GIẢI CHI TIẾT ĐỀ TOÁN TỐT NGHIỆP 2013

KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2013
Môn: Toán- Giáo dục trung học phổ thông
Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian phát đề
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

www.Giasunhatrang.net




I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1. (3,0 điểm). Cho hàm số y= x
3
– 3x -1.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C),biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9.
Câu 2. (3,0 điểm)
1) Giải phương trình 3
1-x
– 3
x
+2 = 0 .
2) Tính tích phân
2
0
I (x 1)cos xdx

 

.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

2
y x 3 xln x  
trên đoạn [1; 2].
Câu 3. (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30
0
. Tính thể
tích của khối chóp S.ABCD theo a.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được chọn một trong hai
phần .
1. Theo chương trình Chuẩn :
Câu 4a (2,0 điểm).
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(-1,2,1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x +2y + 2z = 0
1) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).
2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là góc tọa độ và tiếp xúc với (P).
Câu 5a. (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn (1 + i )z – 2 – 4i = 0. Tìm số phức liên hợp của z.
2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu 4b. (2,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho điểm A(–1; 1; 0) và đường thẳng d có phương
trình
x 1 y z 1
1 2 1
 
 


1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng d.
2) Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho độ dài đoạn AM bằng
6

Câu 5b. (1,0 điểm). Giải phương trình

2
z (2 3i)z 5 3i 0     trên tập số phức

Hết
Thí sinh không sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm








Giải chi tiết đề toán tốt nghiệp năm 2013

Câu 1. (3,0 điểm). Cho hàm số y= x
3
– 3x -1.
1) KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = x
3
- 3x - 1
1. TẬP XÁC ĐỊNH: D = (-∞ ; +∞)
2. SỰ BIẾN THIÊN
a) Đạo hàm
y' = 3x
2
-3
y' = 0 ↔ x = -1 ; x = 1 ;
→ hàm số đạt 2 cực trị tại: A ( -1 ; 1 ), B ( 1 ; -3 )
b) Giới hạn và các đường tiệm cận

+ Giới hạn tại vô cực

limy
x
 
=
c) Bảng biến thiên

x -∞ -1 1 +∞
y’ + 0 - 0 +

y 1 +∞
-∞ -3

d) Chiều biến thiên và các cực trị
+ Hàm số đồng biến trên ( -∞ ; -1 )
+ Hàm số nghịch biến trên ( -1 ; 1 )
+ Hàm số đồng biến trên ( 1 ; +∞ )
+ Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1; giá trị cực đại của hàm số là y = 1
+ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1; giá trị cực tiểu của hàm số là y = -3

3. ĐỒ THỊ
a) Bảng giá trị

x -2 -1 1 2
y -3 1 - 3 1

b) Vẽ

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C),biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9.

 Gọi M(x
0
,y
0
) là tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)


0
' 2
(x ) 0
y =3x -3


 Hệ số góc bằng 9 →
2
0
3x -3
= 9 →
0
0
2
2
x
x



 



→
0
0
1
3
y
y



 



Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của đồ thi (C)
+Với x
o
=2
Phương trình tiếp tuyến: y = 9x

17
+Với x
o
=

2
Phương trình tiếp tuyến: y = 9x + 15
Câu 2. (3,0 điểm)
1) Giải phương trình 3
1-x

– 3
x
+2 = 0 .
Giải:
3
1-x
– 3
x
+2 = 0 ↔
3
3 2 0
3
x
x
  
(1)
Đặt t = 3
x
, đk t > 0
Phương trình (1) ↔
3
2 0-t
t
 
↔ -t
2
+2 t + 3 = 0 ↔
1
3
(loaïi)t

t

 



→ x = 1
Vậy nghiệm phương trình là: x =1
2)Tính tích phân
2
0
I (x 1)cos xdx

 

.
Giải
Ta đặt
1
osxdx
u x
dv c

 



↔
sinx
du dx

v






I =
 
2
0
1 x sinx


–
2
0
sin xdx


=
 
2
0
1 x sinx


+
2
0

cos x

= π/2
3) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
2
y x 3 xln x  
trên đoạn [1; 2].
Giải:
2
1
3
' (lnx )
x
y
x
  

2
l ln 0 [1;2]
3
 
     
 

 
x
x x
x

→

(2) (1)
[1;2] [1;2]
min 7 2ln 2;max 2    y y y y

Câu 3. (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30
0
. Tính thể
tích của khối chóp S.ABCD theo a.
Giải
Ta có AD vuông góc (SAB) → (SD,SAB)=(SD,SA)=(ASD) = 30
0

→ tan 30
0
=
AD
SA
SA a 3 
Vậy V
S.ABCD

3
2
(ABCD)
1 1 a 3
.S .SA a .a 3
3 3 3
  

Câu 4a (2,0 điểm).
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(-1,2,1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x +2y + 2z = 0
1) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).
2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là góc tọa độ và tiếp xúc với (P).
Giải:
1) Đường thẳng d
 
d
vtcp
quaM -
u (1,2
1,
,2)
2, 1







Phương trình tham số d:
1
2 2 ,
1 2
  


  



 

x t
y t t R
z t

2) Mặt cầu (S) có tâm O, (S) tiếp xúc với (P)  R = d(O, (P)) =
3
1
1 4 4


 

Phương trình mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
= 1.
Câu 5a :
2 4i 2 4i 1 i 2 4i 2i 4
z . 3 i
1 i 1 i 1 i 1 1
     
    
   

Số phức liên hợp của z là
3z i 
.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 4b. (2,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho điểm A(–1; 1; 0) và đường thẳng d có phương
trình
x 1 y z 1
1 2 1
 
 


1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng d.
2) Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho độ dài đoạn AM bằng
6

Giải
1/
(P) d
nên (P) nhận vtcp
d
a

= (1;-2;1)
phương trình (P) : x - 2y + z = 0
2/
M (d) t : M(1 t; 2t; 1 t)      

2

AM 6

2 2 2
(t 2) ( 2t 1) (t 1) 6       
2
6t 6t 0  

S
A
D
B C
t 0 t 1    

Vậy M (1;0;-1) M (0;2;-2)

Câu 5b. (1,0 điểm). Giải phương trình
2
z (2 3i)z 5 3i 0     trên tập số phức
2
z (2 3i)z 5 3i 0    
2 2
(2 3i) 4(5 3i) 25 (5i)       
Một căn bậc 2 của

là : 5i
Nghiệm pt :
2 3i 5i
z 1 4i
2
 

  
hay
2 3i 5i
z 1 i
2
 
  