LƠI GIẢI CHI TIẾT TOÁN 10 ĐHSP 2013

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2013
Môn thi : TOÁN
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường THPT chuyên ĐHSP)
Thời gian làm bài :120 phút
Câu 1(2,5 điểm)
1.Cho biểu thức
3
2
2
3 3
a b
a a b b
ab a
a b
Q
a b ab a b b a
−
 
+ +
 ÷
−
+
 
= +
+ −
với a>0 ; b>0 a
≠

b.
Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b
2.Các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=0.Chứng minh đẳng thức

( )
4442222
2)( cbacba ++=++
Câu 2(2 điểm) Cho Parabol (P) : y=x
2
và đường thẳng (d) :
2
2
1
m
mxy
+−=
( tham số m
≠
0).
1.Chứng minh rằng với m
≠
0 đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân
biệt
2. Gọi
( ) ( )
2211
;;; yxByxA
là giao điểm của (d) và (P).Tính giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2

2
2
1
yyM
+=
Câu 3 (1,5 điểm)GiảI sử a,b,c là các số thực a
≠
b sao cho hai phương trình
;01
2
=++ axx

;0
2
=++ cbxx
có nghiệm chung và 2 phương trình
;0
2
=++ axx
;0
2
=++ bcxx
có nghiệm chung. Tính a+b+c.
Câu 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn
(O) Các đường cao AA
1
;BB
1
;CC
1

của tam giác ABC cắt nhau tại H.Các đường thẳng
A
1
C
1
và AC cắt nhau tại điểm D, gọi X là giao điểm thức hai của đường thẳng BD
với đường tròn (O)
1.Chứng minh rằng DX.DB=DC
1
.DA
1
2.Gọi M là trung điểm cạnh AC .Chứng minh DH
⊥
BM
Câu 5: (1 điểm) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn





+++++=+++++
+++++=+++++
201320122011201320122011
201320122011201320122011
yxzxzy
xzyzyx
Chứng minh rằng x=y=z
Hết
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh số báo danh

GV: KIỀU ĐÌNH PHÚ -THCS TT SÔNG THAO.CẨM KHÊ-PHÚ THỌ
hướng dẫn giải :
Câu 1:
a)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
3
3
2 2
2 2
2
2
2
2
3 3 3 3
3 3 2 1 3 3 3 1
3 3 3 3
3 3 3 3 3
0
3 3
a b
a a b b
a b a a b b a a b
ab a
a b
Q
a b ab a a b a a b ab a a b
a a b b a b b a a a b b a a a b b a

a b ab a b a b ab a b
a a a b b a a b a b ab
a b ab a b
−
 
+ +
 ÷
− + + −
−
+
 
= + = −
+ − + −
− − + + + − +
= − = −
+ + + +
− + + − −
= =
+ +
b)
Ta có
)(*)(2)(
2222222222444
accbbacbacba ++−++=++
Từ a+b+c=0 ta có
2
)(
)(2
2
)(2

2
2222
222222
2
222
222222
222
cba
accbba
cba
cbaabcaccbba
cba
cabcab
++
=++⇔








++
=+++++⇔
++
=++
Thay vào (*) Ta có ĐPCM
Câu 2
1. Ta có tọa độ giao (d) và (P) là nghiệm của hệ PT






=−+
=
⇔





+−=
=
(*);0
2
1
2
1
2
2
2
2
2
m
mxx
xy
m
mxy

xy
Xét PT(*) có
022
2
2
2
>≥+=∆
m
m
⇒
Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với
m∀
≠
0
Vậy
( )d
cắt
( )P
tại 2 điểm phân biệt
2.
Ta có
( ) ( )
[ ]
2
2
2
1
2
21
2

21
2
2
2
1
2
2
2
2
1
4
2
4
1
2
2
2
1
222 xxxxxxxxxxxxyyM
−−+=−+=+=+=
Áp dụng định lý Viet:





−
=
−=+
2

21
21
2
1
m
xx
mxx
thay vào M ta có
222
2
1
2
11
4
4
4
2
2
2
+≥++=−






+=
m
m
mm

mM
Min(M)=
22 +
O
C1
A1
E
H
M
X
D
C
B
A
khi
8
1
2
m = ±
Câu 3: Giả sử phương trình x
2
+ax +1 =0 (1) và x
2
+bx +c =0 (2)có nghiệm chung x
0
tính

được : x
0
( a-b) = c-1

ba
c
x
−
−
=⇔
1
0
( vì a
)b≠
suy ra nghiệm còn lại của phương trình
(1) là: x
2
=
1−
−
c
ba
(c
≠
1 vì 0 không là nghiệm của pt (1) )
Giả sử Phương trình : x
2
+x +a =0 (3) và x
2
+ cx +b=0 (4) có nghiệm chung x
1

ta có : x
1

( 1-c) = b-a
⇔
x
1 =
1−
−
c
ab
=
x
2

vậy pt (1) ; (2) (3) có nghiệm chung x
1

từ (1) và (3) ta có (a-1) (x
1
-1) =0
nếu a=1
⇔
x
2
+x+1 =0 vô lý vậy x
1
=1 từ đó tính được
a+b +c =-3
Bài 4:
1) Dễ đang chứng minh tứ giác AC
1
A

1
C nội tiếp suy ra DA.DC = DC
1
.DA
1
tứ giác DXBC nội tiếp nên AD.DC= DX. DB
Vậy DX.DB = DC
1
.DA
1
2) Vì : DX.DB = DC
1
.DA
1
nên tứ giác A
1
BX C
1
nội tiếp suy ra
BXC
1
+ BA
1
C
1
=180
0
do tứ giác BA
1
HC

1
nội tiếp BA
1
C
1
= BHC
1

nên tứ giác BXC
1
H nội tiếp suy ra BXH =90
0
vậy HX
⊥
BD (1)
kẻ đường kính BE dễ dàng chừng minh tứ giác AEHC là hình
bình hành từ đó suy ra HME thẳng hàng
tứ giác BCEX nội tiếp nên BXE =90
0
vậy EX
⊥
BD (2) từ (1) và (2) suy ra X,H,M,E thẳng hàng
vậy MX
⊥
BD lại có BH
⊥
DM nên H là trực tâm tam giác DBM
suy ra DH
⊥
BM

Câu 5.
2011 2012 2013 2011 2012 2013
2011 2012 2013 2011 2012 2013
x y z y z x
y z x z x y

+ + + + + = + + + + +


+ + + + + = + + + + +



Đặt
2011, 2011, 2011a x b y c z
= + = + = +
Ta có hệ
1 2 1 2
1 2 1 2
A B
B C
a b c b c a
b c a c a b

+ + + + = + + + +



+ + + + = + + + +




1 4 4 4 2 4 4 43 1 4 4 4 2 4 4 43
1 4 4 4 2 4 4 43 1 4 4 4 2 4 4 43
vai trò x,y z bình đẳng
Giả sử
ax{a;b;c}c m
=
vì
A C
=
Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 1
1 1 1 1
*
1 2 1 2 1 1
a b c c a b
a a b b c c
a a b b c c c c
a a b b c c c c
+ + + + = + + + +
⇔ + − + + − + = + −
⇔ + − + + − + = + − + + + −
⇔ + = +

+ + + + + + + + + +

Mặt khác,
1 1
1 1
1 1
2 1 2 1
c a
a a c c
c b
b b c c
≥ ⇒ ≤
+ + + +
≥ ⇒ ≤
+ + + + + +

Suy ra (*) xảy ra khi a=b=c, suy ra x=y=z.