De dap an chuyen toan lam dong nam 2008_2009

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 1 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Ngày thi : 20 tháng 6 năm 2008
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 : (1,5đ) Rút gọn biểu thức P =
2009 4 502 2009 4 502+ − −
Câu 2 : (1,5đ) Cho
α
là góc nhọn. Rút gọn biểu thức M = sin
6
α
+ cos
6
α
+ 3sin
2
α
cos
2
α
Câu 3 : (1,5đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =
2
–3x 6x 27+ +
Câu 4 : (1,5đ) Giải hệ phương trình
2 2
4x + 9y = 72
xy = 6




Câu 5 : (1,5đ) Giải phương trình (x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2) = 12.
Câu 6 : (1,5đ) Tam giác ABC vuông tại A có BC = 2AB. Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác ABC, BO cắt AC tại M. Chứng minh: BM = (
3
+1).OM
Câu 7 : (1đ) Chứng minh rằng nếu hai số nguyên dương a và b thỏa mãn hệ thức
( ) ( )
–
2 2
a b a b 5ab+ + =
thì một trong hai số sẽ gấp đôi số còn lại.
Câu 8 : (1,5đ) Gọi S, p và r lần lượt là diện tích, nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp
tam giác ABC. Chứng minh : S = pr.
Câu 9 : (1,5đ) Cho ba số không âm a, b và c. Chứng minh : a + b + c
≥
ab+ bc+ ca

Câu 10 : (1,5đ) Cho tam giác ABC cân tại A (
µ
A
<90
o
), các đường cao AD và BE cắt nhau tại

H, biết DH = 2cm, BC = 8cm. Tính diện tích tam giác ABC.
Câu 11 : (1đ ) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH (H
∈
BC). Vẽ hình vuông MNPQ cạnh
a thỏa mãn M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC và P, Q thuộc cạnh BC. Chứng minh :
1 1 1
AH BC a
+ =
Câu 12 : (1,5đ) Tìm số tự nhiên a biết a + 16 và a – 73 là các số chính phương.
Câu 13 : (1,5đ) Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) + 3f(
1
x
) = 5x với mọi số thực x khác 0. Gọi M
là điểm thuộc trục hoành với hoành độ bằng
3
. Chứng minh M thuộc đồ thị hàm số f(x).
Câu 14 : (1,5đ) Gọi AB là một dây cố định của đường tròn (O; R) và M là một điểm thuộc
đường tròn. Chứng minh khi M di động trên đường tròn (O) thì trọng tâm G của tam giác
ABM cũng di động trên một đường tròn cố định.
----------- HẾT ----------

HỌ VÀ TÊN THÍ SINH :.......................................................................Số báo danh................
Chữ ký giám thị 1 :....................................... Chữ ký giám thị 2 ...............................................
Trang 1/1
1 : (1,5đ) P =
2009 2 2008 2009 2 2008+ − −
0,25đ
=
( ) ( )
2 2

2008 1 2008 1+ − −
=
2008 1 2008 1+ − −
0,75đ
=
( ) ( )
2008 1 2008 1+ − −
=
2008 1 2008 1+ − +
= 2 0,5đ
Câu 2 : (1,5đ)
M = sin
6
α
+ cos
6
α
+ 3sin
2
α
cos
2
α
= (sin
2
α
)
3
+ (cos
2

α
)
3
+ 3sin
2
α
cos
2
α
0,25đ
= (sin
2
α
+ cos
2
α
)(sin
4
α
– sin
2
α
cos
2
α
+ cos
4
α
) + 3sin
2

α
cos
2
α
0,25đ
= sin
4
α
+ 2sin
2
α
cos
2
α
+ cos
4
α
(vì sin
2
α
+ cos
2
α
= 1) 0,5đ
= (sin
2
α
+ cos
2
α

)
2
= 1
2
= 1 0,5đ
Câu 3 : (1,5đ) Q = –3(x
2
– 2x – 9) 0,25đ
= –3(x
2
– 2x + 1 – 10) = –3[(x – 1)
2
– 10] 0,75đ
= –3(x – 1)
2
+ 30
≤
30 Vậy max Q = 30 khi x = 1 0,5đ
Câu 4 : (1,5đ)
2 2
4x + 9y = 72 (1)
xy = 6 (2)



Từ (1)
⇒
4x
2
– 12 xy + 9y

2
= 72 – 12xy kết hợp với (2)

⇒
(2x – 3y)
2
= 72 – 12.6 = 0
⇒
2x – 3y =0
⇒
2x = 3y 0,75đ

⇒
2x
2
= 3xy = 3.6 = 18
⇒
x
2
= 9

⇒

x = 3 y = 2
x = 3 y = 2
⇒


− ⇒ −


Vậy hệ có hai nghiệm (3; 2) và (–3; –2) 0,75đ
Câu 5 : (1,5đ) (x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2) = 12
Đặt x
2
+ x + 1 = t
⇒
t(t+1) = 12
⇒
t
2
+ t –12 = 0 0,5đ
⇒

2
2
4
t = 3 x + x + 1 = 3 x= 1 ; x = 2
t = x + x + 1 = 4 (voâ nghieäm)

⇒ ⇒ −

− ⇒ −

1,0đ
Câu 6 : (1,5đ)
Kẻ OH

⊥
AB
⇒

BM BA
OM HA
=
(định lý Talet) =
BH HA
HA
+
=
BH
1
HA
+
0,75đ
Chứng minh
·
o
HAO 45=
⇒
HA = HO; 0,25đ
Chứng minh
·
o
HBO 30=
⇒

o

BH
cotg30
HA
=
=
3
0,25đ
Vậy
BM
3 1
OM
= +

⇒
BM = (
3 1+
).OM (đpcm) 0,25đ
Câu 7 : (1,0đ)
(a + b)
2
+ (a – b)
2
= 5ab
⇒
a
2
+ 2ab + b
2
+ a
2

– 2ab + b
2
= 5ab 0,25đ
⇒
2a
2
+ 2b
2
– 5ab = 0
⇒
2a
2
– 4ab + 2b
2
– ab = 0 0,25đ
⇒
2a(a – 2b) + b(2b – a) = 0
⇒
2a(a – 2b) – b(a – 2b) = 0 0,25đ
⇒
(a – 2b)(2a – b) = 0
⇒
a = 2b hoặc b = 2a (đpcm) 0,25đ
Câu 8 : (1,5đ)
Trang 1/1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Ngày thi : 20 tháng 6 năm 2008
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn : TOÁN
45
°
30
°
H
O
M
C
B
A
O
A
B
C
r
r
r
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp
S
ABC

= S
OAB

+ S
OBC

+ S
OCA

=
1 1 1
r.AB+ r.BC+ r.CA
2 2 2
0,75đ

=
1
r(AB+BC+CA)
2
=
1
r.2p
2
= pr (đpcm) 0,75đ
Câu 9 : (1,5đ) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:
a b
ab
2
+
≤
;
b c
bc
2
+
≤
;
c a

ca
2
+
≤
0,5đ
Công vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta được:
ab+ bc+ ca
≤
a b b c c a
2 2 2
+ + +
+ +

ab bc ca a b c⇔ + + ≤ + +
(đpcm) 1,0đ
Câu 10 : (1,5đ)
Chứng minh
∆
DEH đồng dạng
∆
DAE 0,5đ
⇒
DE
2
= DA. DH mà DE = 4
(trung tuyến ứng cạnh huyền trong
∆
BEC) 0,5đ
⇒
DA = 8

⇒
S
ABC
=
1
2
AD.BC =
1
2
8.8 = 32 (cm
2
) 0,5đ
Câu 11 : (1,0đ )
Gọi K là giao điểm AH và MN
Chứng minh được
AK MN
=
AH BC
⇔

AH KH MN
=
AH BC
−
0,5đ
⇔

AH a a
=
AH BC

−

⇔
1=
a a
BC AH
+

⇔

1 1 1
a BC AH
= +
(đpcm) 0,5đ
Câu 12 : (1,5đ) Tìm số tự nhiên a biết a + 16 và a – 73 là các số chính phương.
Vì a + 16 và a – 73 là các số chính phương
Đặt a + 16 =
2
m
, a – 73 =
2
n
với m, n
∈
N. 0,25đ
⇒
m
2
– n
2

= 89
⇔
(m – n)(m + n) = 89 0,25đ
Vì 89 là số nguyên tố và m – n < m + n nên
m n 1
m n 89
− =


+ =

⇔
m 45
n 44
=


=

0,75đ
a +16 = 45
2

⇒
a = 2009 0,25đ
Câu 13 : (1,5đ)
Lấy x =
3

⇒

f(
3
) + 3f(
1
3
) = 5
3
(1) 0,5đ
Lấy x =
1
3

⇒
f(
1
3
) + 3f(
3
) = 5
1
3
⇒
3f(
1
3
) + 9f(
3
) = 15
1
3

= 5
3
(2) 0,5đ
Trừ vế với vế (2) cho (1)
⇒
8f(
3
) = 0
⇒
f(
3
) = 0
⇒
đồ thị hàm số f(x) đi qua điểm M(
3
; 0) (đpcm) 0,5đ
Câu 14 : (1,5đ)
AB cố định
⇒
trung điểm D của AB cố định 0,25đ
Lấy I thuộc đoạn OD sao cho DI = DO/3
⇒
I cố định 0,5đ
Chứng minh IG = OM/3 0,5đ
⇒
G thuộc đường tròn (I, R/3) 0,25đ
Chú ý: Nếu HS giải bằng cách khác thì giám khảo phân bước tương ứng để cho điểm.
----------- HẾT ----------
Trang 1/1
4

4
H
E
A
B C
D
4
2
Q
P
N
A
H
B
M
C
K
G
I
M
O
A B
D