Đề+ Đáp án chuyên toán- tin Lê Quý Đôn-Bình Định 2013-2014

Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014
BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
Đề chính thức Môn thi: Toán ( Chuyên toán - tin )
Ngày thi: 15/6/2013 Thời gian làm bài: 150’
Bài 1: ( 2,5 đ) Cho biểu thức:
( )
x 2 x 2
Q x x
x 1
x 2 x 1
 
+ −
= − +
 ÷
 ÷
−
+ +
 
( Với x ≥ 0 ; x ≠ 1)
1. Rút gọn Q
2.Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên
Bài 2: (2 đ) Giải hệ phương trình:
x 2 3 13
x 3 y 1 1 0
3 2y 4 11
x 3 y 1 6

−
+ =


− +


+

− = −

− +

Bài 3: (1,5 đ) Cho a,b,c là các số thực dương. CMR :
bc ca ab
a b c
a b c
+ + ≥ + +
.
Bài 4: (3 đ) Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng (d) không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A,B.
Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn ( C,D là các tiếp
điểm). Gọi H là trung điểm của AB.
1. CMR các điểm M,D,O,H cùng nằm trên một đường tròn.
2. Đoạn OM cắt đường tròn tại điểm I. CMR I là tâm đường tròn nội tiếp ∆MCD.
3. Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí
điểm M trên (d) sao cho diện tích ∆ MPQ bé nhất.
Bài 5: (1 đ) : Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức:
A 7 13 7 13 2= + − − −
*
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: ( 2,5 đ) Cho biểu thức:
( )
x 2 x 2
Q x x

x 1
x 2 x 1
 
+ −
= − +
 ÷
 ÷
−
+ +
 
( Với x ≥ 0 ; x ≠ 1)
1.Rút gọn Q
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
x 2 x 2 x 2 x 2
Q x x x x 1
x 1
x 2 x 1
x 1 x 1
x 1
x 2 x 1 x 2 x 1
x x 2 x x 2 2x

. x x 1 . x
x 1
x 1 x 1
x 1 x 1
 
 
 ÷
+ − + −
= − + = − +
 ÷
 ÷
 ÷
−
+ +
− +
 ÷
 
+
 
+ − − − +
+ − − + +
= + = =
−
− +
− +
2.Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên:
Q=
{ } { }
2x 2
2 Q x 1 U(2)= 2; 1;1;2 x 1;0;2;3

x 1 x 1
= + ⇒ ∈ ⇔ − ∈ − − ⇔ ∈ −
− −
¢
Kết hợp với điều
kiện =>
{ }
x 0;2;3∈
Vậy với
{ }
x 0;2;3∈
thì Q nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (2 đ) Giải hệ phương trình:
Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định

x 2 3 13 1 3 1 3 1 3 3
1
x 3 y 1 10 x 3 y 1 10 x 3 y 1 10
3 2y 4 11 3 2 11 3 2 1
2
x 3 y 1 6 x 3 y 1 6 x 3 y 1 6
  
−
+ = + + = + =
  
− + − + − +
  
⇔ ⇔
  
+

  
− = − − − = − − =
  
− + − + − +
  
( ĐK x ≠ 3; y ≠ -1)
Đặt a =
1
x 3−
; b=
1
y 1+
ta được hệ :
1 1
3 1
a 3b a
x 13
x 3 10
10 10
(TMDK)
1 1
1 1 y 14
3a 2b b
y 1 15
6 15

 
=
+ = =


 
=

−
  
⇔ ⇔ ⇒ ⇒
   
=

  
=
− = =
 
+

 

Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất (x;y) = (13;14)
Bài 3: (1,5 đ) Cho a,b,c là các số thực dương. CMR :
bc ca ab
a b c
a b c
+ + ≥ + +
.
a,b,c là các số thực dương => Theo BĐT Cô-Si ta được:
( )
bc ca bc ca
2 . 2 c
a b a b
ca ab ab ca bc ca ab bc ca ab

2 . 2a 2 2. a b c a b c
b c c b a b c a b c
bc ab bc ab
2 . 2b
a c a c

+ ≥ =



 

+ ≥ = => + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + +

 ÷
 


+ ≥ =



Bài 4: (3 đ)
1. CMR các điểm M,D,O,H cùng nằm trên một đường tròn.
HA=HB => OH  AB ( đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm) =>
·
OHM
= 90
0
Lại có

·
ODM
= 90
0
( Tính chất tiếp tuyến)
Suy ra
·
OHM
=
·
ODM
= 90
0
=> H,D cùng nhìn đoạn OM dưới 1 góc vuông => H,D cùng nằm trên
đường tròn đường kính OM => các điểm M,D,O,H cùng nằm trên đường tròn đường kính OM
2. Đoạn OM cắt đường tròn tại điểm I. CMR I là tâm đường tròn nội tiếp ∆MCD.
Ta có:
·
·
COI DOI=
( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)=>
º
º
CI DI=
=>
·
·
CDI DIM=
=> DI là phân
giác trong của ∆ MCD (1)

Lại có MI là đường phân giác trong của ∆ MCD ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2)
Từ (1) và (2) suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ MCD
3. Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí
điểm M trên (d) sao cho diện tích ∆ MPQ bé nhất.
Ta có ∆MOD = ∆MOP (g-c-g) => S
∆ MPQ
= 2 S
∆ MOQ
=OD.MQ = R.MQ
=> S
∆ MPQ
nhỏ nhất  MQ nhỏ nhất (3)
Theo BĐT Cô – si cho hai số không âm ,
ta có: MQ = MD+DQ ≥
2
2 MD.DQ 2 OD 2OD 2R= = =
( Vì ∆ MOD vuông tại O có đường cao OD nên OD
2
=MD.DQ )
Dấu “=” xảy ra
⇔
MD= DQ
⇔
∆OMQ vuông cân tại O
⇔
·
0
OMD 45=
⇔
OM

0
OD R
2.R
sin OMD sin 45
= = =
(Vì ∆ ODM vuông nên OD= OM.sinOMD )
Vậy MQ
min
= 2R
⇔
OM =
2
R (2)
Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định
Từ (3) và (4) suy ra khi M nằm trên (d) cách O một khoảng
2
R thì S
∆ MPQ
nhỏ nhất là R.2R=2R
2

( d.v.d.t)
Bài 5: (1 đ) :
A 7 13 7 13 2= + − − −
.Ta có:

( ) ( )
2 2
2.A 14 2 13 14 2 13 2 13 1 13 1 2
13 1 13 1 2 13 1 13 1 2 0

A 0
= + − − − = + − − −
= + − − − = + − + − =
=> =