DAP AN TOAN HA NOI 2013

ĐÁP ÁN THI VÀO LỚP 10 TP HÀ NỘI NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN
@

Đáp án





Câu I
1)Với x=64 thì
= 8x
+
⇒= = =
28 10 5
88
A
4
.
2)
−+− +−+
=+ =+ =
++
12 1 1 2 1 12 1
(1) (1)
xxx xxx
B
xxx x xx xx
+
+

2(2)
(1) (1)
xx xx x
xx xx x
++
== =
++
2
1
+
+
.
3) Với x>0, ta có:
22313
3: 22
22
1
Axx x
3
x
x
B
xx x
++ +
>⇔ >⇔ >⇔ +>
+

2xx⇔<⇔<4.
.

Kết hợp với x>0, ta được:
04x
<
<







Câu II
Đổi 30 phút =
1
2
giờ.
Gọi vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B là x (km/h), với x>0.
Thời gian xe đi từ A đến B là
90
()h
x
, vận tốc lúc về BA là 9( / )
x
km h+ .
Thời gian về là
90
()
9
h
x

+
.
Ta có phương trình:
90 90 1 90 90 9 10 10 1
5
92 9 2 92xx xx xx
++=⇔+=⇔+=
+++

22
36 ( )
40 180 9 31 180 0
5( )
x
TM
xxxxx
xL
=
⎡
⇔+=+⇔−−=⇔
⎢
=−
⎣
.
Vậy vận tốc xe máy đi từ A đến B là 36km/h.

Câu III
1)Giải hệ: .
3( 1) 2( 2 ) 4 3( 1) 2( 2 ) 4 (1)
4( 1) ( 2 ) 9 8( 1) 2( 2 ) 18(2)
xxy xxy
xxy x xy
++ + = ++ + =
⎧⎧
⇔
⎨⎨
+− + = +− + =
⎩⎩
Cộng theo vế (1), (2) ta được: 11(x+1)=22
12 1
x
x
⇔
+= ⇔ =
.
Thế vào (1) ta suy ra:
3( . 1 1) 2(1 2 ) 4 1yy++ + =⇔=−
Vậy hệ pt có nghiệm là:
(; ) (1; 1)xy
=
− .

2) Cho
2
1
():
2
Py x
=
,
2
1
(): 1
2
dymx m m
=− ++
.
a)Với m=1 thì (d):
3
2
yx
=+.
Xét PT hoành độ giao điểm:
22
1
13
230
3
22
x
xx x x
x

=−
⎡
=+ ⇔ − −=⇔
⎢
=
⎣
.
Hai giao điểm của (P) và (d) là
19
1; , 3;
22
AB
⎛⎞⎛
−
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎠
.
b) Xét PT hoành độ giao điểm của (d) và (P):

22 22
11
12 22
22
xmx mm x mxm m=− ++⇔− +−−=0
(*)
Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x
1

, x
2
thì PT(*) có 2 nghiệm phân
biệt .
'0 2 20 1mm⇔Δ > ⇔ + > ⇔ >−
Theo hệ thức Vi-ét thì .
12
2
12
2
22
xx m
xx m m
+=
⎧
⎨
=−−
⎩
Ta có:
222 2
12 12 1 2 12 12 12
2( )4 2 4( )4xx xx x x xx xx xx− =⇔ − =⇔ + − =⇔ + − =4
22
1
44(22)48 4
2
mmm m m.
−
⇔− −−=⇔=−⇔=
(TM) Vậy

1
.
2
m
−
=


















Câu IV
1)
Vì
·
·
0

90AMO ANO==
·
AMO
(T/c tiếp
tuyến), do đó: , mà
hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ
giác AMON nội tiếp.
·
0
180ANO+=

T
K
I
C
B
N
M
O
A

2) Xét hai tam giác đồng dạng ABN và ANC (g-g), suy ra
2
.
AN AC
A
NABAC
A
BAN
=⇔ =

.
Nếu AB=4cm, AN=6cm thì
2
9
AN
AC
AB
=
= (cm), khi đó 945BC AC AB
=
−=−=(cm).
3) Vì I là trung điểm của dây cung BC không đi qua tâm O nên hay
, như vậy I và N cùng nhìn đoạn AO dưới góc vuông nên A, N, O, I cùng
nằm trên một đường tròn đường kính AO, do đó: (hệ quả).
OI BC⊥
·
0
90AIO =
·
·
AIN AON=
Mặt khác
·
·
·
1
2
M
TN MON AON==
, suy ra:

·
·
M
TN AIN= và chúng ở vị trí đồng vị nên
MT//AC.
4) Xét tam giác BOK vuông tại B (T/c tiếp tuyến), có đường cao BI nên
mà OB=OM
2
.OB OI OK=
2
.OM OI OK⇒=
OM OK
OI OM
⇒=
, góc MOI chung nên hai
tam giác OIM và OMK đồng dạng (c.g.c)
·
·
M
IO OMK⇒= (1).
Ta có: OM=ON nên (2).
·
·
OMN ONM=
Vì 4 điểm M, N, O, I cùng nằm trên 1 đường tròn đường kính AO và từ (2) nên
·
·
·
·
0

180NMOMIOMNOMIN+= += (3). Từ (1) và (3), suy ra: , do đó
ba điểm M, N, K thẳng hàng hay suy ra: K luôn nằm trên đường thẳng MN cố
định khi d thay đổi.
·
·
0
180NMO KMO+=


Câu V
Theo giả thiết, ta có:
111 1 1 1
6
abcabbcca
+++ + + =
.
Do đó:
22222
222
111 11 11 11 1 1 1
31
abc ab bc ca a b c
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛
++ =− +− +− +−+−+−
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝
2
11
⎞
⎟

⎠

1 1 1111 1 1 1111
2323
ab bc ca a b c ab bc ca a b c
⎛⎞⎛⎞
++++++−≥ +++++−=−=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
1239
.
222
111
3.
abc
⇒++≥
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1. (Đpcm).



Lê Văn Cường, Đỗ Y Linh
Trường THPT Nguyễn Tất Thành-ĐHSP Hà Nội