báo cáo đề tài thuật toán pagerank

1. GIỚI THIỆU
ABSTRACT
Là một trong những giải thuật phân tích liên kết, PageRank ra đời sau HITS nhưng
những gì mà nó đóng góp là không nhỏ. Dựa vào giải thuật PageRank mà Google đã
thay đổi quan niệm của mọi người về ứng dụ tìm kiếm, cũng như tầm quan trọng của nó
ngày nay. Tuy đã hơn 10 năm trôi qua và đã xuất hiện hàng loạt các phát triển hay các
thuật toán tương tự như TrustRank của Yahoo! Hay BrowseRank của Microsoft, nhưng vị
trí số một của cỗ máy tìm kiếm Google trong cộng đồng vẫn chưa tỏ ra bị lung lay.
1.1. Khái niệm
Google đã mô tả về PageRank như sau:
(*) “PageRank dựa vào những tính chất dân chủ tự nhiên riêng biệt của web bằng cách
sử dụng cấu trúc liên kết rộng lớn như là một dụng cụ đo giá trị cá nhân của trang web.
Trên thực tế, Google sẽ xem một liên kết từ trang A đến trang B như một bình chọn
(vote), A sẽ là nhân tố để bình chọn cho B. Tuy nhiên, Google xem xét nhiều hơn là chỉ
dựa trên khối lượng bình chọn, hoặc số liên kết mà trang nhận được; nó còn phân tích
về trang tác động (thực hiện) đến bình chọn. Bình chọn được thực hiện (vote cast) bởi
các trang càng ‘quan trọng’ thì trọng số càng ‘nặng’ và làm cho các trang khác cũng trở
nên ‘quan trọng’.”

Hình 1.1. Mô hình đồ thị có hướng với các trang được xem là đỉnh và có trọng số
PageRank và khả năng web surfer tại mỗi đỉnh.
1
Ở hình trên (trích từ [1]), trang C có PageRank cao hơn trang E mặc dù có ít liên kết
trỏ đến nó hơn bởi liên kết trỏ đến C có giá trị cao hơn rất nhiều. Web surfer chọn một
liên kết ngẫu nhiên trên mỗi trang nhảy đến trang E là 8.1%. Khả năng nhảy đến một
trang trong toàn bộ trang một cách ngẫu nhiên là 15%; 15% hay 85% (xem mục 2.5.1)
này được xem như một nhân tố hãm (damping factor) bởi không có nó, quá trình duyệt
ngẫu nhiên (random web surfer) sẽ kết thúc ngay trên trang A, B, hay C; điều này khiến
cho các trang khác sẽ có giá trị PageRank là 0. Ngoài ra, trang A được giả định liên kết
tất cả các trang bởi nó không có outgoing link (xem mục 2.4.1).
Đây chính xác là ý tưởng về Rank Prestige trong Social Network.

Nói cách khác, kết quả của PageRank từ một “lá phiếu” (ballot) giữa tất cả các trang
khác trong World Wide Web cho biết độ quan trọng của một trang web như thế nào. Một
liên kết trỏ đến một trang tính như một bình chọn hỗ trợ. PageRank của một trang web
được định nghĩa bởi sự đệ quy và phụ thuộc vào số lượng và độ đo PageRank của tất
cả các trang liên kết đến nó, còn gọi là các liên kết nội (incoming link). Một trang được
liên kết với nhiều trang khác với giá trị PageRank cao sẽ có một thứ hạng cao. Nếu
không có liên kết nào đến trang web, sẽ không có bất kì sự hỗ trợ đánh giá nào cho
trang web đó. Google sẽ gán một trọng số trong khoảng từ 0 đến 10 cho mỗi trang
web trên internet; dựa vào đó PageRank sẽ cho biết tầm quan trọng của một site trong
con mắt của Google.
PageRank bắt nguồn từ lý thuyết xác suất (theoretical probability) định giá trên
Logarithmic Scale, tương tự như Richter Scale.
Ngoài ra, một liên kết từ một trang này đến các trang khác còn mang hàm ý về
authority của các trang mà nó liên kết đến. Hay nói cách khác, càng nhận nhiều incoming
link thì độ prestige của trang web càng tăng. Bất kì một trang nào cũng có độ prestige
riêng, do đó bất kì một trang nào liên kết đến các trang khác cũng đều sở hữu độ
prestige riêng của nó. Như vậy, một trang A có độ prestige cao hơn khi trỏ đến trang C
nào đó sẽ “quan trọng” hơn một trang B nào đó cũng trỏ đến C nhưng có độ prestige
thấp hơn A. Nói cách khác, một trang sẽ là “quan trọng” nếu nó được trỏ đến bởi một
trang “quan trọng” khác. Nhờ cơ chế đánh giá này nên PageRank tránh được nguy cơ bị
spamdexing và spoofing so với HITS.

1.2. Lịch sử
PageRank được phát triển tại đại học Stanford bởi Larry Page (do đó giải thuật mới
được đặt tên là Page-Rank) và sau đó được Sergey Brin tiếp tục nghiên cứu và ứng
dụng trong một dự án nghiên cứu về một loại công cụ tìm kiếm mới. Dự án này được bắt
đầu từ năm 1995, và kết quả của nó là sự ra đời của Google vào năm 1998. Không lâu
sau đó Page và Brin thành lập công ty Google, cung cấp công cụ tìm kiếm mang tên
Google. Trong khi chỉ một trong nhiều yếu tố xác định thứ hạng của kết quả tìm kiếm thì
PageRank tiếp tục cung cấp các cơ sở khác phục vụ cho công cụ tìm kiếm trên web này.

PageRank phát triển dựa trên công trình Citation Analysis của Eugene Garfield vào
những năm 1950 tại đại học Pennsylvania, các nhà sáng lập Google cũmg đã từng trích
dẫn công trình của Garfield trong paper gốc của họ. Giải thuật PageRank phát triển dựa
trên việc phân tích liên kết giữa các trang (web link analysis). Web Link Analysis lần đầu
2
tiên được phát triển phải kể đến giải thuật HITS của Jon Kleinberg và nhóm của ông khi
làm việc với dự án CLEVER của IBM’s Almaden Research Center. Bên cạnh HITS và
PageRank, hiện cũng có những thuật giải Link Analysis khác như TrustRank của Yahoo!
hay BrowseRank của Microsoft….

2. TÌM HIỂU
2.1. Ý tưởng gốc
Tùy theo rank prestige, độ “quan trọng” của trang i sẽ được tính bởi tổng các giá trị
PageRank của tất cả các trang trỏ đến trang i. Do một trang có thể trỏ đến nhiều trang
khác, nên độ prestige của nó cũng phải được chia sẻ với các trang đó.
Xem web như là một đồ thị có hướng G = (V, E), gọi n là tổng số các trang thu thập
được.
Điểm PageRank của một trang i, kí hiệu là P(i) sẽ được định nghĩa bởi công thức sau:
với O
j
là số lượng outgoing link của trang j.
Với n trang web thu thập được, chúng ta có một hệ thống gồm n phương trình tuyến
tính với n chưa biết. Ta có thể sử dụng ma trận kề (adjacency matrix) để diễn đạt chúng.
Như vậy mỗi cột trong ma trận sẽ biểu diễn cho một trang (tương ứng một đỉnh trong đồ
thị) và cho ta biết các trang trỏ đến nó. Hay nói cách khác ta sẽ có P là một vector cột để
biểu diễn cho các giá trị PageRank của từng trang:
Ma trận kề biểu diễn cho đồ thị sẽ có các giá trị tại mỗi ô sau:
Phương trình tính PageRank lúc này sẽ là:
Đây là một phương trình đặc biệt thuộc một hệ thống đặc trưng (eigensystem), tại
đó P là một vector đặc trưng (eigenvector) tương ứng với giá trị đặc trưng (eigenvalue)

là 1. Điều đó chứng tỏ rằng khi một số điều kiện được thỏa mãn, 1 là giá trị đặc trưng lớn
nhất và PageRank vector P là một vector đặc trưng chính (principal eigenvector). Để tìm
P, ta có thể sử dụng một phương pháp toán học được gọi là Power Iteration (còn gọi là
igenvalue algorithm). Power Iteration [3] được định nghĩa đơn giản như sau: cho trước
một ma trận A, giải thuật sẽ tạo ra một giá trị đặc trưng
λ
và một vector đặc trưng v khác
0, dạng A
ν
=
λ
V ; có thể sử dụng khi A là một ma trận lớn tuy nhiên nó chỉ tìm một giá trị
đặc trưng duy nhất (có trị tuyệt đối lớn nhất) và có thể chậm.
Vấn đề đặt ra là phương trình (4) sẽ không được thỏa mãn nếu đồ thị không đáp
ứng được các điều kiện. Để giới thiệu về các điều kiện ở trên và cải thiện phương trình
(4), ta sẽ sử dụng chuỗi Markov (Markov chain) xây dựng lại phương trình trên.

3
2.2. Chuỗi Markov (Markov chain)
Trong một chuỗi Markov, mỗi trang web hoặc một node trong đồ thị được xem như
một trạng thái (state). Lúc này một liên kết được xem như một nút chuyển trạng thái, tức
dựa vào một liên kết một trạng thái này có thể chuyển sang một trang thái khác dựa vào
một xác suất. Mô hình framework Web Surfer này tương tự quá trình thống kê ngẫu
nhiên, tại đó quá trình duyệt ngẫu nhiên đến một trang web được xem như là một
chuyển trạng thái.
Gọi O
i
là số lượng outgoing link của node i trong đồ thị biểu diễn mối liên hệ của các
trang, xác suất của mỗi nút chuyển trạng thái là 1/O
i

nếu giả định rằng Web Surfer click
vào trang i một cách ngẫu nhiên (button “back” không được sử dụng và không cho phép
nhập URL).
Ma trận ác suất chuyển trạng thái A có dạng như sau:

với A
ij
biểu diễn cho xác xuất chuyển trạng thái i (trang i) sang trạng thái j (trang j), A
ij

được mô tả tương tự phương trình (3).
Tương tự như định nghĩa ma trận kề biểu diễn đồ thị web, ta cũng có vector cột biểu
diễn một trạng thái trong ma trận xác xuất chuyển trạng thái A nxn như sau:
Từ đó, ta có:
Ma trận A thỏa phương trình (7) thì được gọi là stochastic matrix (lý thuyết xác suất
thống kê) thuộc chuỗi Markov. Stochastic matrix [4] là một ma trận biến thiên ngẫu nhiên,
có 3 loại:
 Right stochastic matrix: mỗi hàng trong ma trận hai chiều đều được biểu diễn
bởi các số thực, và tổng của chúng phải bằng 1.
 Left stochastic matrix: mỗi cột trong ma trận hai chiều đều phải biểu diễn bởi
một con số không phải số thực, và tổng của chúng cũng phải bằng 1.
 Doubly stochastic matrix: tất cả các thành phần trong ma trận không phủ định
và tổng các hàng và các cột là 1.
Ở chuỗi Markov tồn tại một câu hỏi như sau:
“Nếu p
0
là vector đầu tiên, thì xác xuất của m chuyển trạng thái trong chuỗi Markov
tại trạng thái thứ j là bao nhiêu?”
Do đó, ta phải xác định xác suất mà hệ thống cấp cho trạng thái j sau 1 bước
chuyển trạng thái bằng phương trình sau:

với A
ij
(1) là xác suất chuyển trạng thái từ i sang j sau một bước trạng thái (1 lần duyệt từ
4
i sang j) và A
ij
(1) = A
ij
. Do đó dựa vào chuỗi Markov, ta có thể viết lại phương trình (4) lại
như sau:
hay tổng quát là:
Một chuỗi Markov hữu hạn được định nghĩa bởi một ma trận biến thiên A có duy
nhất một sự phân phối xác suất không đổi nếu A tối giản (irreducible) và không tuần
hoàn (aperiodic). A tối giản khi từ bất kì một trạng thái i nào cũng có thể chuyển sang
một trạng thái j bất kì và ngược lại, do A là ma trận kề biểu diễn đồ thị có hướng các
trạng thái, nên A tối giản đồng nghĩa với A là đồ thị liên thông mạnh.
Định nghĩa liên thông: một đồ thị vô hướng gọi là liên thông (connected) nếu mọi
cặp đỉnh (u, v) ta đều có u đến được v; một đồ thị có hướng gọi là liên thông mạnh
(strongly connected) nếu với mỗi cặp đỉnh (u, v) ta đều có u đến được v và ngược lại;
một đồ thị có hướng gọi là liên thông yếu (weakly connected) khi phiên bản vô hướng
của nó là đồ thị liên thông.

2.3. Steady-State Probability
Sự phân bố xác suất không đổi có nghĩa là sau một loạt các bước chuyển trạng thái,
p
k
sẽ đạt đến một trạng thái xác suất ổn định (steady-state probability) có vector xác suất
� bất chấp đến việc lựa chọn vector ban đầu (vector p
0
), phương trình (11) biểu diễn

điều đó:
Trở lại thuật toán PageRank, khi ta đã đạt đến trạng thái ổn định, ta có p
k
= p
k-1
=
π

;
do đó ta có phương trình:
Lúc này,
π
trở thành vector đặc trưng chính của ma trận A
T
với giá trị đặc trưng là 1.
Trong PageRank, được sử dụng như là vector P. Dựa vào đây, ta một lần nữa thu được
phương trình (4): P = A
T
.T
Câu hỏi được đưa ra là liệu có hợp lý khi xem P =
π

? Sử dụng
π
như là một
PageRank vector là hợp lý và trực quan vì:
 Nó phản ánh xác suất lâu dài (long-run probability) khi trang web được duyệt
đến một cách ngẫu nhiên.
 Một trang có độ prestige cao nếu xác suất của việc ghé thăm nó là cao.
Trở lại đồ thị web, ta xem xét liệu các điều kiện ở trên đã thỏa mãn? Tức A có phải

là một ma trận biến thiên không? Và liệu nó đã được tối giản và không tuần hoàn? Câu
trả lời là không có bất kì yếu tố nào được thỏa mãn, tuy nhiên ta vẫn cần sử dụng ý kiến
này để tạo ra mô hình PageRank thực.

2.4. Xét các yếu tố
2.4.1. A là Stochastic Matrix?
Ta bắt đầu xem xét từng yếu tố. Đầu tiên là tìm câu trả lời cho câu hỏi “A có phải là
ma trận biến thiên không?”
5
Nếu sử dụng phương trình (3) để định nghĩa cho ma trận A:

ta thấy sẽ không thỏa mãn được phương trình (7)
Σ
n
j = 1

A
i j
= 1 v
ì có rất nhiều trang web
không có outgoing link, mô tả trong ma trận chuyển trạng thái bằng các hàng chỉ toàn giá
trị 0 (các trang hay các node như vậy còn được gọi là dangling page). Do đó A không
phải là một ma trận biến thiên.
Lấy ví dụ về một đồ thị web như sau:

Đồ thị trên sẽ được biểu diễn trên ma trận kề như sau:

Nhìn ma trận kề ta nhận thấy node hay trang 5 không có outgoing link tương ứng
với đồ thị. Để giải quyết vấn đề này ta thực hiện hai bước sau:
 Xóa toàn bộ các trang không có outgoing link trong quá trình tính toán

PageRank, xem như những trang này không tác động trực tiếp đến thứ hạng của
các trang khác.
 Thêm vào tập các outgoing link từ tất cả các trang khác. Nói cách khác, ta xem
như những trang không có outgoing link đều trỏ đến tất cả các trang trong đồ thị.
Lúc này, hàng thứ 5 trong ma trận kề sẽ được biểu diễn lại như sau:
6
Ta thấy giá trị các cột trong hàng 5 đều bằng nhau, xem như xác suất trỏ đến tất cả
các trang trong đồ thị từ trang 5 là như nhau.

2.4.2. A có Inrreducible?
Như vậy, yếu tố A là ma trận biến thiên đã không thỏa, tiếp theo ta xét xem: “Ma trận
A đã được tối giản chưa?”
Như đã xác định ở trên, ma trận A tối giản là khi nó là đồ thị liên thông mạnh. Nhưng
ma trận A không thể hiện được điều đó vì một số node u, v không có đường đi giữa
chúng (trường hợp node 3 và 4 ở ví dụ trên).

2.4.3. A có Aperiodic?
Một trạng thái i trong chuỗi Markov là tuần hoàn có nghĩa là tồn tại một chu kì cho
phép chuỗi Markov đi qua. Ta có định nghĩa: một trạng thái i là tuần hoàn với một khoảng
thời gian thực hiện chu kì (period) k > 1 với k là con số nhỏ nhất (chu kì ngắn nhất) trong
số các đường đi bắt đầu từ i có thể quay về i. Một trạng thái tuần hoàn được gọi là
periodic và không tuần hoàn gọi là aperiodic (ví dụ k = 1), và một chuỗi Markov là không
tuần hoàn khi tất cả trạng thái đều không tuần hoàn (đồ thị không có chu kì).
Sau đây là một ví dụ về chuỗi Markov tuần hoàn với k = 3:
Ma trận tương ứng với đồ thị trên là:

2.5. Công thức hoàn chỉnh
2.5.1. Cải tiến PageRank
Để giải quyết hai vấn đề tối giản và không tuần hoàn, ta thêm vào một liên kết từ
một trang đến mọi trang và gán cho mỗi liên kết một xác suất chuyển trạng thái nhỏ, còn

gọi là tham số d. Nhờ vào đó, ta sẽ thỏa mãn cả hai yêu cầu trên. Sau khi thêm liên kết
7
vào, tại mỗi trang sự duyệt ngẫu nhiên có hai chọn lựa là ngẫu nhiên nhảy đến một trang
khác (trạng thái khác) với xác suất d hoặc là với xác suất 1 – d. Từ đây, ta viết lại
phương trình (4):
với E là ee
T
(e là vector cột có tất cả giá trị là 1) đồng nghĩa với E là một ma trận nxn với
tất cả giá trị các ô là 1.

2.5.2. Công thức cuối cùng
Công thức (13) thỏa mãn hai điều kiện tối giản và không tuần hoàn, do đó


là một ma trận biến thiên. Ta có thể rút gọn phương trình (13) với e
T
P
= n để có phương trình sau:
Lúc này, PageRank của trang i sẽ là:
Phương trình (15) tương ứng với công thức được đưa ra trong paper:
Ngoài ra, tham số d còn được gọi là nhân tố hãm (damping factor), có giá trị là một
số thực trong khoảng từ 0 đến 1. Trong paper, tác giả đã sử dụng d = 0.85.

2.5.3. Tính PageRank
Để tính PageRank, ta sử dụng phương pháp Power Iteration đã giới thiệu tại 2.1:

3. KẾT LUẬN
Qua bài viết, ta đã tìm hiểu bản chất cũng như các ngóc ngách của thuật toán
PageRank nguyên thủy. Tuy hiện giờ, Google đã qua nhiều lần cải tiến giải thuật, thêm
vào các mô hình hỗ trợ như sandbox, nhưng cốt lõi của thuật toán vẫn không thay đổi.

Cũng cần phải nhấn mạnh rằng, tính đến thời điểm hiện tại của bài viết này, trên thế
giới cũng đang xuất hiện những công trình tìm kiếm khác (Wolframe Alpha [6], MapTube
[7], …) với hy vọng sẽ thay đổi được quan niệm của người dùng về ứng dụng tìm kiếm
như Google đã làm cách đây hơn 10 năm. Hy vọng ta sẽ sớm chứng kiến một bước
chuyển mới về các ứng dụng tìm kiếm trong một tương lai không xa.
8

9