 1
A a B b a b
a b
   
− − ≠ −
 ÷  ÷
+ +
   
0.25
x
y
Trung điểm I của AB: I
2 2
;
2 1 1
a b a b
a b
+ − −
 
+
 ÷
+ +
 

Phương trình đường thẳng MN: x + 2y +3= 0
0.25
Có :
. 0AB MN
I MN

=


∈


uuur uuuur
0.25
Giải hệ =>
0 (0; 4)
2 (2;0)
a A
b B
= −
 
=>
 
=
 
0.25
Câu
II.1
1.0 đ
Đáp án Điểm

Ta cã
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2 3 2
3
4
4 0
2011( ) 12
3 2011( ) 12
x y xy x y
x xy y x y
x xy y x y
x y xy x y

− + − − =

− + − + − =
 
⇔
 
+ + + − =

− + + − =
 

0.25
( ) ( )
( ) ( )

2
2
4
2011( ) 2 1 0
x y xy x y
x y x y x y

− + − − =

⇔

 
− − − − + =

 

0.25
( ) ( )
2
4
x y
x y xy x y
=


⇔

− + − − =



0.25
2
2
x y
x y
= =

⇔

= = −

0.25
Câu
II.2
1.0 đ
Đáp án Điểm
Điều kiện:
0
3
xcos
6
xcos
3
xsin
6
xsin ≠







π
+






π
−






π
+






π
−
Ta có
1x

6
cot
6
xtan
3
xtan
6
xtan −=






−
π






π
−=







π
+






π
−
0.25
Phương trình
8
1
x3cosxcosx3sin.xsin
33
=+⇔
1 cos 2x cos 2x cos 4x 1 cos 2x cos 2x cos 4x 1
2 2 2 2 8
− − + +
⇔ × + × =
0.25
2
1
x2cos
8
1
x2cos
2
1

)x4cosx2cosx2(cos2
3
=⇔=⇔=+⇔
0.25






π+
π
−=
π+
π
=
⇔
k
6
x
(lo¹i) k
6
x
,
(k )∈Z
. Vậy phương trình có nghiệm
π+
π
−=
k

6
x
,
(k )∈Z
0.25
Câu Đáp án Điểm
III
1.0 đ
2
1
ln
ln
1 ln
e
x
I x dx
x x
 
= +
 ÷
+
 
∫
0.25
I
1
=
1
ln
1 ln

e
x
dx
x x
+
∫
, Đặt t =
1 ln x+
,… Tính được I
1
=
4 2 2
3 3
−
0.25
( )
2
2
1
ln
e
I x dx
=
∫
, lấy tích phân từng phần 2 lần được I
2
= e – 2
0.25
Vậy: I = I
1

+ I
2
=
2 2 2
3 3
e − −
0.25
Câu
IV
1.0 đ
Đáp án Điểm
SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung điểm SB, S’D :
. .S ABCD S AMND
V V V= −
(M, N xác định như hình vẽ)
0.25
. . .S AMND S AMD S MND
V V V= +
;
. .
. .
1 1
; . ;
2 4
S AMD S MND
S ABD S BCD
V V
SM SM SN
V SB V SB SC
= = = =

0.25
. . .
1
2
S ABD S ACD S ABCD
V V V= =
0.25
. . .
3 5
8 8
S AMND S ABCD S ABCD
V V V V= ⇒ =
.
haV
ABCDS

3
1
2
.
=
2
5
24
V a h⇒ =
0.25
Câu IV( Học sinh không vẽ hình, vẽ hình sai không cho điểm)
M
N
A

B
D
C
S
S'
H
K
Câu V
1.0 đ
Đáp án Điểm
Có x, y, z >0, Đặt : a = x
3
, b = y
3
, c = z
3
(a, b, c >0 ; abc=1)
0.25
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b b c c a
P
a ab b b bc c c ca a
+ + +
= + +
+ + + + + +
3 3 2 2
2 2 2 2
( )
a b a ab b

a b
a ab b a ab b
+ − +
= +
+ + + +
mà
2 2
2 2
1
3
a ab b
a ab b
− +
≥
+ +
(Biến đổi tương đương)
0.25
2 2
2 2
1
( ) ( )
3
a ab b
a b a b
a ab b
− +
=> + ≥ +
+ +
Tương tự:
3 3 3 3

2 2 2 2
1 1
( ); ( )
3 3
b c c a
b c c a
b bc c c ca a
+ +
≥ + ≥ +
+ + + +
0.25
=>
3
2
( ) 2. 2
3
P a b c abc≥ + + ≥ =
(BĐT Côsi) => P
2, 2 khi a = b = c = 1 x = y = z = 1P≥ = ⇔
Vậy: minP = 2 khi x = y =z=1
0.25
Câu
Via.1
1.0 đ
Đáp án Điểm
A(0;2), I(-2
3
;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’
0.25
Phương trình đường thẳng IA :

2 3
2 2
x t
y t

=


= +


,
'I IA∈
=> I’(
2 3 ;2 2t t +
),
0.25
1
2 ' '( 3;3)
2
AI I A t I= ⇔ = =>
uur uuur
0.25
Vậy phương trình (C’) là:
( )
( )
2
2
3 3 4x y− + − =
0.25

;
Câu
VI.a.2
1.0 đ
Đáp án Điểm
Vì M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t)
d∈
, AB//d. 0.25
Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB
≥
A’B
0.25
(MA+ MB)
min
= A’B, khi A’, M, B thẳng hàng
0.25
=> MA = MA’ = MB, MA=MB <=> M(2 ; 0 ; 4)
0.25

Câu
VII.a
1.0 đ
Đáp án Điểm
Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y ∈ R). Ta có

iyxiyx )1(3)5(1 +−+=−++
(1)

2222
)1()3()5()1( +++=−++⇔ yxyx

0.25

43 =+⇔ yx
. Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là
đường thẳng x + 3y = 4. Mặt khác
162410)34(
22222
+−=+−=+= yyyyyxz
0.25
Hay
5
22
5
8
5
6
52
2
≥+








−= yz
0.25
Do đó

5
2
5
6
min
=⇒=⇔ xyz
. Vậy
iz
5
6
5
2
+=
0.25
Câu
VI.b.1
1.0 đ
Đáp án Điểm
(7;3)BD AB B∩ =
, phương trình đường thẳng BC: 2x + y – 17 = 0
0.25
(2 1; ), ( ;17 2 ), 3, 7A AB A a a C BC C c c a c∈ ⇒ + ∈ ⇒ − ≠ ≠
,
0.25
I =
2 1 2 17
;
2 2
a c a c+ + − +
 

 ÷
 
là trung điểm của AC, BD.
I
3 18 0 3 18 (6 35;3 18)BD c a a c A c c∈ ⇔ − − = ⇔ = − ⇒ − −
0.25
M, A, C thẳng hàng 
,MA MC
uuur uuuur
cùng phương => c
2
– 13c +42 =0 
7( )
6
c loai
c
=


=

c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3)
0.25
Câu
VI.b.2
1.0 đ
Đáp án Điểm
Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất, (
∆
)

∩
(
'∆
) = A
1 3
;0;
2 2
 
−
 ÷
 
suy ra (
∆
) cắt (
'∆
)
Phương trình tham số (
'∆
)





+=
+=
=
tz
ty
tx

54
21
0.25
(0; 1;0) ( )M − ∈ ∆
, Lấy N
( ')∈ ∆
,
)54;21;( tttN =+
sao cho: AM = AN => tọa độ N.
Có 2 điểm
)6;
5
9
;
5
2
(N
và
)
3
17
;
3
5
;
3
1
(N
AMN
∆

cân tại A, lấy I là trung điểm MN => đường phân giác của các góc tạo bởi (
∆
) và (
'∆
) chính là đường thẳng AI
0.25
Với
)6;
5
9
;
5
2
(N
suy ra I(1/5; 2/5; 3) ta được pt phân giác
)(
1
d
15
2
3
47
2
1
−
==
+ x
y
x

0.25
Với
)
3
17
;
3
5
;
3
1
(N
suy ra I(1/6; 1/3; 17/6) ta được pt phân giác
)(
2
d
4
2
3
12
2
1
−
==
+ x
y
x
0.25
Câu
VII.b.

1.0 đ
Đáp án Điểm
TXĐ:
0
0
x
y
>


>

0.25
2 2 2
3 3 3
log 3 log log
3 . 2 .
log 12 log log
12 . 3 .
x y
x y
x y y x
y x
x x y y
x y

+ = +
=



⇔
 
+ = +
=



0.25
2
3 . 2 .
x y
y x
y x
=

⇔

=

0.25
4
3
4
3
log 2
2log 2
x
y
=



⇔

=


(t/m TXĐ)
0.25
Hết