Tuyển tập 40 đề thi chuyên các tinht thành

 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 1 Bùi Văn Chi 

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THI TUYỂN VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN
BÌNH ĐỊNH Năm học 1999 – 2000


ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN (LỚP CHUYÊN TOÁN )
Thời gian: 150 phút (không kể phát đề)
Ngày thi: 16 – 07 – 1999


Bài 1: (1,5 điểm)
Cho phương trình: x
2
+ mx + n = 0
Tìm m và n, biết rằng phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:

1 2
3 3
1 2
x x 5
x x 35

− =



− =




Bài 2: (1,5 điểm)
Chứng minh rằng một số có dạng:
n
4
- 4n
3
- 4n
2
+ 16n
(Với n là số tự nhiên chẵn, lớn hơn 4) thì chia hết cho 384.

Bài 3: (1,5 điểm)
Không dùng máy tính, hãy tính:

33
2142021420 −++


Bài 4: (1,5 điểm)
Giải phương trình:
x + y + z + 4 = 2
56342 −+−+− zyx

(Với x, y, z là các ẩn)

Bài 5: (4,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD).
a)
Trên đáy lớn AB, người ta lấy điểm M. Tìm trên đáy nhỏ CD một điểm N
sao cho diện tích nhận được do các đường thẳng AN, BN, CM và DM cắt
nhau tạo thành là lớn nhất.
b)
Biết diện tích hình thang bằng a
2
. Đường chéo lớn của hình thang này có độ
dài bé nhất là bao nhiêu?







 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 2 Bùi Văn Chi 

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THI TUYỂN VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN
BÌNH ĐỊNH Năm học 1999 – 2000


ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN (Dành cho các lớp chuyên
Văn, Tiếng Anh, Lý, Hoá)
Thời gian: 150 phút (không kể phát đề)
Ngày thi: 16 – 07 – 1999

Bài 1: (2,0 điểm)
Cho phương trình: x
2
+ mx + n = 0
Tìm m và n biết rằng phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:

1 2
3 3
1 2
x x 5
x x 35

− =


− =





Bài 2: (2,0 điểm)
Cho A =

xx
xxxxx
+
−−+
2
,với x > 0
a)
Rút gọn A
b)
Giải phương trình:
A
=
12 +−x


Bài 3: (4,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ tia tiếp tuyến Bx. M là một
điểm di động trên Bx (M
≠ B). AM cắt (O) tại N. Gọi I là trung điểm của AN.
a)
Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được trong một đường tròn.
b)
Chứng minh tam giác IBN đồng dạng với tam giác OMB.
c)
Tìm vò trí của điểm M trên tia Bx để diện tích tam giác AIO có giá trò
lớn nhất.

Bài 4: (2,0 điểm)
Cho x, y, z là ba số thực thoả điều kiện x
2

+ y
2
+ z
2
= 1
Hãy tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
A = xy + yz + 2zx.









 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 3 Bùi Văn Chi 

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG
BÌNH ĐỊNH CHUYÊN - Năm học 2000 – 2001


ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN Các lớp không chuyên Toán
Khoá thi ngày: 17 – 07 – 2000
Thời gian làm bài: 150 phút
(không kể thời gian giao đề)


Bài 1: (2,0 điểm)

Chứng minh rằng nếu:

ayxyyxx =+++
3
422
3
242
, với x > 0; y > 0
thì:
3
2
3
2
3
2
ayx =+


Bài 2: (3,0 điểm)
Cho phương trình:

24624612
2
−−+=+− xx

a)
Rút gọn vế phải của phương trình.
b)
Giải phương trình

Bài 3
: (4,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O. Đường
thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh
MNCDAB
2
1
1
=+

b) Biết diện tích tam giác AOB bằng a
2
. Diện tích tam giác COD bằng b
2
.
Tính diện tích hình thang ABCD.

Bài 4
: (1,0 điểm)
Cho P(2) là giá trò của đa thức P (x) khi x = 2.
Chứng minh rằng P (x) - P (2) chia hết cho x – 2.

 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 4 Bùi Văn Chi 

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN
BÌNH ĐỊNH Năm học 2000 – 2001


ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN - Lớp: Chuyên toán
Khoá thi ngày: 17 – 07 – 2000
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)

Bài 1:
(2,0 điểm)
Chứng tỏ rằng nếu ba số a, b, c thoả mãn điều kiện:

a b c 0(1)
ab bc ca 0(2)
abc 0(3)

+ + >

+ + >


>



thì a, b, c là ba số dương.

Bài 2
: (2,0 điểm)
Cho b và c là các số nguyên dương và a là số nguyên tố sao cho
a
2
+ b
2
= c
2

Chứng minh rằng ta luôn có a < b và b+ 1 = c.

Bài 3
: (3,0 điểm)
Giải các phương trình sau:
a)
x + y + z + 4 = 2
56342 −+−+− zyx

b)
2
4
9
4
5
22

=++++− xxxx


Bài 4
: (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O và một đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn tại T sao
cho T là trung điểm của đoạn AB. P là một điểm trên đoạn BT (P
≠ B và P ≠ T).
Từ P kẻ cát tuyến PMN với đường tròn (O) trong đó M nằm giữa P và N. NB
cắt đường tròn (O) ở E; AM cắt đường tròn (O) ở I, IE cắt AB ở F.
Chứng minh AF = BP.












 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 5 Bùi Văn Chi 

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Qúy Đôn


ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (LỚP CHUYÊN TOÁN )

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể phát đề)
Ngày thi: 03 – 07 – 2001


Bài 1: (2,0 điểm)
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng khi chia số này cho 2001 thì được số dư là 9,
còn khi chia nó cho 2002 thì được số dư là 10.

Bài 2: (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình:

2 2
2 2 2
y xy 6x
1 x y 5x

+ =


+ =




Bài 3: (2,0 điểm)
Cho bốn số a, b, c, d thoả mãn:

2 2 2 2
a b c d 3
a b c d 3


+ + + =


+ + =



Tìm các số đó trong trường hợp d đạt giá trò lớn nhất.

Bài 4: (4,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O, R). M là một điểm tùy ý
trên cung nhỏ AB. Trên tia AM kéo dài về phía M lấy một điểm N sao cho
MN = MB.
a/ Chứng minh tam giác BMN là tam giác đều.
b/ Đònh vò trí của M để MA + MB lớn nhất.
c/ Tìm tập hợp các điểm N khi M di động trên cung nhỏ AB.












 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 6 Bùi Văn Chi 

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Qúy Đôn


ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (Lớp chuyên Vật lý,
Hóa học, Sinh học)
Thời gian làm bài: 150 phút
(không tính thời gian phát đề)
Ngày thi: 03 – 07 – 2001

Bài 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
A =
12
1
:
1
11
+−
+








−

+
− aa
a
aaa
, với a > 0, a ≠ 1
1/ Rút gọn A.
2/ Chứng minh rằng A < 1.

Bài 2
: (2,0 điểm)
Giải phương trình:

24624612
2
−−+=+− xx

Bài 3
: (2,0 điểm)
Tìm giá trò của a để ba đường thẳng:
(d
1
) : y = 2x – 5
(d
2
) : y = x + 2
(d
3
) : y = ax – 12
đồng qui tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ.

Bài 4:
(4,0 điểm)
Cho hai điểm A, B cố đònh và phân biệt. Đường tròn tâm O
1
, tiếp xúc với đường
thẳng AB tại A, đường tròn tâm O
2
tiếp xúc với đường thẳng AB tại B. Hai
đường tròn này cắt nhau tại M, N. MN cắt AB tại I. Hãy chứng minh:
1) Hai tam giác IAM và IAN đồng dạng.
2) I là điểm cố đònh khi hai đường tròn thay đổi.









 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 7 Bùi Văn Chi 

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG ĐHKHTN - ĐHQG HÀ NỘI 1999
(Thời gian làm bài: 150 phút)


Bài 1
:
Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện:




=++
=
+
+
14
0
222
cba
cba


Hãy tính giá trò của biểu thức:
P = 1 + a
4
+ b
4
+ c
4


Bài 2
:
1) Giải phương trình:

8273 −=−−+ xxx

2) Giải hệ phương trình:

1 1 9
2
1 5
2
x y
x y
xy
xy

+ + + =




+ =




Bài 3
:
Tìm các số nguyên dương n sao cho: n
2
+ 9n – 2 chia hết cho n + 11.

Bài 4
:
Cho vòng tròn (C) và điểm I ở trong vòng tròn. Dựng qua I hai dây cung bất kỳ

MIN và EIF . Gọi M
’
, N
’
, E
’
, F
’
là các trung điểm của IM, IN, IE, IF.
1) Chứng minh rằng tứ giác M
’
N
’
E
’
F
’
nội tiếp đường tròn.
2) Giả sử I thay đổi, các dây cung MIN, EIF thay đổi. Chứng minh rằng đường
tròn ngoại tiếp tứ giác M
’
N
’
E
’
F
’
có bán kính không đổi.
3) Giả sử I cố đònh, các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn luôn vuông góc
với nhau. Tìm vò trí của các dây cung MIN, EIF sao cho tứ giác M

’
N
’
E
’
F
’
có
diện tích lớn nhất.








 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 8 Bùi Văn Chi 

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT NĂNG KHIẾU ĐHQG TP. HCM NĂM 2001
MÔN TOÁN AB (Thời gian làm bài: 150 phút)


Bài 1:
a) Giải bất phương trình:

121 −>+ xx

b) Giải hệ phương trình:








=+
=+
3
71
2
71
x
y
y
x


Bài 2:
Cho a, b, c là các số thực phân biệt sao cho các phương trình:
x
2
+ ax + 1 = 0 và x
2
+ bx + c = 0 có nghiệm chung, đồng thời các phương
trình x
2
+ x + a = 0 và x

2
+ cx + b = 0 cũng có nghiệm chung.
Hãy tìm tổng a + b + c.

Bài 3
:
a) Trên các cạnh AB và CD của hình vuông ABCD lần lượt lấy các điểm M, N
sao cho AM = CN =
AB
3
. Gọi K là giao điểm của AN và DM. Chứng minh
trực tâm của tam giác ADK nằm trên cạnh BC.

b) Cho hình vuông ABCD với giao điểm hai đường chéo là O. Một đường thẳng
d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O. Lấy một điểm S trên d.
Chứng minh rằng (AC) ⊥ (SBD) và (SAC) ⊥
(SBD).

Bài 4
:
Cho tứ giác lồi ABCD có AB vuông góc với CD và AB = 2, BC = 13,
CD = 8, DA = 5.
a)

Đường thẳng (BA) cắt đường tnẳng (CD) tại E. Hãy tính AE.
b)

Tính diện tích tứ giác ABCD.

 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 9 Bùi Văn Chi 

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT NĂNG KHIẾU ĐHQG TP. HCM
MÔN TOÁN CHUYÊN Năm học 2001 – 2002
(Thời gian làm bài: 150 phút)

Bài 1
:
a) Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất sao cho a chia hết cho 6 và 2000 a là
số chính phương.
b) Tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho (b –1) không là bội của 9,
b là bội của 4 số nguyên tố liên tiếp và 2002b là số chính phương.
Bài 2
:
Cho x, y là các số thực sao cho
y
x
1
+
và
x
y

1
+
đều là các số nguyên.
a) Chứng minh
22
22
1
yx
yx +
là số nguyên.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho
nn
nn
yx
yx
1
+
là số nguyên.
Bài 3
:
a) Cho a, b là các số dương thỏa ab = 1. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức
( )
( )
2 2
4
A a b a b
a b
= + + +
+

b) Cho m, n là các số nguyên thoả
3
11
2
1
=+
n
m
.
Tìm giá trò lớn nhất của B = m.n.
Bài 4
:
Cho hai đường tròn C
1
(O
1
, R
1
) và C
2
(O
2
, R
2
) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm
A . Hai điểm B, C lần lượt di động trên C
1
, C
2
sao cho


BAC
= 90
0
.
a) Chứng minh trung điểm M của BC luôn nằm trên một đường tròn cố đònh.
b) Hạ AH vuông góc với BC. Tìm tập hợp các điểm H.
Chứng minh rằng độ dài đoạn AH không lớn hơn
21
21
2
RR
RR
+
.
c) Phát biểu và chứng minh các kết quả tương tự như câu a) và câu b) trong
trường hợp C
1
và C
2
tiếp xúc trong với nhau tại điểm A.
Bài 5
:
Giải hệ phương trình:

2 2
x 1 x 3 x 5 y 1 y 3 y 5
x y x y 80

+ + + + + = − + − + −



+ + + =






 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 10 Bùi Văn Chi 

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ 1999
MÔN TOÁN AB (Thời gian làm bài: 150 phút)


Bài 1
:
Giải hệ phương trình:

2 2
2 2
x 2 x y 3 y 5
x 2 x y 3 y 2

+ + + + + =


+ − + + − =




Bài 2
:
Chứng minh rằng:

2 a(c d) 3d 3
3 b(d c) 3c 2
− +
≤ ≤
− +
với mọi a, b, c, d thuộc [2; 3]

Bài 3
:
Chứng minh rằng với ba số thực a, b, c phân biệt thì phương trình:

1 1 1
0
x a x b x c
+ + =
− − −

có hai nghiệm khác nhau.

Bài 4
:
Cho tam giác cân ABC. Trên cạnh đáy BC lấy các điểm E, F (khác B, C) sao
cho BE = CF <
BC

2
. Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC,
∆
AEF.
a) Chứng minh rằng hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ABF có bán kính
bằng nhau.
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
∆
ABF theo R, r.












 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 11 Bùi Văn Chi 

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN AB
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QÚY ĐÔN BÌNH ĐỊNH
NĂM HỌC 2002 – 2003 - Ngày thi: 12 – 07 – 2002
Thời gian làm bài: 150 phút

I . Lý thuyết
: (2 điểm)
Thí sinh chọn một trong hai đề sau để làm bài.
Đề 1:
a) Chứng minh đònh lý: “Với mỗi số thực a thì
aa =
2
”
b) p dụng: So sánh
(
)
2
1 3
−
và
(
)
2
3 1
−

Đề 2 :
a) Chứng minh đònh lý: “Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện
nhau bằng hai góc vuông”.
b) p dụng: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Chứng minh rằng ABCD là
tứ giác nội tiếp.
II. Các bài toán bắt buộc
: (8 điểm)
Bài 1

: (1,5 điểm)
Cho phương trình:
(
)
(
)
2
1 2 x 2 1 x 1 2 0
− + − + + =

Biết phương trình có hai nghiệm phân biệt, không giải phương trình, hãy tìm
tổng và tích 2 nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 2:
(2,5 điểm)
Hai người đi xe đạp khởi hành cùng một lúc từ A để đi hết quãng đường AB dài
35 km. Người thứ nhất mỗi giờ đi nhanh hơn người thứ hai 4 km nên đến B sớm
hơn người thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi người.
Bài 3
: (3 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy một điểm C trên đoạn OA (C
khác O và A). Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn (M khác A và B). Kẻ
các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn (Ax, By ở cùng một nửa mặt phẳng có
bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn). Nối MC, đường thẳng qua M
vuông góc với MC cắt Ax và By tại D và E.
Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ACMD và BCME là các tứ giác nội tiếp.
b)




DCE DAM MBE
= +

c)

DCE
vuông
Bài 4
: (1 điểm)
Với a, b, c là 3 số dương. Chứng minh rằng:
Nếu a + b + c =
cabcab ++
thì a = b = c.


 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 12 Bùi Văn Chi 

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QÚY ĐÔN BÌNH ĐỊNH
NĂM HỌC 2002 – 2003 - Ngày thi: 13 – 07 – 2002
Thời gian làm bài: 150 phút


Bài 1: (4,5 điểm)
Câu 1: (1,5 điểm)
Biết a
2
+ b
2
= 1. Chứng minh đẳng thức:

(
)
(
)
6 6 4 4 4 2 4 2
2 a b 3 a b a 4b b 4a 2
+ − + + + + + =

Câu 2: (1, 5 điểm)
Giải phương trình:
05444
22
=+−−− xxxx
(1)
Câu 3: (1, 5 điểm)
a) Đònh m để đường thẳng - 4 x – y + 1 = 0 song song với đường thẳng
(m
2
- 4 m ) x - y + 5 = 0
b) Với giá trò m tìm được ở câu a, hãy tìm giá trò nhỏ nhất của:
A =
( )
( )
2
2
2
4x y 1 2 m 4m x 2y 5
 
− − + + − − +

 

Bài 2: (2 điểm)
Cho đường tròn (O) và đường thẳng (d) không cắt đường tròn.
a) Gọi I là hình chiếu của O lên (d). Từ I ta kẻ các cát tuyến IAB và ICD tới đường
tròn (A, B, C, D thuộc (O)). Đường thẳng (d) cắt AD và CB tại các điểm E và F.
Chứng minh: IE = IF.

b) Gọi M là điểm bất kỳ trên (d). Từ M kẻ các tiếp tuyến MT và MT
‘
tới (O)
(T và T
‘
là các tiếp điểm). Chứng minh khi M di động trên (d) thì T T
‘
luôn đi qua
một điểm cố đònh.
Bài 3: (1,5 điểm)
a) Với mỗi n
∈
N, đặt a
n
=
7 n 3 2 n 1 4 n 1
2 3 . 5
+ + +
+

Đònh n để a
n

là một số nguyên tố.
b) Gọi x là số chính phương có 8 chữ số, trong đó 4 chữ số đầu và 4 chữ số cuối đều lập
thành số chính phương lớn hơn 0. Tìm giá trò lớn nhất của x.
Bài 4: (1 điểm)
Cho hàm số
tttttf
222222 −++++=
)(

Gọi x, y, z là những giá trò của t để f (t) nhỏ nhất và x + y + z = 3.
Tìm giá trò lớn nhất của A = x
2
+ y
2
+ z
2
.
Bài 5: (1 điểm)
Cho một số hữu hạn các hình tròn cắt nhau. Các phần giao này tạo thành một hình
hoặc nhiều hình có diện tích hoặc tổng diện tích bằng 9.
Chứng minh rằng: Hoặc tồn tại một hình tròn, hoặc tồn tại một số hình tròn đôi một
không cắt nhau sao cho diện tích của nó hoặc tổng diện tích của chúng lớn hơn 1.





 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 13 Bùi Văn Chi 

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT QUẢNG NGÃI
Năm học 2002 –2003 MÔN TOÁN AB
(Thời gian làm bài: 150 phút)



Bài 1
: (2 điểm)
1) Thực hiện phép tính:

63
216
57
31
515
21
714
+−








−
−
−
−

−
)(.

2) Giải phương trình: 3 x - 7
04 =+x
.

Bài 2
: (3 điểm)
Cho hàm số y = ax
2
(1)
1) Tìm giá trò a để đồ thò hàm số (1) đi qua điểm (2; 1). Vẽ đồ thò (P) của hàm số
(1) ứng với giá trò của a vừa tìm được.
2) Chứng tỏ rằng: Trong cùng một hệ trục tọa độ, đường thẳng (d):
y = mx – 2(m + 1) luôn luôn cắt đồ thò (P) (ở câu 1) tại hai điểm phân biệt. Tìm m
để hai giao điểm của (d) và (P) có hoành độ dương.
3) Chứng minh rằng đường thẳng (d) (ở câu 2) luôn luôn đi qua một điểm cố đònh khi
m thay đổi.

Bài 3
: (4 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB cố đònh. C là một điểm cố đònh trên đoạn thẳng
OA (C khác A và O). M là điểm di động trên đường tròn (O) sao cho đường thẳng
vuông góc với MC tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt ở D
và E .
1) Chứng minh các tứ giác DMCA và CBEM là các tứ giác nội tiếp được đường tròn .
2) Chứng minh hệ thức:
222
111

CECDCM
+=

3) Chứng minh rằng tích AD. BE không đổi khi M di động trên đường tròn (O).
4) Xác đònh vò trí của điểm M trên (O) sao cho tứ giác ABDE có diện tích nhỏ nhất.

Bài 4:
(1 điểm)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện:
x + y + z = 5 và xy + yz + zx = 8
Chứng minh rằng:
3
7
1 ≤≤ x
.


 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 14 Bùi Văn Chi 

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT QUẢNG NGÃI
Năm học 2002 – 2003 MÔN TOÁN CHUYÊN
(Thời gian làm bài: 150 phút)



Bài 1
: (2,5 điểm)
1) Cho hai phương trình ẩn x:
ax

2
+ bx + c = 0 và a(1 – x
2
) + c(1 – x) – b = 0
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.
2) Giải phương trình:
128264
22
+−=−−
xxxx

Bài 2
: (2 điểm)
1) Các số a, b, x, y thoả mãn điều kiện x + y = a + b và x
2
+ y
2
= a
2
+ b
2

Chứng minh rằng: x
2002
+ y
2002
= a
2002
+ b
2002

2) Tìm các gía trò của x, y để biểu thức P = -x
2
– y
2
+ xy + 2x + 2y đạt giá trò
lớn nhất và chỉ rõ giá trò lớn nhất đó.

Bài 3
: (1,5 điểm)
Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
chia hết cho 4
Chứng minh rằng: 19
x
+ 5
y
+ 2001
z
không thể là số chính phương.

Bài 4
: (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Trên cạnh AD và CD lấy các
điểm M, N sao cho


MBN
= 45
0
, BM và BN cắt AC theo thứ tự tại E và F.
1) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
2) Gọi H là giao điểm của MF và NE, I là giao điểm của BH và MN.
Chứng minh rằng Khi M, N di động nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện đã cho thì I
di động trên một cung của một đường tròn cố đònh. Xác đònh cung tròn đó.
3) Tìm vò trí của M, N (vẫn thỏa mãn điều kiện đã cho) để diện tích tam giác
MDN lớn nhất.

Bài 5
: (1 điểm)
Cho tam giác ABC có ba đỉnh đều ở trong đường tròn tâm O bán kính R và có
diện tích lớn hơn R
2
.
Chứng minh rằng O nằm trong tam giác ABC.



 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 15 Bùi Văn Chi 

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
KHỐI THPT CHUYÊN TOÁN – TIN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NĂM 2001
(Thời gian làm bài: 150 phút)


Bài 1.

1) Tìm một số tự nhiên có 4 chữ số mà tổng của số đó và tất cả các chữ số của
nó bằng 2002.
2) Tìm x sao cho:
1 1
5
1 1
x x x x
x x
x x
  
− +
+ − ≤
  
  
− +
  


Bài 2.
1) Giải phương trình:

2
1
1 6 2 5 0
4
x x
+ + − − =

2) Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:

A =
2
2 2
y
3x 3xy 2y
+ +


Bài 3.
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:
10x
2
+ 29xy + 21y
2
= 2001

Bài 4.
Ở về phía ngoài của tam giác ABC, ta dựng các hình vuông ABB
1
A
2
, BCC
1
B
2
,
CAA
1
C
2

. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
Chứng minh AM vuông góc với A
1
A
2
.



 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 16 Bùi Văn Chi 

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN AB
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU - ĐHQG TP. HCM
NĂM HỌC 2001 – 2002 - Thời gian làm bài: 150 phút


Bài 1
:
Cho phương trình:
011612
2
=−+−−+
mmxx

a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m.

Bài 2
:
Cho hệ phương trình:






−=
−=+++++
6
122
3
223
yx
myyxyxxmyx )(

a) Giải hệ phương trình khi m = 0.
b) Giải hệ phương trình khi m = 1.

Bài 3
:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD của hình chữ nhật ABCD.
Biết rằng đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có đường kính bằng
328
+
và tồn tại một điểm I thuộc đoạn MN sao cho góc DAI = 45
0
, góc
IDA = 30
0
.

a) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
b) Gọi K, H lần lượt là trọng tâm của các tam giác ADI và BIC.
Tính diện tích tam giác NKH.

Bài 4
:
Tam giác ABC có góc ABC = 30
0
và góc ACB = 15
0
. Gọi O là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC và M, N, P, I lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB,
OC.
a) Tính góc PON. Chứng minh A, M, I thẳng hàng.
b) Chứng minh P là trực tâm của tam giác OMN.

Bài 5
:
a) Tìm tất cả các số thực a và b sao cho
52 +=+ xbax
với mọi số thực x.
b) Cho a, b, c, d, e, f là các số thực thỏa điều kiện:

fxedxcbxa +=+++
với mọi số thực x.
Biết a, c và e khác 0. Chứng minh: ad = bc.



 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 17 Bùi Văn Chi 

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU – ĐHQG TP.HCM
NĂM HỌC 2000 – 2001 - MÔN TOÁN AB (Thời gian làm bài: 150 phút)


Bài 1
:
Cho x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình: x
2
– 7x + 3 = 0
1)

Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm là 2x
1
- x
2
và 2x
2
– x
1
.
2)

Hãy tính giá trò biểu thức: A =
1 2 2 1

2x x 2x x
− + −


Bài 2
:
1) Giải hệ phương trình:

x 2y 6
xy 8

− =

=



2) Giải hệ phương trình:
2
x y z
x 2(y z)
xy 2(z 1)

+ =

= +


= +


Bài 3
:
1) Giải phương trình:
1
x x 1
x
+ + =

2) Gọi α, β là số đo mỗi góc trong của hai đa giác đều có số cạnh lần lượt là m
và n. Tìm m và n nếu
5
7
α
=
β
.

Bài 4
:
Cho tam giác ABC có đường cao BD. Giả sử (C) là một đường tròn có tâm O
nằm trên đoạn AC và lần lượt tiếp xúc với BA, BC tại M, N.
a)

Chứng minh rằng 4 điểm B, M, D, N nằm trên một đường tròn.
b)

Chứng minh rằng



ADM CDN
=



Bài 5.
Trong một giải bóng đá có 10 đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt. Trong mỗi
trân, đội thắng được 3 điểm, đội hoà được 1 điểm và đội thua không có điểm.
Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó.
a)

Gọi A là một đội bóng tham dự giải, hỏi đội bóng A có thể đạt những điểm
số nào?
b)

Giả sử đội bóng A được xếp thứ nhì khi kết thúc giải. Tìm số điểm tối đa, số
điểm tối thiểu mà đội bóng A có thể đạt được.


 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 18 Bùi Văn Chi 


ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU - ĐHQG TP. HCM
NĂM HỌC 2002 – 2003 - Thời gian làm bài: 150 phút


Câu 1:

Cho phương trình:
)(
11
mxx
=+−
, trong đó m là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trò của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Câu 2:
Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình x
2
+ y
2
= z
2

a) Chứng minh rằng trong hai số x, y có ít nhất một số chia hết cho 3.
b) Chứng minh rằng tích x.y chia hết cho 12.

Câu 3:
Cho đường tròn (C), đường kính BC = 2 R và điểm A thay đổi trên (C)
(A không trùng với B, C). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt
đường tròn (C) tại điểm K (K khác A). Hạ AH vuông góc với BC.
a) Đặt AH = x. Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x. Tìm x sao cho S
đạt giá trò lớn nhất.
b) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH
2
+ HK
2

luôn là một đại lượng
không đổi.
c) Tính góc B của tam giác ABC biết rằng
AH 3
HK 5
=


Câu 4:
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện:

a
c
c
b
b
a
111
+=+=+

a) Cho a = 1, hãy tìm b, c.
b) Chứng minh rằng nếu a, b, c đôi một khác nhau thì a
2
b
2
c
2
= 1.
c) Chứng minh rằng nếu a, b, c đều dương thì a = b = c.

 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 19 Bùi Văn Chi 

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN AB
TRƯỜNG CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TP. HCM
NĂM HỌC 2002 – 2003 - Thời gian làm bài: 150 phút


Câu 1
. Rút gọn biểu thức:
a)

A =
5 3 29 12 5
− − −

b)
B =
8 4
4 2
3 4
2
x x
x x
+ +
+ +

Câu 2
. Cho phương trình: x
2
– 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0 (x là ẩn)
a)

Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b)

Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trò nhỏ nhất của
y = x
1
2
+ x
2
2


Câu 3
.
a) Chứng minh: x
2
+ y
2
≥

2
( )
2
x y
+

b) Chứng minh: x
4
+ y
4
≥
4
( )
8
x y
+

c)

Cho x > 0, y > 0 và x+y = 1. Chứng minh: 8(x
4
+ y
4
) +
1
5
xy
≥

Câu 4
. Giải các phương trình:
a)
3 4 1 8 6 1 5
x x x x
+ + − + + − − =

b) (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) = 4

Câu 5
.
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) cắt đường tròn (O) tại hai diểm A, B.
Từ một diểm M trên đường (d) và ở ngoài (O), (d) không đi qua O, ta vẽ hai tiếp
tuyến MN, MP với (O) (N, P là hai tiếp điểm)
a) Chứng minh:


NMO NPO
=

b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố đònh khi
M lưu động trên đường thẳng (d).
c) Xác đònh điểm M trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.
d) Chứng minh tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MNP lưu động trên một
đường tròn cố đònh khi M lưu động trên đường thẳng (d).




 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 20 Bùi Văn Chi 

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN
TRƯỜNG CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TP. HCM
NĂM HỌC 2002 – 2003 - Thời gian làm bài: 150 phút



Câu 1.
Tìm các giá trò của m để phương trình sau có nghiệm và tính các nghiệm
ấy theo m:
2
2 0
x x x m
+ − + =


Câu 2
. Phân tích thành nhân tử:
A = x
10
+ x
5
+ 1

Câu 3
. Giải các phương trình và hệ phương trình:
a)
2
2
48 4

10
3 3
x x
x
x
 
+ = −
 
 

b)
2 3 2 5 2 2 5 2 2
x x x x+ + − + − − − =
c)
2 2
2 2
2 3 0
2 0
xy y x
y x y x

− + =


+ + =




Câu 4.

Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của:
2
2
5 7
x
y
x x
=
− +


Câu 5.
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và có AB
< AC. Lấy M thuộc cung

BC
không chứa điểm A của đường tròn (O).
Vẽ MH vuông góc BC, MK vuông góc CA, MI vuông góc AB (H ∈ BC, K ∈
AC, I ∈ AB)
Chứng minh:
BC AC AB
MH MK MI
= +


Câu 6.
Cho tam giác ABC. Giả sử các đường phân giác trong và phân giác
ngoài của góc

A

của tam giác ABC lần lượt cắt đường thẳng BC tại D, E và có
AD = AE.
Chứng minh: AB
2
+ AC
2
= 4R
2
với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC.







 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 21 Bùi Văn Chi 


ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN AB
KHỐI THPT CHUYÊN TOÁN TIN TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NĂM HỌC 2002 – 2003 - Thời gian làm bài: 150 phút



Câu 1.

Chứng minh rằng luôn tồn tại số có dạng 20022002…2002 mà số đó chia hết cho
2003.

Câu 2.

Giải phương trình: (x + 9)(x + 10)(x + 11) – 8x = 0

Câu 3.

Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thoả mãn:
abc = ab + bc + ca thì :
1 1 1 3
a 2b 3c 2a 3b c 3a b 2c 16
+ + <
+ + + + + +


Câu 4.

Giải và biện luận phương trình:

( ) ( )
2 2
2 2
3
3 3
( 1)
x m m x m m x m
− + − − = + , trong đó m là tham số.

Câu 5.

Giả sử H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Trên đoạn HB và HC lấy hai
điểm M, N sao cho


0
AMC ANB 90
= =
.
Chứng minh rằng: AN = AM.



 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 22 Bùi Văn Chi 


ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN
KHỐI THPT CHUYÊN TOÁN TIN TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NĂM HỌC 2002 – 2003 - Thời gian làm bài: 150 phút



Câu 1.

Tìm chữ số tận cùng của tổng:
S = 2
1
+ 3
5
+ 4
9

+ …+ 502
2001


Câu 2.

a) Với điều kiện nào của a và b, phương trình:
(
)
− = −
2
2
b a bx a x
có nghiệm?
Tìm nghiệm của nó với điều kiện tương ứng.

b) Cho hàm số f(x) xác đònh với mọi x ≠ 0, x ≠ 1 và thoả mãn điều kiện:
1
( )
1
f x f x
x
 
+ =
 
−
 
. Tìm f(x)

Câu 3.

a) Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB
sao cho
1 1 1
BM BC , CN CA , AP AB
3 3 3
= = =
.
Gọi A
’
, B
’
, C
’
là các giao điểm của BN và CP, CP và AM, AM và BN tương
ứng.
Tính tỉ số diện tích của các tam giác A
’
B
’
C
’
và ABC.
b) Cho đa giác đều có 2001 cạnh. Hỏi có bao nhiêu đa giác đều phân biệt có
đỉnh là các đỉnh của đa giác đều đã cho?
(Chỉ xét đối với các đa giác đều lồi đơn)



 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 23 Bùi Văn Chi 

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN
TRƯỜNG NĂNG KHIẾU HÀN THUYÊN – BẮC NINH
NĂM HỌC 2002 – 2003 - Thời gian làm bài: 150 phút


Bài 1. (2 điểm)
Xét biểu thức:
2
2
1
1
x x x x
y
x x x
+ +
= + −
− +

1)

Rút gọn y. Tìm x để y = 2
2)

Giả sử x > 1. Chứng minh rằng:
0
y y
− =

3)

Tìm giá trò nhỏ nhất của y.

Bài 2. (2 điểm)
Giải hệ phương trình:
12
28
x y y x
x x y y

+ =


+ =




Bài 3. (2 điểm)
Cho hình vuông có cạnh bằng 1, tìm số lớn nhất các điểm có thể đặt vào hình
vuông (kể cả các cạnh) sao cho không có bất cứ 2 điểm nào trong số các điểm
đó có khoảng cách không bé hơn 1/2 đơn vò.

Bài 4. (2 điểm)
Cho hai đường tròn đồng tâm và một điểm M cố đònh trên đường tròn nhỏ. Qua
M kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau, một đường thẳng cắt đường tròn nhỏ
ở A khác M, đường kia cắt đường tròn lớn ở B, C. Khi cho các đường thẳng này
quay M và vẫn vuông góc với nhau. Chứng minh rằng:
1)

Tổng MA
2
+ MB
2
+ MC
2
không đổi.
2)

Trọng tâm tam giác ABC là điểm cố đònh.

Bài 5. (2 điểm)
1)

Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính
phương.
2) Cho tam giác ABC và một điểm E nằm trên cạnh AC. Hãy dựng một đường
thẳng qua E và chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau.






 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 24 Bùi Văn Chi 


ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN AB
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH

NĂM HỌC 2002 – 2003 - Thời gian làm bài: 150 phút


Bài 1.
1)

Chứng minh rằng với mọi giá trò dương của n, luôn có:

( )
1 1 1
1 1 1
n n n n n n
= −
+ + + +

2)

Tính tổng:
1 1 1 1
2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100
+ + + +
+ + + +
⋯


Bài 2.
Tìm trên đường thẳng y = x + 1 những điểm có toạ độ thoả mãn đẳng thức:

2
3 2 0

y y x
− + =


Bài 3.
Cho hai phương trình sau:
x
2
– ( 2m – 3 ) x + 6 = 0
2x
2
+ x + m – 5 = 0
(x là ẩn, m là tham số)
Tìm m để hai phương trình đã cho có đúng một nghiệm chung.

Bài 4.
Cho đường tròn (O, R) với hai đường kính AB, MN. Tiếp tuyến với đường tròn
(O) tại A cắt các đường thẳng BM và BN tương ứng tại M
1
và N
1
. Gọi P là trung
điểm của AM
1
, Q là trung điểm của AN
1
.
1)

Chứng minh tứ giác MM

1
N
1
N nội tiếp được trong một đường tròn.
2)

Nếu M
1
N
1
= 4R thì tứ giác PMNQ là hình gì? Chứng minh.
3)

Đường kính AB cố đònh, tìm tập hợp tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác
BPQ khi đường kính MN thay đổi.

Bài 5.
Cho đường tròn (O, R) và hai điểm A, B nằm phía ngoài đường tròn (O) với OA
= 2R.
Xác đònh vò trí của điểm M trên đường (O) sao cho biểu thức P = MA + 2MB
đạt giá trò nhỏ nhất .



 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Đề 25 Bùi Văn Chi 

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH
NĂM HỌC 2002 – 2003 - Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.
1)

Với a, b là 2 số dương thỏa mãn a
2
– b > 0. Chứng minh:
2 2
2 2
a a b a a b
a b
+ − − −
+ = +

2)

Không sử dụng máy tính và bảng số, chứng tỏ rằng:
7 2 3 2 3 29
5 20
2 2 3 2 2 3
+ −
< + <
+ + − −


Bài 2.
Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức x + y =
10
. Tìm giá trò của x
và y để biểu thức sau P = (x

4
+ 1)(y
4
+ 1) đạt giá trò nhỏ nhất. Tìm giá trò nhỏ
nhất ấy.

Bài 3.
Giải hệ phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2
0
0
x y z
x y y z z x
x y z
x y y z z x

+ + =

− − −



+ + =

− − −



Bài 4.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O, R) với BC = a, AC = b,
AB = c. Lấy điểm I bất kỳ ớ phía trong của tam giác ABC và gọi x, y, z lần lượt
là các khoảng cách từ điểm I đến các cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC.
Chứng minh:

2 2 2
2
a b c
x y z
R
+ +
+ + ≤

Bài 5.
Cho tập hợp
P
gồm 10 điểm trong đó có một số cặp điểm được nối với nhau
bằng đoạn thẳng. Số các đoạn thẳng có trong tập
P
nối từ điểm A đến các điểm
khác gọi là bậc của điểm A. Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm được hai điểm
trong tập
P
có cùng bậc.