thiết kế hệ thống định lượng

1
T R   N G   I H  C B Á C H K H O A
KHOA IN
B MÔN T NG HÓA












Lý thuyt
IU KHIN T NG

Liên h :
2

MC LC

Phn m u
1 Khái nim 5
2 Các nguyên tc iu khin t ng 6
2.1 Nguyên tc gi n nh 6
2.2 Nguyên tc iu khin theo chng trình 6
3 Phân loi h thng KT 6
3.1 Phân loi theo c im ca tín hiu ra 6
3.2 Phân loi theo s vòng kín 6
3.3 Phân loi theo kh nng quan sát tín hiu 7
3.4 Phân loi theo mô t toán hc 7

4 Biêu  iu khin t ng trong mt nhà máy 8
5 Phép bin i Laplace 8
Chng 1: MÔ T TOÁN HC CÁC PHN T VÀ H TH!NG I"U KHI#N T$
%NG
1 Khái nim chung 10
2 Hàm truyn t 10
2.1 nh ngh&a : 10
2.2 Phng pháp tìm hàm truyn t 10
2.3 Mt s ví d' v cách tìm hàm truyn t 11
2.4 Hàm truyn t ca mt s thit b in hình 13
2.5 i s s  khi 13
3 Phng trình trng thái 16
3.1 Phng trình trng thái tng quát 16
3.2 Xây dng phng trình trng thái t( hàm truyn t 18
3.3 Chuyn i t( phng trình trng thái sang hàm truyn 20
Chng 2: )C TÍNH %NG HC C*A CÁC KHÂU VÀ C*A H TH!NG TRONG
MI"N TN S!
1 Khái nim chung 24
2 Phn +ng ca mt khâu 24
2.1 Tín hiu tác ng vào mt khâu (các tín hiu tin nh) 24
2.2 Phn +ng ca mt khâu 24
3 c tính tn s ca mt khâu 25
3.1 Hàm truyn t tn s 25
3.2 c tính tn s 26
4 c tính ng hc ca mt s khâu c bn 27
4.1 Khâu t, l 27
4.2 Khâu quán tính b-c 1 27
4.3 Khâu dao ng b-c 2 29
4.4 Khâu không n nh b-c 1 31
4.5 Khâu vi phân lý tng 32

4.6 Khâu vi phân b-c 1 32
4.7 Khâu tích phân lý tng 33
4.8 Khâu ch-m tr 33
Chng 3: TÍNH /N 0NH C*A H TH!NG I"U KHI#N T$ %NG
1 Khái nim chung 35
2 Tiêu chu1n n nh i s 36
2.1 iu kin cn  h thng n nh 36
2.2 Tiêu chu1n Routh 36
2.3 Tiêu chu1n n nh Hurwitz 37
3 Tiêu chu1n n nh tn s 37
3.1 Tiêu chu1n Nyquist theo c tính tn s biên pha 37
3
3.2 Tiêu chu1n Nyquist theo c tính tn s logarit 37
3.3 Tiêu chu1n n nh Mikhailov 38
4 Phng pháp qu2 o nghim s 38
4.1 Phng pháp xây dng QNS 38
Chng 4: CH3T L4NG C*A QUÁ TRÌNH I"U KHI#N
1 Khái nim chung 41
1.1 Ch  xác l-p 41
1.2 Quá trình quá  41
2 ánh giá ch5t l6ng  ch  xác l-p 41
2.1 Khi u(t) = U
0
.1(t) 42
2.2 Khi u(t) = U
0
.t 42
3 ánh giá ch5t l6ng  quá trình quá  42
3.1 Phân tích thành các biu th+c n gin 42
3.2 Phng pháp s Tustin 42

3.3 Gii phng trình trng thái 44
3.4 S7 d'ng các hàm ca MATAB 44
4 ánh giá thông qua  d tr n nh 45
4.1  d tr biên  45
4.2  d tr v pha 45
4.3 Mi liên h gia các  d tr và ch5t l6ng iu khin 45
5 Tính iu khin 6c và quan sát 6c ca h thng 46
5.1 iu khin 6c 46
5.2 Tính quan sát 6c 46
Chng 5: NÂNG CAO CH3T L4NG VÀ T/NG H4P H TH!NG
1 Khái nim chung 48
2 Các b iu khin – Hiu ch,nh h thng 48
2.1 Khái nim 48
2.2 B iu khin t, l P 48
2.3 B bù s8m pha Lead 48
2.4 B bù tr. pha Leg 49
2.5 B bù tr s8m pha Leg -Lead 50
2.6 B iu khin PI (Proportional Integral Controller) 51
2.7 B iu khin PD (Proportional Derivative Controller) 51
2.8 B iu khin PID (Proportional Integral Derivative Controller) 52
3 Tng h6p h thng theo các tiêu chu1n ti u 53
3.1 Phng pháp ti u modun 53
3.2 Phng pháp ti u i x+ng 54
Chng 6: H TH!NG I"UKHI#N GIÁN ON
1 Khái nim chung 56
2 Phép bin i Z 56
2.1 nh ngh&a 56
2.2 Mt s tính ch5t ca bin i Z 57
2.3 Bin i Z ng6c 57
3 L5y m9u và gi m9u 58

3.1 Khái nim 58
3.2 L5y m9u 58
3.3 Gi m9u 59
4 Hàm truyn t h gián on 60
4.1 Xác nh hàm truyn t W(z) t( hàm truyn t h liên t'c 60
4.2 Xác nh hàm truyn t t( phng trình sai phân 65
5 Tính n nh ca h gián on 65
5.1 Mi liên h gia mt ph:ng p và mt ph:ng z 65
5.2 Phép bin i tng ng 65
Ph' l'c: CONTROL SYSTEM TOOLBOX & SIMULINK TRONG MATLAB
4

1 Control System Toolbox 66
1.1 nh ngh&a mt h thng tuyn tính 66
1.2 Bin i s  tng ng 68
1.3 Phân tích h thng 69
1.4 Ví d' tng h6p 71
2 SIMULINK 73
2.1 Khi ng Simulink 73
2.2 To mt s  n gin 74
2.3 Mt s khi th;ng dùng 75
2.4 Ví d' 76
2.5 LTI Viewer 77
Phn m u
5
















iu khin hc là khoa hc nghiên cu nhng quá trình iu khin và thông tin trong các
máy móc sinh vt. Trong iu khin hc, i tng iu khin là các thit b, các h thng k
thut, các c c sinh vt…
iu khin hc nghiên cu quá trình iu khin các i tng k thut c gi là iu
khin hc k thut. Trong ó « iu khin t ng » là c s lý thuyt ca iu khin hc k
thuât.
Khi nghiên cu các qui lut iu khin ca các h thng k thut khác nhau, ngi ta s
dng các mô hình toán thay th cho các i tng kho sát. Cách làm này cho phép chúng ta
m rng phm vi nghiên cu và tng quát bài toán iu khin trên nhiu i tng có mô t
toán hc ging nhau.
Môn hc iu khin t ng cung cp cho sinh viên các kin thc c bn v xây dng
mô hình toán hc ca mt i tng và ca c h thng. Trên c s ó, sinh viên có kh nng
phân tích, ánh giá cht lng ca h thng iu khin. Ngoài ra, bng các phng pháp
toán hc, sinh viên có th tng hp các b iu khin thích hp  h thng t c các ch
tiêu cht lng  ra.
1 Khái nim
Mt h thng KT 6c xây dng t( 3 b ph-n ch yu theo s  sau :


Trong ó :

- O : i t6ng iu khin
- C : b iu khin, hiu ch,nh
- M : c c5u o l;ng
Các loi tín hiu có trong h thng gm :
- u : tín hiu ch o (còn gi là tín hiu vào, tín hiu iu khin)
- y : tín hiu ra
- f : các tác ng t( bên ngoài
- z : tín hiu phn hi
- e : sai lch iu khin

Ví d v mt h thng iu khin
n gin







C O
M
u

f
y

e
z
h

l

Q
i

Q
0

Phn m u
6


2 Các nguyên tc iu khin t ng
2.1 Nguyên tc gi n nh
Nguyên tc này gi tín hiu ra b<ng mt h<ng s trong quá trình iu khin, y = const. Có 3
phng pháp  thc hin nguyên tc gi n nh gm :
- Phng pháp bù tác ng bên ngoài (a)
- Phng pháp iu khin theo sai lch (b)
- Phng pháp h=n h6p (c)



2.2 Nguyên tc iu khin theo chng trình
Nguyên tc này gi tín hiu ra y = y(t) theo mt chng trình ã 6c nh s>n.  mt tín
hiu ra nào ó thc hin theo chng trình, cn phi s7 d'ng máy tính hay các thit b có lu
tr chng trình. 2 thit b thông d'ng ch+a chng trình iu khin là :
- PLC (Programmable Logic Controller)
- CLC (Computerized Numerical Control)
3 Phân loi h thng KT
3.1 Phân loi theo c im ca tín hiu ra

- Tín hiu ra n nh
- Tín hiu ra theo chng trình
3.2 Phân loi theo s vòng kín
- H h: là h không có vòg kín nào.
- H kín: có nhiu loi nh h 1 vòng kín, h nhiu vòng kín,…
C

O
M

u

f
y

e
a)

M

b)

f
C

u

e
y

O
M
2

c)

f
C

u

e
y

O
M
1

Phn m u
7
3.3 Phân loi theo kh nng quan sát tín hiu
3.3.1 H thng liên tc
Quan sát 6c t5t c các trng thái ca h thng theo th;i gian.
Mô t toán hc : phng trình i s, phng trình vi phân, hàm truyn
3.3.2 H thng không liên tc
Quan sát 6c mt phn các trng thái ca h thng. Nguyên nhân:
- Do không th t 6c t5t c các cm bin.
- Do không cn thit phi t  các cm bin.
Trong h thng không liên t'c, ng;i ta chia làm 2 loi:
a) H thng gián on (S. discret)

Là h thng mà ta có th quan sát các trng thái ca h thng theo chu k? (T). V bn ch5t, h
thng này là mt dng ca h thng liên t'c.
b) H thng vi các s kin gián on (S à événement discret)
- c trng bi các s kin không chu k?
- Quan tâm n các s kin/ tác ng

Ví d v h thng liên tc, gián on, h thng vi các s kin gián on



3.4 Phân loi theo mô t toán hc
- H tuyn tính: c tính t&nh ca t5t c các phân t7 có trong h thng là tuyn tính. c
im c bn: xp chng.
- H phi tuyn: có ít nh5t mt c tính t&nh ca mt phn t7 là mt hàm phi tuyn.
- H thng tuyn tính hóa: tuyn tính hóa t(ng phn ca h phi tuyn v8i mt s iu
kin cho tr8c  6c h tuyn tính gn úng.
Bng
chuyn 2
Piston
3
2
Piston 1

Bng
chuyn 3

Bng
chuyn 1
Phn m u
8

4 Biêu  iu khin t ng trong mt nhà máy

5 Phép bin i Laplace
Gi s7 có hàm f(t) liên t'c, kh tích. nh Laplace ca f(t) qua phép bin i laplace, ký
hiu là F(p) 6c tính theo nh ngh&a:
0
( ) ( )
pt
F p f t e dt
∞
−
=


- p: bin laplace
- f(t): hàm gc
- F(p): hàm nh

Mt s tính cht ca phép bin i laplace

1. Tính tuyn tính
{
}
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
L af t bf t aF p bF p
+ = +

2. nh laplace ca o hàm hàm gc
{

}
'
( ) ( ) (0)
L f t pF p f
= −

Nu các iu kin u b<ng 0 thì:
{
}
( )
( ) ( )
n n
L f t p F p
=
Qu
n lý nh
à máy
iu khin, giám sát,

bo d@ng
B
 iu khin, iu ch,nh, PLC

C
m bin, c cu chp hành

Niv 4

Niv 2

Niv 1

Niv 0

Niv 3

Qu
n lý sn xut,
lp k hoch sx
.

Phn m u
9
3. nh laplace ca tích phân hàm gc
0
( )
( )
t
F p
L f d
p
τ τ
 
 
=
 
 
 


4. nh laplace ca hàm gc có tr.
{
}
( ) ( )
p
L f t e F p
τ
τ
−
− =

5. Hàm nh có tr.
{
}
( ) ( )
at
L e f t F p a
−
= +

6. Giá tr u ca hàm gc
(0) lim ( )
p
f pF p
→∞
=

7. Giá tr cui ca hàm gc
0
( ) lim ( )

p
f pF p
→
∞ =


NH LAPLACE VÀ NH Z CA MT S HÀM THÔNG DNG

f(t) F(p) F(z)
δ
(t)
1 1
1
1
p

1
z
z
−

t
2
1
p

( )
2
1
Tz

z −

2
1
2
t

3
1
p

(
)
( )
2
3
1
2 1
T z z
z
+
−

e
-at

1
p a
+

aT
z
z e
−
−

1-e
-at

( )
a
p p a
+

(
)
( )
( )
1
1
aT
aT
e z
z z e
−
−
−
− −

sinat

2 2
a
p a
+

2
sin
2 cos 1
z aT
z z aT
− +

cosat
2 2
p
p a
+

2
2
cos
2 cos 1
z z aT
z z aT
−
− +


Chng 1 Mô t toán hc

10

MÔ T TOÁN HC CÁC PHN T
VÀ H THNG IU KHIN T NG
1 Khái nim chung
-  phân tích mt h thng, ta phi bit nguyên tc làm vic ca các phn t7 trong s
, bn ch5t v-t lý, các quan h v-t lý, …
- Các tính ch5t ca các phn t7/h thng 6c biu di.n qua các phng trình ng hc,
th;ng là phng trình vi phân.
-  thu-n l6i hn trong vic phân tích, gii quyt các bài toán iu khin, ng;i ta mô
t toán hc các phn t7 và h thng b<ng hàm truyn t (transfer fuction), phng
trình trng thái (state space), v.v
2 Hàm truyn t
2.1 nh ngha :
Hàm truyn t ca mt khâu (hay h thng) là t s gia tín hiu ra vi tín hiu vào biu
din theo toán t laplace, ký hiu là W(p), vi các iu kin ban u trit tiêu.

trong ó
( )
( )
( )
Y p
W p
U p
=
v8i
y(0) = y’(0) = … = y
(n-1)
(0) = 0

u(0) = u’(0) = … = u
(m-1)
(0) = 0
2.2 Phng pháp tìm hàm truyn t
T( phng trình vi phân tng quát ca mt khâu (h thng) có dng
1 0 1 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
n m
n m
n m
d y t dy t d u t du t
a a a y t b b b u t
dt dt dt dt
+ + + = + + + (1.1)
bin i laplace v8i các iu kin ban u b<ng 0 và theo nh ngh&a, ta có dng tng quát ca
hàm truyn t
1 0
1 0

( )
( )
( )
m
m
n
n
b p b p b
M p
W p

a p a p a N p
+ + +
= =
+ + +
(1.2)
N(p) : a th+c dc tính

Ý ngha
- Quan sát hàm truyn t, nh-n bit c5u trúc h thng
- Xác nh tín hiu ra theo th;i gian (bin i laplace ng6c)
- Xác nh các giá tr u, giá tr xác l-p ca h thng
- Xác nh 6c h s khuch i t&nh ca h thng
- …

W(p)

U(p) Y(p)
Chng 1 Mô t toán hc


11
2.3 Mt s ví d v cách tìm hàm truyn t
Nguyên tc chung :
- Thành l-p phng trình vi phân ;
- S7 d'ng phép bin i laplace  a v dng hàm truyn t theo nh ngh&a.
Ví d 1 : Khuch i lc b<ng cánh tay òn



Xét phng trình cân b<ng v mômen :

F
1
(t)*a = F
2
(t)*b  F
1
(p)*a = F
2
(p)*b

2
1
F ( )
W(p)=
F ( )
p a
p b
=


Ví d 2 : ng c in mt chiu kich t( c l-p


Gi s7 t( thông Φ = const, J là mômen quán tính qui v tr'c ng c, B là h s ma sát 
tr'c.
Thành l-p hàm truyn t ca ng c v8i:
u: tín hiu vào là in áp phn +ng
ω: tín hiu ra là góc quay ca tr'c ng c.
Gii:
Phng trình quan h v in áp phn +ng:

u
u e
di
u Ri L e
dt
e K
ω
= + +
= Φ

Suy ra

e
di
u Ri L K
dt
ω
= + + Φ
(1.3)
Phng trình quan h v momen trên tr'c ng c:

i
d
K i J B
dt
ω
ω
Φ = +
(1.4)

Thay (1.4) vào (1.3), ta 6c:

2
2
e
i i
R d L d d
u J B J B K
K dt K dt dt
ω ω ω
ω ω
 
 
= + + + + Φ
 
 
Φ Φ
 
 

a

b

F
1

F
2

J
u
i
B
Chng 1 Mô t toán hc


12

2
2
e
i i i
LJ d RJ LB d RB
u K
K dt K dt K
ω ω
ω
 
+
= + + + Φ
 
Φ Φ Φ
 

V-y

(
)
2

2 2 0
( ) ( )
U p a p a p a p
ω
= + +
v8i
2 1 0
; ;
e
i i i
LJ RJ LB RB
a a a K
K K K
 
+
= = = + Φ
 
Φ Φ Φ
 

Hàm truyn t ca ng c in mt chiu là:

2
2 2 0
( ) 1
( )
( )
p
W p
U p a p a p a

ω
= =
+ +


Ví d 3: Tìm hàm truyn t ca mch in t7 dùng KTT, gi thit khuch i thu-t toán là
lý tng.


Ta có:
2
2
i
i
V V
dV dV
C V V R C
R dt dt
−
− −
−
−
=  = + (1.5)
Xét dòng in qua V
+

0
0
1 1
2

i
i
V V V V
V V V
R R
+ +
+
− −
=  = +
(1.6)
Mt khác, do gi thit KTT là lý tng nên V
-
= V
+
.
T( (1.5) và (1.6)

0
2 0 2
i
i
dV dV
R C V R C V
dt dt
+ = −

0 2
2
( )
1

( )
( ) 1
i
V p
R Cp
W p
V p R Cp
−
= =
+


Ví d 4:

V
i

V
0

R
1

R
1

R
2

C

+V
cc

-V
cc

y(t)

u(t)

r
h
γ
γγ
γ

Chng 1 Mô t toán hc


13
Trong ó: u(t): lu l6ng ch5t lAng vào; y(t) là lu l6ng ch5t lAng ra; A là din tích áy ca
b ch5t lAng.
Gi p(t) là áp su5t ca ch5t lAng ti áy b, bit các quan h sau:
( )
( )
p t
y t
r
=
(r là h s)

( ) ( )
p t h t
γ
=

Tìm hàm truyn t ca b ch5t lAng.
Gii
Theo các quan h trong gi thit, ta có:
( )
( )
p t
y t h
r r
γ
= = (1.7)
 gia tng chiu cao ct ch5t lAng là:

( ) ( )
dh u t y t
dt A
−
= (1.8)
T( (1.7) và (1.8), suy ra:

( ) ( )
dy u t y t
dt r A
γ
−
=



( ) ( )
dy
rA y t u t
dt
γ
+ =

Hàm truyn t ca b ch5t lAng trên là:

( )
( )
( ) 1 1
Y p K
W p
U p rAp Tp
γ
= = =
+ +

2.4 Hàm truyn t ca mt s thit b in hình
- Các thit b o l;ng và bin i tín hiu: W(p) = K
- ng c in mt chiu:
2
1 2 2
K
W(p)=
TT 1

p T p
+ +

- ng c không ng b 3 pha
K
W(p)=
T 1
p
+

- Lò nhit
K
W(p)=
T 1
p
+

- Bng ti
-
W(p)=
p
Ke
τ

2.5 i s s  khi
i s s  khi là bin i mt s  ph+c tp v dng n gin hn  thu-n tin cho vic
tính toán.
2.5.1 Mc ni tip
1 2
W(p)= .

n
W W W

2.5.2 Mc song song
1 2
W(p)=
n
W W W
± ± ±

2.5.3 Mc phn hi


1
1 2
W(p)=
1
W
WW
±



W
1

W
2

-

+
U(p)

Y(p)

Chng 1 Mô t toán hc


14
2.5.4 Chuyn tín hiu vào t trc ra sau mt khi

2.5.5 Chuyn tín hiu ra t sau ra trc mt khi


Ví d 1: I"U KHI#N M$C CH3T LBNG TRONG B# CHCA
Cho mt h thng iu khin t ng mc ch5t lAng trong b ch+a nh hình vD, bit
r<ng:
- Hàm truyn ca b chuyn i mc ch5t lAng/dòng in
1
1
)(
+
=
pT
pG
c
LT
v8i T
c
=1

- Phng trình vi phân biu di.n qaun h gia lu l6ng và  cao ct ch5t lAng là:
)()()(
)(
tQtQth
dt
tdh
ai
+=+
θ
v8i
θ
=25
- Hàm truyn ca c b chuyn i dòng in sang áp su5t và van t ng là:
LT

LIC

LI
VT

LV
h
H
0

Q
i

Q
a

Q
o

M
X P
LT : chuyn i m+c ch5t lAng
LIC : B hiu ch,nh
LY : chuyn i dòng in/áp su5t

LV : van diu ch,nh t ng
VT : van iu khin b<ng tay
W
U(p) Y(p)

W
U(p) Y(p)

⇔

Y(p)

W
Y(p)

W
U
1
(p)

Y(p)

±

U
2
(p)

W
U
1
(p)

Y(p)

±
U
2
(p)

W
⇔

Chng 1 Mô t toán hc


15
T
i

T
T
T
a

Q
e

=
+
==
1
1
)(
)(
)(
pTpN
pQ
pG
V
e
V
v8i T
v
=4
Yêu cu :
1. Thành l-p s  iu khin ca h thng.
2. Tìm các hàm truyn t
0
( ), ( ), ( )

a
HU HQ HQ
W p W p W p

3. Gi s7 cha có b iu khin C(p) = 1. Tìm giá tr xác l-p ca ct n8c  ngõ ra nu u(t)=
5.1(t) và Q
a
= 2.1(t).

S


Ví d 2 : Cho mô hình ca mt b iu hòa nhit  ch5t lAng nh hình vD


Trong ó :
- T
i
: nhit  ch5t lAng vào b
- T : nhit  ch5t lAng trong b
- T
a
: nhit  môi tr;ng

Bit r<ng :
- Nhit l6ng ch5t lAng mang vào b : Q
i
= VHT
i

v8i H là h s nhit ; V là lu l6ng ch5t lAng vào b.
- Nhit l6ng in tr cung c5p cho b Q
e
(t)
- Nhit l6ng ch5t lAng mang ra khAi b Q
0
= VHT

- Nhit l6ng tn th5t qua thành b do chênh lch v8i môi tr;ng
( )
1
s a
Q T T
R
= −
Bit nhit l6ng ch5t lAng nh-n 6c sD làm tng nhit  ch5t lAng theo biu th+c
l
dT
Q C
dt
=

Hãy thành l-p mô hình iu khin ca b trao i nhit  trên.

Gii
Phng trình cân b<ng nhit ca b ch5t lAng

0
l i e a
Q Q Q Q Q
= + − −

Hay
C(p)

G
V
(p)

G(p)

G
LT
(p)

Q
a

Q
o

Q
i

Y
U
ε

X H

Chng 1 Mô t toán hc


16

a
i e
T T
dT
C VHT Q VHT
dt R
−
= + − −
⇔
1 1
i e a
dT
C VH T VHT Q T
dt R R
 
+ + = + +

 
 

⇔
(
)
1 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
i e a
a p a T p b T p Q p c T p
+ = + +

⇔
[ ]
0 0
1 0
1
( ) ( ) ( ) ( )
i e a
T p b T p Q p c T p
a p a
= + +
+

Mô hình iu khin là :



Ngoài phng pháp i s s  khi, chúng ta còn có th dùng phng pháp Graph tín hiu
 tìm hàm truyn t tng ng ca mt h thng ph+c tp.

3 Phng trình trng thái
3.1 Phng trình trng thái tng quát
3.1.1 Khái nim
- i v8i mt h thng, ngoài tín hiu vào và tín hiu ra cn phi xác nh, ôi khi ta cn quan
sát các trng thái khác. Ví d' i v8i ng c in là dòng in, gia tc ng c, tn hao,
v.v…
- Khác v8i tín hiu ra phi o l;ng 6c b<ng các b cm bin, các bin trng thái hoc o
6c, hoc xác nh 6c thông qua các i l6ng khác.
- T( ó ng;i ta xây dng mt mô hình toán cho phép ta có th xác nh 6c các bin trng
thái.
3.1.2 Dng tng quát ca phng trình trng thái
Xét h thng có m tín hiu vào và r tín hiu ra.


H thng có :

H thng
u
1
(t)
u
m
(t)

y
1
(t)
y
r
(t)

1 0
1
a p a
+

b
0

c
0

Q
e

T
a

T
i

T
Chng 1 Mô t toán hc


17
- m tín hiu vào: u
1
(t), u
2
(t), …, u

m
(t), vit
1

m
u
U
u
 
 
=
 
 
 
,
m
U ∈


- r tín hiu ra: y
1
(t), y
2
(t), …, y
r
(t), vit
1

r
y

Y
y
 
 
=
 
 
 
,
r
Y
∈


- n bin trng thái : x
1
(t), x
2
(t), …, x
n
(t), vit
1

n
x
X
x
 
 
=

 
 
 
,
n
X
∈


Phng trình trng thái dng tng quát ca h thng 6c biu di.n d8i dng :

X AX BU
Y CX DU

= +

= +



V8i
, , ,
nxn nxm rxn rxm
A B C D∈ ∈ ∈ ∈
   

A, B, C, D gi là các ma tr-n trng thái, nu không ph' thuc vào th;i gian gi là h thng
d(ng.

Nhn xét :

- Phng trình trng thái mô t toán hc ca h thng v mt th;i gian d8i dng các phng
trình vi phân.
- H thng 6c biu di.n d8i dng các phng trình vi phân b-c nh5t.
3.1.3 Ví d thành lp phng trình trng thái
Ví d 1
Xây dng phng trình trng thái ca mt h thng cho d8i dng phng trình vi phân nh
sau :

2
2
2 5
d y dy
y u
dt dt
+ + =


Gii
H có mt tín hiu vào và mt tín hiu ra.
t
1
2
x y
dy
x y
dt
=
= =


T( phng trình trên, ta có :

2 2 1
2 5
x x x u
+ + =


Nh v-y :

1 2
2 1 2
5 1 1
2 2 2
x y x
x x x u
= =



= − − +


 


⇔
[ ]
1 1
2 2

1
2
0 1 0
5 1 1
2 2 2
0 1
x x
u
x x
x
y
x
   
   
   
= +
   
   
− −
   
   
   
 
=
 
 



Chng 1 Mô t toán hc

18
t A, B, C, D là các ma tr-n tng +ng, suy ra
X AX BU
Y CX DU

= +

= +




Ví d 2
Cho mch in có s  nh hình vD sau, hãy thành l-p phng trình trng thái cho
mch in này v8i u
1
là tín hiu vào, u
2
là tín hiu ra.



Gii
Gi s7 mch h ti và các iu kin u b<ng 0. Gi i là dòng in chy trong mch, ta có :

0
0
0

1
1
t
i
t
di
u Ri L idt
dt C
u idt
C

= + +




=





t các bin trng thái là :
1 2 0
,
x i x u
= =
, ta có :

1 1 2
2 1
i
u Rx Lx x
Cx x
= + +


=



hay
1 1 2
2 1
1 1
1
i
R
x x x u
L L L
x x
C

= − − +




=





và
2 0
x u
=

V-y :

[ ]
1 1
2 2
1
0
2
1
1
1
0
0
0 1
i
R
x x
L L
u
L
x x

C
x
u
x
 
− −
 
 
   
 
= +
 
   
 
   
 
 
 
 
 
 
=
 
 




HAi : Tr;ng h6p t
1 0 2

,
x u x i
= =
, phng trình trng thái ca mch in sD có dng nh
th nào ?

Nhn xét
- V8i cùng h thng sD có nhiu phng trình trng thái khác nhau.
- Hàm truyn t ca h thng là duy nh5t.
3.2 Xây dng phng trình trng thái t hàm truyn t
3.2.1 Khai trin thành các tha s n gin
Nu hàm truyn t 6c biu di.n d8i dng tích các th(a s nh sau :
R L
C
u
i
u
0

Chng 1 Mô t toán hc


19

( )
1
( ) 1
( )
( )
n

i
i
Y p
W p K
U p p p
=
= =
−
∏




t các bin trung gian nh hình vD, ta có :

1 1 1
2 2 2 1
1

n n n n
x p x Ku
x p x x
x p x x
−
= +


= +





= +




và y = x
n
Suy ra phng trình trng thái là :

[ ][ ]
1 1
2 2
1 2
1
0
0 1
0
0 0 1
n n
T
n
x p
K
x p
u
x p
y x x x
   

 
   
 
   
 
= +
   
 
   
 
   
 
   
=




3.2.2 Khai trin thành tng các phân thc n gin
Nu hàm truyn t 6c khai trin d8i dng :

1
( )
( )
( )
n
i
i
i
K

Y p
W p
p p U p
=
= =
−


1
( ) ( )
n
i
i
i
K
Y p U p
p p
=
 
=
 
−
 



S  c5u trúc nh sau :

Nh v-y :
i i i

pX p X U
= +

i i i
x p x u
= +


1
1
p p
−
2
1
p p
−
1
n
p p
−
U
X
1

X
2

Xn

K

1

K
2

K
n

Y
1

Y
2

Yn

Y
1
K
p p
−
2
1
p p
−
1
n
p p
−

U
Y x
1

x
2

x
n

Chng 1 Mô t toán hc


20
Hay
[ ][ ]
1 1
2 2
1 2 1 2
1
1
1
0
1
n n
T
n n
x p
x p
u

x p
y K K K x x x
   
 
   
 
   
 
= +
   
 
   
 
   
 
   
=




3.2.3 S dng mô hình tích phân c bn
Tr;ng h6p hàm truyn t có dng

1 0
( )
( )
( )
n
n

Y p K
W p
U p a p a p a
= =
+ + +

t
( 1) ( )
1 2 1 3 2
, , , , ,
n n
n n
x y x x y x x y x y x y
−
= = = = = = =
      

Suy ra :

1 2
2 3
11
1


n
n n
n n n
x x
x x

a
a K
x x x u
a a a
−
=
=
= − − − +




3.3 Chuyn i t phng trình trng thái sang hàm truyn
1
( ) ( )
W p C pI A B D
−
= − +



MT S BÀI TP CH !NG 1
Bài tp 1 I"U KHI#N LU L4NG CH3T LBNG TRONG !NG DEN
Cho s  iu khin mc lu l6ng ca mt ;ng ng d9n ch5t lAng nh hình vD


Bit hàm truyn ca c c5u chuyn i t( dòng in sang áp su5t + van LV + ;ng ng + b
chuyn i t( lu l6ng sang dòng in là
12.2)(
)(

)(
+
==
−
p
e
pX
pY
pH
p


Hãy thành l-p mô hình iu khin ca h thng.

Bài tp 2

I"U CHFNH NHI T % C*A MÁY LOI KHÍ CHO NGI HHI
FE

FT

FIC

FY

Y

X

FE : o lu l6ng

FT : chuyn i lu l6ng/ dòng in

FIC : b iu khin lu l6ng
FY : chuyn i dòng in/áp su5t
LV
Chng 1 Mô t toán hc


21
N8c tr8c khi 6c a vào lò hi cn phi qua máy loi khí nh<m loi b8t khí CO
2

và O
2
trong n8c. Các loi khí này kém tan, chính vì v-y sD làm áp su5t hi th5p, nhit 
cao. N8c trong máy loi khí này có áp su5t th5p và nhit  bão hòa khong 104°C. S 
diu ch,nh nhit  ca máy loi khí nh sau :



Hàm truyn ca van iu ch,nh TV + ni hi + b o TE là

18
2
)(
)(
)(
4
+
==

−
p
e
pX
pY
pT
p

B
 chuyn i in áp/dòng in TY có nhim v' chuyn i tín hiu in áp ( vài micro
volt) t, l v8i nhit  thành tín hiu dòng in I (4-20mA)  a n b iu ch,nh TIC.
Hàm truyn ca b chuyn i TY là :

13.0
1
)(
)(
)(
+
==
ppY
pI
pC

Hãy thành l-p mô hình iu khin ca h thng.

Bài tp 3 I"U CHFNH NHI T % C*A B% TRAO /I NHI T
S  ca mt b trao i nhit nh hình vD, trong ó θ
1
>T

1
.

LT

TE

TY

TIC

Q
v

Q
e

Hi

n ni
hi
N
8c

TE : u dò nhit  TV : van t ng iu ch,nh nhit 
TY : chuyn i in áp/dòng in LT : b chuyn i m+c
TIC

: b
 iu ch,nh nhit 

LV

: van i
u ch,nh m+c

LV
TV

Y
I
X
T
Chng 1 Mô t toán hc


22

Yêu cu iu khin là gi cho nhit  ra T
2
ca ch5t lAng cn làm nóng không i v8i mi
lu l6ng Q
f
.
Mt tín hiu iu khin X a n van sD khng ch nhit  T
2
ca ch5t lAng, nhit  này
6c th hin qua tín hiu o l;ng Y. Hàm truyn ca van TV + b trao i nhit + b o

TT là
( )
3
12
4.1
)(
)(
)(
+
==
p
pX
pY
pH . Mt khác, nu gi tín hiu iu khin X không i nhng
lu l6ng Q
f
ca ch5t lAng cn làm nóng thay i cIng làm nh hng n nhit  ra T
2
.
nh hng ca Q
f
n T
2
6c cho bi hàm truyn
( )
2
15.0
2
)(
)(

)(
+
−==
p
pQ
pY
pD
f

Hãy thành l-p mô hình iu khin ca h thng.

Bài tp 4 I"U KHI#N NHI T % C*A M%T MÁY HÓA LBNG GA (liquéfacteur)
S  khi ca mt máy hóa lAng ga 6c cho trong hình sau :


Trong ó :
TT : b chuyn i nhit 
TIC : b iu ch,nh nhit 
FT
1
: b chuyn i lu l6ng (in t()
FT
2
: b chuyn i lu l6ng v8i o l;ng tuyn tính
M
FT
1

TIC

FT
2

TT

Q
2
, T
1

Q
2
, T
2

Q
1
, T
3

Q
1
, T
4

Ga cn hóa lAng
Ga lAng
Ch5t làm lnh
Y

X

FIC

X
1

TT
TIC
TV
FT
Q
f
,T
1

Q
f
,T
2

Q
c
,
θ
2

Q
c
,

θ
1

Ch5t lAng cn làm nóng

Ch
5t lAng
mang nhit
Y
X
TT : b chuyn i nhit  TV : van iu ch,nh nhit 
TIC : b iu ch,nh nhit  FT : b chuyn i lu l6ng
Chng 1 Mô t toán hc


23

 iu khin nhit  ca ga ã 6c hóa lAng, ng;i ta i lu l6ng Q
1
ca ch5t
làm lnh bi b iu khin TIC. Ga tr8c khi hóa lAng có nhit  T
1
, sau khi 6c hóa lAng
sD có nhit  T
2
. Hàm truyn ca các khâu trong s  6c nh ngh&a nh sau :

p
eK
pQ

pT
pH
p
1
1
1
2
1
1)(
)(
)(
1
θ
τ
+
==
−

)(
)(
)(
2
2
2
pQ
pT
pH =
)(
)(
)(

3
2
3
pT
pT
pH =
)(
)(
)(
1
2
4
pT
pT
pH = 1
)(
)(
)(
2
5
==
pT
pY
pH 1
)(
)(
)(
1
6
==

pX
pQ
pH

V8i K
1
=2,
τ
1
=1 min,
θ
1
=4 min.

Hãy thành l-p mô hình iu khin ca h thng.
Chng 2  c tính ng hc

24



"C TÍNH NG HC CA CÁC KHÂU
VÀ CA H THNG TRONG MIN TN S
1 Khái nim chung
- Nhim v' ca chng : xây dng c tính ng hc ca khâu/h thng trong min tn s. M'c
ích :
+ Kho sát tính n tính
+ Phân tích tính ch5t
+ Tng h6p b iu khin
- Khâu ng hc : nhng i t6ng khác nhau có mô t toán hc nh nhau 6c gi là khâu ng

hc. Có mt s khâu ng hc không có phn t7 v-t lý nào tng +ng, ví d'
( ) 1
W p Tp
= +
hay
( ) 1
W p Tp
= −
.
2 Phn ng ca mt khâu
2.1 Tín hiu tác ng vào mt khâu (các tín hiu tin nh)
2.1.1 Tín hiu bc thang n v
1 0
( ) 1( )
0 0
t
u t t
t
≥

= =

<



Dng tng quát

0 0
0 0

0
U
( ) 1( )
0
t t
u t U t t
t t
≥

= − =

<


2.1.2 Tín hiu xung n v
0 0
1( )
( ) ( )
0
t
d t
u t t
t
dt
δ
≠

= = =

∞ =




Tính ch5t :

0
( ) 1
t dt
δ
∞
=


2.1.3 Tín hiu iu hòa
u(t) = U
m
sin(ωt + ϕ)
Biu di.n d8i dng s ph+c
(
)
( )
j t
m
u t U e
ω ϕ
+
→

2.1.4 Tín hiu bt k
i v8i mt tín hiu vào b5t k?, ta luôn có th phân tích thành tng ca các tín hiu n gin  trên.

2.2 Phn ng ca mt khâu
Cho mt khâu 6c mô t toán hc nh hình vD :

W(p)

U(p)
Y(p)
u(t)
y(t)
t

u
1
t

δ
(t)
Chng 2  c tính ng hc

25
nh ngh&a: Phn ng ca mt khâu (h thng) i vi mt tín hiu vào xác nh chính là c
tính quá  hay c tính thi gian ca khâu ó.
2.2.1 Hàm quá  ca mt khâu
Hàm quá  ca mt khâu là phn ng ca khâu i vi tín hiu vào 1(t).
Ký hiu : h(t)
Biu th+c :
1
( )
( )
W p

h t L
p
−
 
=
 
 

2.2.2 Hàm trng lng ca mt khâu
Hàm trng lng ca mt khâu là phn ng ca khâu i vi tín hiu vào
δ
δδ
δ
(t).
Ký hiu :
ω
ωω
ω
(t)
Biu th+c :
{
}
1
( ) W(p)
t L
ω
−
= hay
( )
( )

dh t
t
dt
ω
=

Ví d : Cho mt khâu có hàm truyn t là

5
( )
2 1
W p
p
=
+

Tìm phn +ng ca khâu i v8i tín hiu u(t) = 2.1(t-2)-2.1(t-7).
3 c tính tn s ca mt khâu
3.1 Hàm truyn t tn s
3.1.1 nh ngha:
Hàm truyn t tn s ca mt khâu, ký hiu là W(j
ω
ωω
ω
), là t s gia tín hiu ra vi tín
hiu vào  trng thái xác lp khi tín hiu vào bin thiên theo qui lut iu hòa
( ) sin
m
u t U t
ω

=
.

- J trng thái xác l-p (nu h thng n nh): y
xl
(t)= Y
m
sin(ωt + ϕ)
- Biu di.n d8i dng s ph+c :

(
)
( )
j t
u t e
ω
→


(
)
( )
j t
m
y t Y e
ω ϕ
+
∞
→
- Theo nh ngh&a :

(
)
( )
( )
( )
( )
j t
j
xl m m
j t
m
m
y t Y e Y
W j e
u t U
U e
ω ϕ
ϕ
ω
ω
+
= = =
Nhn xét: Hàm truyn t tn s
- Là mt s ph+c
- Ph' thuc vào tn s tín hiu.

Do W(j
ω
) là s ph+c nên có th biu di.n nó nh sau :

( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
j
W j A e
W j P jQ
ϕ ω
ω ω
ω ω ω
=
= +

3.1.2 Cách tìm hàm truyn t tn s t hàm truyn t ca mt khâu
Có th ch+ng minh 6c hàm truyn t tn s 6c tìm 6c t( hàm truyn t ca mt
khâu (h thng) theo quan h sau :
( ) ( )
p j
W j W p
ω
ω
=
=
Ví d : Tìm hàm truyn t tn s ca khâu có hàm truyn
5
( )
2 1
W p
p
=
+

.
Ý ngha ca W(jω
ωω
ω)